Capítulo 3

Transformada de Laplace 3.1.

Introducción

En general, una transformada integral es una asociación de la función Z K(s, t)f (t) dt F (s) = A

con la función f para alguna función fija K llamada núcleo y algún rango fijo A de integración. Tales operaciones son comunes en la física matemática. Así, la transformada de Fourier es una transformada integral con núcleo e−ist 2π Otra transformada integral común es la transformada de Laplace, con núcleo K(s, t) =

K(s, t) = e−st y rango (0, +∞). Las transformadas de Laplace tienen importantes aplicaciones en matemática pura y aplicada. Por ejemplo, son importantes en los problemas de valores iniciales que se refieren a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ya que en términos de las transformadas, los problemas pasan a ser problemas algebraicos. En esta sección introduciremos y estudiaremos primeramente la transformada de Laplace, desarrollando algunas de sus propiedades más básicas y útiles. Después veremos su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.

3.2.

Definiciones y ejemplos

Dada la función f : [0, +∞) → R, consideremos la variable real s y la función F definida por Z +∞ e−st f (t) dt (3.1) F (s) = 0

235

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

para todos aquellos valores de s para los que esta integral impropia es convergente. La función F definida por (8.2) se llama transformada de Laplace (o L−transformada) de la función f . En general, denotaremos tanto por L(f ) como por L[f (t)] la transformada de Laplace de f . De este modo, podemos escribir Z +∞

e−st f (t) dt

L[f (t)](s) =

0

El dominio de L(f ) es el conjunto de los valores de s ∈ R para los cuales existe la integral impropia. Se llama abscisa de convergencia de L(f ) al número real sc definido por sc = inf dom L(f ) Ejemplo 99 Determinar L(f ), sabiendo que f (t) = 1, para todo t ≥ 0. Solución: Aplicando la definición, para s > 0 se tiene Z +∞ e−st dt L[1](s) = 0 Z p e−st dt = l´ım p→+∞ 0 · −st ¸p e = l´ım − p→+∞ s 0 ¶ µ 1 1 e−sp − = = l´ım p→+∞ s s s Es claro que y

dom L(f ) = (0, +∞) sc = inf dom L(f ) = 0

Cuando s ≤ 0, la integral impropia es divergente.

Ejemplo 100 Calcular L(f ), sabiendo que f (t) = eat para todo t ≥ 0, donde a es una constante arbitraria. Solución: Aplicando la definición, para s > a se tiene Z +∞ at L[e ](s) = e−st eat dt 0 Z +∞ = e−(s−a)t dt 0 Z p e−(s−a)t dt = l´ım p→+∞

0

· −(s−a)t ¸p e = l´ım − p→+∞ s−a 0 ¸ · 1 e−(s−a)p 1 − = = l´ım p→+∞ s − a s−a s−a

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3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA

237

Es claro que dom L(f ) = (a, +∞) y sc = inf dom L(f ) = a Cuando s ≤ a, la integral impropia es divergente.

3.3.

Condiciones suficientes de existencia

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesaria2 mente. Por ejemplo, L[1/t] ni L[et ] existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L[f (t)] son que f sea continua a trozos y que sea de orden exponencial.

3.3.1.

Continuidad a trozos

Definición 23 Una función f se dice que es continua a trozos en un intervalo [a, b] si f es continua en cada punto del intervalo salvo posiblemente en un número finito de puntos en los que hay discontinuidad de salto, es decir, en cada uno de estos puntos existen los límites laterales pero son distintos. Una función f se dice continua a trozos en [0, +∞) si f es continua a trozos en [0, b] para todo b > 0. Ejemplo 101 Probar que la función f definida por  si 0 ≤ x < 1  x 2 si 1 < x < 2 f (x) =  (x − 2)2 si 2 ≤ x

es continua a trozos en el intervalo [0, 3]. ¿Es continua a trozos en [0, +∞)? Solución: Es claro que f es continua a trozos en [0, 3], pues f tiene sólo dos puntos de dicontinuidad de salto en dicho intervalo. En efecto, en x = 1 hay discontinuidad de salto ya que l´ım f (x) = l´ım+ 2 = 2

x→1+

x→1

y

l´ım f (x) = l´ım− x = 1

x→1−

x→1

y también en x = 2, pues l´ım f (x) = l´ım+ (x − 2)2 = 0

x→2+

x→2

y

l´ım f (x) = l´ım− 2 = 2

x→2−

x→2

En la figura siguiente se representa gráficamente la función f

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Es claro también que f es continua a trozos en [0, +∞), ya que f es continua a trozos en cualquier intervalo [0, b] para todo b > 0. Ejemplo 102 Probar que la función f definida por f (t) = 1/t no es continua a trozos en cualquier intervalo que contenga el origen. Solución: Es evidente que f tiene una discontinuidad asintótica en t = 0, pues 1 1 l´ım = +∞ y l´ım = −∞ t→0+ t t→0− t

Observación 33 Si una función es continua a trozos en un intervalo cerrado, entonces es integrable en dicho intervalo, ya que f posee a lo sumo un número finito de discontinuidades simples.

3.3.2.

Orden exponencial

Definición 24 Se dice que una función f es de orden exponencial si existe una constante α y constantes positivas t0 y M tales que |f (t)| ≤ M eαt para todo t > t0 . Observación 34 Si, por ejemplo, f es una función creciente entonces la condición |f (t)| ≤ M eαt

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3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA

239

para todo t > t0 , simplemente expresa que la gráfica de f en el intervalo (t0 , +∞) no crece más rápidamente que la gráfica de M eαt , donde ahora α es una constante positiva. 2 Por ejemplo, la función definida por f (x) = ex no es de orden exponencial ya que, como se muestra en la siguiente figura, su gráfica crece más rápidamente que cualquier eαx para α > 0.

2

Obsérvese también que la función ex no es de orden exponencial ya que 2

ex = l´ım ex(x−α) = +∞ x→+∞ eαx x→+∞ l´ım

para cualquier α ∈ R. Ejemplo 103 Probar que la función f (t) = e5t sin 2t es de orden exponencial. Solución: En efecto, se cumple ¯ ¯ 5t ¯e sin 2t¯ ≤ e5t

en donde las constantes de la definición son α = 5, M = 1 y t0 es cualquier número real positivo.

3.3.3.

Teorema de existencia

Se han definido los dos conceptos anteriores, continuidad a trozos y orden exponencial de una función, persiguiendo la convergencia de la integral que define la transformada de Laplace. Para una función f la continuidad a trozos asegura su integración, y el orden exponencial indica que su producto por e−st está

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240

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

acotado. Estas dos condiciones son suficientes para que exista la transformada de Laplace de una función. Teorema 60 Si la función f es continua a trozos en [0, +∞) y de orden exponencial α, existe su transformada de Laplace L[f (t)] para valores de s > α. Demostración: Necesitamos probar que la integral Z +∞ e−st f (t) dt 0

converge para s > α. Sabemos que Z +∞ Z t0 Z e−st f (t) dt = e−st f (t) dt + 0

0

+∞

e−st f (t) dt

(3.2)

t0

donde t0 ha sido elegido de manera que se cumple la desigualdad |f (t)| ≤ M eαt para todo t > t0 . La primera integral en (8.3) existe porque f es continua a trozos en [0, +∞) y, en consecuencia, e−st f (t) es continua a trozos en el intervalo [0, t0 ] para cualquier valor fijo de s. Para probar que la segunda integral en (8.3) es convergente, utilizaremos el criterio de comparación para integrales impropias. Puesto que f es de orden exponencial α, tenemos para t ≥ t0 |f (t)| ≤ M eαt y de aquí

¯ ¯ −st ¯e f (t)¯ = e−st |f (t)| ≤ M e−(s−α)t

para todo t ≥ t0 . Ahora bien, para s > α, se tiene Z +∞ Z +∞ M e−(s−α)t dt = M e−(s−α)t dt t0

t0

¸k · M e−(s−α)t − k→+∞ s−α to M = e−(s−α)t0 s−α =

l´ım

Al ser esta integral una mayorante convergente de Z +∞ e−st f (t) dt t0

por el criterio de comparación, esta última también es convergente para s > α. Finalmente, como las dos integrales en (8.3) son convergentes la transformada de Laplace existe para s > α.

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3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA

241

Observación 35 1. En realidad, no sólo hemos demostrado que L(f ) existe para s > α, sino que, además, también existe L(|f |) para s > α, es decir, que Z +∞ e−st f (t) dt 0

es absolutamente convergente para s > α. 2.

Hay que recordar que las condiciones para f descritas en las hipótesis del teorema no son necesarias para la existencia de L(f ). En otras palabras, existen funciones que no satisfacen las hipótesis del teorema y, en cambio, poseen transformada de Laplace. Por ejemplo, la función f definida por f (t) = t−1/2 no es continua a trozos para t ≥ 0 pero su transformada de Laplace existe.

Ejemplo 104 Comprobar la existencia de la transformada de Laplace de la función definida por   0 si 0 < t < 5 2 si 5 < t < 7 f (t) =  0 si t > 7

y calcularla. Solución: La función f satisface las condiciones del teorema 1. En efecto, la función es continua a trozos, ya que tiene dos discontinuidades de salto en t = 5 y t = 7, siendo además de orden exponencial pues cualquier función constante igual a k lo es, ya que k ≤ (k + 1) e0t para cualquier t ∈ R. Para hallar su transformada, descomponemos la integral de definición en los trozos en los que lo hace la función: L[f (t)](s) =

Z

+∞

e−st f (t) dt

0

=

Z

5 −st

e

f (t) dt +

0

= 2

Z

Z

7

e

−st

f (t) dt +

5

7

e−st dt 5

· −st ¸7 e = 2 − s 5 2 −5s − e−7s ) = (e s

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Z

+∞

e−st f (t) dt 7

242

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.4.

Tabla de transformadas de Laplace f (t)

L[f (t)](s)

1

1

1 s

2

eat

1 s−a

3

sin bt

b s2 +b2

4

cos bt

s s2 +b2

5

sinh bt

b s2 −b2

6

cosh bt

s s2 −b2

7

tn (n = 1, 2, ...)

n! sn+1

8

tn eat

n! (s−a)n+1

9

t sin bt

2bs (s2 +b2 )2

10

t cos bt

s2 −b2 (s2 +b2 )2

11

eat sin bt

b (s−a)2 +b2

12

eat cos bt

s−a (s−a)2 +b2

En la tabla anterior aparecen las transformadas de algunas funciones elementales. Es importante familiarizarse con esta tabla ya que aparecen muy a menudo. Los resultados de esta tabla pueden deducirse de la definción de la transformada de Laplace (ver ejemplo 7), aunque más adelante daremos algunas propiedades básicas de la transformada que permitirán deducir algunos de estos resultados de forma inmediata.

Ejemplo 105 Probar que n! sn+1

1.

L[tn ](s) =

2.

L[sin bt](s) =

(n = 1, 2, ...)

b s2 +b2

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE243 Solución: (1) Para s > 0, tenemos que Z +∞ L[tn ](s) = e−st tn dt 0

¸+∞ · Z 1 −st n n +∞ −st n−1 = − e t + e t dt s s 0 0 Z n +∞ −st n−1 = e t dt s 0 n n−1 L[t ](s) (n = 1, 2, ...) = s De aquí, por iteración se obtiene L[t](s) = 1s L[1](s) = L[t2 ](s) = 2s L[t](s) =

1 s2 2 s3

L[t3 ](s) = 3s L[t2 ](s) =

3! s4

.. . n n−1 ](s) s L[t

L[tn ](s) =

=

n (n−1)! s sn

=

n! sn+1

(2) Para s > 0, tenemos que Z +∞ L[sin bt](s) = e−st sin bt dt 0

=

l´ım

k→+∞

Z

k

e−st sin bt dt 0

· ¸k e−st − 2 (s sin bt + b cos bt) k→+∞ s + b2 0 · ¸ e−sk b − = l´ım (s sin bk + b cos bk) k→+∞ s2 + b2 s2 + b2 b = 2 s + b2 =

3.5. 3.5.1.

l´ım

Propiedades básicas de la transformada de Laplace L es un operador lineal

Teorema 61 Dadas dos funciones f y g cuyas transformadas de Laplace existen para s > α y sea c una constante real arbitraria. Se cumplen las dos

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244

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

propiedades siguientes: 1.

L(f + g) = L(f ) + L(g)

2.

L(cf ) = cL(f )

Demostración: La demostración es inmediata y se basa en utilizar la propiedades lineales de la integración. Observación 36 Según este teorema, entonces se cumple L(af + bg) = aL(f ) + bL(g) para todo a, b ∈ R. Ejemplo 106 Calcular L[11 + 5e4t − 6 sin 2t](s). Solución: Aplicando las propiedades lineales de L, para s > 4 tenemos £ ¤ £ ¤ L 11 + 5e4t − 6 sin 2t (s) = 11L [1] (s) + 5L e4t (s) − 6L [sin 2t] (s) 11 5 12 − = + s s − 4 s2 + 4

3.5.2.

Propiedades de traslación

No es conveniente usar la definición cada vez que queramos calcular la transformada de Laplace de una función. Por esto a continuación presentamos dos teoremas que permiten ahorrar trabajo a la vez que nos permiten construir una lista más extensa de transformadas sin que sea necesario recurrir a la definición. Teorema 62 Supongamos que f es una función tal que L(f ) existe para s > α y L [f (t)] (s) = F (s) Entonces, si a es cualquier número real, entonces £ ¤ L eat f (t) (s) = F (s − a)

para s > α + a. Demostración: Es inmediato ya que por la definición tenemos Z +∞ £ ¤ L eat f (t) (s) = e−st eat f (t) dt 0 Z +∞ = e−(s−a)t f (t) dt 0

= F (s − a)

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE245 Observación 37 Por consiguiente, si ya conocemos L[f (t)](s) = F (s) podemos calcular L [eat f (t)] (s) sin más que trasladar, o cambiar, F (s) por F (s − a). Ejemplo 107 Calcular L [eax sin bx] (s). Solución: Según el ejemplo 7, para s > 0 tenemos L [sin bt] (s) = F (s) =

b s2 + b2

De aquí, por el teorema 3, tenemos £ ¤ L eat sin bt (s) = F (s − a) =

para s > 0 + a = a.

b (s − a)2 + b2

Función escalón unitario o de Heaviside Definición 25 Se llama función escalón unitario o de Heaviside, la función H(x) definida por ½ 0 si x < 0 H(x) = 1 si x ≥ 0 y su gráfica es

Obsérvese que por traslación, la función puede mover su escalón a otra posición. Así H(x − a), denotada también como Ha (x), traslada su escalón a la posición x = a ½ 0 si x < a Ha (x) = H(x − a) = 1 si x ≥ a

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Al multiplicar la función escalón por un número k, puede cambiarse la altura del escalón k · Ha (x) =

½

0 k

si x < a si x ≥ a

Al multiplicar la función escalón k · Ha por una función f , hace cero la parte de f hasta la posición x = a y multiplica por k la parte restante. Así la función f definida por f (x) = H2π (x) sin x viene definida como sigue

f (x) =

½

0 si x < 2π sin x si x ≥ 2π

y su representación gráfica es

Ejemplo 108 Dibujar la gráfica de la función f (x) = x3 H(x − 2). Solución: Es evidente que la función es

f (x) =

½

0 x3

si x < 2 si x ≥ 2

y, por tanto, la gráfica de f es

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE247

Multitud de funciones con discontinuidad de salto pueden expresarse como combinación lineal de funciones escalón. Así por ejemplo, la función  si x < 2  3 −2 si 2 ≤ x < 5 f (x) =  1 si x ≥ 5 cuya gráfica es

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

puede expresarse en términos de la función escalón en la forma siguiente f (x) = 3 − 5H2 (x) + 3H5 (x) Transformada de la función escalón La trasformada de Laplace de la función escalón Ha para a ≥ 0 y s > 0, es L [Ha (t)] (s) = =

Z

+∞

e−st Ha (t) dt

0

Z

+∞

e−st dt

a

= − =

1 £ −st ¤+∞ e a s

e−as s

Obsérvese que L [H(t)] (s) = L [1] (s) =

1 s

ya que H(t) = 1 para t ≥ 0. Es sencillo ahora hallar la transformada de una función con discontinuidades de salto. En efecto, tomando como ejemplo la siguiente función  si 0 < t < 2  3 −2 si 2 ≤ t < 5 f (t) =  1 si t ≥ 5 entonces sabemos que puede expresarse como sigue

f (t) = 3 − 5H2 (t) + 3H5 (t) y, por tanto, tenemos L [f (t)] (s) = 3L [1] (s) − 5L [H2 (t)] (s) + 3L [H5 (t)] (s) 3 5 −2s 3 −5s − e + e = s s s para s > 0. En el teorema 3 vimos que al multiplicar una función por una exponencial, genera un cambio o traslación de la transformada. Con el próximo teorema veremos que cada vez que se multiplica la transformada por una función exponencial apropiada, la gráfica de la función no sólo se traslada sino que además una parte de la misma queda truncada. Teorema 63 Si a > 0, entonces L [Ha (t)f (t − a)] (s) = e−as L[f (t)](s)

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE249 Demostración: De la definición 1, tenemos Z

+∞

e−st Ha (t)f (t − a) dt 0 Z +∞ Z a = e−st · 0 dt + e−st f (t − a) dt 0 a Z +∞ −st = e f (t − a) dt

L [Ha (t)f (t − a)] (s) =

a

Mediante el cambio u = t − a se obtiene Z +∞ Z e−st f (t − a) dt =

+∞

e−s(u+a) f (u) du 0 Z +∞ −as = e e−su f (u) du

a

0

= e−as L[f (t)](s)

Por tanto, tenemos lo que queríamos probar. Ejemplo 109 Hallar la trasformada de la función g definida por ½ 0 si t < 3 g(t) = t si t ≥ 3 Solución: Para poder aplicar el teorema 4, definimos f como sigue ½ 0 si t < 0 f (t) = t + 3 si t ≥ 0 Entonces se cumple g(t) =

½

0 si t < 3 f (t − 3) si t ≥ 3

Expresamos ahora esta función en términos de la función escalón de la siguiente manera g(t) = H3 (t)f (t − 3) Aplicando ahora el teorema 4, tenemos L[g(t)](s) = L [H3 (t)f (t − 3)] (s) = e−3s L[t + 3](s) = e−3s [L[t](s) + 3L[1](s)] ¶ µ 3 1 −3s = e + s2 s

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ejemplo 110 Determinar la transformada de g(t) = t2 H1 (t). Solución: Para aplicar el teorema 4, observamos primero que ½ 0 si 0 < t < 1 g(t) = t2 si t ≥ 1 y definimos f (t) =

½

0 (t + 1)2

si t < 0 si t ≥ 0

Entonces, es evidente que g(t) =

½

0 si 0 < t < 1 f (t − 1) si t ≥ 1

o sea, g(t) = H1 (t)f (t − 1) Ahora, aplicando el teorema 4, tenemos L[g(t)](s) = L [H1 (t)f (t − 1)] (s) = e−s L[(t + 1)2 ](s) = e−s L[t2 + 2t + 1](s) ¶ µ 2 1 2 = e−s + + s3 s2 s

3.5.3.

Transformada de la derivada

Para resolver determinados tipos de ecuaciones diferenciales, necesitamos calcular expresiones como L [f 0 (t)] (s) o L [f 00 (t)] (s). En este apartado indicamos cómo se calculan estas expresiones. Teorema 64 Supongamos que f es una función continua en [0, +∞) y de orden exponencial α. Supongamos también que f 0 es continua a trozos en [0, +∞). Entonces existe L(f 0 ) para s > α y se cumple L[f 0 (t)](s) = sL[f (t)](s) − f (0)

(3.3)

Demostración: Por hipótesis, en cualquier intervalo [0, k] se cumple que f 0 posee a lo sumo un número finito de discontinuidades simples. Supongamos que t1 , t2 , ..., tm son tales discontinuidades y que se tiene 0 < t1 < t 2 < · · · < t m < k Podemos entonces escribir Z k Z t1 Z e−st f 0 (t) dt = e−st f 0 (t) dt + 0

0

t2

t1

e−st f 0 (t) dt + · · · +

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Z

k

tm

e−st f 0 (t) dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE251 El integrando de cada una de las integrales del segundo miembro es continuo, por lo que podemos integrar cada una por partes. De este modo, obtenemos Z

k

e−st f 0 (t) dt =

0

£ −st ¤t− e f (t) 01 + s +s

Z

t2

t1

Z

t1

£ ¤t− e−st f (t) dt + e−st f (t) t2+

(3.4)

1

0

£ ¤k− e−st f (t) dt + · · · + e−st f (t) t+ + s m

Z

k

e−st f (t) dt

tm

Puesto que f es continua en [0, +∞), se tiene + + − + − f (t− 1 ) = f (t1 ), f (t2 ) = f (t2 ), ..., f (tm ) = f (tm )

y, en consecuencia, de (8.1) deducimos Z

0

k

e−st f 0 (t) dt = −f (0) + e−st f (k) + s

Z

k

e−st f (t) dt

(3.5)

0

Ahora bien, por hipótesis, f es de orden exponencial α y, por tanto, existen constantes positivas M y t0 tales que |f (t)| ≤ M eαt o bien, e−αt |f (t)| ≤ M para todo t > t0 . Por lo tanto, en particular, se cumple e−sk |f (k)| ≤ M e−(s−α)k para k > t0 . De aquí, se deduce l´ım e−sk f (k) = 0

k→+∞

para s > α. Entonces, de (8.4) tenemos à Z +∞

e

0

−st 0

f (t) dt =

l´ım

k→+∞

−f (0) + e

= −f (0) + s

Z

−st

f (k) + s

+∞

e−st f (t) dt

0

= −f (0) + sL[f (t)](s) por lo que L[f 0 (t)](s) existe para s > α y se cumple (8.5). Ejemplo 111 Usando el hecho de que L [sin bt] (s) =

b s2 + b2

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Z

0

k

e

−st

!

f (t) dt

252

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

determinar L [cos bt] (s). Solución: Sea f (t) = cos bt, entonces f (0) = 1 y f 0 (t) = −b sin bt. De aquí, aplicando el teorema 5, tenemos L [f 0 (t)] (s) = sL [f (t)] (s) − f (0) L [−b sin bt] (s) = sL [cos bt] (s) − 1 b2 − 2 = sL [cos bt] (s) − 1 s + b2 De donde, 1 L [cos bt] (s) = s

µ

¶

b2 1− 2 s + b2

=

s2

s + b2

Gereralizamos ahora el teorema 5 y obtenemos el siguiente resultado. Teorema 65 Supongamos que f es de clase C n−1 en [0, +∞) y que f, f 0 , ..., f (n−1) son de orden exponencial α. Supongamos también que f (n) es continua a trozos en [0, +∞). Entonces, existe L(f (n) ) para s > α y se cumple h i L f (n) (t) (s) = sn L [f (t)] (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − · · · − f (n−1) (0)

Demostración: Se procede en primer lugar como en la demostración del teorema 5 para probar que L(f (n) ) existe para s > α y viene dada por L[f (n) (t)](s) = sL[f (n−1) (t)](s) − f (n−1) (0) Entonces, la prueba se completa por inducción.

Observación 38 Este teorema conduce al hecho por el cual la transformada de Laplace es una herramienta útil para tratar problemas de valores iniciales. En efecto, este teorema permite decir que al aplicar la transformada de Laplace podemos reemplazar la ”derivación respecto a t” por la ”multiplicación por s”, convirtiendo la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

3.5.4.

Transformada de la integral

Teorema 66 Si L(f ) = F (s), entonces L

·Z

0

t

¸ F (s) f (u) du = s

Demostración: Por definición ·Z t ¸ Z L f (u) du = 0

+∞

e−st 0

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µZ

0

t

¶ f (u) du dt

3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE253 Integrando por partes, haciendo Rt 0

f (t) = g 0 (t)

f (u) du = g(t) =⇒

=⇒ − 1s e−st = h(t)

e−st = h0 (t)

resulta L

·Z

t

0

¸ · ¸+∞ Z Z t 1 1 +∞ −st − e−st f (u) du = f (u) du + e f (t) dt s s 0 0 0 F (s) = s

Ejemplo 112 Calcular L

·Z

0

t

¸ cos t dt

Solución: Según el teorema 7, tenemos ·Z t ¸ L[cos t](s) L cos t dt = s 0 y, según el ejemplo 13, se tiene ·Z t ¸ L cos t dt = 0

3.5.5.

1 s2 + 1

Derivadas de la transformada

En el siguiente teorema veremos que la derivada de la transformada de f es la transformada de otra función g definida por g(t) = −tf (t). Teorema 67 Supongamos que f es una función continua a trozos en [0, +∞) y de orden exponencial α y, por tanto, existe su transformada que denotamos por Z +∞ F (s) = e−st f (t) dt (3.6) 0

Entonces, para s > α se cumple L [tn f (t)] (s) = (−1)n

dn F (s) dsn

y, en consecuencia, la transformada de f tiene derivadas de todos los órdendes para s > α.

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254

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Demostración: Puesto que la función subintegral en (8.6) y su derivada parcial respecto de s son continuas y Z +∞ e−st tf (t) dt 0

es convergente uniformemente para s > α, ya que f es de orden exponencial α. Entonces F es derivable en s > α y se cumple µZ +∞ ¶ Z +∞ d ∂f −st e−st f (t) dt = [e f (t)] dt ds ∂t 0 0 o de forma equivalente, Z +∞ dF e−st tf (t) dt (s) = − ds 0 = −L[tf (t)](s) Por el mismo razonamiento, también se cumple Z +∞ d2 F (s) = e−st t2 f (t) dt ds2 0 = (−1)2 L[t2 f (t)](s) Entonces, por inducción es inmediato comprobar que se cumple lo que queríamos probar. Ejemplo 113 Determinar L [t sin bt] (s). Solución: Según el ejemplo 7, se cumple que L [sin bt] (s) = F (s) =

s2

b + b2

Por derivación, tenemos dF 2bs (s) = − 2 ds (s + b2 )2 y de aquí, utilizando el teorema 8, se obtiene L [t sin bt] (s) = −

dF 2bs (s) = 2 ds (s + b2 )2

Ejemplo 114 Determinar L [bt cos bt + sin bt] (s). Solución: Evidentemente, · ¸ d L [bt cos bt + sin bt] (s) = L (t sin bt) (s) dt

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE255 Aplicando ahora el teorema 5, se obtiene · ¸ d L (t sin bt) (s) = sL [t sin bt] (s) dt Según el ejemplo 15, tenemos sL [t sin bt] (s) =

2bs2 (s2 + b2 )2

Por lo tanto, tenemos L [bt cos bt + sin bt] (s) =

3.5.6.

2bs2 + b2 )2

(s2

Límite en el infinito de la transformada

El siguiente resultado probará que hay funciones que no pueden ser transformadas de ninguna función. Teorema 68 Si una función f es continua a trozos para t ≥ 0 y de orden exponencial α, entonces l´ım L [f (t)] (s) = 0 s→+∞

Demostración: Al ser f de orden exponencial α, existen dos números reales positivos M y t0 tales que |f (t)| ≤ M eαt para todo t > t0 . De aquí, obtenemos e−st |f (t)| ≤ M e−(s−α)t De aquí, Z

0

+∞

e

−st

|f (t)| dt ≤

Z

+∞

M e−(s−α)t dt

(3.7)

0

· −(s−α)t ¸+∞ e = M − s−α 0 M = s−α

para s > α. Ahora bien, como ¯Z +∞ ¯ ¯ ¯ |L[f (t)](s)| = ¯¯ e−st f (t) dt¯¯ 0 Z +∞ ≤ e−st |f (t)| dt 0

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(3.8)

256

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

De (8.7) y (8.8), obtenemos |L[f (t)](s)| ≤

M s−α

(3.9)

para s > α. De (8.9), es evidente que l´ım |L[f (t)](s)| = 0

s→+∞

y, por tanto, l´ım L[f (t)](s) = 0

s→+∞

Ejemplo 115 Probar que la función F (s) = s2 no es la transformada de Laplace de ninguna función. Solución: Si existiera una función f tal que L(f ) = s2 entonces, según el teorema 9, debería ocurrir que el límite l´ım s2

s→+∞

sería cero lo que no es posible. Por tanto, no existe tal función.

3.5.7.

Transformada del cociente de una función por t

Teorema 69 Supongamos que f es una función con transformada L(f ) = F (s). Si existe f (t) l´ım t→0+ t entonces · ¸ Z +∞ f (t) L (s) = F (u) du t s Demostración: Definimos g de manera que f (t) = t · g(t) Entonces, según el teorema 8, tenemos F (s) = L[f (t)](s) = L[t · g(t)](s) dG = − (s) ds 0 = −G (s)

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3.5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE257 siendo G la función transformada de g. Entonces, por integración, tenemos Z s s F (u) du [G(u)]+∞ = − =

+∞ +∞

Z

F (u) du

s

es decir,

G(s) − l´ım G(s) = s→+∞

Ahora bien, según el teorema 9,

Z

+∞

F (u) du

s

l´ım G(s) = 0

s→+∞

y, por tanto,

·

¸ Z +∞ f (t) L F (u) du (s) = G(s) = t s Aunque no hemos usado la condición de que f (t) t existe, ésta es necesaria para que la transformada · ¸ f (t) L (s) t l´ım

t→0+

esté bien definida.

Observación 39 Es obvio que la expresión ¸ · Z +∞ f (t) (s) = F (u) du L t s

es equivalente a

Z

+∞

e−st 0

f (t) dt = t

Z

s

+∞

L[f (t)](u) du

Si ahora hacemos tender s a cero, se obtiene Z +∞ Z +∞ f (t) L[f (t)](u) du dt = t 0 0

Esta última expresión es válida para calcular integrales de esta forma siempre que existan. Por ejemplo, Z +∞ Z +∞ sin t L[sin t](s) ds dt = t 0 0 Z +∞ 1 = ds 1 + s2 0 = [arctan s]+∞ 0 π = 2

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258

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ejemplo 116 Calcular

¸ sin t (s) t Solución: Según el teorema 10, tenemos ¸ · Z +∞ sin t (s) = L[sin t](u) du L t s Z +∞ 1 = du 1 + u2 s L

·

+∞

= [arctan u]s π − arctan s = 2

3.5.8.

Transformada de una función periódica

Si una función real de variable real tiene período T , siendo T > 0, entonces f (t + T ) = f (t), para todo t ∈ R. El siguiente resultado prueba que la transformada de una función periódica puede obtenerse integrando sobre un período. Teorema 70 Sea f una función continua a trozos en [0, +∞) y de orden exponencial. Si f es periódica de período T , entonces Z T 1 L[f (t)](s) = e−st f (t) dt 1 − e−sT 0 Demostración: Es claro que Z L[f (t)](s) =

T

e−st f (t) dt +

0

Z

+∞

e−st f (t) dt

(3.10)

T

Haciendo el cambio t = u + T , la última integral en (4.12) se transforma en Z +∞ Z +∞ e−st f (t) dt = e−s(u+T ) f (u + T ) du T 0 Z +∞ = e−sT e−su f (u) du 0

−sT

= e

L[f (t)](s)

De aquí y (4.12), obtenemos L[f (t)](s) =

Z

0

T

e−st f (t) dt + e−sT L[f (t)](s)

y, por tanto, 1 L[f (t)](s) = 1 − e−sT

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Z

T

e−st f (t) dt 0

3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA

259

Ejemplo 117 Hallar la transformada de la función periódica f cuya gráfica es

Solución: En el intervalo [0, 2] la función puede definirse por ½ x si 0 ≤ x < 1 f (x) = 0 si 1 ≤ x < 2 y fuera del intervalo por f (x + 2) = x, es decir, su período es T = 2. Aplicando el teorema 11 e integrando por partes, tenemos Z 2 1 e−sx f (x) dx L[f (x)](s) = 1 − e−2s 0 ¸ ·Z 1 Z 2 1 −sx −sx e x dx + e 0 dt = 1 − e−2s 0 1 µ −s ¶ 1 1 − e−s e = − + 1 − e−2s s s2 −s 1 − (s + 1)e = s2 (1 − e−2s )

3.6.

La transformada inversa

La utilización práctica de la transformada de Laplace requiere no sólo el cálculo de la misma a partir de una función dada, sino también el problema inverso, es decir, encontrar una función f conocida su transformada de Laplace L(f ). En este apartado nos ocuparemos de este problema. Tres cuestiones se

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260

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

plantean inmediatamente: (1) Dada una función F , ¿existe siempre una función f cuya transformada sea F ? (2) Suponiendo que una tal función existe, ¿es única? (3) ¿Cómo se halla una tal función? En respuesta a la primera pregunta debemos decir NO necesariamente, ya que existen funciones F que no son transformadas de ninguna función f . En el ejemplo 17 hemos dado una función F con dicha propiedad. En relación a la segunda pregunta debemos decir NO necesariamente, pues dos funciones que difieran sólo en un punto tienen la misma transformada. En efecto, sabemos que la transformada de f (t) = t es F (s) = 1/s2 , pero también lo es de la función no continua g definida por ½ t si t 6= 1 g(t) = 0 si t = 1 ya que la transformada es una integral y el área a la cual equivale es la misma si la función es continua o si tiene un número finito de puntos de puntos de discontinuidad simples, que es lo que le sucede a g respecto a f . Puede comprobarse de la misma manera que la función ½ t si t 6= 2 h(t) = 0 si t = 2 lo es también. En consecuencia, se pueden elegir infinitas funciones diferentes. Sin embargo, obsérvese que de todas estas funciones una sola de ellas es continua. Esta es la razón del siguiente resultado que enunciamos sin demostración: Si f, g son dos funciones continuas en [0, +∞) tales que L[f (t)] = L[g(t)], entonces f (t) = g(t) para todo t ≥ 0. Este resultado justifica en parte la siguiente definición. Definición 26 Se llama transformada inversa de F , denotándose L−1 [F (s)], la única función continua f en [0, ∞) que satisface L [f (t)] (s) = F (s)

(3.11)

En el caso de que todas las funciones f que satisfacen (4.13) sean discontinuas en [0, +∞), elegiremos como transformada inversa una función continua a trozos en [0, +∞) que satisface (4.13). Observación 40 Es claro que a partir de las propiedades de la transformada de Laplace, pueden deducirse algunas propiedades básicas de la transformación inversa. Así, por ejemplo, es inmediato comprobar la linealidad de la transformada inversa L−1 [aF (s) + bG(s)] = aL−1 [F (s)] + bL−1 [G(s)] con tal que L−1 [F (s)] y L−1 [G(s)] existan y sean continuas en [0, +∞), siendo a, b ∈ R. Asimismo, tenemos · n ¸ d F L−1 (s) (t) = (−t)n f (t) dsn donde L−1 [F (s)](t) = f (t).

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3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA

261

Finalmente, consideremos la tercera cuestión. Suponiendo una única transformada inversa continua, ¿cómo podemos calcularla? El cálculo directo de transformadas inversas no será tratado aquí (En realidad, bajo ciertas condiciones la transformada inversa viene dada por otra integral que para evaluarla es necesario usar variable compleja). En su lugar, haremos uso de las propiedades de la transformada y de la tabla de transformadas o de cualquier otra más completa. Ejemplo 118 Calcular L−1 [F (s)], sabiendo que (1) F (s) =

2 s3

(2) F (s) =

3 s2 + 9

(3) F (s) =

s−1 s2 − 2s + 5

Solución: (1) Según la tabla de transformadas, se tiene · ¸ · ¸ 2 −1 −1 2! L (t) = L (t) = t2 s3 s3 (2) Según la tabla de transformadas, se tiene ¸ · · ¸ 3 3 L−1 2 (t) = L−1 2 (t) = sin 3t s +9 s + 32 (3) Según la tabla de transformadas, se tiene ¸ · · ¸ s−1 s−1 L−1 2 (t) = L−1 (t) = et cos 2t s − 2s + 5 (s − 1)2 + 22 Ejemplo 119 Calcular L−1 [F (s)], sabiendo que (1) F (s) =

s−3 25 + (s − 3)2

(2) F (s) =

10s 2 (s + 1)2

(3) F (s) =

Solución: (1) Recordando que L[cos 5t](s) =

s 25 + s2

y, según el teorema 3, tenemos L[e3t cos 5t](s) = Por tanto, L−1 (2) Observamos que

·

s−3 25 + (s − 3)2

¸ s−3 (t) = e3t cos 5t 25 + (s − 3)2

d ds

µ

5 s2 + 1

¶

=−

10s (s2 + 1)2

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1 s2 (s2 + 1)

(4) F (s) =

e−s s2

262

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

y L[5 sin t](s) =

s2

5 +1

Entonces, según el teorema 8, tenemos L[5t sin t](s) = Por tanto, L−1

·

10s + 1)

(s2

¸ 10s (t) = 5t sin t (s2 + 1)2

(3) Observamos que se cumple 1 s2 (s2

+ 1)

=

1 s − 2 s s +1

Como consecuencia, tenemos ¸ ¸ · · ¸ · 1 s −1 1 −1 L−1 (t) = L (t) − L (t) s(s2 + 1) s s2 + 1 Aplicando la tabla, se obtiene · L−1

¸ 1 (t) = 1 − cos t s(s2 + 1)

(4) Observamos que e−s s2

1 s2 −s = e L[t](s) = e−s

Según el teorema 4, tenemos e−s L[t](s) = L[H1 (t)(t − 1)](s) Por tanto L−1

·

¸ e−s (t) = H1 (t)(t − 1) s2

Transformaciones inversas de funciones racionales Para calcular las transformadas inversas de funciones racionales usaremos el método de descomposición de las mismas en fracciones simples. Sin embargo, para que podamos calcular la transformada inversa de una función racional F (s) =

p(s) q(s)

el grado de p ha de ser estrictamente menor que el de q, ya que según el teorema 9 toda transformada de Laplace ha de tender a cero cuando s tiende a infinito.

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3.6. LA TRANSFORMADA INVERSA

263

Ejemplo 120 Calcular L−1 [F (s)], sabiendo que (1) F (s) =

1 s3 + 5s2 + 2s − 8

(2) F (s) =

s+1 s2 (s + 2)3

(3) F (s) =

3s − 2 s3 (s2 + 4)

Solución: (1) En este caso la descomposición en fracciones simples es −1/6 1 1/15 1/10 = + + s3 + 5s2 + 2s − 8 s−1 s+2 s+4 Por tanto, por linealidad y la tabla de transformadas tenemos ¸ ¸ · · 1 −1 1 1 −1 (t) = L (t) L s3 + 5s2 + 2s − 8 15 s−1 ¸ ¸ · · 1 −1 1 −1 1 1 − L (t) + L (t) 6 s+2 10 s+4 1 t 1 −2t 1 = + e−4t e − e 15 6 10 (2) En este caso la descomposición en fracciones simples es −1/16 1/8 1/16 s+1 −1/4 = + 2 + + s2 (s + 2)3 s s s + 2 (s + 2)3 Por tanto, por linealidad y la tabla de transformadas tenemos · ¸ · ¸ · ¸ 1 −1 1 s+1 1 −1 1 L (t) + L (t) = − (t) L−1 2 s (s + 2)3 16 s 8 s2 ¸ · · ¸ 1 1 1 1 + L−1 (t) − L−1 (t) 16 s+2 4 (s + 2)3 1 1 1 1 = − + t + e−2t − t2 e−2t 16 8 16 8 (3) En este caso la descomposición en fracciones simples es 3s − 2 1/8 3/4 −1/2 − 18 s − 34 = + 2 + 3 + 2 s3 (s2 + 4) s s s s +4 Por tanto, por linealidad y la tabla de transformadas tenemos ¸ · · ¸ · ¸ · ¸ 1 −1 1 3 3s − 2 1 1 1 (t) = L (t) + L−1 2 (t) − L−1 3 (t) L−1 3 2 s (s + 4) 8 s 4 s 2 s ¸ ¸ · · 1 3 s 1 − L−1 2 (t) − L−1 2 (t) 8 s +4 4 s +4 1 3 1 1 3 = + t − t2 − cos 2t − sin 2t 8 4 4 8 8

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264

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.7.

La convolución de funciones

Definición 27 Sean f y g dos funciones continuas a trozos en [0, +∞), se define la convolución de f y g, denotándose por f ∗ g, a la función definida por Z t f (t − u)g(u) du (f ∗ g)(t) = 0

Ejemplo 121 Calcular la convolución de f y g, siendo f (t) = t y g(t) = t2 . Solución: t ∗ t2

= (f ∗ g)(t) Z t Z t = (t − u)u2 du = (tu2 − u3 ) du =

·

0

¸ 4 t

3

u tu − 3 4

0

4

=

0

t t4 t4 − = 3 4 12

La convolución de funciones, aunque es distinta a la multiplicación de dos funciones, satisface propiedades semejantes.

3.7.1.

Propiedades de la convolución

Teorema 71 Sean f , g y h tres funciones continuas a trozos en [0, +∞). Se cumplen las siguientes propiedades: 1.

f ∗g =g∗f

2.

f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)

3.

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

4.

f ∗0=0

Demostración: (1) En efecto, mediante el cambio v = t − u, tenemos (f ∗ g)(t) =

Z

0

t

f (t − u)g(u) du

Z 0 f (v)g(t − v) dv = − t Z t = g(t − v)f (v) dv 0

= (g ∗ f )(t)

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3.7. LA CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES

265

(2) En efecto, tenemos Z

t

f (t − u)(g + h)(u) du Z t Z t = f (t − u)g(u) du + f (t − u)h(u) du

(f ∗ (g + h)) (t) =

0

0

0

= (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t)

(3) Su demostración es análoga a la anterior. (4) Es obvio, ya que Z t (f ∗ 0)(t) = f (t − u) · 0 du = 0 0

3.7.2.

Transformada de la convolución

En el siguiente resultado veremos que es posible obtener la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones sin que se tenga que evaluar la integral. Teorema 72 Sean f y g dos funciones continuas a trozos en [0, +∞) y de orden exponencial α, y sea F (s) = L [f (t)] (s) y G(s) = L [g(t)] (s). Entonces L [(f ∗ g)(t)] (s) = F (s)G(s) para s > α, o de forma equivalente, L−1 [F (s)G(s)] (t) = (f ∗ g)(t) para t ≥ 0, es decir, la transformada inversa del producto de las transformadas de dos funciones es la convolución de las mismas. Demostración: Por definición de la transformada de Laplace, tenemos Z +∞ L [(f ∗ g)(t)] (s) = e−st (f ∗ g)(t) dt 0 µZ t ¶ Z +∞ −st = e f (t − u)g(u) du dt 0

0

Esta última integral puede expresarse como una integral iterada ¶ Z +∞ µZ t e−st f (t − u)g(u) du dt 0

(3.12)

0

y, en consecuencia, (4.14) es igual a la siguiente integral doble Z Z e−st f (t − u)g(u) dudt R1

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(3.13)

266

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

donde R1 es el recinto limitado por las rectas u = 0 y t = u

Ahora efectuamos el siguiente cambio de variables τ =t−u σ=u para transformar la integral doble (4.15). jacobiano ¯ ¯ 1 0 J = ¯¯ 1 1

(3.14)

El cambio de variables (4.17) tiene ¯ ¯ ¯=1 ¯

y transforma el recinto R1 del plano u, t en el primer cuadrante del plano τ , σ. Por lo tanto, la integral (4.15) se transforma en Z Z e−s(τ +σ) f (τ )g(σ) dσdτ (3.15) R2

donde R2 es el cuadrante definido por τ > 0 y σ > 0. Entonces, la integral doble (4.18) es igual a la siguiente integral iterada Z

+∞ 0

Z

+∞

e−s(τ +σ) f (τ )g(σ) dσdτ

0

pero esta integral puede expresarse en la forma siguiente Z

0

+∞

e−sτ f (τ ) dτ

Z

+∞

e−sσ g(σ) dσ = F (s)G(s) 0

Obsérvese que las integrales que hemos considerado son absolutamente convergentes para s > α y, por tanto, todas las operaciones que hemos realizado quedan justificadas. Observación 41 Cuando g(t) = 1 y G(s) = 1/s, el teorema de la convolución implica el teorema 7 ·Z t ¸ F (s) L f (u) du = s 0

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3.7. LA CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 122 Calcular L

·Z

t

¸ e sin(t − u) du (s) t

0

Solución: Según la definición 5, tenemos Z t et sin(t − u) du = et ∗ sin t 0

Por tanto L

·Z

t

0

¸ et sin(t − u) du (s) = L[et ∗ sin t](s)

Aplicando ahora el teorema 13, se tiene

L[et ∗ sin t](s) = L[et ](s) · L[sin t](s) 1 1 · 2 = s−1 s +1 1 = (s − 1)(s2 + 1) Ejemplo 123 Calcular −1

L Solución: Escribimos (s2

·

¸ 1 (t) (s2 + 1)2

1 1 1 = 2 2 2 + 1) s +1s +1

Puesto que L [sin t] (s) =

1 s2 + 1

del teorema 13 obtenemos · ¸ 1 −1 L (t) = sin t ∗ sin t (s2 + 1)2 Z t sin(t − u) sin u du = 0 Z 1 t = − [cos t − cos(t − 2u)] du 2 0 · ¸t sin(t − 2u) 1 = − u cos t + 2 2 0 sin t − t cos t = 2

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267

268

3.8.

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

La delta de Dirac

En diversos sistemas físicos es posible encontrar fuerzas de actuación muy intensa de duración muy corta. Es el caso de un golpe seco con un martillo, o el de una decarga eléctrica. Una manera formal de expresar mediante un modelo matemático este fenómeno puede ser por una función de valor cero excepto en un intervalo muy corto de tiempo, que es cuando actúa, y que su integral en dicho intervalo sea un número dado I, que será la magnitud de la fuerza. Las funciones de este tipo se llaman funciones de impulso siendo precisamente el valor I el impulso. En la siguiente figura se muestra una típica función de este tipo, donde el centro del impulso se ha situado en el origen. Su ecuación es la siguiente ½ I si |t| < t0 2t0 δ t0 (t) = 0 si |t| > t0

Desplazando a unidades a la derecha esta función, resulta la función ½ I si |t − a| < t0 2t0 δ t0 (t − a) = 0 si |t − a| > t0 que indica que el impulso se realiza en el punto t = a.

Si el valor de I es la unidad, la función se llama función de impulso unitario. En esta función el área encerrada dentro del rectángulo que indica la gráfica vale 1, es decir, se cumple Z +∞

−∞

δ t0 (t − a) = 1

Consideremos ahora distintas funciones de impulso unitario, centradas en t = a y con distinto tiempo de actuación.El límite de estas funciones de impulso unitario cuando t0 tiende a cero se llama delta de Dirac δ(t − a) = l´ım δ t0 (t − a) t0 →0

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3.8. LA DELTA DE DIRAC

269

Figura 3.1: La delta de Dirac δ no es una función en el sentido propio de la palabra, sino lo que se denomina una "distribución". Se caracteriza por las dos propiedades siguientes: 1. δ(t − a) = 2.

Z

½

0 si t 6= a +∞ si t = a

+∞

−∞

δ(t − a) dt = 1

De una forma más precisa, δ puede definirse como una funcional lineal (sobre una cierta clase de funciones continuas) mediante la expresión Z

+∞

f (t)δ(t − a) dt = f (a)

−∞

de la cual pueden deducirse las dos propiedades anteriores. Observación 42 Si la delta de Dirac fuera una función en el sentido habitual, entonces la propiedad (1) implicaría Z

+∞

−∞

δ(t − a) dt = 0

en lugar de (2). En la teoría de distribuciones o de funciones generalizadas, (2) no es una definición aceptable de δ, ni tampoco se habla de una función cuyos valores son +∞ y 0. Aunque esta teoría está fuera de nuestro alcance aquí, para nuestros propósitos es suficiente decir que la delta de Dirac se define en términos de su efecto o acción sobre cierta clase de funciones, es decir, como

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

una funcional. Para ver esto, supongamos que f es una función continua en R. Entonces, por el teorema del valor medio para integrales, se tiene Z +∞ Z a+t0 1 f (t)δ t0 (t − a) dt = f (t) dt 2t0 a−t0 −∞ 1 · 2t0 f (c) = 2t0 = f (c) en donde c es un valor intermedio del intervalo (a − t0 , a + t0 ). Cuando t0 tiende a cero, c ha de tender hacia a, de manera que tenemos Z +∞ Z +∞ f (t)δ(t − a) dt = l´ım f (t)δ t0 (t − a) dt t0 →0

−∞

=

−∞

l´ım f (c) = f (a)

t0 →0

A pesar de que hemos usado la definición intuitiva de la delta de Dirac δ(t − a) = l´ım δ t0 (t − a) t0 →0

para llegar

Z

+∞

−∞

f (t)δ(t − a) dt = f (a)

(3.16)

no obstante, este resultado es válido y se puede obtener de manera rigurosa. La expresión (4.20) puede tomarse como definición de la delta de Dirac y se la conoce como la propiedad de separación, ya que δ(t − a) tiene el efecto de separar el valor f (a) de los valores de f . Transformada de la delta de Dirac La transformada de la delta de Dirac se puede obtener enseguida a partir de la propiedad Z +∞

−∞

f (t)δ(t − a) dt = f (a)

En efecto, dado que δ(t − a) = 0 para t 6= a y tomando f (t) = e−st , entonces para a ≥ 0 tenemos Z +∞ Z +∞ −st e δ(t − a) dt = e−st δ(t − a) dt = e−as −∞

0

De aquí, para a ≥ 0, se tiene

L [δ(t − a)] (s) = e−as

que en el caso de ser a = 0, se tiene L[δ(t)](s) = 1 lo que destaca el hecho de que la delta de Dirac no sea una función ordinaria, ya que la transformada de Laplace de una función ha de tender a cero cuando s tiende a infinito.

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3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES271 Delta de Dirac y la función escalón Como consecuencia de la propiedad Z +∞ δ(t − a) dt = 1 −∞

y del hecho de que δ(t − a) sea cero para t < a y t > a, se tiene ½ Z t 0 si t < a δ(u − a) du = 1 si t > a −∞

(3.17)

= Ha (t)

Derivando ambos miembros de la igualdad (4.16) respecto a t, obtenemos δ(t − a) = Ha0 (t) De este modo hemos obtenido otra definición de la delta de Dirac.

3.9. 3.9.1.

Aplicación a la resolución de ecuaciones y sistemas diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Vamos a ver ahora cómo puede aplicarse la transformada de Laplace para resolver un problema de valores iniciales que consta de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes ½ a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t) = g(t) y(0) = c0 , y 0 (0) = c1 , ..., y (n−1) (0) = cn−1 Tomemos ahora la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación. Según el teorema 2, tenemos h h i i a0 L y (n) (t) (s) + a1 L y (n−1) (t) (s) + · · · + an L [y(t)] (s) = L [g(t)] (s) (3.18) Aplicando ahora el teorema 6 y usando las condiciones iniciales, sustituiremos las transformadas de las derivadas por las expresiones siguientes h i L y (k) (t) (s) = sk L [y(t)] (s) − c0 sk−1 − c1 sk−2 − · · · − ck−1 (k = 1, 2, ..., n)

Si designamos L [y(t)] por Y y L [g(t)] por G, la ecuación (4.19) se transforma en una ecuación algebraica en Y (s). Puesto que g es una función conocida, la función G, suponiendo que exista, puede determinarse y, en consecuencia, es una función conocida. Una vez se ha hallado Y (s), encontramos la solución única del problema de valores iniciales, mediante y(t) = L−1 [Y (s)] (t)

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

utilizando la tabla de transformadas. El procedimiento se resume como sigue: 1. Se toma la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación diferencial. Aplicando el teorema 6 y usando las condiciones iniciales, se obtiene una ecuación algebraica cuya incógnita es Y (s). 2. Se resuelve la ecuación algebraica así obtenida para determinar Y (s). 3. Una vez hallada Y (s), se toma la transformada inversa y se utiliza la tabla de transformadas para determinar la solución y(t) del problema de valores iniciales dado. Ejemplo 124 Resolver ½

y 0 (t) − 3y(t) = e2t y(0) = 1

Solución: Primero aplicamos la transformada a cada miembro de la ecuación diferencial dada, £ ¤ L [y 0 (t)] (s) − 3L [y(t)] (s) = L e2t (s)

Luego usamos que

L [y 0 (t)] (s) = sL [y(t)] (s) − y(0) = sY (s) − 1

y

Por lo tanto, tenemos

£ ¤ L e2t (s) =

1 s−2

sY (s) − 1 − 3Y (s) = (s − 3)Y (s) = Y (s) =

1 s−2 s−1 s−2 s−1 (s − 2)(s − 3)

Mediante la descomposición en fracciones simples, se obtiene ¸ ¸ ¸ · · · −1 s−1 2 (t) = L−1 (t) + L−1 (t) L−1 (s − 2)(s − 3) s−2 s−3 = −e2t + 2e3t

luego se tiene y(t) = L−1

·

¸ s−1 (t) (s − 2)(s − 3)

= −e2t + 2e3t

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3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES273

3.9.2.

Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables

De la misma forma pueden obtenerse soluciones a problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables. Ejemplo 125 Resolver ½

y 00 (t) + 2ty(t) − 4y(t) = 1 y(0) = y 0 (0) = 0

(3.19)

Solución: Tomando la transformada a ambos miembros de la ecuación se obtiene L [y 00 (t)] (s) + 2L [ty 0 (t)] (s) − 4L [y(t)] (s) = L [1] (s) Por los teoremas 6 y 8, tenemos d (L[y 0 (t)](s)) ds d = − (sL[y(t)](s) − y(0)) ds d = − (sY (s)) ds = −sY 0 (s) − Y (s)

L [ty 0 (t)] (s) = −

y L [y 00 (t)] (s) = s2 L[y(t)](s) − sy(0) − y 0 (0) = s2 Y (s) Sustituyendo estos resultados en la ecuación (4.21), tenemos s2 Y (s) − 2sY 0 (s) − 6Y (s) =

1 s

o bien, 3 s 1 Y 0 (s) + ( − )Y (s) = − 2 s 2 2s que es una ecuación lineal de primer orden cuya solución es Y (s) =

c 1 2 1 + e4s s3 s3

La constante c puede determinarse recordando que toda transformada de Laplace ha de tender a cero cuando s tiende a infinito. Esto es posible sólo cuando c = 0. Por tanto, resulta 1 Y (s) = 3 s Luego · ¸ t2 1 y(t) = L−1 3 (t) = s 2

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3.9.3.

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Ecuaciones íntegro-diferenciales

Mediante el teorema de la convolución es posible también hallar la solución de algunos tipos de ecuaciones en las que la función incógnita aparece bajo el signo de integral como, por ejemplo, Z t f (t) = g(t) + f (u)h(t − u) du 0

siendo g y h dos funciones conocidas. Estas ecuaciones se llaman íntegrodiferenciales. Ejemplo 126 Resolver y(t) +

Z

t

0

(t − u)y(u) du = t

Solución: Primero observamos que Z t (t − u)y(u) du = t ∗ y(t) 0

Tomando ahora transformadas a ambos miembros de la ecuación, se tiene L [y(t)] (s) + L [t ∗ y(t)] (s) = L [t] (s)

(3.20)

Por el teorema de la convolución, tenemos L [t ∗ y(t)] (s) = L[t](s) · L[y(t)](s) Y (s) = s2 Sustituyendo este resultado en (4.22), tenemos Y (s) +

Y (s) 1 = 2 2 s s

De donde resulta Y (s) = Por lo tanto −1

y(t) = L

3.9.4.

·

1 1 + s2

¸ 1 = sin t 1 + s2

Sistemas lineales con coeficientes constantes

Cuando se especifican condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un sistema lineal de ecuaciones algebraicas.

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3.9. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES275 Ejemplo 127 Resolver 2x0 (t) + y 0 (t) − y(t) = t x0 (t) + y 0 (t) = t2

¾

sujeto a x(0) = 1, y(0) = 0. Solución: Designamos por X e Y las transformadas de x e y, respectivamente. Tomando transformadas a ambos lados de cada ecuación, se tiene ¾ 2L[x0 (t)](s) + L[y 0 (t)](s) − L[y(t)](s) = L[t](s) L[x0 (t)](s) + L[y 0 (t)](s) = L[t2 ](s) Entonces, como L[x0 (t)](s) = sL[x(t)](s) − sx(0) = sX(s) − 1 L[y 0 (t)](s) = sL[y(t)](s) − sy(0) = sY (s) L[t](s) = s12 L[t2 ](s) = s23 el sistema queda como sigue 2(sX(s) − 1) + sY (s) − Y (s) = sX(s) − 1 + sY (s) = o bien 2sX(s) + (s − 1)Y (s) = 2 + sX(s) + sY (s) = 1 +

1 s2 2 s3

1 s2 2 s3

¾

¾

(3.21)

Multiplicando la segunda ecuación (4.23) por −2 y sumando, resulta (−s − 1)Y (s) = de donde Y (s) =

1 4 − 3 s2 s

4−s s3 (s + 1)

Descomponiendo en fracciones simples, obtenemos 4−s 4 5 5 5 = − 2+ 3− + 1) s s s s+1

s3 (s Por tanto,

¸ 4−s (t) y(t) = L s3 (s + 1) ¸ · ¸ · ¸ · ¸ · 1 2 1 −1 1 −1 −1 −1 = 5L (t) − 5L (t) (t) + 2L (t) − 5L s s2 s3 s+1 −1

·

= 5 − 5t + 2t2 − 5e−t

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CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

De la segunda ecuación de (4.23), se tiene X(s) = −Y (s) +

1 2 + s s4

de donde se deduce · ¸ · ¸ 2 1 3! + L−1 4 s 3! s 1 = −5 + 5t − 2t2 + 5e−t + 1 + t3 3 1 = −4 + 5t − 2t2 + t3 + 5e−t 3

x(t) = −L−1 [Y (s)](t) + L−1

Por consiguiente, la solución del sistema dado es x(t) = −4 + 5t − 2t2 + 13 t3 + 5e−t y(t) = 5 − 5t + 2t2 − 5e−t

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