UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ESCUELA DE QUÍMICA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA ASESORÍA NACIONAL DE QUÍMICA

FASCÍCULO EDUCATIVO

MEDACIONES, CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE: ¨PARA DEJARSE DE VARAS1¨

Lic. Randall Syedd L., UNA Lic. Giovanni Obando, MEP

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Nota: La vara era una unidad de longitud española antigua que equivalía a 3 pies. La vara castellana, o de Burgos, medía 0,8359 m, y estaba dividida en dos codos, tres pies o cuatro palmos. Sirve de base para la medición de área conocida como manzana equivalente a 10.000 varas cuadradas (100 × 100 varas; es decir: 83,59 × 83,59 = 6.987,29 m²).

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Cifras significativas e incertidumbre en las mediciones ¿Qué es una medición? ¿Puede decirme qué hora es, exactamente? Cuando lo haga, ¿cómo se sabe qué tan exacta es la hora? ¿Se podría ser más exacto con el tiempo que se está dando? ¿Cómo se da cuenta que la hora que lee es la correcta y no otra? Si por ejemplo vemos el Sol, podemos decir que es de día, pero podemos aproximarnos más diciendo que estamos en la mañana y aún la aproximación puede ser mayor al observar el reloj, podríamos dar el tiempo con horas, minutos y hasta segundos.

Fig.1. En Londres algunas personas utilizan el famoso Big Ben para saber la hora.

En todos los casos en que se calcule una longitud, se pese algún material, se lea un reloj o una temperatura, estamos haciendo una medición.

Esta se define como una

comparación entre el objeto por medir y un patrón establecido. Se podríamos decir que un mecate mide 30 manos; pero, como las manos son de diferentes tamaños, esa medida no serviría como patrón. Por lo tanto, se debe utilizar un patrón universal, tal y como se hace en el Sistema Internacional de Unidades (SI).

Al observar los instrumentos de las figuras siguientes, se pueden ilustrar los conceptos “medición” y “exactitud”. ¿Cuál de los tres recipientes se puede considerar más apto para medir y cuál es más exacto?

(a)

(b)

(c)

Figura 2. a) disolución de Cr3+ acuoso medida en un beaker, b) disolución de Cr3+ acuoso medida en una probeta, c) disolución de Cu2+ acuoso medida en una pipeta graduada. (Fotos: R. Syedd, 2008; cortesía Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica).

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En la figura 2(a) aparece un beaker graduado cada 20 mililitros (mL) y la lectura del volumen podría ser 50 mL, 58 mL o, cualquier otra lectura que el observador considere apropiada, de acuerdo con la aproximación que realice. En la figura 2(b), tenemos una probeta graduada cada 1 mL (cada línea representa 1 mL) y se podría leer su volumen como 15 mL, pero otro observador podría leer 14 mL e incluso 14,8 mL, etc. En la figura 2 (c) se aprecia una pipeta graduada cada 0,1 mL y se puede observar una lectura de de la disolución de 1,5 mL; aunque, mejorando la lectura, se podría leer el volumen entre 1,52 mL ó 1,53 mL. En todos los casos anteriores, se puede notar que el observador al tratar de mejorar su lectura tiene un margen de inseguridad o incertidumbre en la medición que realiza.

Lo que se puede deducir a partir de la lectura de las tres figuras es que, entre menor sea la unidad de medición, más nos acercaremos al valor real que buscamos y esto se conoce como exactitud. Según Brown (2005) en Química, La Ciencia Central, la exactitud se define como qué tanto las mediciones individuales se acercan al valor correcto.

En el caso de las tres ilustraciones anteriores existe un margen de error en la lectura que se hace del volumen medido y este se produce, no solo por la

calibración

del

instrumento

que

estamos

utilizando (errores de equipo), sino también por fallas del observador (errores humanos). Esto se conoce en las ciencias experimentales como incertidumbre y, generalmente, se calcula como la mitad de la unidad más pequeña. En el caso de la bureta de la figura 3, podemos observar que la unidad de medida es el mililitro y la división más pequeña

es

0,1

mL.

Para la bureta la

Figura 3. Medición de una disolución en una bureta. Se observa la altura correcta a la que debe colocarse la mirada para evitar errores de apreciación.

incertidumbre se calcula de la siguiente forma:

i = 0,1 mL = + 0,05 mL 2

Ecuación 1: Al resultado de la división se le adiciona un + para indicar que es una “incertidumbre”

Lo anterior muestra que cualquier medición debe indicarse con dos decimales, siempre que se utilice ese instrumento para la medición de volúmenes. De acuerdo con la

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apreciación del observador, la lectura correcta sería 6,25 + 0,05mL por las siguientes razones: a. La cantidad 6,25 se obtiene al hacer el conteo de “líneas” de medición b. Como la línea del volumen no está en el 6,2 sino cerca de este, se calcula el siguiente decimal aproximado y en este caso se considera que es 5, por eso aparece 6,25. Este último dígito es calculado al “ojo %” y por eso se conoce como número inexacto. Para otro observador el último número podría ser 4 ó 3. c. La parte adicional a la medida, + 0,05 mL,

corresponde a la incertidumbre

(representada con el símbolo +) y siempre debe aparecer. La incertidumbre nos da un rango apropiado dentro del cual necesariamente esta el valor real. Para este caso el intervalo sería desde 6,20 hasta 6,30 mL. Es decir, desde 6,25 – 0,05 mL hasta 6,25 + 0,05 mL. d. Como la incertidumbre tiene 2 decimales, cualquier medición que se haga con ese instrumento debe expresarse con dos decimales. Si la medida se leyera en 6,3 según el criterio del observador, debe escribirse 6,30 + 0,05 mL, adicionando un cero para hacer que ambos tengan el mismo número de decimales.

Para el beaker de la figura 2(a), la incertidumbre se calcularía de la siguiente forma:

i = 20 mL = + 10 mL 2

Ecuación 2: cálculo de la incertidumbre del beaker de la figura 2(a)

Así, de acuerdo al autor, la lectura del volumen es 50 + 10 mL y el rango está entre 40 y 60 mL sin decimales porque la incertidumbre no los incluye.

Un hecho importante es la relación que existe entre la incertidumbre y la exactitud; entre más pequeña sea la incertidumbre del instrumento más exacto será el dato que se obtenga en la medición. Esto nos permite concluir que, entre los tres instrumentos vistos el más exacto es la pipeta. De la misma manera podríamos obtener la incertidumbre de una regla, un termómetro o un reloj, en fin, de cualquier objeto que utilicemos para medir, incluso una cuchara o una taza, tal y como aparece en las recetas en donde se indica “tome media cucharadita…”. Las unidades básicas del sistema internacional de unidades (SI) aparecen en el cuadro 1. En Costa Rica se adoptan a partir de1973, mediante decreto ejecutivo Nº 5292.

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Cuadro 1. Unidades básicas del sistema internacional de unidades (SI) Magnitud

Nombre

Longitud volumen Masa Tiempo corriente eléctrica temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa

Símbolo

metro metro cúbico kilogramo segundo amperio kelvin mole candela

m m3 kg s A K mol cd

Además de las unidades básicas o patrones, también se encuentran las unidades derivadas SI, de las cuales se ilustran algunos ejemplos en el cuadro 2. Cuadro 2. Unidades derivadas del sistema internacional de unidades (SI). Magnitud ángulo plano ángulo sólido velocidad angular aceleración angular frecuencia velocidad aceleración fuerza presión energía, trabajo, calor potencia densidad de flujo de potencia momento lineal, impulso momento angular carga eléctrica potencial eléctrico, fem flujo magnético resistencia conductancia inductancia capacitancia fuerza de campo eléctrico desplazamiento eléctrico fuerza de campo magnético densidad de flujo magnético temperatura Celsius flujo luminoso iluminación radioactividad

Nombre especial radián steradian

Símbolo rad sr

hertz

Hz

newton pascal julio watio

N Pa J W

culombio voltio weber ohm, ohmio siemens henrio faradio

C V Wb W S H F

tesla grados Celsius lumen lux becquerel

T ºC lm lx Bq

Equivalencia 1 1 rad/s rad/s2 s-1 m/s m / s2 kg m / s2 N / m2 kg m2 / s2, N m kg m2 / s3 , J/s W / m2 kg m/s, N s kg m2/s, N m s As W / A, J / C Vs V/A A /V, W-1 Wb / A C/V V / m, N /C C / m2 A/m Wb/ m2 , N/(A m) K cd sr lm/m2 s-1

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Acompañando las unidades básicas y las derivadas, se utilizan los prefijos. A pesar de que son pocos de ellos los usados, existe una gran variedad. Los más comunes se presentan en el cuadro 3. Cuadro 3. Prefijos utilizados en el sistema internacional de unidades. FACTOR 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

PREFIJO yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca

SÍMBOLO Y Z E P T G M k h d

FACTOR 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

PREFIJO deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

SÍMBOLO d c m µ n p f a z y

En el manejo correcto de las unidades de medición es importante destacar la presencia de cantidades que son exactas y las que no, para la correcta aplicación de las mismas. Números Exactos e Inexactos: Cuando queremos hacer una medición en Ciencias, se pueden utilizar dos tipos de números, los exactos que corresponden a cifras como la cantidad de monedas en un bolsillo, de mesas en el aula, la cantidad de piedras en un recipiente o el número de alumnos.

También están las cantidades inexactas que

corresponden a las que no se pueden saber con seguridad como el peso de una moneda o la distancia entre Paso Canoas y Heredia. Es en estas cantidades donde interviene las unidades como medidas de convención. El interés científico por unificar las mediciones ha creado una serie de procedimientos en el manejo de las unidades como los que se describen a continuación. Cifras significativas: En toda medición que hagamos, las cifras significativas son los dígitos que se conocen con certeza más un dígito que es incierto, precisamente derivado del posible error del instrumento y del observador. La medición de 6,25 mL calculada en la figura 3 tiene tres cifras significativas. El último dígito de una cantidad es un aproximado (tal y como vimos anteriormente). Siempre se escribe solamente un dígito estimado como parte de una medición y la extensión del número (cantidad de dígitos) está determinada por la incertidumbre del instrumento y el valor de la medida tomada. Considerando estos aspectos, se pueden establecer varias reglas para facilitar la comprensión en el manejo de las cifras significativas, estas se enuncian seguidamente:

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Regla 1: Todos los dígitos distintos de cero son significativos. Así por ejemplo: 1,365

cuatro significativas

23,7

tres cifras significativas

12

dos cifras significativas

Regla 2: Los ceros entre dígitos diferentes de cero son significativos. Así por ejemplo: 1,205

cuatro cifras significativas

10521

cinco cifras significativas

6,021

cuatro cifras significativas

Regla 3: Los ceros que aparezcan a la izquierda antes de un dígito distinto de cero no son significativos. Así por ejemplo: 0,0025

dos cifras significativas

0,0001

una cifra significativa

0,0222

tres cifras significativas

Regla 4: Después de la coma decimal, los ceros que aparezcan son significativos, respetando la regla anterior Así por ejemplo: 64,0

tres cifras significativas

0,03200

cuatro cifras significativas

0,1030

cuatro cifras significativas

Regla 5: Los ceros al final de cifras sin coma decimal pueden considerarse o no significativos, dependiendo del instrumento con el cual se hizo la medición. El número 5000 podría tener cuatro cifras significativas si los tres ceros fueran significativos. Si el último cero no es significativo tendría solo tres cifras significativas, y de esa forma sucesivamente. Se tiene certeza únicamente de que el 5 es significativo. Para evitar esa ambigüedad con este tipo de cifras se recurre al uso de la notación científica, la cual nos permite definir cantidades de cifras significativas.

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Ejemplos: 1,32 x 105

tres cifras significativas

2,00 x 105

tres cifras significativas

5.412 x 10-14 cuatro cifras significativas 1 x 10-5

una cifra significativa

Operaciones con cifras significativas

Cuando se desarrollan operaciones matemáticas con mediciones, se deben respetar algunas reglas básicas, que surgen por los posibles errores involucrados en las mediciones (humanos o del instrumento). En suma y resta:

Ejemplo:

5, 8 5 1 4 0, 4 2 5 4 5

+ 1 2, 5 5 18 , 8 2 6 8 5 El último dígito en cada sumando (en negrita) es un número incierto, por tanto al hacer la suma (o resta) el resultado es poco confiable.

Según el concepto de cifras

significativas, solo debe aparecer un número incierto, por ello, los resultados en sumas y restas se expresan con el menor número de decimales que tenga uno de los operandos. De esta forma, el resultado correcto en la suma anterior es 18,82 (sin redondear), debido a que la cifra 12,25 solo presenta dos decimales. Cabe resaltar que el resultado final debe ser redondeado de acuerdo con reglas establecidas que se explicaran más adelante.

En multiplicación y división:

Ejemplo:

15,689 0,693 3,654

= 2,9755

En este tipo de operaciones la regla indica que el resultado se debe expresar con la menor cantidad de cifras significativas que tenga uno de los factores, debido a que en cada uno de ellos el número incierto (en negrita y subrayado) está en último dígito. En este caso el valor 0,693 tiene tres cifras significativas por lo tanto, el resultado debe ser 2,98 (redondeado).

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Reglas de Redondeo

En la mayoría de operaciones en que se utilizan cifras significativas es necesario acortar los resultados por

las reglas anteriores, haciéndose necesario redondear

cantidades. Para realizar este proceso existen los siguientes criterios:

Si el dígito que se va a redondear está seguido por un número menor o igual que 4, este permanece igual. Cantidad por redondear

7,5329 0,834 1760

Redondear a 3 cifras significativas 2 cifras significativas 3 cifras significativas

Resultado final

7,53 0,83 1,76 x 103

Cuando el dígito a redondear está seguido por un dígito mayor o igual que 6, este se aumenta en una unidad. Cantidad por redondear

0,5764 15,99 67876

Redondear a 2 cifras significativas 3 cifras significativas 3 cifras significativas

Resultado final

0,58 16,0 6,79 x 104

Si se va a redondear un dígito que va seguido por un 5, se procede, según sea par o impar, de la siguiente manera: Número par: El número por redondear permanece igual. Cantidad por redondear

2,3654 5,25 1885

Redondear a 3 cifras significativas 2 cifras significativas 3 cifras significativas

Resultado final

2,36 5,2 1,88 x 103

Número impar: El número por redondear se aumenta en uno. Cantidad por redondear

4,7752 72,35 67542

Redondear a 3 cifras significativas 3 cifras significativas 2 cifras significativas

Resultado final

4,36 72,4 6,8 x 104

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Una vez que se apliquen las reglas anteriores, tanto en la toma de mediciones como en las operaciones con estas, se puede estar más seguro de que los reportes serán más precisos y más exactos.

La precisión la definiremos como la concordancia entre varios valores de una misma medición. Esto es, cuando medimos el mismo objeto y con el mismo instrumento, si las medidas son semejantes, podemos asegurar que estas son precisas.

En el caso de la exactitud, ya definida en el texto, no necesariamente debe coincidir con la precisión. Esto se explica con el ejemplo que se describe a continuación. Tres famoso futbolistas hicieron tres lanzamientos de penales para determinar cual era mejor considerando aspectos de precisión y exactitud, los resultados de los tres penales de cada uno se ilustran en las caricaturas de las figuras 4, 5 y 6.

Figura 4. Lanzamiento de tres penales de Ronaldo de la selección de Brasil. Ronaldo tuvo una exactitud alta porque anotó dos de los tres penales. No obstante, su precisión no fue muy alta debido a que cada uno de sus tiros fueron algo dispersos entre sí.

Figura 5. Lanzamiento de tres penales de Ronaldinho de la selección de Brasil. Ronaldinho tuvo una exactitud muy baja porque no anotó ninguno de los penales. Su precisión también fue muy baja debido a que cada uno de sus tiros fueron muy dispersos entre sí.

Figura 6. Lanzamiento de tres penales de Wanchope de la selección de Costa Rica. Pablo tuvo una excelente exactitud porque anotó todos sus penales. Además su precisión también fue excelente debido a que todos sus tiros estaban muy próximos entre sí.

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Debido a que ninguno de ellos es experto en mediciones científicas contratan los servicios de un árbitro sumamente experimentado, el cual se muestra en la figura 7. Todos los jugadores discutieron entre sí diciendo que cada uno había tenido mejor precisión y exactitud. Como el arbitro tardaba mucho en dar su decisión, Ronaldhino se enojó mucho y le gritó a Homero. Como éste no sabía que decir, sacó sus libros de química que tenía del colegio y encontró la respuesta (¡Wanchope era el ganador!). Homero dio su veredicto: Wanchope

ganó

y;

Ronaldo

y

Ronaldinho

fueron

Figura 7. Homero Simpson, árbitro oficial de la competencia de precisión y exactitud.

expulsados por tratar de confundir al árbitro. ¡Oeeeh, Oeeh, Oeeh, Oeeeeh, ticos!.

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