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TIPOS  DE  PROBLEMAS  MATEMÁTICOS  

  Por  Cristina  Muñoz  Caro     No   existe   un   criterio   único   ni   una   sola   clasificación   de   problemas   matemáticos.   Existen  diferentes  clasificaciones  que  pueden  servir  de  ayuda  para  recordar  la  variedad   de   problemas   que   deben   ser   tratados   en   las   aulas   de   Matemáticas   de   los   distintos   niveles  educativos.     A  continuación  se  presenta  una  clasificación  de  problemas  según  Echenique  (2006):     A) PROBLEMAS  ARITMÉTICOS.   Son  aquellos  que  presentan  datos  en  forma  de  cantidades  y  establecen  entre  ellos   relaciones   de   tipo   cuantitativo.   Necesitan   la   realización   de   operaciones   aritméticas   para  su  resolución.   Se   clasifican   en   primer,   segundo   o   tercer   nivel   teniendo   en   cuenta   el   número   de   operaciones  que  es  necesario  realizar  para  su  resolución.  Podemos  distinguir:     De  primer  nivel.   Es   necesaria   una   sola   operación   para   su   resolución.   Podemos   distinguir   según   el   tipo  de  operación:   §

Adición  –  sustracción:   ü De   cambio:   parten   de   una   cantidad   inicial   que   se   ve   modificada   en   un   cambio  en  el  tiempo.    

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    Lucía  tiene  en  su  hucha  24  €.     Después  de  su  cumpleaños  vuelve  a  contar  las  monedas  y  tiene  43  €.     ¿Cuanto  dinero  le  han  dado  para  su  cumpleaños?       ü De   combinación:   se   relacionan   dos   conjuntos   que   forman   un   todo.   Se   pregunta  por  una  parte  o  por  un  todo.     En  un  autobús  viajan  27  personas.   Si  el  autobús  tiene  56  plazas.   ¿Cuantos  asientos  hay  vacíos?     ü De  comparación:  se  establece  una  relación  de  comparación  (más  o  menos   que)  entre  dos  cantidades.     El  abuelo  de  Pedro  tiene  61  años,  tiene  54  años  más  que  Pedro.   ¿Cuantos  años  tiene  Pedro?     ü De  igualación:  se  da  una  situación  de  comparación  y  cambio  a  la  vez.     Enrique  y  Tomás  coleccionan  sellos.  Tomás  tiene  41  y  Enrique  52.   ¿Cuántos  sellos  debe  conseguir  Tomás  para  tener  los  mismos  que  Enrique?     §

Multiplicación  –  división:  

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ü De  reparto  equitativo:  son  aquellas  situaciones  en  las  que  una  cantidad  se   reparte   entre   un   número   x   de   partes   iguales.   En   el   enunciado   se   hará   referencia  a  tres  informaciones:  la  cantidad  a  repartir,  el  número  de  grupos   a  formar  o  el  número  de  elementos  por  cada  grupo.     En  clase  hay  18  alumnos.  Después  de  repartir  una  bolsa    grande  de  caramelos  entre  todos  los  alumnos,     a  cada  uno  le  han  correspondido  8  caramelos.     ¿Cuántos  caramelos  tenía  la  bolsa?     ü De  factor  N:  son  parecidos  a  los  aditivos  de  comparación  pero  empleando   cuantificadores  (veces  más,  menos  que…).    

Julián  tiene  50  años  y  su  hijo  5  veces  menos.   ¿Cuantos  años  tiene  el  hijo  de  Julián?   ü De   razón   o   tasa:   hacen   referencia   a   tres   medidas   de   magnitud,   una   de   ellas   resulta  de  la  combinación  de  dos  anteriores  (km/h,  €/k…).     He  pagado  por  una  cesta  de  fresas  6  €.     Si  el  precio  de  las  fresas  es  de  3  €/Kg.     ¿Cuantos  kilogramos  de  fresas  hay  en  la  cesta?     ü De  productos  cartesianos:  se  trata  de  combinar  de  todas  las  formas  posibles   los  objetos  del  problema.     PEDAGOGÍA  MAGNA                                                                  www.pedagogiamagna.com                                                                                        Página  267  

 

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    Combinando  mis  pantalones  y  camisas  me  puedo  vestir  de   24  formas  diferentes.  Tengo  4  pantalones.   ¿Cuántas  camisas  tengo?     De  segundo  nivel.   También  llamados  problemas  combinados.  Para  su  resolución  es  necesario  realizar   varias  operaciones  (dos  o  más)  en  un  cierto  orden.  Son  más  complejos  que  los  de   primer   nivel   puesto   que   supone   establecer   unas   relaciones   más   complejas   entre   los   datos   aportados   por   el   enunciado.   Dentro   de   esta   tipología   podría   hablarse   de   diferentes  clasificaciones  según  el  criterio  seguido.  Podemos  distinguir:     §

Atendiendo  a  la  estructura  de  su  enunciado:   -

Problemas  combinados  fraccionados:  aparecen  preguntas  encadenadas  las   cuales  son  necesarias  para  la  resolución  final.     Un  corredor  de  maratón  hizo  el  primer  día  un  entrenamiento  de  12km.,  el   segundo   día   recorrió   28km.   más   que   el   día   anterior,   el   tercer   día   recorrió   la   mitad   de   kilómetros   que   el   segundo   día   y   el   cuarto   día   8km.   menos   que   entre  los  dos  días  anteriores  juntos   ¿Cuántos  kilómetros  recorrió  el  segundo  día?   ¿Cuántos  kilómetros  recorrió  el  tercer  día?   ¿Cuántos  kilómetros  hizo  el  cuarto  día?   ¿Cuántos  kilómetros  hizo  en  total  entre  los  cuatro  días?    

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Problemas  combinados  compactos:  solo  aparece  una  pregunta  final  pero  es   necesario  diferentes  pasos  para  llegar  a  ella.     Un  cristalero  dispone  de  una  placa  de  cristal  que  tiene  4  metros  cuadrados   de  superficie.  De  ella  quiere  obtener  12  cuadrados  de  20cm.  de  lado.  Con  el   resto  de  la  placa  quiere  hacer  rectángulos  de  20cmx40cm.   ¿Cuántos  rectángulos  podrá  obtener?    

§

Atendiendo  al  tipo  de  operaciones  necesarias:   -

Problemas   combinados   puros:   aparecen   solo   operaciones   de   un   mismo   campo  operativo.     La   profesora   ha   traído   a   clase   cuatro   cajas   de   bombones   para   repartir   equitativamente   entre   sus   alumnos.   En   cada   caja   hay   seis   filas   de   bombones  y  en  cada  fila  hay  9  bombones.   ¿Cuántos  bombones  recibirá  cada  alumno  si  en  clase  son  24?    

-

Problemas   combinados   mixtos:   intervienen   operaciones   de   campos   operacionales  distintos.     Un  comerciante  vendió  las  350  botellas  de  aceite  que  había     comprado  a    1,10.euros  cada  una.  En  la  venta  ganó  120  euros.   ¿A  cómo  vendió  cada  botella?    

§

Atendiendo  a  la  secuencia  temporal  descrita:  

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Problemas   combinados   directos:   los   datos   están   expresados   en   el   mismo   orden  que  se  han  de  utilizar.     En   la   hucha   tenía   15   euros.   Esta   mañana   he   metido   5   monedas   de   50   céntimos  y  por  la  tarde  he  sacado  3,20  euros.   ¿Cuánto  dinero  me  queda  en  la  hucha?      

-

Problemas   combinados   indirectos:   los   datos   no   están   expresados   en   el   orden  que  se  deben  de  utilizar.     Un   tendero   compra   27   docenas   de   huevos   a   1,20   euros   la   docena,   y   se   le   rompen  tres  docenas.  ¿A  cómo  tiene  que  vender  los  que  le  quedan  si  quiere   ganar  10  euros  en  total?  

  De  tercer  nivel.   Son   aquellos   en   los   que   los   datos   del   enunciado   no   son   números   naturales   sino   números   decimales,   fraccionarios   o   porcentuales.   Las   situaciones   son   similares   a   las  de  primer  y  segundo  nivel.     Un  comerciante  vendió  las  350  botellas  de  aceite  que  había   comprado.  Pagó  por  cada  botella  1,10  euros.  En  la  venta   ganó  140  euros.  ¿A  cómo  vendió  cada  botella?     B) PROBLEMAS  GEOMÉTRICOS.  

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Con   ellos   se   trabajan   diversos   contenidos   y   conceptos   del   ámbito   geométrico  

(formas,  figuras,  orientación,  visión  espacial…).     Juntando  las  piezas  1  y  2  se  han  hecho  varias  construcciones.   Encuentra  las  dos  piezas  en  cada  construccion  y  luego  píntalas.    

    C) PROBLEMAS  DE  RAZONAMIENTO  LÓGICO.   Son   problemas   que   permiten   desarrollar   destrezas   para   afrontar   situaciones   de   componente  lógico.  Se  pueden  clasificar  en:   -

Numéricos  (sudokus,  criptogramas…).  

-

Balanzas  de  dos  brazos  (para  averiguar  equivalencias).  

-

Enigmas:  estimulan  la  inteligencia,  no  tienen  que  ser  puramente  matemáticos.  

-

Análisis  de  proposiciones:  para  realizar  argumentaciones.     Ordena  según  su  peso  los  tres  sacos.  

   

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    D) PROBLEMAS  DE  RECUENTO  SISTEMÁTICO.   Son   problemas   que   tienen   varias   soluciones   y   es   preciso   encontrarlas   todas.   Ayudan   a   ser   sistemático   en   la   búsqueda.   Pueden   ser   de   ámbito   numérico   o   geométrico.     ¿Cuántos  triángulos  ves  en  la  imagen?  

    E) PROBLEMAS  DE  RAZONAMIENTO  INDUCTIVO.   Consisten   en   enunciar   propiedades   numéricas   o   geométricas   a   partir   del   descubrimiento  de  regularidades  (seriaciones…)     En  las  siguientes  series,  calcula  el  valor  del  término  que  ocupa  el  lugar  25:   ü 1  ,  3  ,  5  ,  7,  9  ,  ………….....   ü 6  ,  9  ,  12  ,  15  ,  ………….....   ü 1  ,  4  ,  9  ,  16  ,  25  ,  …………     F) PROBLEMAS  DE  AZAR  Y  PROBABILIDAD.   Son  situaciones  planteadas  en  muchos  casos  a  través  de  juegos  o  de  situaciones   en   las   que   siguiendo   una   metodología   de   tipo   manipulativa   y   participativa   por   parte   de   los   alumnos,   estos   pueden   descubrir   la   viabilidad   o   no   de   algunas   opciones     presentadas,   así   como   la   mayor   o   menor   posibilidad   de   ganar   en   el   juego.  Permiten  hacer  predicciones  con  cierta  base  científica.   PEDAGOGÍA  MAGNA                                                                  www.pedagogiamagna.com                                                                                        Página  272  

 

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Una  urna  tiene  ocho  bolas  rojas,  5  amarilla  y  siete  verdes.   Se  extrae  una  al  azar.  Probabilidad  de  que:  

§

No  sea  roja.  

§

No  

§

Sea  roja.  

§

Sea  verde.  

§

Sea  amarilla.  

sea  

amarilla

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      BIBLIOGRAFÍA       §

ECHENIQUE,  I.  (2006).  Matemáticas.  Resolución  de  problemas.  Navarra:  Gobierno   de  Navarra.      

§

PEREDA,  L.  (2008).  Seminario  sobre  resolución  de  problemas.  Pamplona:  CAP.      

§

http://www.cprceuta.es/CPPSXXI/Modulo%204/Archivos/Matematicas/DOC_GON Z_MARI/MODELIZACION%20Y%20RESOLUCION%20DE%20PROBLEMAS/Resoluci%C 3%B3n%20de%20problemas.pdf      

§

http://www.olesur.com/educacion/niveles-­‐problemas-­‐matematicas.asp  

    CRISTINA  MUÑOZ  CARO         PEDAGOGÍA  MAGNA                                                                  www.pedagogiamagna.com                                                                                        Página  274