Matemáticas 3º

Unidad 7: Sucesiones

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios Ejercicio 1 Encuentra el término general de las siguientes sucesiones:

a)

1 1 1 1 1 1 , , , , , ... 2 3 4 5 6 7

1 n 1

an 

b) 0, 3, 8, 15, 24, 35...

bn  n 2  1

1 2 3 4 5 6 c ) 0, , , , , , ... 2 3 4 5 6 7

cn 

n 1 n

Ejercicio 2 En las sucesiones de término general an  5n  3 , bn  2n y cn 

2n  1 encuentra n 1

lo términos primero, segundo, décimo y vigésimo de cada una de ellas:

a1  5 1  3  2

b1  2

a2  7

b2  4

a10  47

b10  20

a20  97

b20  40

1 2 3 c2   1 3 19 c10  11 39 13 c20   21 7 c1 

Ejercicio 3 Averigua si

2 4 1 11 n2 , , , y  3 son términos de la sucesión de término general an  : 5 7 3 14 n 1

Analizando el término general, se observa que el denominador es 3 unidades mayor que el numerador.

2 n2   n  4; 5 n 1 Otra forma de verlo:

a4 

2 5

4 , 7  3  4; 7

a6 

4 7

1 NO 3 1

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11 , 14  3  11; 14

Unidad 7: Sucesiones

a13 

11 14

3 

3 NO 1

Ejercicio 4 Encuentra el término general de las siguientes sucesiones:

a ) 1, 2, 3, 4, 5, 6...

an  n

b)  2,  4,  6,  8,  10,  12...

bn  2   n  1 (2)  2  2n  2  2n

Es una PA

1 1 1 1 1 1 , , , , , ... 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 d) , , , ... 3 6 9 12 1 2 3 4 e) , , , ... 3 4 5 6 f ) 1, 8, 27, 64, 125, 216... c)

1 n2 1 dn  3n n en  n2 f n  n3 cn 

Se trata de los primeros cubos

1 4 9 16 25 n2 g) , , , , ... gn  ¡ojo! No debes simplificar. 2 4 6 8 10 2 n h) 0 '5,1, 1'5, 2, 2 '5... La sucesión puesta con fracciones en lugar de 1 2 3 4 5 n , , , , ... por tanto, hn  decimales es: h) 2 2 2 2 2 2 in  5   n  1 2  5  2n  2  3  2n i ) 5, 7, 9, 11, 13, 15... Se trata de una PA pero esto se verá mas adelante. j ) 2, 5, 10, 17, 26... Debe apreciarse a simple vista que se trata de 2

los primeros cuadrados perfectos más 1: jn  n  1

k)

2 1 4 7 10 , , , , ... 2 3 4 5 6

kn 

2  ( n  1)3 2  3n  3 3n  5   n 1 n 1 n 1

Hay que tratar numerador y denominador de forma separada

l )  1,  16,  81,  256,  625...

ln   n 4

m ) 1,  1, 1,  1, 1,  1...

mn   1

n 1

Es una PG

n)

2 4 8 16 32 , , , , ... 3 9 27 81 243

2n nn  n 3

Hay que tratar numerador y denominador de forma separada; son dos PG

ñ)

2 , 2 , 2 2 , 4 , 4 2 ...

ñn  2 

  2

n 1

 2

n

Es una PG

2

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Unidad 7: Sucesiones

Ejercicio 5 Dadas las sucesiones de término general an 

1 y bn  n  2 , calcula: n

1 2 2 2 1 2 1  2, 1, ,  , ,  n n 3 4 2 5 3 1 1  n 2  2n n 2  2n  1 b)  an    bn    n  2   n n n 1 n2 c )  an    bn    n  2   n n 1 n 2  2n  1 d )  bn    an   n  2   n n a ) 2  an   2

Ejercicio 6 Dadas las sucesiones de término general an 

1 2 , bn  n y cn  n  1 , calcula: n 1

1 2 n2 a )  an    bn   n  n 1 n 1

b)

 bn    cn   n 2  n  1  n 3  n2

c)

 an    c n  

d)

 an    bn    cn  

1  n  1  1 Sucesión constante n 1 1 n2  n  1 n2 2 n  n  1     n 1 n 1 1 n 1

Ejercicio 7 Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son progresiones aritméticas y, en caso afirmativo, hallar la diferencia y el término general:

a ) 6, 11, 16, 21, 26  c ) 2, 4, 8, 12, 16 

b ) 3,  1,  5,  9  1 1 5 d ) 1, , ,  1,  3 3 3

a)

La diferencia entre dos términos consecutivos es 5, luego se trata de la progresión aritmética de término general:

an  6   n  1 5;

an  5n  1

b)

La diferencia entre dos términos consecutivos es -4, luego se trata de la progresión aritmética de término general:

3

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Unidad 7: Sucesiones

an  3   n  1 4  ;

an  7  4 n

c)

La diferencia entre el primer y segundo término es 2, y entre el segundo y el tercero es de 4; no se trata de una progresión aritmética.

d)

Otra forma de poner esta sucesión es:

3 1 1 3 5 , , , ,  La diferencia en3 3 3 3 3

2 , luego se trata de la progresión aritmética de 3 2n 2 5 2n 5  2n  2      término general: an  1   n  1   ; an  1  3 3 3 3 3 3   tre dos términos consecutivos es

Ejercicio 8 Estudia si las siguientes sucesiones son PA, y, en caso afirmativo, halla su término general:

a ) 8, 5, 2,  1,  4 

an  8   n  1 3 ;

b ) 4, 8, 16, 32, 64 

Es geométrica

c ) 6, 10, 14, 16, 20 

Parece aritmética, pero no lo es.

d ) 7, 7, 7, 7, 7 

d n  7   n  1 0;

an  11  3n

dn  7

Ejercicio 9 Halla el primer término, la diferencia y el término general de una sucesión aritmética a) donde el tercer término es 15 y el quinto 23

a3  15; a5  23 . Usamos esta fórmula: an  ak   n  k  d para averiguar la diferencia: n = 5, y k = 3

23  15   5  3  d , por tanto, d  4 ; a3  a1  (3  1)  4;15  a1  8; a1  7

an  7  (n  1)  4  7  4n  4; an  4n  3 b) donde el tercer término es 24 y el décimo 66

a3  24; a10  66 . Aquí, n = 10, y k = 3

66  24  10  3  d , por tanto, d  6 ; a3  a1  (3  1)  6; 24  a1  12; a1  12

an  12  ( n  1)  6  12  6n  6; an  6n  6 4

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Unidad 7: Sucesiones

Ejercicio 10 Halla el número de términos de una sucesión aritmética donde a)

d  3; a1  7; último  25 , es decir, an  25 , pero nos falta averiguar n:

25  7   n  1  3; por tanto, se despeja el valor de n: n  7 b)

d  2; a1  5; último  17 , es decir, an  17 :

17  5   n  1  2; n  7 Ejercicio 11 El décimo término de una PA es 45 y diferencia es 4. Halla el primer término y el término general

a10  45 a10  a1  10  1 4; 45  a1  36; a1  9  d 4  an  9   n  1 4; an  4n  5

Ejercicio 12 El término quinto de una progresión aritmética es 13'5 , y el octavo es 18'6 . Calcular el primero y la diferencia. Se puede hacer de dos formas:

a)

Utilizando la fórmula que relaciona dos términos cualesquiera de una progresión aritmética:

an  a k   n  k  d ; En nuestro caso,

an  a8  17 '6; ak  a5  13'5 ; es decir: 18'6  13'5   8  5  d

por lo que la diferencia resulta ser:

d

18'6  13'5 ; 3

d  1'7

Una vez obtenida la diferencia, se aplica la fórmula general para obtener el primer término:

13'5  a1   5  1 1'7 ; 13'5  a1  6'8 ; b)

a1  6 '7

Estableciendo un sistema de ecuaciones:

5

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Unidad 7: Sucesiones

13'5  a1   5  1 d 13'5  a1  4d  d  13'5  a1  7 13'5  a1  18'6  a  4    1 ; 4 18'6  a1   8  1 d 18'6  a1  7 d   18'6  a1  7 d  4 18'6  a1   7 13'5  a1  ; 74 '4  4a1  94 '5  7 a1 ; 20'1  3a1 ; Sustituyendo en la primera ecuación: 13'5  6'7  4d ;

a1  6 '7

d  1'7

Ejercicio 13 Hallar el número de términos de una progresión aritmética si el primer término es 8 y el último 83, siendo la diferencia 3. Sólo hemos de sustituir los datos del enunciado en la fórmula general de las progresiones aritméticas, y despejar el dato desconocido:

an  a1   n  1 d ; 83  8   n  1  3 ; n 

83  8 1; 3

n  26

Ejercicio 14 Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, ¿cuánto mide cada uno? Por tratarse de un triángulo rectángulo, el mayor de los ángulos es de 90º, y los otros dos medirán 90º-d, y 90º-2d. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, tenemos:

90  90  d  90  2d  180 ; gulos son:

270  3d  180 ;

d  30 con lo que los án-

90, 60, 30 , es decir, se trata de un cartabón.

Ejercicio 15 Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son progresiones geométricas y, en caso afirmativo, hallar la razón y el término general:

a)

1 1 , , 1, 2, 4  4 2

c ) 0 '1, 0 '01, 0 '001, 0 '0001, 0 '00001, 

b ) 3,  3, 3,  3, 3 d ) 1, 3, 5, 7, 9 

a)

El cociente entre un término y el anterior es r  2 , luego se trata de la progresión geométrica de término general:

6

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Unidad 7: Sucesiones

an 

1 n 1 r ; 4

an 

1 n 1  2  2 2  2 n 1  2 n 3 2 2

b)

El cociente entre un término y el anterior es r  1 , luego se trata de la progresión geométrica de término general:

an  3  r n 1 ;

an  3   1

n 1

c)

El cociente entre un término y el anterior es r  0 '1 , luego se trata de la progresión geométrica de término general:

an  0 '1  r n 1 ; d)

an  0 '1  0 '1n 1  0 '1n

No es una progresión geométrica (es aritmética).

Procedimiento para averiguar si una progresión es geométrica: Debemos observar si se mantiene constante el resultado de dividir un término entre el anterior

Ejercicio 16 TODOS LOS RESULTADOS DEBEN DARSE SIMPLIFICADOS Dadas las siguientes sucesiones de números reales averiguar si son PG y, en caso afirmativo, hallar la razón y el término general:

a ) 2, 4, 12, 24  1 b) , 1, 4, 16, 64  4 2 2 2 c ) 2, , ,  3 9 27

No es una PG

4 8 16 32 d ) 2, , , , , 3 9 27 81 e ) 1, 2, 4, 8,16  f ) 12, 20, 28, 36, 44 

an 1 1  r  4; an   4 n 1  4 1  4 n 1  4 n  2 an 4 1 2 r  n 1 ; an  n 1 3 3 4 n 1 4 2 2n 2 3 r    ; an  2     n 1 2 6 3 3 3 an  ( 1) n 1  2 n 1   2 

n 1

No es geométrica (es aritmética)

Ejercicio 17 En una PG el quinto término es 32, y la razón es 2. Halla el primer término y el término general, es decir, a1 y an

a5  32, r  2 , por tanto: a5  a1  r n 1 ; 32  a1  251; 32  a1 16;

an  2  2 n 1  21 n 1 ;

a1  2

an  2 n 7

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Unidad 7: Sucesiones

Ejercicio 18 En una PG el quinto término es 6 y la razón,

1 . Halla el primer término y el término 4

general

1 4 4 a5  6  a5  a1  r ; 6  a1  4 ; a1  4  6; a1  1 536 4  1 n 1 r  44  6 1 4 an  4  6     n 1 ; an  6  45  n 4 4 4 La serie es: 1 536, 384, 96, 24, 6

Ejercicio 19 Sabiendo que el séptimo término de una PG es 1, y la razón,

1 , halla el primer término 2

y el término general

1 ; 1  a1    2

7 1

1 ; 1  a1  6 ; a1  2 6 a7  1 a7  a1  r 2  1 n 1 r  6 1 2 an  2     2 6  21 n ; an  2 7  n 2 n 1

Ejercicio 20 En una PG el tercer término es

2 1 y la razón es . Halla el primer término y el térmi27 3

no general, es decir, a1 y an : 2

2 2 1 2 9 2 1 31 2   a1    ;  a1  ;  a1 ; a1  a3   a3  a1  r ; 27 27 9 39 3 3 27   n 1 1 2 1 2 1 2 r  a     ; a  n n   3  3  3 3 3n 1 3n

8