10 Unitat 10. Atzar i probabilitat Pàgina 211 10.1

En una urna hi ha 10 boles de quatre colors. Traiem una bola i anotem el color. a) És una experiència aleatòria? b) Escriu l’espai mostral i cinc esdeveniments.

• Solució:

a) Sí b) E ⫽ {

}

,

,

,

,

,

,

,

,

,

SUCCESSOS: resposta oberta. 10.2

Llancem una xinxeta i observem si cau amb la punta cap amunt o no. a) És una experiència aleatòria? b) Escriu l’espai mostral.

• Solució:

a) Sí b) E = {Punta cap amunt, punta no cap amunt} 10.3

En una urna hi ha 10 boles numerades. Traiem una bola i anotem el nombre. a) És una experiència aleatòria? b) Escriu l’espai mostral i sis esdeveniments. 10 8 1

9 7

2

5

6 3

4

• Solució:

a) Sí b) E = {

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

}

10.4

En una bossa hi ha 10 boles, totes vermelles. Traiem una bola i anotem el color. És una experiència aleatòria? • Solució: No.

Pàgina 213 10.5

En una bossa hi ha 90 boles idèntiques, numerades de l’1 al 90. Quina és la probabilitat d’extreure cadascuna d’elles? • Solució: P = 1/90

185

10.6

En una altra bossa hi ha boles de 2 mides. N’extraiem una, mirem si és gran (G) o petita (P) i la retornem a la bossa. Observem 84 boles G i 36 boles P. Quins valors assignarem a P[G] i a P [P]? • Solució: P[G] = 84/120 = 0,7 P[P] = 36/120 = 0,3

Pàgines 214-215 10.7

En un campament juvenil hi ha 32 joves europeus, 13 d’americans, 15 d’asiàtics, i 23 d’africans. En triem el portaveu a l’atzar. Quina probabilitat hi ha que sigui europeu? • Solució: 32/83 10.8

En fer girar l’agulla, quina és la probabilitat que caigui en algun dels colors vermell, verd o blau?

• Solució: 3/7 10.9

Calcula les altres probabilitats en l’experiència I. (Sumes 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 i 12.) • Solució: 1 1 1 P ⎡⎣2⎤⎦ = P ⎡⎣3⎤⎦ = P ⎡⎣4⎤⎦ = 36 18 12 5 1 5 P ⎡⎣6⎤⎦ = P ⎡⎣7⎤⎦ = P ⎡⎣8⎤⎦ = 36 36 6 1 1 P ⎡⎣9⎤⎦ = P ⎡⎣10⎤⎦ = 9 12 1 1 P ⎡⎣11⎤⎦ = P ⎡⎣12⎤⎦ = 18 36 10.10

En l’experiència de l’exercici anterior: a) Quina és la probabilitat que la suma sigui menor que 6? b) Quina és la probabilitat que sigui major que 6? c) I que es trobi entre 4 i 7, tots dos inclosos? • Solució: a) 5/18 b) 7/12 c) 1/2 10.11

Llancem dos daus i ens fixem en la major de les puntuacions. Completa el quadre adjunt i calcula la probabilitat que la major de les puntuacions sigui 1. I que sigui 2? I 3? I 4? I 5? I 6?

1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 5 5 6 6 6 186

• Solució: 1 36 5 P ⎡⎣3⎤⎦ = 36 1 P ⎡⎣5⎤⎦ = 4 P ⎡⎣1⎤⎦ =

1 12 7 P ⎡⎣4⎤⎦ = 36 11 P ⎡⎣6⎤⎦ = 36 P ⎡⎣2⎤⎦ =

Pàgina 218 10.12

Tenim moltes boles de cadascun dels colors següents: negre (N), vermell (R), verd (V) i blau (B), i una caixa gran buida. Fiquem a la caixa 1 R, 10 V i la resta B (moltes més de 10). Les removem i n’extraiem una a l’atzar. Associa amb fletxes: P [R] Impossible P [V] Molt poc probable P [B] Poc probable P [N] Molt probable • Solució: P[R] ↔ Molt poc probable P[B] ↔ Molt probable P[V] ↔ Poc probable P[N] ↔ Impossible 10.13

De quina de les bosses següents és més probable treure la bola vermella?

I

II

III

• Solució: De la bossa I. 10.14

En quina de les ruletes és més difícil obtenir el color blau?

• Solució: A la tercera.

187

10.15

a) Quin és l’espai mostral que correspon al llançament d’una moneda? Quina és la probabilitat de cada una de les dues cares? b) Quin és l’espai mostral que correspon al llançament d’una xinxeta? c) Explica per què no podem afirmar que:

P

[ ] = 12

P

• Solució:

a) E = {C, +}

P [C] = P [+] =

[ ] = 12

1 2

b) E = { , } c) Perquè no són successos equiprobables. 10.16

De l’urna que hi ha a la dreta, en traiem una bola a l’atzar i n’anotem el nombre. a) Descriu l’espai mostral. Quants casos hi ha? b) Descriu els esdeveniments següents: • BOLA VERMELLA = A • BOLA VERDA = B 4 7 9 1 • BOLA BLAVA = C 5 2 10 3 8 6 • BOLA VERMELLA AMB NOMBRE IMPARELL = D • BOLA AMB NOMBRE PARELL = F c) Calcula la probabilitat de cadascun dels esdeveniments anteriors. • Solució: a) E té 10 casos. b) A = { 2 , 3 , 4 , 6 , 7 }

B={

1

,

5

}

C={

8

,

9

,

D={

3

,

7

}

F={

2

,

4

1 2 1 P ⎡⎣D ⎤⎦ = 5

,

10

}

6

,

8

1 5 1 P ⎡⎣F ⎤⎦ = 2

c ) P ⎡⎣A⎤⎦ =

P ⎡⎣B ⎤⎦ =

,

10

}

P ⎡⎣C ⎤⎦ =

3 10

10.17

Una experiència consisteix a extreure una bola d’aquesta urna i, després, llançar la moneda. Els casos són: 1 i CARA, 1 i +, 2 i CARA, etc.

1 2

4 3

a) Descriu l’espai mostral (són 8 casos). Quina és la probabilitat de cada cas? b) Descriu l’esdeveniment BOLA VERDA I CARA enumerant tot els casos. Quina és la probabilitat?

188

• Solució: a) E = {(1, C ) , (1, + ) , (2, C ) , (2, + ) , ( 3, C ) , ( 3, + ) , ( 4, C ) , ( 4, + )} 1 . 8 b) BOLA VERDA i CARA = {(1, C ) , (2, C ) , ( 3, C )} La probabilitat de cada cas és la mateixa;

P [BOLA VERDA i CARA ] =

3 8

10.18

Llancem dos daus i ens fixem en la menor de les puntuacions obtingudes. (Si els dos tenen la mateixa puntuació, agafem aquesta.) a) Quin és l’espai mostral? b) Per calcular les probabilitats de cada un dels casos, procedeix com es recomana en la pàgina 215. Calcula, d’aquesta manera, les probabilitats: P[1], P[2], P[3], P[4], P[5] y P[6] c) Calcula la probabilitat que la menor puntuació sigui 4 o més. • Solució: a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 11 36 5 P [4 ] = 36 1 c) 4

b) P [1] =

1 4 1 P [5 ] = 12

P [2] =

7 36 1 P [6 ] = 36 P [ 3] =

10.19

En cada un dels experiments aleatoris següents, digues quina és la probabilitat que passi l’esdeveniment que hi indiquem. a) Extraiem una peça de fruita. Esdeveniment: OBTENIR UNA PERA

b)

Extraiem una bola. Esdeveniment: OBTENIR

UNA BOLA VERDA

c)

Fem girar la fletxa i observem sobre quin color para. Esdeveniment: OBTENIR EL COLOR BLAU

189

• Solució: 3 10 3 CISTELLA II → P [PERA ] = 8 1 b) BOSSA I → P [ VERDA ] = 5 1 BOSSA II → P [ VERDA ] = 5 2 1 C) RULETA I → P [BLAU] = = 4 2 3 RULETA II → P [BLAU] = 8 a) CISTELLA I → P [PERA ] =

10.20

Llancem un dau de sis cares, numerades de l’1 al 6, i un altre dau de quatre cares, numerades de l’1 al 4. Quina és la probabilitat d’obtenir un 1 en cada un? • Solució: 1 6 1 Dau de 4 cares → P [1] = 4 Dau de 6 cares → P [1] =

10.21

Quina és la probabilitat d’obtenir cada un dels colors? Raona-ho.

• Solució: 1/6 10.22

D’una bossa amb 7 boles vermelles, 5 de verdes, 3 de grogues, 11 de negres i 3 de blaves, en traiem una a l’atzar. Quina és la probabilitat que… a) … sigui vermella? b) … no sigui negra? • Solució: a) 7/29 b) 18/29

190

10.23

EXERCICI RESOLT. Extraiem una carta d’una baralla espanyola de 40 cartes. Calculem la probabilitat que: a) La carta sigui BASTONS. b) No sigui ni AS ni FIGURA. Resolució a) Hi ha 10 cartes que són bastons d’un total de 40. Per tant: P [BASTONS] = 10/40 = 1/4 = 0,25 b) Per cada coll de la baralla, hi ha 6 cartes que no són ni AS ni FIGURA. Així doncs, en total, n’hi ha 24: P [ni AS ni FIGURA] = 24/40 = 3/5 = 0,6

10.24

Calcula les probabilitats següents associades al llançament d’un dau correcte: a) El resultat és múltiple de 3. b) El resultat és múltiple de 2. c) El resultat és major que 1. d) El resultat és menor que 5. e) El resultat és menor que 1. • Solució: a) b) c) d) e)

1 3 1 2 5 6 2 3 0

10.25

Per a un examen de geografia, cal saber situar sobre un mapa mut les 17 comunitats autònomes d’Espanya. En Ricard només en sap situar 10. a) Si a l’examen li demanen situar-ne una, quina és la probabilitat que sigui una de les que sap? b) Suposem que li demanen que situï una de les que no sap i, en lloc de no contestar, ho fa a l’atzar. Quina és la probabilitat que encerti? • Solució: a) 10/17 b) 1/7 10.26

Fem girar la fletxa i observem sobre quin nombre es para. Calcula les probabilitats:

a) Obtenir un nombre parell. b) Obtenir un nombre imparell. c) Obtenir 5 o més. d) Que no surti el 7.

191

• Solució: a)

1 2

b)

1 2

c)

1 2

d)

7 8

Pàgina 220 10.27

EXERCICI RESOLT. El dòmino és un joc de fitxes que porten dos nombres, des del 0-0 fins al 6-6. Prenent una fitxa a l’atzar, calculem la probabilitat que la suma de punts sigui: a) Igual a 6. b) Imparella. Resolució Farem una taula per comptar totes les fitxes del dòmino, que són els casos possibles:

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 0-0 0-1 0-2 0-3 1-1 1-2 1-3 2-2 2-3 3-3

4 0-4 1-4 2-4 3-4 4-4

5 0-5 1-5 2-5 3-5 4-5 5-5

6 0-6 1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

Hi ha 28 fitxes. a) La suma és igual a 6 en les fitxes: 0-6; 1-5; 2-4 i 3-3 Són 4 casos favorables. Per tant:

P ⎡⎣SUMA = 6⎤⎦ =

4 1 = 28 7

b) La suma és un nombre imparell en el casos: 0-1; 0-3; 0-5; 1-2; 1-4; 1-6; 2-3; 2-5; 3-4; 3-6; 4-5 i 5-6. Són 12 casos favorables.

P ⎡⎣SUMA IMPARELLA⎤⎦ =

10.28

12 3 = 28 7

Extraiem una fitxa d’un dòmino. Calcula la probabilitat que: a) La suma de punts sigui menor que 4. b) La suma de punts sigui múltiple de 3. c) Sigui una fitxa «doble». • Solució: 3 14 5 b) 14 1 c) 4 a)

192

10.29

Escrivim cada una de les lletres de la paraula premi en un paper diferent i les fiquem en una bossa. Extraiem una lletra a l’atzar. a) Descriu els esdeveniments elementals d’aquest experiment aleatori. Tenen tots la mateixa probabilitat? b) Descriu l’esdeveniment obtenir vocal, i calcula’n la probabilitat. c) Si la paraula triada fos sort, com respondries als apartats a) i b)? • Solució: a) Successos elementals: {P} , {R} , {E} , {M} , {I} , {O} . Tots tenen la mateixa probabilittat. b) OBTENIR-HI VOCAL = {E, I, O} 1 2 c) Successos elementals: {S} , {U} , {E} , {R} , { T } . P [ OBTENIR-HI VOCAL ] =

No tots tenen la matteixa probabilitat. 1 P [ OBTENIR-HI VOCAL ] = 2 10.30

Els alumnes d’una classe es distribueixen de la manera següent:

AMB ULLERES SENSE ULLERES

NOIES

NOIS

3 12

6 10

Triem a l’atzar una persona d’aquesta classe. Calcula la probabilitat que: a) Sigui una noia. b) Porti ulleres. c) Sigui una noia amb ulleres. • Solució: 15 31 9 b) 31 3 c) 31 a)

10.31

Llancem dos daus. Calcula la probabilitat que el producte de les puntuacions sigui: a) 5 b) 6 c) 4 * a) 5 · 1 = 5 i 1 · 5 = 5. Hi ha dos casos de 36 possibles. • Solució: 1 18 1 b) 9 1 c) 12 a)

193

10.32

Una ampolla conté 20 boles de colors negre, vermell i verd. No sabem quantes de cada color, ni ho podem veure, perquè l’ampolla és opaca. Només podem veure, quan la tombem, el color de la bola que queda al costat del tap, que és transparent. Al llarg d’uns quants dies fem 1000 vegades l’experiència d’agitar, inclinar i anotar el color de la bola que veiem. Hem obtingut aquests resultats:

f(

) = 461 f (

) = 343

f(

) = 196

Podem descobrir, amb certa seguretat, quantes boles hi ha de cada color. Fem-ho amb les negres:

fr ( P(

) = 461/1000 = 0,461

) = n/20 (n és el nombre de boles negres) Com fr (

)  P(

), fem:

0,461  n/20 → n  20 · 0,461 = 9,22 Estimem que el nombre de boles negres és 9. Quantes boles de cada color hi ha a l’ampolla? • Solució: 7 boles vermelles i 4 verdes.

Pàgina 221 10.33

Per jugar una partida al parxís, en Lluís ha fabricat un dau una mica defectuós. L’Elisa, per estudiarne el comportament, l’ha llançat 1200 vegades i ha obtingut els resultats que hi ha indicats en la taula: CARA

1

2

3

4

5

6

N. DE VEGADES

248

355

175

180

126

116

a) Calcula la freqüència relativa de cada una de les sis cares i expressa els resultats en forma de fracció i de decimal amb tres xifres decimals. b) Justifica que és raonable dir que les probabilitats de les cares són, aproximadament: P (1)  0,2, P (2)  0,3, P (3)  0,15 P (4)  0,15, P (5)  0,1, P (6)  0,1 • Solució: 248 = 0, 207 1200 355 fr (2) = = 0, 296 1200 175 fr ( 3) = = 0, 146 1200 180 fr ( 4 ) = = 0, 15 1200 126 fr (5 ) = = 0, 105 1200 116 fr (6 ) = = 0, 097 1200 b) perquè fr (n ) ≈ P [n ] a) fr (1) =

194

10.34

EXERCICI RESOLT. Si tirem una bola per l’embut d’entrada d’aquest aparell, arribarà al distribuïdor A, i d’aquí sortirà, amb igual probabilitat, a la dreta o a l’esquerra. Si arriba a B, és igual de probable que caigui en I o en II. Si arriba a C, pot caure, amb la mateixa probabilitat, en III, IV o V.

A

C

B

II III IV V

I

Per descobrir la probabilitat que té de caure en cada dipòsit, utilitzem un munt de fitxes o boletes de paper o grans d’arròs… N’introduïm una i la deixem en A. N’introduïm una altra. Quan arriba a A, ja n’hi ha dues que es poden repartir equitativament, una cap a B, una altra cap a C. Ara tornem a introduir-hi les fitxes, de manera que: • En arribar a un distribuïdor (A, B o C) només continuem endavant si hi ha tantes fitxes com camins en surten. • El repartiment acaba quan no queda cap fitxa pel camí. Si actuem d’aquesta forma, completarem el procés amb 12 fitxes, que es reparteixen com indiquem a la dreta. Les probabilitats associades són, per tant: 12 6

6

3

3

2

3 I

3 II

2 2

2 2 2 III IV V

P [I] = P [II] = 3/12 = 1/4 P [III] = P [IV] = P [V] = 2/12 = 1/6 El procés hauria estat més còmode i ràpid si, d’entrada, haguéssim baixat 12 fitxes. Com podem conèixer aquest nombre anticipadament? És el producte del nombre de cada ramificació: 2 · 2 · 3 = 12. 10.35

Aquest aparell funciona com el del problema anterior.

a) Si hi tirem 8 boles, com es repartiran als dipòsits 1, 2, 3, 4 i 5? b) Quina és la probabilitat que una bola caigui en cada un dels dipòsits? 1 2

3 4

5

195

• Solució: 2 1 = 8 4 1 P [2] = 8 3 P [ 3] = 8 1 P [4 ] = 8 1 P [5 ] = 8

b) P [1] =

8 4

4

2

2 2

1 1

2

1 1

1

2 1

3 1

1

1 2

3 4

5

10.36

Calcula la probabilitat que la boleta caigui en cada recinte:

I

II

III

• Solució: 3 1 = 24 8 6 1 P [II] = = 24 4 3 1 P [III] = = 24 8 4 1 P [IV ] = = 24 6 4 1 P [V] = = 24 6 4 1 P [ VI] = = 24 6 P [I] =

196

IV

V

VI