Cap´ıtulo 2

Transferencia radiativa Versi´ on 27 de septiembre de 2016

Los procesos de interacci´ on entre la radiaci´on electormagn´ectica y la materia se describen formalmente a trav´es de la ecuaci´ on de transferencia radiativa. Este formalismo emplea como cantidad b´asica la intensidad de la radiaci´on, que se relaciona con cantidades medibles como el flujo de energ´ıa; la intensidad del campo radiativo var´ıa por procesos como absorci´on, emisi´on y dispersi´ on. Este formalismo se describe a continuaci´on.

2.1. 2.1.1.

Definiciones Intensidad y cantidades derivadas

La variable fundamental para la descripci´on del transporte de energ´ıa radiativa es la intensidad espec´ıfica, Iν , que se refiere conceptualmente a un haz de radiaci´ on. Se define a partir del flujo de energ´ıa (E) por unidad de tiempo (t), ´ area (A), frecuencia (ν) y ´angulo s´olido (Ω), dE ˆ ~r, t) kˆ · n = Iν (k, ˆ dΩ dν , dA dt

(2.1)

con n ˆ la normal al elemento de ´area dA que atraviesa el haz, el cual se propaˆ Iν es funci´on de la posici´on, del tiempo, de la frecuencia ga en la direcci´ on k. y del vector de propagaci´ on1 Iν contiene informaci´on tanto de la distribuci´on espacial y espectral del campo de radiaci´on, como de su nivel de isotrop´ıa. Las unidades (cgs) de la intensidad espec´ıfica son [erg cm−2 s−1 Hz−1 Sr−1 ]. ˆ ν) corresponde con el vector ~k = (2πν/c)k. ˆ El vector Formalmente la combinaci´ on (k, ˆ = zˆ cos θ +(ˆ de propagaci´ on, k x cos φ+ yˆ sin φ) sin θ se relaciona directamente con el a ´ngulo s´ olido, dΩ = sin θdθdφ. 1

1

Figura 2.1: Todos los haces de radiaci´on que salen de (1) con una apertura dada por el ´ angulo s´ olido dΩ1 atraviesan la diferencial de ´area dA2 = r2 dΩ1 , siendo r la distancia entre ambos puntos. De misma manera, aquellos que pasan por el punto (2) habiendo salido de (1) abarcan un ´angulo s´olido dΩ2 = dA1 /r2 . Se desprende que dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2 .

El formalismo de transferencia radiativa puede hacerse tanto en t´erminos de la frecuencia, ν, como de la longitud de onda, λ, relacionadas mediante, Iλ dλ = Iν dν

⇒

Iλ = −

c Iν . λ2

(2.2)

El signo negativo indica el sentido opuesto en los intervalos de integraci´on. El caso en que la energ´ıa radiativa se conserva implica la conservaci´on de la intensidad espec´ıfica a lo largo del haz. Considerando un emisor situado en un punto (1) y un receptor en otro punto (2), tenemos que la cantidad de energ´ıa que sale de (1) y llega a (2) est´a dada por dE1 = Iν1 dA1 dΩ1 dt dν , donde dΩ1 es el ´ angulo s´ olido que abarca el receptor (2) visto desde (1). Por otro lado, la cantidad de energ´ıa recibida en (2) est´a dada por dE2 = Iν2 dA2 dΩ2 dt dν . Bajo la conservaci´ on de la energ´ıa se tiene dE1 = dE2 , la energ´ıa emitida dentro del cono de apertura dΩ1 coincide con la captada en el ´area dA2 , y 2

la recibida dentro del cono de apertura dΩ2 coincide con la emitida dentro del ´ area dA1 . En virtud de que dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2 (figura 2.1), tenemos Iν1 = Iν2 .

(2.3)

La intensidad espec´ıfica es constante a lo largo de una trayectoria. Esto sucede en ausencia de absorbedores o fuentes de radiaci´on. Partiendo de Iν se definen algunas cantidades f´ısicas asociadas a los momentos geom´etricos del campo de radiaci´on. Intensidad media y densidad de energ´ıa La intensidad media de la radiaci´on es el promedio de la intensidad sobre todas las direcciones; se denota como Jν , y est´a dada por: Jν ≡

1 4π

Z

Iν dΩ ,

(2.4)

teniendo unidades de [erg cm−2 s−1 Hz−1 ]. La intensidad media tiene la misma forma funcional que la densidad de energ´ıa, uν , que se define tambi´en integrando la intensidad sobre el ´angulo s´olido, 1 uν ≡ c

Z

Iν dΩ =

4π Jν ; c

(2.5)

el factor c nos permite pasar de flujo a densidad. La presi´on de radiaci´on tiene unidades de [erg cm−3 Hz−1 ]; representa la cantidad de energ´ıa por unidad de volumen y de rango espectral en forma de radiaci´on. Flujo de energ´ıa El flujo de energ´ıa es una cantidad que se mide frecuentemente de manera observacional. Corresponde al primer momento de la distribuci´on angular de la intensidad, Z Fν ≡

Iν cos θ dΩ ,

(2.6)

teniendo unidades de [erg cm−2 s−1 Hz−1 ]. Fν representa la energ´ıa transportada por unidad de ´ area, tiempo e intervalo espectral. El t´ermino en coseno ˆ corresponde a k · n ˆ = cos θ, siendo kˆ la direcci´on de propagaci´on de la radiaci´ on y n ˆ la normal al elemento del ´area emisor o receptor. Para fuentes distantes con flujo Fν , la intensidad promedio est´a dada por hIν i = Fν /∆Ω, suponiendo cos θ = 1.

3

El flujo de energ´ıa tiene la particularidad de ser cero en el caso isotr´opico. Considerando una superficie con normal el eje zˆ, podemos definir dos componentes del flujo: la de incidencia paralela a zˆ y la de incidencia anti-paralela. En coordenadas esf´ericas, Fν+

Z 2π Z π/2

Fν−

Iν cos θ sin θdθdϕ ,

= 0

0

Z 2π Z π/2

Iν cos θ sin θdθdϕ ,

= 0

π

(2.7) de manera que Fν = Fν+ − Fν− . Es importante distinguir entre el flujo emitido, Fν1 , y el recibido, Fν2 ; bajo la conservaci´ on de la intensidad se relacionan aproximadamente como Iν ' Fν1 /∆Ω1 = Fν2 /∆Ω2 , siendo ∆Ω1 el ´angulo s´olido dentro del cual se da la emisi´ on y ∆Ω2 el ´angulo s´olido que abarca la fuente vista por el observador. Generalmente se tiene ∆Ω2  ∆Ω1 , y el flujo emitido es mucho mayor que el observado, Fν1  Fν2 . La forma m´ as com´ un de medir el flujo es mediante el sistema de magnitudes, definidas de manera logar´ıtmica en el ´optico y bandas aleda˜ nas a partir de: mν = −2.5 log(Fν /Fν0 ), siendo Fν0 un flujo de referencia para la frecuencia ν. El sistema de magnitudes se define de manera que la estrella Vega tenga magnitud cero en las distintas bandas fotom´etricas. En radio-astronom´ıa es m´as com´ un el uso del Jansky, que tiene la bondad de ser una unidad lineal, definida como 1 Jy ≡ 10−23 erg cm−2 s−1 Hz−1 . Los flujos de referencia Fν0 aparecen expresados en Jy en la tabla 1.1 del primer cap´ıtulo. Otra cantidad de inter´es en astronom´ıa es el brillo del cielo, expresado com´ unmente en magnitudes por segundo de arco cuadrado, que corresponde con la intensidad espec´ıfica de la emisi´on del cielo. Presi´ on de radiaci´ on La presi´ on de radiaci´ on corresponde al segundo momento de la intensidad, Pν ≡

1 c

Z

Iν cos2 θ dΩ ,

(2.8)

teniendo unidades de [dyn cm−2 Hz−1 ], equivalentes a unidades de densidad de energ´ıa [erg cm−3 Hz−1 ].

4

La intensidad espec´ıfica y sus momentos caracterizan las componentes espectrales de un haz de radiaci´on; pueden integrarse sobre frecuencias, Iν dν ,

I=

Z ∞

Z ∞

Z ∞

uν dν ,

u=

Fν dν ,

F =

...

(2.9)

0

0

0

para obtener las cantidades globales.

2.1.2.

Relaci´ on con ondas electromagn´ eticas

En el cap´ıtulo 1 se defini´ o el flujo y la densidad de energ´ıa de un campo electromagn´etico, ~= c E ~ ×B ~ = c |E| ~ 2 kˆ , S (2.10) 4π 4π ~ el vector de Poynting, que se relaciona con la energ´ıa recibida o emitida con S a trav´es de: Z Z Z c ~ 2ˆ ~ ˆ dA dt = E = S·n |E| k · n ˆ dA dt = Iν kˆ · n ˆ dA dt dν dΩ . (2.11) 4π Se puede ir formalmente de la dependencia temporal de los campos a su descripci´ on espectral a trav´es de la transformada de Fourier. La dependencia ~ con los campos es cuadr´atica, de d´onde se desprende que la definici´on de S se refiere al flujo por unidad de tiempo o por unidad de frecuencia, ~ −→ erg cm−2 s−1 S(t)

~ S(ν) −→ erg cm−2 Hz−1 .

⇔

Para poder definir un flujo por unidad de tiempo y de frecuencia es necesario considerar formalmente intervalos espectrales y temporales que satisfagan ∆ω∆t  1. Siendo as´ı, podemos considerar el flujo por unidad de frecuencia promediado por cada ciclo, ~ω = S



 E ω D~ S(ω) −→ erg cm−2 Hz−1 s−1 . 2π

(2.12)

Un campo de radiaci´ on incorporar´a un conjunto de ondas electromagn´eticas propag´ andose en todas direcciones, ~ω (~r) = S

X ω  c  ~ r, ω)|2 kˆ , |E(~

2π

ˆ k

4π

(2.13)

~ r, ω) una componente de la transformada de Fourier del campo siendo E(~ ~ r, t) y kˆ la direcci´on de propagaci´on del mismo. La el´ectrico (de radiaci´ on) E(~ ~ω , de manera intensidad espec´ıfica Iω considera la distribuci´on angular de S que podemos identificarla con ˆ = Iω (~r, k)



ωc 8π 2



o d n |E(~r, ω)|2 . dΩ

5

(2.14)

Figura 2.2: (a) Campo isotr´opico de radiaci´on; (b) campo de una fuente isotr´ opica; (c) esfera radiando semi-isotropicamente.

2.1.3.

Campo isotr´ opico de radiaci´ on

El c´ alculo de la densidad de energ´ıa, el flujo y la presi´on de radiaci´on se hacen considerando, con el cuidado requerido, la geometr´ıa del mismo (fig. 2.2). Radiaci´ on isotr´ opica corresponde a una intensidad Iν independiente de la ˆ Este caso difiere del de una fuente isotr´opica, direcci´ on de propagaci´ on k. en el cual un observador lejano ve radiaci´on proveniente de la direcci´on de la fuente y no de todas direcciones. Aqu´ı el observador est´a immerso en el campo de radiaci´ on, observando la misma intensidad en todas las direcciones. Un ejemplo conocido de radiaci´on isotr´opica lo constituye el fondo c´osmico ˆ entonces sale de las integrales de microondas (CMB). Si Iν no depende de k, sobre dΩ: Jν = Iν , al ser la intensidad espec´ıfica igual a la intensidad media; Fν = 0, el flujo neto de radiaci´on es nulo, dado que rayos de luz atraviesan una superficie dada direcciones opuestas; Pν = uν /3, a partir de la integral de cos2 θ dΩ.

2.2.

La ecuaci´ on de transferencia radiativa

La conservaci´ on de la energ´ıa de un haz de radiaci´on que se propaga entre dos puntos (1) y (2), implica Iν1 = Iν2 . Esta igualdad se generaliza a lo largo de una trayectoria dada por s con la relaci´on, dIν = 0. ds

(2.15)

Al considerar procesos de emisi´on y absorci´on de radiaci´on por un medio deja de cumplirse la conservaci´on de la energ´ıa a lo largo del haz, y tenemos 6

que modificar esta relaci´ on para dar lugar a la ecuaci´on de transferencia radiativa. Los procesos a considerar son: emisi´on espont´anea e inducida, absorci´ on y dispersi´ on.

2.2.1.

Emisi´ on espont´ anea

Un medio emite radiaci´ on como consecuencia de que sus ´atomos y mol´eculas poseen cierta energ´ıa que puede provenir de choques entre las part´ıculas, por dar un ejemplo. La emisi´ on de radiaci´on es una forma natural de pasar a un estado de energ´ıa menor, siguiendo el principio f´ısico de m´ınima energ´ıa. De esta forma, la energ´ıa previamente adquirida por alg´ un proceso f´ısico se incorpora a la energ´ıa de un haz de radiaci´on, siguiendo la expresi´on, dE = ν dV dΩ dt dν , siendo ν el coeficiente de emisi´on, de unidades de [erg cm−3 s−1 Hz−1 Sr−1 ]. El aumento de la energ´ıa del haz debido a la emisi´on espont´anea de radiaci´on se describe como dIν = ν . (2.16) ds Frecuentemente la emisi´ on espont´anea es isotr´opica y se describe por unidad de masa, mediante la emisividad espec´ıfica: εν = 4π ν /ρ , con unidades de [erg s−1 g−1 Hz−1 ], y siendo ρ la densidad de masa.

2.2.2.

Absorci´ on y emisi´ on inducida

El proceso de absorci´ on de radiaci´on puede describirse de manera probabil´ıstica fot´ on por fot´ on, de forma que la intensidad de radiaci´on absorbida es directamente proporcional a la intensidad de la radiaci´on incidente, dIν = −αν Iν , ds

(2.17)

donde αν es el coeficiente de absorci´on, con unidades [cm−1 ]. Su inverso es el camino libre medio, `ν = 1/αν . Para describir las propiedades de absorci´on de un medio en t´erminos de la densidad num´erica de absorbedores o de su densidad de masa podemos emplear la secci´ on eficaz, σν , de cada absorbedor, αν = n σν , 7

siendo n la densidad num´erica de part´ıculas. La secci´on eficaz tiene unidades de ´ area, [cm2 ]. Alternativamente, se usa el coeficiente de opacidad, κν , que se relaciona con la densidad de masa, αν = ρ κν , siendo las unidades de κν [g−1 cm2 ]. En condiciones muy particulares, el medio es estimulado por radiaci´on incidente y emite m´ as radiaci´on del mismo tipo. Esta emisi´ on estimulada es proporcional a la intensidad de la radiaci´on incidente, y por tanto su comportamiento es f´ısicamente an´alogo al de la absorci´on, y no al de la emisi´ on espont´ anea. La emisi´ on estimulada se describe como una contribuci´on negativa al coeficiente de absorci´on, ανestim < 0.

2.2.3.

La ecuaci´ on de transferencia radiativa y soluciones

Considerando los procesos de emisi´on y absorci´on conjuntamente, obtenemos la ecuaci´ on de transferencia radiativa: dIν = −αν Iν + ν . ds

(2.18)

En el caso sin absorci´ on, αν = 0, la soluci´on a la ecuaci´on queda en t´erminos lineales: Z s Iν (s) = Iν (s0 ) + ν (s0 ) ds0 . s0

En el caso sin emisi´ on, ν = 0, la soluci´on a la ecuaci´on de transferencia queda como un decaimiento exponencial de la intensidad: Iν (s) = Iν (s0 ) e−τν , donde τν es la profundidad ´optica, que se define como: τν ≡

Z s

αν ds0 .

(2.19)

s0

Si τν  1 se dice que el medio es transparente u ´ opticamente delgado; mientras que si τν  1, el medio es opaco u ´ opticamente grueso. Debido en parte a las incertidumbres en estimar distancias y tama˜ nos de objetos astrof´ısicos, resulta m´as conveniente expresar la ecuaci´on de transferencia en t´erminos del espesor ´optico: dIν = −Iν + Sν , dτν 8

(2.20)

donde Sν ≡ ν /αν es la funci´on fuente (emisi´on / absorci´on). Expresada de esta forma, la ecuaci´ on de transferencia (2.20) tiene como soluci´on formal: Iν (τν ) = Iν (0)e−τν +

Z τν 0

0

Sν (τν0 )e−(τν −τν ) dτν0 .

(2.21)

En particular, si Sν no depende de τν se tiene: Iν (τν ) = Iν (0)e−τν + Sν (1 − e−τν ) .

(2.22)

Para τν  1 tenemos Iν (τν ) → Iν (0); mientras que si τν  1, Iν (τν ) → Sν . Este comportamiento es inherente a la ecuaci´on 2.20, d´onde Iν pierde su comportamiento inicial en escalas de orden τν ∼ 1, y tiende a adquirir las caracter´ısticas del medio, descrito por la funci´on fuente. En el caso particular de emisi´on estimulada, en lugar de una atenuaci´on de la intensidad, se obtiene una amplificaci´on exponencial de la misma. Podemos ver este caso tomando un coeficiente de opacidad negativo, τν = −τ ∗, y una funci´ on fuente negativa, Sν = −Sν∗ , de d´onde, Iν (τν ) = (Iν (0) + Sν∗ ) eτ ∗ , una amplificaci´ on exponencial para τ ∗  1. Manifestaciones importantes de este proceso son los m´ aseres Gal´acticos y extragal´acticos.

2.3.

Radiaci´ on en equilibrio termodin´ amico

El estudio de la interacci´ on entre materia y radiaci´on en equilibrio termodin´ amico empieza hist´ oricamente con la discusi´on de Kirchhoff sobre los procesos involucrados, dando lugar a la ley de Kirchhoff y, posteriormente, a la distribuci´ on de Planck2 . Estos procesos son descritos por la funci´on fuente, Sν , que en equilibrio se relaciona con la distribuci´on de Planck.

2.3.1.

La ley de Kirchhoff

En 1859-60 Gustav Kirchhoff consider´o la emisi´on de radiaci´on por unidad ˆ dada por una funci´on Pe (k) ˆ en un punto dado de tiempo en una direcci´ on k, (figura 2.3, parte inferior), junto con el proceso de absorci´on, descrito por la ˆ y un coeficiente de absorci´on, aλ , potencia de la radiaci´ on incidente, Pi (−k), que indica la fracci´ on de la radiaci´on absorbida por el objeto. Si el objeto 2

Lectura recomendada: ”La teor´ıa del cuerpo negro y la discontinuidad cu´ antica: 18941912”por Thomas S. Kuhn.

9

Figura 2.3: Absorci´on (arriba) y emisi´on (abajo) de radiaci´on dentro de un ˆ cono de apertura dΩ en la direcci´on k. Una fracci´on aλ de la radiaci´on incidente de longitud de onda λ es absorbida.

est´ a en equilibrio termodin´amico, Pe estar´a dada por una funci´on de la temperatura y de la longitud de onda, eλ (T ), y el coeficiente de absorci´on ser´ a tambi´en funci´ on de la longitud de onda y temperatura, aλ (T ). Si adem´as existe un equilibrio entre la radiaci´on emitida y absorbida, y la radiaci´on est´a en estado de equilibrio termodin´amico a la misma temperatura, obtenemos la ley de Kirchhoff, eλ (T ) = aλ (T )Kλ (T )

⇒

eλ (T ) = Kλ (T ) , aλ (T )

(2.23)

d´ onde Kλ (T ) es una funci´ on de car´acter universal que describe la distribuci´ on en longitud de onda de la radiaci´on en estado de equilibrio termodin´amico. Un aspecto fundamental identificado por Kirchhoff, es que el cociente eλ /aλ depende del material, mientras que la funci´on Kλ es independiente del mismo. Por tanto, la ley de Kirchhoff (2.23) se cumple para cualquier objeto en equilibrio termodin´amico, independiente de sus propiedades, o de las de la radiaci´ on incidente. Un aspecto fundamental de la ley de Kirchhoff es el principio de balance detallado: el equilibrio se cumple no s´olo de manera global, {potencia absorbida = potencia emitida}, sino tambi´en de manera detallada: es decir para cada direcci´ on, intervalo de ´angulo s´olido, longitud de onda e incluso para cada componente de polarizaci´on.

2.3.2.

El desarrollo de la teor´ıa de cuerpo negro

Hacia 1894, Planck se advoc´o a la b´ usqueda de la funci´on Kλ , la distribuci´ on espectral de la radiaci´on en equilibrio termodin´amico, conocido como el problema del cuerpo negro; un absorbedor ideal, definido por 10

Figura 2.4: Cuerpo negro emitiendo de manera isotr´opica (rojo) despu´es de termalizar radiaci´ on anisotr´opica incidente (en azul). aλ = 1 ⇒ eλ (T ) = Kλ (T ), emite con esta distribuci´on espectral y, al no reflejar la radiaci´ on incidente, es completamente negro. En 1879 Stefan hab´ıa empleado argumentos termodin´amicos para mostrar que la densidad de energ´ıa, u, de la radiaci´ on contenida en una cavidad de paredes negras (figura 2.4), deb´ıa satisfacer u = σT 4 , siendo σ una constante. De ah´ı, Wien dedujo en 1893 que u deb´ıa cumplir uλ =

4π Kλ = λ−5 φ(λT ) c

⇒

uν =

4π Kν = ν 3 φ(T /ν) , c

siendo φ una funci´ on de una sola variable. Esta es la forma original de la ley de desplazamiento de Wien. El mismo Wien busc´o la expresi´on que mejor ajustara los datos experimentales de la ´epoca, proponiendo en 1896 la expresi´ on Kλ (T ) = bλ−5 e−a/λT , con a y b constantes a determinar. Planck hizo un estudio de la interacci´on entre resonadores y campos electromagn´eticos. Usando consideraciones termodin´amicas, demostr´o en 1899 que la ley de distribuci´ on de Wien cumple el principio de m´axima entrop´ıa. Pero experimentos con detectores infrarrojos a principios de 1900, sensibles entre 12 y 18 µm, mostraron que la distribuci´on de Wien es inadecuada para longitudes de onda larga, lo que llev´o a la b´ usqueda de una generalizaci´on de la misma. El 19 de octubre de 1900 Planck present´o la expresi´on, Kλ =

cλ−5 , ea/λT − 1

la cual ajust´ o correctamente los datos experimentales, y cumple con el principio de m´ axima entrop´ıa. Esta expresi´on requiere que los intercambios de energ´ıa de los resonadores de Planck con el campo de radiaci´on se divida 11

en un n´ umero entero de elementos, o cuantos, de dimensiones ε = hν. En 1905, Rayleigh y Jeans mostraron por separado que el postulado cu´antico es incompatible con los principios cl´asicos, y que bajo el principio cl´asico de equipartici´ on de la energ´ıa la radiaci´on en equilibrio termodin´amico deber´ıa cumplir uλ (T ) = 8πkT /λ4 , la distribuci´on de Rayleigh-Jeans.

2.3.3.

Espectro de la radiaci´ on de cuerpo negro

La distribuci´ on espectral de la radiaci´on emitida por un absorbedor y emisor perfecto en equilibrio termodin´amico a una temperatura T est´a descrita por la funci´ on de Planck, comunmente denotada Bν (T ), dada por Bν (T ) ≡

2hν 3 /c2 , ehν/kT − 1

(2.24)

donde h ' 6.626 × 10−27 erg s es la constante de Planck. La radiaci´on de cuerpo negro es isotr´ opica y no depende de la constituci´on del objeto, m´ as all´ a de ser negro para toda frecuencia. La funci´on de Planck se muestra en la figura 2.5. Sus momentos pueden calcularse directamente bajo la consideraci´ on de isotrop´ıa. Intensidad media y densidad de energ´ıa La intensidad media es el promedio de la funci´on sobre el ´angulo s´olido por lo que, siendo Bν isotr´ opica, Jν = Bν (T )

⇒

Z ∞

J=

Jν (T )dν ≡ B(T ) =

0

σ 4 T , π

(2.25)

especificando tambi´en la integral sobre frecuencias, siendo σ = 2π 4 k 4 /15h3 c2 . La densidad de energ´ıa es uν =

4π 4π Jν = Bν (T ) c c

⇒

u(T ) = aT 4 ,

d´ onde a = 8π 5 k 4 /15c3 h3 ' 7.56 × 10−15 erg cm−3 K−4 es la constante de radiaci´ on, planteada por Stefan en 1879. La constante de Stefan-Boltzmann, definida en la ec. 2.25, es σ = ac/4 ' 5.67 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 . Flujo de energ´ıa Al ser la funci´ on de Planck isotr´opica, tenemos un flujo de energ´ıa nulo, Fν = 0. Sin embargo, al integrar sobre medio hemisferio, de acuerdo a la 12

relaci´ on 2.7, tenemos Fν+ = πBν (T ). Esto coincide con el c´alculo para una fuente puntual isotr´ opica. Si integramos sobre frecuencias obtenemos, F (T ) = πB(T ) = σT 4 .

(2.26)

Presi´ on de radiaci´ on Al tratarse de una emisi´ on isotr´opica, tenemos que la presi´on de radiaci´on est´ a dada por, pν = uν /3 , de d´onde p = aT 4 /3 . Esta es formalmente la ecuaci´ on de estado de un gas de radiaci´on. Distribuci´ on en longitud de onda La Planckiana es una distribuci´on de flujo por unidad espectral, descrita ya sea en frecuencias o longitudes de onda. Para expresar (2.24) en t´erminos de λ es necesario conservar el flujo en la banda espectral considerada, Bν dν = Bλ dλ . Dado que dν = −c dλ/λ2 , la forma de la distribuci´on de Planck en t´erminos de λ resulta ser: 2hc2 /λ5 Bλ (T ) = hc/λkT . (2.27) e −1 Comportamiento y punto m´ aximo La funci´ on de Planck es creciente con respecto a la temperatura: ∂Bν > 0. ∂T

(2.28)

A mayor temperatura es mayor la intensidad del cuerpo negro: el flujo total, dado por el ´ area bajo la curva, la cual proporcionalmente como T 4 . El m´ aximo de Bν corresponde a hν/kT = η, siendo η la soluci´on de η = 3(1 − e−η ) → η ' 2.821. Debido a la dependencia en λ−5 , el m´aximo de Bλ corresponde a λkT /hc = 1/ζ donde en este caso ζ es la soluci´on de ζ = 5(1−e−ζ ) → ζ ' 4.965. Esta relaci´on da lugar a la ley de desplazamiento de Wien, λmax T ≈ 0.2898 cm K . (2.29) Como ejemplo, el fondo de radiaci´on de microondas (Tcmb = 2.726±0.010 K) tiene sus m´ aximos de emisi´ on en λmax ≈ 1.06 mm y νmax ≈ 160 GHz.

13

Figura 2.5: La funci´ on de Planck, Bν (arriba) o Bλ (abajo). A la izquierda en unidades lineales y a la derecha en logar´ıtimicas. Las l´ıneas punteadas denotan las aproximaciones de Rayleigh-Jeans y de Wien. L´ımite de Rayleigh-Jeans Para hν/kT  1 la Planckiana tiende a la funci´on de Rayleigh-Jeans, Iν(RJ) (T ) =

14

2ν 2 kT , c2

(2.30)

derivada por Rayleigh y Jeans en 1905 bajo el principio cl´asico de equipartici´ on de la energ´ıa. Si la funci´on de Rayleigh-Jeans fuera correcta, un objeto a temperatura ambiente ser´ıa extremadamente brillante en el ultravioleta extremo, llevando a la divergencia de su integral sobre frecuencias, R ∞ RJ I dν → ∞, conocida en su momento como la cat´ astrofe ultravioleta. ν 0 L´ımite de Wien Para frecuencias grandes, definidas por hν/kT  1, la funci´on de Planck tiende a la funci´ on de Wien, Iν(w) (T ) =

2hν 3 −hν/kT e , c2

(2.31)

historicamente la primera descripci´on de la emisi´on de cuerpo negro. La funci´ on de Wien es integrable y cumple cualitativamente con la ley de desplazamiento, λmax T = constante; pero falla a frecuencias peque˜ nas donde predice incorrectamente Iν ∝ ν 3 . Para frecuencias altas la intensidad de la radiaci´ on de cuerpo negro decrece exponencialmente con ν. Temperaturas astrof´ısicas La funci´ on de Planck permite asignar un valor de temperatura a una medici´ on de flujo o intensidad, particularmente para fuentes resueltas angularmente, y valorar las condiciones f´ısicas del emisor. Los tres principales estimadores son: La temperatura de brillo, que se define a partir de la relaci´on Iν = Bν (Tb ) . La temperatura de brillo se especifica para una frecuencia determinada. En el r´egimen de Rayleigh-Jeans, de uso muy com´ un en radioastronom´ıa, la temperatura de brillo es una medida del flujo, Tb =

c2 Iν . 2ν 2 k

En radioastronom´ıa la intensidad se expresa frecuentemente como una temperatura de antena, que viene siendo el promedio de la temperatura de brillo sobre el haz de la antena mas el ruido instrumental, caracterizado con la temperatura de ruido. Dado que la temperatura de brillo es generalmente funci´ on de la frecuencia, no se le usa en el r´egimen de Wien, donde el flujo cambia r´apidamente con T . 15

La temperatura efectiva se define a partir del flujo integrado en el emisor, F = σ Te4 . El flujo medido se relaciona con el emitido mediante el tama˜ no angular de la fuente, Fobs = Fem ∆Ωobs /∆Ωem . Para una fuente isotr´opica ∆Ωem = π, mientras que ∆Ωobs = πδθ2 , siendo δθ el radio angular de la fuente observada. En el caso del Sol, Fobs = σ Te4 δθ2 corresponde con la constante solar, s ' 1367W/m2 . La temperatura efectiva es una medida del flujo integrado y se usa frecuentemente para describir tipos de estrellas. La luminosidad de una estrella est´ a dada por L∗ = 4πR∗2 σTe4 . Para el Sol Te ' 5770 K; una estrella roja tiene Te ' 3000 K, mientras que una estrella azul puede alcanzar Te ' 30 000 K. La temperatura de color se define a partir del espectro de cuerpo negro que mejor ajusta a los datos en consideraci´on, independientemente del flujo total.

2.3.4.

Ley de Kirchhoff y radiaci´ on t´ ermica

La ley de Kirchhoff, expresada inicialmente por la expresi´on (2.23), nos dice que para un cuerpo en equilibrio el cociente entre los coeficientes de emisi´on y absorci´ on est´ a dado por la funci´on de Planck, ν /αν = Bν (T ) ,

(2.32)

es decir Sν = Bν (T ). Esta relaci´on depende s´olo del equilibrio termodin´amico del medio, independientemente de las caracter´ısticas de la radiaci´on, descritas por Iν . Decimos que la radiaci´ on es t´ermica cuando Sν = Bν (T ). M´ as a´ un: podemos tener un medio estrictamente fuera de equilibrio termodin´ amico en el que las distribuciones estad´ısticas que describen al medio corresponden localmente con las de equilibrio termodin´amico. En ese caso se define la temperatura como un par´ametro local, T (~r), que cumple la condici´ on de equilibrio termodin´ amico local (ETL = LTE, en ingl´es). En este caso, la funci´ on fuente es la funci´on de Planck evaluada localmente, en t´erminos de coordenadas o de profundidad ´optica: Sν = Bν (T (~r)), o Sν = Bν (T (τν )).

16

En el caso de radiaci´ on t´ermica en el r´egimen de Rayleigh-Jeans, la ecuaci´ on de transferencia puede escribirse como dIν = −Iν + Bν (T (τν )) dτν

⇒

dTb = −Tb + T . dτν

(2.33)

Por un lado, se tiene que la emisi´on t´ermica es igual a la emisi´on de cuerpo negro si dIν = 0; lo cual se da para medios ´opticamente gruesos, τν → ∞. Para un medio en estricto equilibrio termodin´amico, T es independiente de τν , y la soluci´ on de la ecuaci´on de transferencia puede expresarse como una relaci´ on entre la temperatura de brillo y la del medio, Tb (τν ) = Tb (0) e−τν + T (1 − e−τν ) . La temperatura de brillo tiende a la del medio en el caso ´opticamente grueso.

2.4.

Los coeficientes de Einstein

La relaci´ on entre los coeficientes de emisi´on y absorci´on descrita por la ley de Kirchhoff proviene de una relaci´on m´as fundamental entre estos procesos a nivel microsc´ opico, la cual se cumple independientemente del equilibrio y se expresa a trav´es de relaciones entre coeficientes introducidos por Einstein. Los coeficientes de Einstein se derivan considerando un sistema cu´antico idealizado con dos niveles de energ´ıa: un nivel inferior 1, de energ´ıa E1 , peso estad´ıstico g1 , y poblaci´on n1 (num´erica o por unidad de volumen); y un nivel superior 2, de energ´ıa E2 , peso estad´ıstico g2 , y poblaci´on n2 . Las transiciones del nivel inferior al superior son mediante la absorci´on de un fot´ on de energ´ıa hν0 = E2 − E1 , y las transiciones del nivel superior al inferior son mediante la emisi´on de un fot´on de misma energ´ıa (Fig. 2.6). Siendo que estos sistemas no pueden permanecer indefinidamente en el nivel superior, el valor de E2 tiene una indeterminaci´on descrita por una funci´on φ(ν) que representa la probabilidad de emitir o absorber un fot´on de energ´ıa ν cercana a ν0 (figura 2.6). La funci´on est´a centrada en ν0 y el ancho natural de la misma est´ a dado por el principio de indeterminaci´on, ∆E∆t ≥ ¯h, siendo ∆E = h∆ν, y ∆t el tiempo t´ıpico de decaimiento desde el nivel 2. En la pr´ actica otros procesos pueden ensanchar la funci´on φ(ν), como por ejemplo la distribuci´ on de velocidades de las part´ıculas y la absorci´on de fotones en la frecuencia correspondiente a este efecto Doppler t´ermico, con p un ensanchamiento ∆ν ∝ ν0 kT /mc2 . Los procesos de interacci´on de este sistema con la radiaci´on son los mismos que considera la ecuaci´on de transferencia radiativa: 17

la emisi´ on espont´ anea, caracterizada por el coeficiente A21 que mide la probabilidad de transici´on por unidad de tiempo (s−1 ). La absorci´ on, que depende del flujo incidente de radiaci´on, dado por Jν para absorci´ on isotr´opica. La probabilidad de transici´on por absorci´ on queda en t´erminos del coeficiente B12 como B12 J¯ donde J¯ =

Z ∞

Jν φ(ν) dν , 0

representa el flujo de radiaci´on y la respuesta del sistema. El proceso de emisi´ on estimulada, que depende del flujo incidente de radiaci´ on de manera an´aloga al proceso de absorci´on: la probabilidad de transici´ on queda expresada en t´erminos de un coeficiente de misma ¯ forma, B21 J. Se dice que hay un equilibrio estad´ıstico si el n´ umero de transiciones 1 → 2 es igual al de transiciones 2 → 1, es decir n1 B12 J¯ = n2 B21 J¯ + n2 A21

⇒

J¯ =

A21 /B21 , n1 B12 /n2 B21 − 1

(2.34)

siendo ´esta una relaci´ on fundamental entre las poblaciones de los niveles y la intensidad de la radiaci´ on. Si adem´as se tiene el equilibrio termodin´amico, las poblaciones de los niveles se relacionan a trav´es de la ley de Boltzmann, n1 /n2 = (g1 /g2 )e−(E1 −E2 )/kT ,

Figura 2.6: Izquierda: sistema cu´antico de dos niveles ilustrando el proceso de emisi´ on espont´ anea, emisi´on inducida y absorci´on. Derecha: funci´on de probabilidad de que el sistema absorba o emita un fot´on de frecuencia ν. 18

de donde J¯ =

A21 /B21 . (g1 B12 /g2 B21 ) e−hν/kT − 1

(2.35)

Identificando esta expresi´ on con la ley de Kirchhoff, Jν = Bν , se obtienen las relaciones entre los coeficientes de Einstein: g1 B12 = g2 B21 ,

A21 =

2hν 3 B21 . c2

(2.36)

Estas son propiedades inherentes a los sistemas cu´anticos, independientes de las poblaciones de los niveles de energ´ıa, que relacionan de manera fundamental los procesos de emisi´on y de absorci´on. Este tipo de relaciones se denominan relaciones de balance detallado y pueden emplearse fuera de equilibrio termodin´ amico. Los coeficientes de emisi´on y absorci´on de estos sistemas vienen dados por ν =

hν φ(ν)n2 A21 , 4π

αν =

hν φ(ν) (n1 B12 − n2 B21 ) . 4π

(2.37)

El cociente entre los coeficientes de emisi´on y absorci´on es la funci´on fuente, que en el caso mas general viene dada por Sν =

n2 A21 2hν 3 /c2 = , n1 B12 − n2 B21 n1 g2 /n2 g1 − 1

(2.38)

independientemente de las condiciones f´ısicas del sistema. Si las poblaciones est´ an en equilibrio y se ajustan a la ley de Boltzmann, entonces tenemos emisi´ on t´ermica, Sν = Bν (T ), para ν alrededor de ν0 . Un caso radicalmente fuera de equilibrio es el de un sistema con una sobrepoblaci´on del nivel superior tal que n2 g2 < n1 g1 . El coeficiente de absorci´on es entonces negativo y la radiaci´ on incidente es amplificada de manera exponencial, Iν (s) = Iν (0)e|αν |s , dando lugar a un efecto maser. Esta emisi´on se observa en regiones con choques que provocan poblaciones de niveles lejanas al equilibrio termodin´ amico.

2.5.

Dispersi´ on

El proceso de dispersi´ on pura (scattering en Ingl´es) consiste en la absorci´on y re-emisi´ on isotr´ opica y coherente de radiaci´on. El t´ermino coherente indica que las distribuciones espectrales de la radiaci´on incidente y dispersada son

19

iguales. La dispersi´ on se describe mediante un coeficiente de dispersi´on3 , (d) αν , que cumple: (2.39) ν(d) = αν(d) Jν , donde Jν es la intensidad media de la radiaci´on. En el caso particular de dispersi´ on sin absorci´ on y sin emisi´on espont´anea tenemos Sν = Jν , y la ecuaci´ on de transferencia queda como: dIν = −αν(d) (Iν − Jν ) . ds

(2.40)

Dado que Jν es una integral de Iν , la ecuaci´on 2.40 es de tipo integro(d) diferencial y no es f´ acilmente soluble. El t´ermino αν Iν denota la fracci´on de radiaci´ on “interceptada” por el dispersor, la cual es re-emitida isotr´opi(d) (d) camente a trav´es del t´ermino αν Jν . N´otese que si αν depende de ν, la radiaci´ on de distribuci´ on espectral localmente, Iν (s) 6= Iν (0), aunque no lo haga en promedio, Jν (s) = Jν (0). Un ejemplo es la dispersi´on de Rayleigh en la atm´ osfera terrestre, funci´on creciente con la frecuencia, que resulta en un Sol enrojecido y un cielo azul. En el caso de radiaci´ on t´ermica podemos considerar la acci´on conjunta de dispersi´ on, absorci´ on y emisi´on espont´anea, distinguiendo el coeficiente de (a) absorci´ on como αν y suponiendo v´alida la ley de Kirchhoff para el t´ermino (a) (a) de absorci´ on, ν = αν Bν . La ecuaci´on de transferencia radiativa queda como:   dIν = − αν(a) + αν(d) (Iν − Sν ) , (2.41) ds quedando la funci´ on fuente redefinida como: (a)

Sν ≡

(d)

αν Bν + αν Jν (a)

(d)

.

(2.42)

αν + αν

(a)

La emisi´ on espont´ anea est´ a contenida en el t´ermino αν Bν , mientras que (a) la absorci´ on pura es αν Iν . Los t´erminos de dispersi´on son aquellos proporcionales a αν (d). A la suma de los coeficientes de dispersi´on y absorci´on, (a) (d) αν + αν se le denomina coeficiente de extinci´ on. Un ejemplo concreto de su empleo es la correcci´ on de datos fotom´etricos o espectrosc´opicos en el visible por extinci´ on debida a la atm´osfera terrestre.

3

(d)

Rybicki emplea σν , ν , aunque esta ya se introdujo para denotar la secci´ on eficaz.

20

2.6.

Atm´ osferas plano paralelas

Una atm´ osfera plano-paralela est´a estructurada a lo largo de una sola direcci´ on, que denominaremos zˆ (figura 2.7). Esta aproximaci´on es u ´til para el estudio de atm´ osferas delgadas en estrellas o planetas. Los tres casos que se presentan son: la deducci´ on de la ecuaci´on de difusi´on radiativa; la aproximaci´ on de Eddington, incluyendo el caso de una atm´osfera gris; y una soluci´ on para la transferencia de energ´ıa radiativa en atm´osferas plano-paralelas presentada por Simonneau.

2.6.1.

La ecuaci´ on de difusi´ on radiativa

La ecuaci´ on de difusi´ on radiativa se obtiene mediante la aproximaci´on de Rosseland, que a su vez nos conduce a una relaci´on entre el flujo de energ´ıa y el gradiente de temperatura de un medio. Se considera un medio planoparalelo estratificado cuyas propiedades f´ısicas dependen u ´nicamente de la coordenada z. En ese caso, la intensidad de la radiaci´on Iν es funci´on de z y de µ = cos θ, siendo θ el ´ angulo de la l´ınea de visi´on con la normal al plano del medio. Usamos ds = dz/µ , para escribir la ecuaci´on de transferencia como: ∂Iν (z, µ) µ = − (ανa + ανs ) (Iν − Sν (z)) . (2.43) ∂z

Figura 2.7: Geometr´ıa de una atm´osfera plano paralela. La estratificaci´on es vertical, a lo largo de la direcci´on z, mientras que la l´ınea de visi´on corresponde a ds = (±)dz/µ, con µ = cos θ.

21

El inverso de µ se denomina masa de aire. Podemos despejar Iν planteando una relaci´ on propicia para un proceso de iteraci´on, µ Iν = Sν − a αν + ανs



∂Iν ∂z



.

(2.44)

A orden cero despreciamos el cambio de la intensidad con la profundidad, (0) (0) (0) por lo que tenemos Iν (z, µ) = Sν (z). Dado que Sν no depende de µ, (0) (0) es isotr´ opica ⇒ Jν = Sν . Esto es particularmente v´alido para un medio (0) con emisi´ on t´ermica, Sν = Bν . La aproximaci´on de Rosseland consiste en suponer que la funci´ on fuente est´a dada por una superposici´on de funciones de Planck con T = T (z). Substituyendo en la ecuaci´on 2.44 obtenemos, a primer orden,   µ dBν (1) . (2.45) Iν = Bν − a αν + ανs dz Podemos entonces calcular el flujo de radiaci´on Z +1

2π dBν Fν (z) = 2π Iν (z, µ) µdµ = − a s α −1 ν + αν dz 4π dBν dT = − . a s 3(αν + αν ) dT dz

Z +1

µ2 dµ

−1

(2.46)

Si integramos sobre frecuencias obtenemos la ecuaci´on de difusi´on radiativa, F (z) = −

16σT 3 dT , 3αR dz

(2.47)

d´ onde, empleando las propiedades de la funci´on de Planck, definimos la opacidad de Rosseland como 1 ≡ αR

Z ∞  0

1 ανa + ανs



dBν dT



dν

 Z ∞ dBν 0

dT



dν .

(2.48)

La ecuaci´ on de difusi´ on radiativa describe el flujo de energ´ıa originado por un gradiente de temperatura. Esta relaci´on de particular utilidad en el estudio de interiores estelares.

2.6.2.

Aproximaci´ on de Eddington y atm´ osfera gris

La aproximaci´ on de Eddington para el an´alisis de atm´osferas estelares supone un flujo semi-isotr´ opico, permitiendo describir la intensidad como una funci´ on lineal de µ, Iν (τν , µ) = aν (τν ) + µ bν (τν ), 22

(2.49)

Figura 2.8: Trayectorias de rayos de luz provenientes del centro del Sol o del limbo. donde reemplazamos αν dz por dτν , la profundidad ´optica de la atm´osfera medida a lo largo de la vertical. Las funciones aν (τν ) y bν (τν ) se relacionan con los momentos de la intensidad espec´ıfica, es decir la intensidad media, el flujo de radiaci´ on y su presi´on 1 +1 c Iν dµ = uν = aν , 2 −1 4π Z +1 4π aν 2π Iν µ2 dµ = . c −1 3 c

Z +1

Z

Jν

=

pν

=

Fν = 2π

−1

Iν µdµ =

4π bν , 3

En particular se tiene que campos semi-isotr´opicos cumplen la misma relaci´ on entre densidad y presi´ on de radiaci´on que en el caso isotr´opico, 1 pν = uν . 3

(2.50)

Al substituir la aproximaci´ on (2.49) en la ecuaci´on de transferencia radiativa, µ(∂Iν /∂τν ) = Iν − Sν , se relacionan las funciones aν y bν con Sν . Entre las aplicaciones m´as conocidas de la aproximaci´on de Eddington est´ a la atm´ osfera gris, en la que la opacidad es independiente de la frecuencia, τν = τ . Trabajando con las funciones a y b integradas sobre frecuencia, y suponiendo un medio t´ermico, S = B = (σ/π)T 4 , podemos relacionar T = T (τ ) con la temperatura efectiva imponiendo la condici´on de que en la

23

frontera externa de la atm´ osfera, τ = 0, el flujo es solamente emergente e igual a F = σTe4 . Se obtiene 3σ 4 2 I(τ, µ) = , Te µ + τ + 4π 3 



3 2 T (τ ) = Te4 τ + . 4 3 

4



(2.51)

Vemos que T (0) ' 0.841Te y que T (τ ) = Te en τ = 2/3. De la forma completa para la intensidad (2.51) obtenemos la ley de oscurecimiento al limbo,   I(0, µ) 2 3 µ+ . (2.52) = I(0, 1) 5 3 Bajo las aproximaciones de Eddington y de atm´osfera gris, la intensidad en el limbo solar debe ser 0.4 veces la observada en el centro del disco del Sol.

2.6.3.

La soluci´ on de Simonneau para el espectro de una atm´ osfera plano-paralela

Edouard Simonneau (1981) presenta un tratamiento para estimar el espectro emergente de una atm´ osfera estelar, dado el coeficiente de opacidad κλ , en funci´ on de la longitud de onda4 . Para τλ  1, la ecuaci´on de transferencia puede escribirse como µ

∂Iλ = Iλ − Bλ (T (z)) ∂τλ

,

(2.53)

de donde podemos aproximar Iλ = Bλ + µ

dBλ . dτλ

(2.54)

Proponemos entonces para la intensidad en la superficie (τλ = 0) (

Iλ (0, µ) =

0 para µ < 0 . Bλ (0) + µ [dBλ /dτλ ]0 para µ ≥ 0

(2.55)

De donde calculamos el flujo en la superficie, Z +1

Fλ (0) = 2π

−1

Iλ µ dµ = πBλ (0) +

2π dBλ (0) . 3 dτλ

(2.56)

N´ otese que en una atm´ osfera plano-paralela el flujo integrado es constante, es decir independiente de z 5 . 4

siguiendo el tratamiento original usamos λ en vez de ν el flujo integrado es aproximadamente constante para una atm´ osfera delgada en una simetr´ıa esf´erica. 5

24

Procedemos a integrar sobre λ, tomando en cuenta las definiciones de opacidad media de Rosseland (ec. 2.48) y de Planck, κp =

1 B(T )

Z ∞ 0

κλ Bλ dλ ,

(2.57)

recordando αλ = ρκλ . Empleando la relaci´on entre el flujo y la temperatura efectiva, F = σTe4 ; y entre la integral de la Planckiana y la temperatura inicial, B(T0 ) = (σ/π)T (0)4 , se obtiene: F = πB(0) +

4π 3



κp B(0) κR 

⇒

T (0)4 =

Te4 . 1 + 4κp /3κR

(2.58)

Podemos ahora calcular la temperatura f´ısica en la superficie, T0 = T (0), en funci´ on de la temperatura efectiva, siempre y cuando podamos determinar κp (ρ, T ) y κR (ρ, T ). En el ejemplo particular de una atm´osfera gris, κλ = cte, tenemos κp = κR , de d´ onde T0 = (3/7)1/4 Te ' 0.8091 Te . Esta expresi´on se compara mejor con la soluci´on exacta, T0 ' 0.8112 Te , que la soluci´on de la aproximaci´ on de Eddington, T0 = Te /(2)1/4 ' 0.8409 Te . Conocida la temperatura al borde de la atm´osfera, podemos deducir el espectro emergente (ec. 2.56) evaluando la Planckiana y su derivada: (

ehc/λkT0 ehc/λkT0 − 1

κp Fλ = πBλ (0) 1 + 3κλ

!

hc λkT0

)

.

(2.59)

En el r´egimen de Rayleigh-Jeans Fλ ≈ πBλ (0) (1 + κp /3κλ ), siendo el espectro el de cuerpo negro en valores de λ donde el medio es opaco, κλ  κp . En la regi´ on de Wien, com´ unmente en el ultravioleta, κp Fλ ≈ πBλ (0) 1 + 3κλ 



hc λkT0



,

siendo Fλ ∝ Bλ (0)/κλ . La mayor incertidumbre para calcular el espectro ultravioleta radica en conocer κλ .

25