Universidad de Talca Instituto de Matem´ atica y F´ısica

Medicina Matem´ atica

Gu´ıa 2 - Funciones

1. En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario baj´o de 90 Kg a 60 Kg en 60 d´ıas. Si el peso se elimina siguiendo el modelo de decaimiento exponencial: N = N (t) = N0 e−kt donde, t est´ a medido en d´ıas, N0 peso inicial del voluntario, medido en kilos, N peso del voluntario, despu´es de t d´ıas iniciado el experimento y k es la constante de eliminaci´on. (a) Encontrar la funci´ on que modela el problema. (b) Graficar la funci´ on obtenida. (c) ¿Cu´ al era el peso del voluntario un mes despu´es de haber iniciado el tratamiento?. (d) Por cu´ anto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sin perjudicar la salud del voluntario, si lo m´ınimo que puede llegar a pesar es 50 kg. 2. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, despu´es de t d´ıas de inyectar calcio al torrente sangu´ıneo, est´ a dada por: C = C(t) = t−3/2 , t ≥ 0, 5 donde C est´ a medido en gramos. (a) Graficar esta funci´ on. (b) ¿Cu´ antos gramos de calcio permanecen en la sangre despu´es de 18 horas?. (c) ¿En qu´e instante, la concentraci´on de calcio en la sangre alcanzar´a 0, 2 gramos?. 3. La frecuencia card´ıaca (f ) se relaciona con la longitud del ciclo (l) de la siguiente manera: f=

1 l

donde la frecuencia card´ıaca esta medida en latidos/min y la longitud del ciclo es el tiempo entre una onda y otra. Determinar: (a) Un gr´ afico adecuado de la funci´on, que representa el problema. (b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, ¿cu´al es la frecuencia card´ıaca?. (c) Si la frecuencia card´ıaca es de 90 latidos/min, ¿cu´al es la longitud del ciclo?. (d) Al observar el gr´ afico, ¿qu´e ocurre con la frecuencia card´ıaca cuando la longitud del ciclo aumenta considerablemente?, y ¿qu´e ocurre con la frecuencia card´ıaca cuando la longitud del ciclo es cada vez m´as peque˜ na?.

n

4. Una ley de curaci´ on de las heridas es A = Be− 10 , siendo A (en cm2 ) el ´area da˜ nada despu´es de n d´ıas, y B (en cm2 ) el ´ area original da˜ nada. Hallar el n´ umero de d´ıas necesarios para reducir a su tercera parte el ´ area da˜ nada. 5. Al inyectar un determinado f´ armaco a una rata de laboratorio se observa que el animal presenta variaciones de temperatura en su sistema interno. Se logra establecer que dichas variaciones de temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la funci´on f (x) = 3 −

1 sin(2x − π) 2

d´onde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el f´armaco (en minutos). (a) Graficar la funci´ on f indicando amplitud, per´ıodo y desplazamiento de fase (b) A partir de la gr´ afica, indique informaci´on relevante del problema. 6. La marea en una playa subi´ o a media noche. El nivel del agua durante la marea alta fue de 9.9 pies, m´ as tarde, en la marea baja, fue de 0, 1 pies. Suponiendo que la siguiente marea alta fuera exactamente 12 horas despu´es y que la altura del agua est´a dada por una curva de seno o coseno. Hallar una funci´ on del tipo y = g(x) = A cos(B t) + C para modelar el nivel del agua como funci´on del tiempo. 7. El modelo de Ehrenberg ln(w) = ln(2, 4) + 1, 8h es una f´ormula emp´ırica que relaciona la estatura h, en metros, con el peso promedio w, en kilogramos, para ni˜ nos de 5 a 13 a˜ nos de edad. Determine: (a) Exprese w como funci´ on de h, que no contenga logaritmo. (b) Estime el peso promedio de un ni˜ no de 8 a˜ nos de 1, 5 m de altura. 8. Suponga que la concentraci´ on de nitr´ogeno en un lago muestra un comportamiento peri´ odico. Es decir, si se denomina C(t) a la concentraci´ o n de nitr´ o geno en el instnate t, entonces se su � � πt π pone que C(t) = 6 − 5 cos + , 0 ≤ t ≤ 25. 10 2 (a) Graficar C(t). (b) ¿Cu´ al es la concentraci´ on m´axima y m´ınima de nitr´ogeno en un lago?. (c) ¿Cu´ ando alcanza C(t) un m´aximo y un m´ınimo? 9. Los terremotos son medidos en la escala de Richter, expresados en t´erminos de una magnitud variable R. La intensidad I de las vibraciones que produce un terremoto es una funci´ on exponencial con base b = 10 de la escala Richter de magnitud R. (a) Demuestre que la magnitud R satisface la ecuaci´on � � I R = log I0 donde I0 es la intensidad de las vibraciones normales de la tierra que corresponden a R0 = 0.

(b) ¿Cu´ anto m´ as grande es la intensidad de un terremoto grado 8.8 (Chile) en escala Richter a uno de grado 9.0 (Jap´ on) en la misma escala? 10. Modelo de crecimiento log´ıstico Principio: Una poblaci´ on de tama˜ no P crece a una tasa que es proporcional al producto del tama˜ no de dicha poblaci´ on con la diferencia entre el tama˜ no m´aximo posible de la poblaci´ on y el tama˜ no de dicha poblaci´ on. Luego, si P = P (t) representa el n´ umero de individuos de una determinada poblaci´on en el tiempo t, entonces la funci´ on que modela esta situaci´on es: P (t) =

1+

�

M M −P0 P0

�

e−kt

donde P = P0 en t = 0. M representa el m´aximo n´ umero de individuos que la poblaci´ on puede alcanzar y k es una constante positiva que depende de la situaci´on en estudio. Ejercicio: En un colegio que cuenta con 130 alumnos se detecta en cierto d´ıa un brote de influenza que afecta a 20 ni˜ nos. Por recomendaci´on de las autoridades sanitarias se fija el siguiente criterio: si en 5 d´ıas a partir de la detecci´on, se presentan 20 casos m´as, entonces la escuela se debe declarar en cuarentena. Pasados 2 d´ıas desde que se detect´o el virus, 5 ni˜ nos m´as presentan la enfermedad. Suponga que la enfermedad se propaga de forma directamente proporcional al n´ umero de ni˜ nos sanos y enfermos, y adem´as que se trata de un sistema aislado, es decir, considere que la poblaci´on total permanece constante y que todos los ni˜ nos se encuentran en contacto unos con otros. ¿Ser´a necesario que la escuela declare estado de cuarentena? 11. Ley de enfriamiento de Newton Este modelo permite conocer como evoluciona la temperatura de un objeto. Principio: La raz´ on de cambio de la temperatura T = T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura tm del medio ambiente. Luego, si T = T (t) representa la temperatura de un cuerpo en el instante t, entonces la funci´ on que modela esta situaci´oon es: T = T (t) = tm + (t0 − tm )e−kt donde t0 es la temperatura inicial del cuerpo (es decir, cuando t = 0), tm es la temperatura del medio ambiente y k es una constante positiva que depende de la situaci´on en estudio. Ejercicio: Un ganadero sali´ o una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su reba˜ no. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6 : 00 h del d´ıa siguiente. Un m´edico forense lleg´o a las 7 : 00 y tom´ o la temperatura del cad´aver, a esa hora anot´o 23◦ C; una hora m´ as tarde, al darse cuenta de que en la noche, y a´ un a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamente de 5◦ C, el m´edico volvi´o a medir la temperatura corporal del cad´aver y observ´ o que era de 18.5◦ C. ¿A qu´e hora muri´o el ganadero aproximadamente? (considere que la temperatura normal de un humano es de 36 grados Celsius). 12. Asumiendo que el crecimiento de una poblaci´on de bacterias es proporcional al n´ umero N (t) de bacterias presente en cada instante t, es posible obtener un modelo exponencial de la forma N (t) = N0 ekt , donde N0 es la cantidad inicial de bacterias y k una constante positiva. (a) Haga un esquema tama˜ no poblacional = f (tiempo) de acuerdo al modelo indicado.

(b) Si el n´ umero inicial de bacterias se duplica en 8 horas, ¿qu´e n´ umero de ellas cabr´ıa esperar al cabo de 24 horas?. (c) Si al cabo de 3 horas hay 20.749 bacterias y en 6 horas hay 26.909 bacterias, ¿cu´ al fue el n´ umero inicial de la colonia en estudio?. 13. Una medida de comunidad que tiene en cuenta tanto la abundancia como la riqueza de las especies es el ´ındice de diversidad de Shannon, H. Para calcularlo, se utiliza la proporci´ on pi de especies i en la comunidad. Suponga que la comunidad consta de S especies. Entonces H = −(p1 ln p1 + p2 ln p2 + · · · + ps ln ps ) (a) Suponga que S = 5 y que todas las especies son igualmente abundantes. Es decir, p1 = p2 = · · · = p5 . Calcule H.

(b) Suponga que S = 10 y que todas las especies son igualmente abundantes. Es decir, p1 = p2 = · · · = p10 . Calcule H. (c) Si se puede definir una medida de equidad en la distribuci´on de las especies dividiendo el ´ındice de diversidad H por ln S. Calcule esta medida para S = 5 y S = 10.

(d) Demuestre que, en general, si hay N especies y todas ellas son igualmente abundantes, entonces H =1 ln S 14. Las enzimas sirven como catalizadores en muchas reacciones qu´ımicas de los seres vivientes. En las reacciones m´ as simples se transforma en un u ´nico substrato en un producto mediante la ayuda de una enzima. La ecuaci´on de Michaelis-Menten describe la velocidad inicial de este tipo de reacciones controladas por enzimas. Dicha ecuaci´on relaciona la velocidad inicial de la reacci´ on (v0 ) con la concentraci´on del substrato (s0 ): v0 =

vmax s0 s0 + Km

sinedo vmax la velocidad m´ axima a la que se puede formar el producto y Km la constante de Michaelis-Menten. N´ otese esta ecuaci´on tiene la misma forma que la funci´on de crecimiento de Monod. Demuestre que la ecuaci´ on de Michaelis-Menten se puede escribir de la forma 1 Km 1 1 = + v0 vmax s0 vmax Esta expresi´ on se conoce como la ecuaci´on de Lineweaver-Burk y expresa que existe una relaci´on lineal entre 1/v0 y 1/s0 . 15. La absorci´ on de luz en una columna de agua uniforme sigue una ley exponencial. Es decir la intensidad I(z) en funci´ on de la profundidad es: I(z) = I0 e−αz siendo I0 la intensidad de la superficie (es decir, cuando z = 0) y α el coeficiente de atenuaci´ on vertical (se supone α es constante; en realidad, α depende de la longitud de onda de la luz que penetra en la superficie).

(a) Suponga que el 10% de la luz se absorbe en el primer metro. Calcule α. ¿En qu´e unidades se mide α?. (b) ¿Qu´e porcentaje de la intensidad restante tras el primer metro se absorbe en el segundo metro?. ¿Qu´e porcentaje de la intensidad restante tras el segundo metro se absorbe en el tercer metro? (c) ¿Qu´e porcentaje de la intensidad inicial queda en 1 metro, 2 metros y 3 metros. (d) Dibuje la intensidad de la luz como porcentaje de la intensidad de la superficie, en una gr´ afica lineal y en una gr´ afica semilogar´ıtmica. (e) Relacione la pendiente de la curva en la gr´afica semilogar´ıtmica con el coeficiente de atenuaci´ on α. 16. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia afuera a una velocidad de 60 cm/s. (a) Exprese el radio r de este c´ırculo como funci´on del tiempo t (en segundos). (b) Si A es el ´ area de este c´ırculo como funci´on del radio, encuentre A ◦ r e interpr´etela. 17. En un bosque un depredador se alimenta de su presa y, para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la poblaci´on de depredadores es una funci´on f de x, donde x es el n´ umero de presas en el bosque el cual, a su vez, es una funci´on g de t, donde t es el n´ umero de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. 1 Si f (x) = x2 − 2x + 50 y g(t) = 4t + 52, donde 0 ≤ t ≤ 15, haga lo siguiente: 48 (a) Encuentre un modelo matem´atico que exprese la poblaci´on de depredadores como funci´ on del n´ umero de semanas a partir del fin de la temporada de caza. (b) Determine la poblaci´ on de depredadores 11 semanas despu´es del cierre de la temporada de caza. 18. Una compa˜ n´ıa de seguros examin´o los historiales de un grupo de personas hospitalizadas por una cierta enfermedad. Se descubri´o que la proporci´on total de los que hab´ıan sido dado de alta al final de t d´ıas de hospitalizaci´on est´a dado por f (t), en donde f (t) = 1 −

�

300 300 + t

�3

(a) Evaluar f (0) y f (100) (b) ¿Al final de cu´ antos d´ıas dado de alta a la mitad de los pacientes? 19. Durante un programa nacional para inmunizar a la poblaci´on contra el sarampi´on, los funcionarios del ministerio de salud, encontraron que los costos de inoculaci´on del x% de la poblaci´ on era aproximadamente de: C = C(x) = donde C viene expresado en millones de d´olares.

150x 200 − x

(a) Graficar la funci´ on y especificar la porci´on del gr´afico que es importante para la situaci´ on concreta considerada.

(b) ¿Cu´ al es el costo para inocular al 75% de la poblaci´on?. (c) Si s´ olo se cuenta con 50 millones de d´olares, ¿qu´e porcentaje de la poblaci´on se lograr´ıa inmunizar?. (d) ¿Cu´ anto dinero se requiere para inmunizar al 100% de la poblaci´on?. 20. Si la relaci´ on entre concentraci´ on de plomo y hemoglobina viene dada por: f (x) = 15 − 0, 1 · x, donde x es la concentraci´ on de plomo y f (x) es la hemoglobina probable. ¿Cu´al es la concentraci´ on de hemoglobina si la de plomo es de 20 mg/100 ml?. 21. Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo t, est´a dado por y = −0, 2 · t2 + 6 · t donde t est´ a medido en semanas. Con este enunciado conteste las siguientes preguntas: (a) Grafique la curva que representa el crecimiento del tumor. (b) ¿Cu´ anto pesa el tumor despu´es de 5 semanas? (c) ¿Cu´ al es la variaci´ on del peso del tumor entre la cuarta y quinta semana? (d) ¿En qu´e semana alcanza su m´aximo peso? (e) ¿Cu´ antos gramos, como m´ aximo, puede llegar a pesar el tumor?. (f) Si cuando el tumor alcanza su m´aximo peso, el paciente es internado de urgencia en la UTI, y es sometido a un tratamiento para disminuir el peso del tumor. ¿Cu´anto tiempo demora en desaparecer el tumor despu´es de aplicado el tratamiento?. 22. Es posible medir la concentraci´ on de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones m´edicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovil´ıstico puede ser modelado mediante la ecuaci´on: R = 6ekx donde x es la concentraci´ on de alcohol en la sangre y k una constante. (a) Al suponer una concentraci´on de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente, ¿cu´al es el valor de la constante k?. (b) Utilizar el valor encontrado de k e indicar cu´al es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17 y 0.19). (c) Con el mismo valor de k indicar la concentraci´on de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%. (d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir veh´ıculos, ¿con cu´al concentraci´on de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?. 23. Se ha encontrado que el o´ıdo humano responde al sonido en una escala que es, aproximadamente, proporcional al logaritmo (en base 10) de la intensidad del sonido. As´ı, la altura del sonido, medida en decibeles (dB), viene definida por la siguiente relaci´on: � � I b = 10 log I0 donde I es la intensidad (altura) del sonido e I0 es la m´ınima intensidad detectable (umbral auditivo).

(a) ¿Qu´e altura tiene el sonido, si su intensidad es el triple que la m´ınima detectable? (b) ¿Cu´ antas veces la m´ınima intensidad detectable, es la intensidad de un avi´on a chorro que tiene una altura del sonido de 110 dB? (c) Una calle congestionada tiene una altura del sonido de 70 dB, y una remachadora tiene una de 100 dB. ¿Cu´ antas veces mayor es la intensidad del sonido Ir de la remachadora que el sonido de la calle congestionada, Ic ? 24. La funci´ on de crecimiento de Monod modela el crecimiento como funci´on de la concentraci´ on de nutrientes N . Suponga que r(N ) = 5

N ,N ≤0 1+N

Obtenga el incremento de porcentaje cuando se dobla la concentraci´on de nutrientes desde N = 0.1 hasta N = 0.2. Compare esto con lo que haya descubierto al doblar la concentraci´ on de nutrientes de N = 10 a N = 20. Esto es un ejemplo de lo que se conoce como retorno en disminuci´ on. 25. Un estudio sobre prevenci´ on de enfermedades broncopulmonares, sugiere que el nivel medio diario de mon´ oxido de carbono en el aire ser´a c(p) = 0.5p + 1 partes por mill´on cuando la poblaci´ on sea p miles. Se estima que dentro de t a˜ nos la poblaci´on de la comunidad ser´ a p(t) = 10 + 0.1t2 miles. Exprese el nivel de mon´oxido de carbono en el aire como funci´on del tiempo. 26. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que conten´ıa un alto contenido de prote´ına. La prote´ına consist´ıa en levadura y harina de ma´ız. Variando el porcentaje p de levadura en la mezcla de prote´ına, se estim´o que el peso promedio 1 ganado en gramos de una rata en un per´ıodo fue de f (p) = − p2 + 2p + 20. Encontrar el 50 m´aximo peso ganado. 27. La gran arteria del cuerpo humano -la aorta- es un tubo aproximadamente tan grande como la base de un pulgar humano medio. El coraz´on bombea la sangre a trav´es de ella de manera tan potente que las part´ıculas de sangre pr´oximas al centro se mueven a velocidades de unos 50 cm/s. Por otra parte, la sangre es un liquido viscoso, y cerca de la pared de la arteria la sangre tiende a pegarse a la pared, y su velocidad ah´ı es pr´acticamente cero. La relaci´on precisa entre la velocidad s y la distancia r al centro viene dada por la formula P s(r) = (R2 − r2 ) ,donde P es la diferencia de presi´on entre los extremos de la arteria, η 4ηL es la viscosidad de la sangre y L la longitud de la arteria. Es costumbre medir R, r y L en cent´ımetros (cm), P en dinas/cm2 , de modo que s se mide en cm/s. Un valor t´ıpico para P R en el cuerpo humano es R = 0.2 cm, y un valor realista para la constante es 500. 4ηL Reemplazando estos valores en la f´ormula se obtiene:s(r) = 20 − 500r2 , de acuerdo a ´esta, determine: (a) Porci´ on del gr´ afico acorde al enunciado. (b) ¿Cual es la velocidad de la sangre a 0.1 cm del centro de la arteria?. (c) ¿Para que valor de r, la velocidad de la sangre es cero? (d) ¿Cual es la velocidad de la sangre en el centro de la arteria?. (e) ¿Para que valor de r, la velocidad de la sangre es maxima?.

(f) ¿Cual es esa velocidad?. 28. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitaci´on se caracteriza por un efecto de rendimientos decrecientes. Es decir, la recuperaci´on de la funcionalidad suele aumentar con la duraci´ on del programa terap´eutico, pero con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relaci´ on con los esfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad particular, los terapeutas han ideado una funci´on que describe el costo C de un programa terap´eutico en t´erminos del porcentaje de la funcionalidad recuperada x dada por C(x) =

5x 100 − x

donde C se mide en miles de d´olares. Hallar dominio, recorrido y gr´afico de la funci´ on. Finalmente, interprete los resultados en el contexto del problema. 29. Hall (1964) estudio el cambio del tama˜ no de la poblaci´on de las especies de zooplancton Daphnia galeata mendota en base Line Lake, Michigan. El tama˜ no de la poblaci´on en el instante t, N (t), se modelo mediante la ecuaci´on N (t) = N0 ert siendo N0 el tama˜ no de la poblaci´on en el instante 0. La constante r se denomina velocidad de crecimiento intr´ınseca. (a) Dibuje N (t) en funci´ on de t si N0 = 100 y r = 2. Compare la gr´afica con la resultante cuando N0 = 100 y r = 3. ¿Qu´e poblaci´on crece mas deprisa? (b) La velocidad r es una cantidad importante ya que describe la velocidad de cambio de la poblaci´ on. Suponga que se determina el tama˜ no de la poblaci´on al principio y al final de un periodo de tiempo de longitud 1, y se obtiene que al comienzo hab´ıa 200 individuos y tras una unidad de tiempo hay 250 individuos. Determine r. [Sugerencia: Considere la raz´on N (t + 1)/N (t)] 30. Un investigador en fisiolog´ıa establece que la funci´on r(s) = −s2 + 12s − 20 es un modelo matem´ atico que describe el n´ umero de impulsos emitidos por una persona, despu´es que se ha estimulado un nervio. La variable s es el n´ umero de segundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. Graficar la funci´on e interpretarla en el contexto del problema. 31. En una poblaci´ on de 5 mil personas se est´a transmitiendo una infecci´on estomacal por bac5000t terias. Sea p(t) = el n´ umero de personas infectadas t d´ıas despu´es del comienzo t + 100 de la epidemia. Los estudios indican que la tasa con la cu´al se propaga la epidemia es q(5000 − q) r(q) = donde q es el n´ umero de personas. 10000 (a) Hallar r ◦ p e interprete el resultado en el contexto del problema.

(b) ¿Cu´ antas personas estar´ an infectadas despu´es de una semana? (c) ¿Cu´ al es la tasa de propagaci´on despu´es de una semana?

32. Despu´es de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el n´ umero de estudiantes infectados despu´es de t d´ıas, se pronostica por N (t) =

3000 1 + 2999e−0.895t

(a) ¿Cu´ antos estudiantes estar´ an infectados despu´es de 10 d´ıas? (b) ¿En qu´e per´ıodo de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes? 33. Las ondas cerebrales empezaron a identificarse a ra´ız de los estudios del sue˜ no. Partiendo de estas investigaciones se dividen las posibles ondas cerebrales en cuatro grupos diferentes: beta, alfa, zeta, delta. La siguiente figura muestra un encefalograma de las ondas producidas durante el sue˜ no (tipo alfa) en el cerebro humano. Si la gr´afica de la funci´on W (t) = a sin(bt + c) + d, con t tiempo medido en segundos, representa a estas ondas ¿cu´al es el valor de a , b , c y d ?

34. Al inyectar un determinado f´ armaco a una rata de laboratorio se observa que el animal presenta variaciones de temperatura en su sistema interno. Se logra establecer que dichas variaciones de temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la funci´on 1 f (x) = 3 − sin(2x − π) 2 d´onde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el f´armaco (en minutos). (a) Graficar la funci´ on f indicando amplitud, per´ıodo y desplazamiento de fase (b) A partir de la gr´ afica, indique informaci´on relevante del problema. 35. Un paciente en reposo inspira y expira 0.5 litros de aire cada 4 segundos. Al final de una expiraci´ on, le quedan todav´ıa 2.25 litros de aire de reserva en los pulmones. Despu´es de t segundos de iniciado el proceso, el volumen de aire en los pulmones (en litros), en funci´ on del tiempo es � � πt V (t) = 2.5 − 0.25 cos 2 . (a) Graficar la funci´ on volumen. (b) ¿En qu´e instante el volumen es m´aximo? (c) ¿En qu´e instante el volumen es m´ınimo? (d) ¿Cu´ al es el valor del volumen m´aximo y m´ınimo?