UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE EL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERIA LICENCIATURA EN INGENIERIA ELECTRÓNICA

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Por Toluca México a 27 de junio de 2001 Índice 1.−Introducción 1.1.−Objetivo ..................................................................................................................... 3 1.2.−Definición de Transformada de Laplace..................................................................... 3 1.3.−Definición de Transformada Inversa de Laplace......................................................... 3 2.−Unicidad de la Transformada inversa de Laplace 2.1.−Funciones Nulas.......................................................................................................... 3 2.2.−Teorema de Lerch......................................................................................................... 4 3.−Propiedades de la Transformada inversa de Laplace 3.1.−Propiedad de Linealidad.............................................................................................. 4 3.2.−Primera propiedad de traslación.................................................................................. 4 3.3.−Segunda propiedad de Traslación................................................................................ 4 1

3.4.−Propiedad de cambio de Escala................................................................................... 5 3.5.−Transformada inversa de Laplace de derivadas........................................................... 5 3.6.−Transformada inversa de Laplace de integrales.......................................................... 5 3.7.−Multiplicación por sn................................................................................................... 6 3.8.−División por s.............................................................................................................. 6 3.9.−Propiedad de Convolución.......................................................................................... 6 4.−Métodos para hallar la transformada inversa de Laplace 4.1.−Método de las fracciones parciales.............................................................................. 7 4.2.−Método de las series.................................................................................................... 7 4.3.−Método de la inversión compleja................................................................................ 8 4.4.−Fórmula del desarrollo de Heaviside................................................................ 9 5.−Aplicaciones 5.1.−Ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes............................... 9 5.2.−Uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos................................. 10 6.−Conclusiones............................................................................................................................ 11 7.−Bibliografía............................................................................................................................... 11 1.− Introducción 1.1.−Objetivo El objetivo de el presente es comprender la teoría y las aplicaciones de la transformada inversa de Laplace, así como también encontrar y entender la relación entre ésta y la teoría de variable compleja 1.2.−Definición de la Transformada de Laplace Sea F(t) una función de t definida para t > 0. La transformada de Laplace de F(t), denotada por , se define como: Se dice que la transformada de Laplace de F(t) existe cuando la integral anterior converge para algún valor de s; de otra manera, se dice que no existe. 1.3.−Definición de Transformada inversa de Laplace Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s) , es decir si = f(s) , entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa como. Ejemplo:

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como: se puede escribir: 2.−Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace 2.1.−Funciones Nulas. Si N(t) es una función de t tal que para todo t > 0 N(t) se llamará una función nula. En situaciones prácticas, las funciones nulas son funciones constantes. Si tomamos en cuenta las funciones nulas, vemos que la transformada de Laplace no es única. Por ejemplo si consideramos: & Vemos que las dos funciones diferentes tienen la misma transformada de Laplace es decir Sin embargo es única cuando trabajamos con funciones no nulas. Podemos establecer entonces lo siguiente: 2.2.−Teorema de Lerch: Si consideramos solamente las funciones f(t) que son continuas a trozos en cada intervalo y de orden exponencial para t > N, entonces la transformada inversa de Laplace de f(s), es decir , es única. Aceptaremos siempre esta unicidad a menos que se establezca lo contrario. 3.−Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace 3.1.− Propiedad de linealidad Teorema. Si c1 & c2 son constantes arbitrarias y f1(s) & f2(s) son las transformadas de Laplace de F1(t) & F2(t) respectivamente, entonces: = Ejemplo: De Tablas de la transformada inversa de Laplace: Decimos entonces que la transformada inversa de Laplace es lineal o que tiene propiedad de linealidad. 3.2.− Primera propiedad de traslación Teorema. Si , entonces: Ejemplo: Como , tenemos que: 3.3.− Segunda propiedad de Traslación Teorema. Si , entonces:

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Ejemplo: Como , entonces: 3.4.− Propiedad del cambio de escala. Teorema. Si , entonces: Ejemplo: Como , tenemos que: 3.5.− Transformada inversa de Laplace de las Derivadas. Teorema. Si , entonces : Ejemplo: Como & , tenemos que: ó 3.6.− Transformada inversa de Laplace de integrales. Teorema. Si , entonces: Ejemplo: Como , tenemos que: 3.7.− Multiplicación por s n. Teorema. Si & F(0) = 0, entonces: Ejemplo: Como & , entonces Esto se puede generalizar para: , cuando n = 2,3,4... 3.8.− División por s. Teorema. Si , entonces: Ejemplo: Como: , tenemos que: 3.9.− Propiedad de la Convolución. Teorema. Si & , entonces:

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F * G se llama la convolución de F & G ó F convolución G. Ejemplo: Puesto que: & , tenemos: 4.−Métodos para hallar la Transformada inversa de Laplace 4.1.−Método de las fracciones parciales. Cualquier fracción racional , donde P(s) & Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s) , puede escribirse como una suma de fracciones racionales de la forma: , donde r = 1,2,3... Ejemplo. Hallar: Multiplicando a ambos miembros por (s−1) , y haciendo que tenemos que además: Para determinar B & C le damos a s los valores de 0 & 2 , por ejemplo tenemos: , Donde C = 1 & B = −2, Tenemos entonces que: 4.2.−Método de las series. Si f(s) tiene un desarrollo en serie de potencias de los recíprocos de s dado por : Entonces, dentro de algunas condiciones podemos invertir término a término para llegar a: Ejemplo. Hallar : Desarrollando en una serie infinita encontramos que: Invirtiendo término a término: 4.3.− Método de la inversión compleja. Si entonces: está dada por: para t > 0 y F(t) = 0 para t <0. Este resultado se llama la inversión integral compleja o fórmula de inversión integral compleja. O la fórmula integral de Bromwich. La integración se realiza a lo largo de un segmento s = del plano complejo, donde s = x+iy . El real se escoge de tal forma que s + quede a la derecha de todas las singularidades (polos, puntos de ramificación o singularidades esenciales); aparte de esta condición, es arbitraria. En la práctica, la integral de la fórmula de la inversión compleja se calcula mediante la integral curvilínea:

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donde C es el contorno de la siguiente figura: Ejemplo. Hallar : Por el método de la inversión compleja y evaluando la integral de Bromwich usando residuos. residuos de en los polos s = −1 & s = 2 Ahora, el residuo de el polo s = −1 es: y el residuo en el polo de orden 2 s = 2 es : = Entonces: = " residuos = 4.4.−Fórmula del desarrollo deHeaviside. Sean P(s) & Q(s) polinomios de los cuales P(s) es de grado menor que Q(s) & Q(s) tiene n diferentes ceros en k , k = 1,2,3,...,n Entonces: Ejemplo. Hallar: Tenemos que , , , , , . Entonces la inversa es: 5.−Aplicaciones 5.1.−Ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes supongamos por ejemplo que queremos resolver la ecuación diferencial de segundo orden: donde & son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera: , . Donde A & B son constantes dadas. Tomando la transformada de Laplace a cada lado de la ecuación diferencial y usando las condiciones de frontera obtenemos una ecuación algebraica para determinar . La solución requerida se obtiene al calcular la transformada inversa de Laplace de y(s) . Este método se puede extender fácilmente a ecuaciones diferenciales de orden superior. 5.2.−Uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos. Sea una función de excitación dada por: la cual, junto con la expresión para la transformada inversa , establece una correspondencia uno a uno entre v(t) & V(s). Es decir, para toda v(t) para la cual V(s) existe, esta V(s) es única. De esta manera se establece una poderosa herramienta para la solución de circuitos .

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Ejemplo. Considérese el siguiente circuito:

i(t) ! Se supondrá que había energía almacenada en el capacitor antes de t = 0−, de tal forma que v(0+) = 9 V. Solución: Primero se escribe la ecuación de malla : Con el objeto de utilizar el teorema de integración, el límite inferior debe ajustarse para que sea 0− . Entonces se escribe: Por lo tanto: A continuación se obtiene la transformada de Laplace en ambos lados de esta ecuación. Considerando que , donde u(t) es la función escalón unitario, entonces de tablas de la transformada de Laplace hallamos que: Y despejando I(s) : Hallando la transformada inversa en ambos lados y considerando que & además: se obtiene inmediatamente el resultado: 6.−Conclusiones: Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la solución de circuitos con funciones de excitación en escalón unitario, las cuales son un poco complicadas si se analizan por los métodos convencionales. También es importante hacer notar que con el uso de la transformada de Laplace se tiene un método generalizado para la solución de este tipo de problemas, incluso para funciones de excitación compleja. 7.−Bibliografía. a).−La transformada de Laplace. Serie Shuam. Spiegel b).−Variable compleja con aplicaciones. Wunsh. 7

c).−Análisis de circuitos en ingeniería. McGraw Hill. Hayt/Kemmerly

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