UN MODELO DE ENSEÑANZA PARA EL TEOREMA DE TALES CON GEOMETRIA DINAMICA Eugenio Filloy Yangue

Erika barquera Pedraza

Vicente Carrión Velázquez

CINVESTAV

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Planteamiento En esta investigación se aborda un modelo de enseñanza con el uso del Cabri, es un estudio experimental que se está realizando con niños de quinto y sexto grado de primaria en el Centro Escolar Hermanos Revueltas en el curso escolar 2006 –2007, 2007-2008, al mismo tiempo se aplicará a niños del Valle del Mezquital para el curso escolar 2007-2008, 20082009 con el objetivo de explorar cuales son las competencias necesarias para utilizar el teorema de Tales. Cuyo objetivo se refiere observar las obstrucciones naturales a la utilización de un sistema matemático de signos (SMS) en el que se puede presentar las nociones de variación proporcional geométrica, el análisis se centra en los alumnos cuando se les presenta que simulen la demostración del teorema de tales. Concerniente a las dos lecturas posibles, en dos SMS diferentes, Filloy (1999) concluye que una es irreducible a la otra. Una lectura se hace con el modelo de SMS geométrico y otro SMS aritmético. Todo ello usando la noción de significado, contrastándola con la de sentido de un texto que utiliza un SMS determinado. Vamos a explorar la idea teórica de que la adquisición de nuevas competencias en la matemática elemental se puede considerar como el producto de la modificación de conceptos, acciones y procedimientos de SMS cuyas competencias ya son dominadas en algún grado. Wittgenstein (1964) acerca de lo que él piensa sobre el pensamiento matemático; nosotros, aquí, sólo estaremos presentando algunos procesos cognitivos que se desarrollan durante su aprendizaje y por ende su enseñanza. Así, al observar cómo se aprende matemáticas, se presenta que siempre se están formando nuevas reglas al encontrar nuevos caminos que extiendan redes conceptuales anteriormente desarrolladas. Un aspecto medular de este punto de vista es la idea de sentido en contraste con la de significado, cuando se habla de SMS estratificados. Filloy (1999) sostiene que las obstrucciones naturales que se presentan y la importancia que todo esto tiene para que los números racionales se expandan a un SMS estratificado, donde los signos numéricos tengan como referentes, tanto a las fracciones que se utilizan en el SMS de la aritmética elemental, como a los signos geométricos que denominamos razones entre magnitudes continuas. A partir de esos resultados, se puede observar, de manera nítida, que hasta que un usuario no tenga una correcta interpretación de todos los conceptos que están involucrados en el teorema de similaridad, aglutinados en los estratos de un

nuevo SMS, el usuario no puede contar con nociones estables, con las cuales pueda operar y establecer relaciones de orden, que pueda usar de la misma manera como lo hace con los SMS más primitivos, utilizados en las representaciones de los números racionales que se introdujeron, anteriormente, con el uso competente del SMS de la aritmética elemental. Con el modelo de enseñanza con el uso de cabrí se observará si se llega a las mismas conclusiones. Marco teórico El marco teórico elegido para analizar y diseñar modelos de observación experimental que desentrañen las relaciones entre los actores de los fenómenos de comunicación en un aula con tecnología para la enseñanza es el de los Modelos teóricos locales (Filloy, 1990; 1999). En todo proceso de enseñanza y aprendizaje de un contenido matemático o científico hay cuatro elementos esenciales: el sujeto que enseña, el sujeto que aprende (o los sujetos que aprenden), el conocimiento matemático puesto en juego, y la comunicación que establecen los sujetos involucrados. Cuando el conocimiento, a ser enseñado y aprendido, está mediado por un entorno computacional cambian las relaciones entre estos elementos. Esto se debe al hecho de que la interacción de los sujetos (alumnos y maestro) con la computadora y entre los sujetos mismos está mediada por la interpretación simbólica de la información dada a través de un mismo sistema de representación: el del ambiente computacional. Desde la perspectiva de los Modelos Teóricos Locales es necesario explicitar, para cada proceso de enseñanza y aprendizaje, la manera en que entendemos cada uno de los elementos del proceso; es decir, debemos definir: el modelo de enseñanza usado, el modelo de procesos cognitivos con el cual se interpreta el comportamiento del sujeto que aprende, el modelo que describe en el nivel formal al conocimiento matemático en cuestión, y el modelo de comunicación con el cual se interpreta el intercambio de mensajes que realizan los sujetos. La perspectiva teórica de los Modelos Teóricos Locales permite observar fenómenos didácticos específicos considerando las cuatro componentes señaladas, sin privilegiar ninguno de los enfoques de análisis posibles, como el gramatical, el representacional o el conceptualista. La propuesta de los Modelos teóricos locales hace énfasis sobre el significado dado por el uso. Se sabe que cuando los estudiantes se enfrentan a problemas nuevos, problemas para los cuales el conocimiento de que disponen no es suficiente, generan estrategias y códigos personales en un intento de encontrar la solución a partir del conocimiento de que disponen, generando nuevos significados para este conocimiento previo y nuevas maneras de representar las nuevas acciones que realizan. (Filloy y Rojano, 1989; Filloy, Rojano y Solares, 2002; Solares, 2002). Es en estos procesos de generación de estrategias y códigos que se generan a su vez significaciones intermedias del conocimiento matemático puesto en juego. Para estudiar el significado pragmático del conocimiento matemático es necesaria

una herramienta de análisis que permita abordar los textos que producen los alumnos cuando están enfrentando problemas nuevos. Usaremos la noción semiótica de los Sistemas matemáticos de signos (Filloy, 1990; 1999) para llevar a cabo este análisis. La construcción de un Modelo teórico local para el estudio de un fenómeno didáctico específico requiere la definición de los estratos del Sistema Matemático de Signos en cuestión, los estratos más concretos, los intermedios y los más abstractos1. A su vez, la definición de estos estratos requiere la definición de sus características sintácticas, semánticas y pragmáticas2, en términos de su naturaleza de sistemas de signos. En un salón de clases están siempre presentes estratos de distintos niveles de abstracción que dependen de las tendencias cognitivas (Filloy y Rojano, 1984; 1989; Filloy, 1991), de los antecedentes de los estudiantes y del modelo de enseñanza. En un aula con tecnología están presentes los estratos del Sistema Matemático de Signos de los estudiantes y del profesor, y de los sistemas (matemáticos) de signos de los entornos interactivos computacionales empleados. La noción semiótica de Sistema Matemático de Signos nos permite abordar los fenómenos de comunicación en el aula a partir de la consideración de la producción y la descodificación de textos matemáticos que hacen los sujetos. Estos textos son producidos mediante la combinación de materias de la expresión heterogéneas manifestada en la presencia de textos de segmentos de lenguaje natural, algebraico, figuras geométricas, diagramas, códigos personales, etc. Aunque estos segmentos proceden de sistemas de signos que tienen sus propias reglas de producción de textos, su combinación en los textos matemáticos conlleva la combinación de las reglas de los lenguajes entre sí, de modo que los textos matemáticos son producidos desde Sistemas Matemáticos de Signos regidos por reglas nuevas, creadas a partir de las reglas de los distintos lenguajes que incorpora (Filloy, 1999). Los Sistemas Matemáticos de Signos son producto de un proceso de abstracción progresiva, ya sea en la historia de las matemáticas o en la historia personal de los sujetos. 1

Decimos que un estrato M es más abstracto (Filloy, 1999; p.78, 79) que otro L si dos “textos” T y T’, producidos tanto en M como en L, son “equivalentes” en M pero no en L; es decir, pueden ser elaborados mediante las mismas acciones, procedimientos y conceptos en M pero no en L. Esta definición depende de T y T’. 2 De manera muy general, se entiende por sintaxis el estudio de las diversas combinaciones de signos que dan lugar a combinaciones de ellos que tienen la propiedad de estar “bien formadas”. La semántica investiga, de un modo más bien abstracto, de qué tratan los signos; es decir, las relaciones de los signos con aquello que constituye su interpretación, aunque al margen de los contextos específicos en que los signos son usados por los usuarios, aspecto que corresponde a la pragmática (Acero et. al., 1985).

Este proceso de abstracción hace que los sistemas que se usan estén formados por estratos provenientes de distintos momentos del proceso. La interpretación de los textos matemáticos o, dicho más precisamente, la lectura/transformación de un texto matemático/espacio textual matemático (Talens y Company, 1984; Puig, 1997) puede hacerse usando distintos estratos del Sistema Matemático de Signos, recurriendo a conceptos, acciones o propiedades, que están descritos en algunos de los estratos. Desde la perspectiva teórica de los Sistemas Matemáticos de Signos, se puede decir que hay un proceso de comunicación cuando los sujetos utilizan las posibilidades proporcionadas por un Sistema Matemático de Signos para la producción de textos matemáticos. Estos procesos de producción requieren procesos de significación, con reglas (la componente discursiva) que deberán ser tomadas en cuenta por la componente cognitiva de la producción de signos matemáticos. Es de interés para este proyecto de investigación observar la adquisición de nuevas competencias de producción de textos que se da con la expansión de Sistemas Matemáticos de Signos intermedios a nuevos sistemas que los contienen. Estas expansiones de estratos corresponden a procesos de abstracción en los cuales, durante un proceso de enseñanza y aprendizaje, un alumno que era incapaz de transformar un texto T en un texto T’ mediante un Sistema Matemático de Signos L modifica el estrato del sistema en el que están descritos los medios de transformación (acciones, conceptos y propiedades de acciones y conceptos) creando un nuevo Sistema Matemático de Signos M más abstracto en el cual los textos T y T’ se identifican como equivalentes. Finalmente, esta perspectiva teórica permite definir un Modelo de Enseñanza como un conjunto de secuencias de textos matemáticos Tn cuya producción y descodificación por parte del aprendiz le permitirá interpretar todos los textos Tn en un Sistema Matemático de Signos más abstracto cuyo código hace posible descodificar los textos Tn como mensajes con un código matemático socialmente bien establecido, el que estaba propuesto por las metas educacionales del Modelo de Enseñanza. En este proyecto de investigación interesa aborda el análisis de la adquisición de las competencias de producción y descodificación de las secuencias de textos, consideradas competencias de comunicación en el aula con tecnología para la enseñanza de matemáticas y ciencias.

Metodología Los elementos teóricos introducidos permiten diseñar observaciones experimentales pertinentes para el estudio de los fenómenos de comunicación en un aula con tecnología. El esquema (1) describe el desarrollo de la experimentación.

Implementación de un sistema para una enseñanza controlada

Modelo Teórico Local

Elección de la población a estudiar dentro del sistema de enseñanza controlada Aplicación de una evaluación diagnóstica a la población seleccionada para medir su eficiencia en el uso de los SMS que se consideran estratos más concretos del nuevo SMS más abstracto. Clasificación de la población en estratos o perfiles según el desempeño en el diagnóstico

Análisis e interpretación de las entrevistas realizadas

Elección de un subgrupo de la población en el que estén presentes las distintas clases a observarse en entrevista clínica

Estudio de casos: observación, mediante entrevista clínica individual videograbada, de los sujetos del subgrupo elegido

El problema en la perspectiva de un Nuevo Modelo Teórico Local y diseño de éste

Esquema 1. Desarrollo de la experimentación.

En este proyecto de investigación se llevará a cabo un estudio longitudinal con grupos de alumnos de 10 a 16 años de edad (de 5º y 6º grados de primaria y 1º, 2º y 3er grados de secundaria, un grupo por grado) en un aula equipada con diferentes piezas de tecnología especializada para la enseñanza de las matemáticas y la modelación matemática en ciencias. En ambos casos se trabajará con actividades diseñadas específicamente para el estudio de los fenómenos de comunicación, que se abordarán de acuerdo con un modelo de aprendizaje colaborativo, en un ambiente de enseñanza controlada y de acuerdo a los currículos correspondientes a matemáticas y ciencias, cubriendo temas de: aritmética, geometría, pre-álgebra, matemáticas de la variación y el cambio, y modelación matemática en ciencias (este último no está incluido de manera explícita en el currículo vigente). La recolección de datos propuesta para este proyecto incluirá: ˙ Notas de campo y video-grabación de clases con el uso de tecnología. ˙ Entrevistas clínicas video-grabadas. ˙ Producciones de los estudiantes, realizadas con los distintos medios a su disposición: papel y lápiz, los ambientes computacionales interactivos, y las exposiciones y discusiones grupales usando el pizarrón electrónico y el equipo de cómputo en red.

Se llevará a cabo un análisis cualitativo de los datos (según Miles y Hubermann, 1990), para lo cual el material video-grabado será trascrito y clasificado, a fin de producir un registro sistemático del mismo.

Las herramientas tecnológicas a las que se recurrirá son: Software: ˙ Cabri- Géomètre. Este entorno didáctico permite cerrar la brecha entre percepción y geometría, proponiendo un micromundo para la enseñanza de la geometría con manipulación directa. ˙ LXR Test. Este programa permite el control y la evaluación del avance de los estudiantes en red y de manera instantánea. Hardware: ˙ Red de cómputo (10 computadoras PC). Con los siguientes programas instalados: Cabri- Géomètre, y LXR Test. ˙ Pizarrón electrónico (Smart Board). Montado para trabajar en red. ˙ View Screen (para calculadoras), retroproyector y scanner. Para las presentaciones y discusionesgrupales. Se distribuirán las actividades a los diferentes grupos de alumnos, cada grupo de dos o tres personas trabajará con una de las computadoras, los grupos intercambiarán los resultados ya sea vía la red interna, en sesiones de discusión general o por medio de presentaciones al resto del grupo escolar, en las cuales se hará uso del pizarrón electrónico. MODELO DE ENSEÑANZA A continuación, presentamos, como una serie de Textos escritos, un posible Modelo de Enseñanza a la introducción del Teorema de Tales sobre la semejanza y la proporcionalidad de figuras rectilíneas. El modelo está organizado a partir de una sucesión de Textos matemáticos llamados Temas (aquí se presentan nueve). Esto permite una mayor interactividad entre el texto y los lectores. Los conceptos son presentados a partir de situaciones concretas, creando todos los elementos para su generalización y presentación en abstracto. Sólo entonces, se requerirá que el estudiante se enfrente a multitud de nuevas situaciones concretas; una vez resueltas éstas, se le estimulará a resolver ejercicios. La imaginación, aquí ligada a la visión, permite utilizar los hechos conocidos para resolver los nuevos problemas geométricos que se van presentando.

Se comienza reflexionando sobre los conceptos básicos y las maneras como éstos se van entretejiendo para desembocar en nociones y resultados más complejos. Se tratan los resultados elementales acerca de paralelismo y perpendicularidad. La congruencia será el tema principal usado en otras lecciones, mientras que la semejanza se desarrolla al final. Una vez P

R

Con la opción POLÍGONO REGULAR

construye un triángulo equilátero PQR. Q

Ahora, mide cada uno de los ángulos en los vértices P, Q, R. ve a la herramienta de medición y selecciona “medida de ángulo” toca tres de los vértices y te va a dar la medida del vértice que tocaste en medio, realiza lo mismo para las otras dos. ¿Cuánto mide cada uno?

________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ Si arrastras el vértice P, ¿Qué le ocurre al triángulo?

________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________

Dibuja dos triángulos equiláteros de diferente tamaño pero con los mismos ángulos ¿crees que sea posible? ___________________________________________________________________ Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has realizado. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los triángulos equiláteros anteriores. _________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Ahora dibuja tres triángulos que tengan el mismo ángulo y diferente medida: Triángulo 1 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________ Triángulo 2 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________ Triángulo 3 sus ángulos son: _______________ cada uno de sus lados mide: ___________ Dibújalas. ACTIVIDAD 12 A

Triángulos semejantes Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.

C

B

Mide cada uno de los ángulos en los vértices A,B,C. ¿Cuánto mide cada uno? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Si arrastras el vértice A, ¿Qué le ocurre al triángulo? ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Ahora dibuja dos triángulos con los mismos ángulos pero sus lados de tamaño distinto, colócale cuales son las medidas de sus lados y cuáles de sus ángulos. B

A

B

C

C

A

Cuál es el nombre de los triángulos:___________________________________________________ ¿Tienen sus ángulos iguales?____________________________________________________ ¿Por qué? _________________________________________________________________ Ahora dibuja dos triángulos que tengan el mismo ángulo y diferente medida de los dos triángulos:

¿Los tres triángulos que tienes en está hoja porque no son iguales? ___________________ ¿Qué condiciones deben cumplir para que lo sean? _________________________________ ___________________________________________________________________________ En el archivo que tienes en Word, contesta las preguntas como lo realizaste en las hojas y las figuras que realizaste en Cabrí, selecciona con la flechita y copia, pega en Word y guardas. ACTIVIDAD 13 Triángulos semejantes Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes. A

E

B C

D

¿Cuántos triángulos observas? _______________________________________________________ Escribe sus vértices: __________________________________________________________ Escribe cuánto mide cada uno de sus vértices, con ayuda de la herramienta “medida de ángulo”

Triángulo 1

triángulo 2

Ángulo ABC = __________

Ángulo EBD = ____________

Ángulo BCA= ___________

Ángulo BDE = ____________ F

PUNTO

H G

Busca la herramienta “recta paralela” ….. Toca primero el punto y después el segmento FG. obtienes esto.

Y

F

PUNTO

H G

Ya tienes dos triángulos semejantes, mide sus ángulos y vas a comprobar que _________________ ________________________________________________________________________________ En ese mismo triángulo dibuja otro triángulo… ¿Se puede? ________________________________

ACTIVIDAD 14 Triángulos semejantes Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.

Se cuenta que Thales de Mileto (aprox. 611-545 a.C), uno de los "siete sabios de Grecia", utilizando la semejanza resolvió dos problemas: calculó la altura de una pirámide en Egipto determinó la distancia de una embarcación a la costa

A

R

¿Cómo crees que utilizó la semejanza para el calculo de las piramides? T

Vamos a construir un triángulo como el que se observa en la imagen:

B

a). Mostrar ejes y rejillas.

V

S

b). Hacer un triángulo equilátero ABC, esto quiere decir que tiene un ángulo de 90º.

Para hacer los otros, coloca un punto como se muestra en la figura:

A A

punto punto

B

C B

c). Ve a la quinta ventana y selecciona “recta paralela” toca el punto y después el segmento AB.

C

C

c). Hacemos el otro triángulo, con el mismo procedimiento. A

punto

punto

C

B

¿Cuántos triángulos semejantes podemos hacer? _______________________________________ ¿Por qué? ___________________________________________________________________ ¿Cuántos triángulos observas? _______________________________________________________ Escribe sus vértices: ___________________________________________________________ Escribe cuánto mide cada uno de sus ángulos, con ayuda de la herramienta “medida de ángulo” Triángulo 1

triángulo 2

triángulo 3

De acuerdo a la clase anterior, podemos observar que los lados de los triángulos son: ________________________________________________________________________________ Los ángulos de los tres triángulos son: _________________________________________________ ¿Por qué? _______________________________________________________________________ En el mismo triángulo que tienes dibuja otros dos triángulos semejantes, ¿es posible? ________________________________________________________________________________ ¿Por qué? _______________________________________________________________________

ACTIVIDAD 15

Triángulos semejantes Propósito: Descubrir, a partir de triángulos distintos, los triángulos semejantes.

Con ayuda de tú transportador mide los ángulos de los triángulos:

¿Cómo se llama el triángulo? ________________ ¿Por qué? _______________________________ ¿Cuánto mide el ángulo a? ___________ ¿Cuánto mide el ángulo b?___________

a

¿Cuánto mide el ángulo c? ___________ ¿Cómo se llama el triángulo? _________ ¿Por qué? ________________________ ¿Cuántos triángulos hay? ________________________

- Señala cada uno de ellos colocándole una letra en cada uno de sus vértices. TRIÁNGULO 1 sus vértices son: _______________________________ TRIÁNGULO 2 sus vértices son:________________________________

b

c

TRIÁNGULO 3 sus vértices son:________________________________ TRIÁNGULO 4 sus vértices son:________________________________ TRIÁNGULO 5 sus vértices son:________________________________ - Con ayuda de tus escuadras y transportador construye cinco triángulos semejantes. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? ________________________________________ ¿Cómo son estos triángulos entre sí? _____________ ¿Por qué? _____________________ Ahora puedes prender la computadora, abrir cabrí y hacer los triángulos. ¿Cómo se te hace más sencillo hacer los triángulos, con Cabrí ó con escuadras y transportador?_________________________ ¿Por qué? ___________________________ Actividad 16 I Con ayuda de tu transportador mide cada uno de los ángulos: ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

II Construye tres triángulos semejantes al siguiente triángulo, mide los ángulos con tú transportador para comprobar que son semejantes.

III. Otra forma de saber si son triángulos semejantes es:

8 cm 4 cm

11 cm 22 cm

Si nos dividimos las medidas de los lados, de los dos triángulos tenemos:

8 = 22 4 = 11 ¿Cuál es el resultado de las divisiones? Por ello podemos decir que los triángulos son semejantes. IV. Mide los lados de los siguientes triángulos y comprueba que son semejantes:

V. Con tus escuadras y transportador realiza tres triángulos semejantes, mide sus ángulos y mide los lados para dividirlos. Actividad 17 I Contesta lo que se te pide: ¿Qué debes de tomar en cuenta para saber si los dos triángulos son semejantes? _________________________________________________________________________ Con tus escuadras y transportador, mide los siguientes triángulos y escribe lo que consideraste para ver sin son semejantes:

¿Son semejantes? _____________ ¿Por qué?____________

II Construye dos triángulos semejantes y mide los ángulos con tú transportador 1.- Construye líneas paralelas, con tus escuadras:

Al colocar de esta manera la regla y la escuadra estamos haciendo una línea paralela, el un ángulo mide 90º 90º Realiza dos triángulos semejantes, utilizando tus escuadras: III. ¿Son triángulos semejantes?

Dibuja los tres triángulos con el programa de Cabri y comprueba que son semejantes.

ACTIVIDAD 18 Triángulos semejantes I Comprueba si los triángulos son semejantes 8 cm

3 cm

13 cm

5 cm

5 cm 8 cm

¿Los triángulos son semejantes?______________________________ ¿Por qué? _______________________________________________

II Mide los ángulos del siguiente triángulo y realiza uno que sea semejante.

III. Mide los lados de los siguientes triángulos y comprueba que son semejantes: A

X

M

B

Y

N

C

¿Cómo lo realizaste? ______________________________________ IV. Utiliza el programa Geometer Sketchpad y realiza dos triángulos semejantes. Actividad 19 Evaluación I Contesta lo que se te pide: ¿Qué debes de tomar en cuenta para saber si dos triángulos son semejantes? ________________________________________________________________________________ A

B

C

¿Cuántos triángulos miras?________________________ ¿Son semejantes? __________________ ¿Por qué? _______________________________________________________________________ ¿Qué consideraste para saber si son semejantes?________________________________________

II Utilizando tus escuadras y trasportador realiza dos triángulos semejantes ¿Los triángulos que realizaste son semejantes?__________________________________________ ¿Por qué? __________________________________________________________________ III Utiliza tus escuadras ¿Dibuja como utilizas las escuadras para hacer rectas paralelas? ¿Qué ángulos se forman entre las rectas paralelas? ______________________________________ IV. Con el programa de Cabri realiza dos triángulos semejantes Mide sus ángulos y sus lados. V. Entrega las hojas y contesta a las preguntas que te van a realizar los observadores (Pasan a una mesa con distintos triángulos manipulables, se les pide que seleccionen tres triángulos semejantes para observar sus procedimientos de selección, visual, ángulos, lados)

Resultados La investigación esta planeada para tres años, se encuentra a un año de la aplicación, en donde se parte de un examen de diagnostico, y el diseño de actividades pensadas en la utilización con Cabrí, cada una de ellas con un objetivo especifico, encaminadas a las rectificaciones de las respuestas erróneas a preguntas tales como: “Compara la razón entre lo subido y lo avanzado en A con la razón entre lo subido y lo avanzado en B ”.

¿Cuál es la relación entre las razones y ¿Son iguales o es una mayor que la otra?

?

La respuesta “natural” dada es que la segunda era mayor dado que AA'< BB' y OA'< OB'. Conclusiones Para los estudiantes involucrados en este estudio, el sentido es conferido, en el nuevo SMS, por la utilización de nuevos signos de las maneras que los requieren cada uno de los pasos del proceso de análisis y resolución, visto todo el sistema de signos ligado por la concatenación de acciones desencadenadas por el proceso de solución de las diversas situaciones problemáticas que, con anterioridad, se consideraban irreducibles unas a las otras y que, ahora, gracias al uso del nuevo SMS, se resuelven con procesos que se

establecen como los mismos, esto es, se transfieren de la resolución de un problema a otro, convirtiendo lo que antes era una diversidad de problemas en lo que, ahora, se puede llamar una familia de problemas, cuyos miembros todos se pueden resolver con el mismo proceso. Referencias Filloy, Eugenio, Rojano, Teresa, Educational Álgebra A Theoretical and Empirical Approach Series: Mathematics Education Library, Vol. 43 2007 220p. Hardcover Springer Filloy, E. (1999) Aspectos teóricos del álgebra educativa, México, Grupo Editorial Iberoamérica (Sociedad Mexicana de Matemática Educativa). Filloy, E., y Rojano, T. (1984). La aparición del lenguaje Aritmético-Algebraico. L’Educazione Matematica, 5(3), 278-306. Tres palabras claves Teorema de Tales Sistema matemático de signos (SMS) Modelos Teóricos Locales