UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA CD. MENDOZA, VER.

“CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS”

TRABAJO PARA ACREDITAR LA EXPERIENCIA RECEPCIONAL DEL PROGRAMA EDUCATIVO DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

MODALIDAD: TESIS

ALUMNO: ANAID AURORA FIGUEROA HERNÁNDEZ

ASESOR: DR. RUBÉN VILLAFUERTE DÍAZ

CD.MENDOZA.,VER.

FECHA:___AGOSTO___

DEDICATORIA

Dedico esta tesis a mis padres, por haberme brindado su comprensión, y apoyo incondicional durante toda mi carrera, por sus consejos que me orientaron a tomar las mejores decisiones y por creer en mí. A mi padre, por siempre tener las palabras que necesitaba para seguir adelante. A mi madre, por ser, antes que madre, amiga, por escuchar siempre lo que tenia que decir.

A mi hija, que llego en el momento indicado, quien fue el impulso que necesite durante este proceso, quien es la luz que guía mi camino, y por quien quiero ser mejor persona.

A mi tío, quien siempre ha estado ahí para apoyarme, escucharme, y dándome lo mejor de él.

A mi hermana, por su amistad y comprensión.

A mis maestros, quienes me brindaron un poco de todo el conocimiento que tienen, y a los que en algún momento, me dieron consejos, ayudándome a enderezar mi rumbo.

Gracias a cada uno de ustedes, por formar parte de mi vida, porque sin ustedes no sería lo que soy.

ii

INDICE RESUMEN .................................................................................................................... i INTRODUCCION ........................................................................................................ 1 CAPITULO I: INDUCCION ELECTROMAGNETICA 1.1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA ............................................................... 4 1.2 AUTOINDUCTANCIA O COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN. ..................... 9 1.3 INDUCTANCIA MUTUA O COEFICIENTE DE INDUCCIÓN MUTUA. ............ 12 1.4 LA FÓRMULA DE NEUMANN. ........................................................................ 15 1.5 INDUCTANCIAS EN SERIE Y EN PARALELO ............................................... 17 CAPITULO II: INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE LAS MAQUINAS 2.1 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA ............................................................................................................ 21 2.2 EL CAMPO MAGNETICO................................................................................ 31 2.3 LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO MAGNÉTICO VARIABLE. ............................................................................................................ 50 2.4 PRODUCCIÓN DE FUERZA INDUCIDA EN UN ALAMBRE........................... 55 2.5 VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE SE MUEVE EN UN CAMPO MAGNÉTICO ......................................................................................................... 57 2.6 MATERIALES MAGNÉTICOS Y SUS PROPIEDADES................................... 58 CAPITULO III: PRINCIPIOS BASICOS DE LAS MAQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA 3.1 VOLTAJE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CA ................................................ 62 3.2 PAR INDUCIDO EN UNA MÁQUINA DE CA ................................................... 70 3.3 AISLAMIENTO DEL DEVANADO EN UNA MÁQUINA DE CA........................ 77 3.4 FLUJO DE POTENCIA Y PÉRDIDAS EN MÁQUINAS DE CA........................ 78 3.5 CONSTRUCCIÓN DE GENERADORES SÍNCRONOS .................................. 83 3.6 LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DE UN GENERADOR SÍNCRONO ............ 88 3.7 EL VOLTAJE INTERNO GENERADO POR UN GENERADOR SÍNCRONO .. 89 3.8 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA OPERACIÓN DE LOS MOTORES ................ 90 CAPITULO IV: SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE CAMPOS MAGNETICOS 4.1 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UN CONDUCTOR RECTILINEO. ...... 95 ii

4.2 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA BOBINA O SOLENOIDE. .......... 97 4.3 ARREGLOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES ................................. 100 CONCLUSIONES.................................................................................................... 106 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 110

INDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Bobina toroidal. ........................................................................................ 10 Figura 1.2 Conexión en serie de dos inductores. ...................................................... 17 Figura 1.3 Conexión en paralelo de dos inductores .................................................. 19 Figura 2.1 a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por un eje de rotación 𝜏 = 0. ........................................................................................................... 26 b) Una fuerza aplicada a un cilindro de manera que su linea de acción no pase por eje de rotación . Aquí 𝜏 va en sentido opuesto a las manecillas del reloj. ................. 26 Figura 2.2 Obtención de la ecuación del par en un objeto. ....................................... 28 Figura 2.3 Un núcleo magnético sencillo. .................................................................. 33 Figura 2.4 a) Circuito eléctrico sencillo. b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador. ..................................................................................................... 37 Figura 2.5 Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza magnetomotriz en un circuito magnético. ............................................................................................... 39 Figura 2.6 Efecto marginal de un campo magnético en un entrehierro.. ................... 41 Figura 2.7 a) Curva de magnetización con cc para un núcleo ferromágnetico. b) Curva de magnetización en términos de densidad de flujo e intensidad de campo magnético. c) Curva de magnetización detallada para una pieza típica de acero. .... 45 Figura 2.8 Curva o lazo de histéresis por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente 𝑖𝑡. ............................................................................................................... 46 Figura 2.9 a) Dominios magnéticos orientados al azar. b) Dominios magnéticos alineados en presencia de un campo magnético externo. ........................................ 48 Figura 2.10 Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotriz en la magnitud de las pérdidas por histéresis. ................................................................... 50 Figura 2.11 Significado de la ley de Lenz. a) Una bobina encierra un flujo magnético creciente. b) Determinación de la polaridad del voltaje resultante. ........................... 53 Figura 2.12 Un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético. 56 Figura 2.13 Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético. ..... 58 Figura 3.1 b) Vectores de densidad de flujo magnético y de velocidad a los lados de la bobina. Las velocidades se muestran desde un marco de referencia en el cual el 2T

2T

iii

campo magnético es estacionario. c) Distribución de densidad de flujo en el entrehierro. ................................................................................................................ 66 Figura 3.2 Producción de voltajes trifásicos con bobinas espaciadas 120°. ............. 69 Figura 3.3 Máquina ac simplificada con distribución sinusoidal del flujo del estator y una bobina sencilla de alambre montada en el rotor. ................................................ 72 Figura 3.4 Campo magnético en una espira del rotor. .............................................. 73 Figura 3.5 Máquina síncrona simplificada que muestra los campos magnéticos del rotor y el estator. ....................................................................................................... 76 Figura 3.6 a) Diagramas de flujo de potencia en un generador ca trifásico. b) Diagrama de flujo de potencia en un generador ca trifásico...................................... 82 Figura 3.7 Rotor de polos no salientes en una máquina sincrónica. ......................... 84 Figura 3.8 Rotor de seis polos salientes en máquina sincrónica. .............................. 84 Figura 3.9 Circuito excitador sin escobillas.. ............................................................. 87 Figura 3.10 Gráfica del flujo contra la corriente de campo para un generador síncrono. b) Curva de magnetización del generador síncrono. ................................. 90 Figura 3.11 Motor síncrono de dos polos. ................................................................. 91 Figura 3.12 a) Circuito equivalente completo de un motor síncrono trifásico. b) Circuito equivalente por fase. .................................................................................... 93 Figura 3.13 a) Diagrama fasorial de un generador síncrono que opera a factor de potencia en atraso. b) Diagrama de campo magnético. ............................................ 94 Fig. 4.1a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 10 Amperes. ................................................................................................................... 96 Fig. 4.1b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor. ................. 96 Fig. 4.2a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 5 Amperes. ................................................................................................................... 97 Fig. 4.2b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor. ................. 97 Fig.4.3a Distribución de la densidad de campo ......................................................... 98 Fig.4.3b Magnitud de la densidad de flujo en el centro de bobina............................. 98 Fig.4.3c Magnitud de la densidad de flujo en función de la distancia a la bobina que transporta corriente. .................................................................................................. 98 Fig.4.4a Distribución de la densidad del campo magnético en un solenoide. ........... 99 Fig.4.4.b Magnitud de la densidad de flujo ................................................................ 99 Fig.4.5 Distribución de la densidad del campo magnético en una red cuatro bobinas. ................................................................................................................................ 100 Fig.4.6. Distribución del campo magnético. ............................................................. 101 Fig. 4.7a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 102 Fig. 4.7 b Distribución del campo magnético. .......................................................... 102 Fig. 4.8a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 103 Fig. 4.8b Distribución del campo magnético. ........................................................... 103 Fig. 4.9a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 104 Fig. 4.9b Distribución del campo magnético. ........................................................... 104 iv

Fig. 4.9.a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ...... 105 Fig. 4.8 b Distribución del campo magnético. .......................................................... 105 Figura A. Motor construido. ..................................................................................... 107 Figura B. Programa Vizimag. .................................................................................. 108 Figura C. Simulación del campo magnético de un solenoide. ................................. 108

INDICE DE TABLAS Tabla 2.1. Permeabilidades relativas de algunos materiales diamagnéticos. ........... 59 Tabla 2.2. Permeabilidades relativas de algunos materiales paramagnéticos…..…..60

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RESUMEN Los campos magnéticos y el electromagnetismo en la construcción de máquinas eléctricas con el paso de una corriente eléctrica inducen una magnitud llamada flujo magnético, que es la cantidad de líneas de inducción magnética que atraviesan una superficie.

Para estudiar y entender el comportamiento de estas fuerzas magnéticas que no se pueden ver físicamente, a se utiliza en el presente trabajo el programa Vizimag que es una aplicación que es de gran ayuda para la visualización, simulación y modelización de campos magnéticos, con esta herramienta será posible el análisis y simulación de líneas de campo magnético tanto como la densidad de flujo, y se podrá medir y trazar.

En este trabajo y para que esta investigación se acercara a la realidad, se construyo un motor trifásico de corriente alterna, con el cual se podrá observar el comportamiento en estado permanente del movimiento del rotor, cuando se le aplica un excitación trifásica balanceada.

Con el uso de Vizimag se realizan simulaciones de lo más simple a lo más complejo, iniciando con la simulación de la corriente de un conductor rectilíneo, se observa que el campo magnético alrededor de un conductor largo y recto es de forma circular, siendo este mayor lo mas próximo al conductor y disminuyendo conforme aumenta la distancia concéntrica a este.

i

Al llevar a cabo la simulación con una bobina se obtuvo el comportamiento del campo magnético en la vecindad de esta, y su distribución cuando se cambia el borne de la corriente de entrada. Se hicieron diferentes arreglos para que la forma del campo magnético se aproximara a la situación real que existe en el estator del motor construido, un ejemplo de ellos fue, la simulación y análisis de la interacción de cuatro bobinas separadas uniformemente.

Se colocó en el interior de cuatro bobinas que simulan cuatro magnetos, un arreglo propio del programa Vizimag que simula un magneto que produce una cantidad determinada de flujo magnético, el cual se hizo girar en cuatro posiciones diferentes.

Para observar el comportamiento del magneto interior, se calcula la fuerza resultante y su ángulo para hacer notar la forma en la cual tiende a girar éste.

Esto ejemplifica el funcionamiento de un motor de corriente alterna, como es que la inducción que produce el magneto gire y cambie su polaridad conforme éste lo va haciendo. Lo más importante es que se pueden visualizar con la simulación digital las líneas del campo magnético que producen que la rotación sea posible.

ii

INTRODUCCION Las magnitudes características de los imanes se denominan fuerzas magnéticas. El desarrollo de la física amplió el conocimiento sobre el tipo de objetos que sufren y ejercen fuerzas magnéticas. Las corrientes eléctricas y, en general, las cargas magnéticas en movimiento se comportan como imanes, es decir, producen campos magnéticos. Siendo las cargas móviles las últimas en llegar al panorama del magnetismo y estas sin embargo han permitido, explicar el comportamiento de los imanes, esos primeros objetos magnéticos conocidos desde la antigüedad.

Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los fenómenos eléctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas partes de la física en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James Clark Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su teoría electromagnética, una de las más bellas construcciones conceptuales de la física clásica.

El funcionamiento de los motores de corriente alterna establece que si un conductor por el que circula una corriente eléctrica se encuentra dentro de la acción de un campo magnético, éste tiende a desplazarse perpendicularmente a las líneas de acción del campo magnético.

El conductor tiende a funcionar como un electroimán debido a la corriente eléctrica que circula por el mismo adquiriendo de esta manera propiedades magnéticas, que provocan, debido a la interacción con los polos ubicados en el estator, el movimiento circular que se observa en el rotor del motor. 1

En este trabajo de investigación se estudia desde principios básicos hasta el comportamiento del campo magnético, mediante simulaciones, para comprender como se produce el giro en un motor trifásico de corriente alterna, dividiéndolo el estudio en cuatro capítulos.

El primer capitulo trata del estudio de las corrientes eléctricas producidas mediante campos magnéticos a las que Michael Faraday las llamó corrientes inducidas. Desde entonces al fenómeno consistente en generar campos eléctricos a partir de campos magnéticos variables que se denomina inducción electromagnética. La inducción electromagnética constituye una pieza destacada en ese sistema de relaciones mutuas entre electricidad y magnetismo que se conoce con el nombre de electromagnetismo.

El capitulo dos contiene un breve repaso de los conceptos de distancia, velocidad, aceleración, ley de Newton y potencia, los cuales son aplicados a las maquinas rotatorias para usos prácticos en la aplicación de las maquinas eléctricas que cumplen funciones especificas. Como la producción del campo magnético, leyes importantes, formulas que nos ayudan ala determinación de la fuerza inducida, como el voltaje que se necesita para estas máquinas, y materiales magnéticos que por sus propiedades ayudan a obtener una mayor concentración en el campo magnético.

El capítulo tres, contempla lo necesario para la construcción de un motor de corriente alterna, las formulas que requerimos para los cálculos, el voltaje necesario, el par que produce, la potencia requerida para que gire el motor y las pérdidas que se producen en este tipo de maquinas y que debemos considerar así como el principio básico del funcionamiento de estas.

2

En el capitulo cuarto se realizan las simulaciones de las bobinas que conducen el campo magnético, contemplando desde la corriente que pasa por un conductor rectilíneo hasta las corrientes que provocan el giro de un motor para su funcionamiento.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

CAPITULO I INDUCCION ELECTROMAGNETICA La inducción de una fuerza electromotriz al cambiar el flujo magnético se observó por primera vez por Faraday y Henry a principios del siglo XIX. A partir de sus experimentos

iniciadores

se

han

creado

los

generadores

modernos,

los

transformadores, etc. Este capítulo trata primordialmente la formulación matemática de la ley de la inducción electromagnética, y su aprovechamiento en casos simples.

1.1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Los resultados de un gran número de experimentos pueden resumirse asociando una fem

𝜀=−

𝑑Φ 𝑑𝑡

(1.1)

Con un cambio en el flujo magnético que pasa por un circuito. Este resultado, que se conoce por la ley de Faraday de la inducción electromagnética, se ve que es independiente de la forma en la que se cambia el flujo (el circuito puede distorsionarse o moverse, o el valor de B en varios puntos interiores al circuito puede cambiarse). Es muy importante darse cuenta de que la ecuación (1.1) representa una ley experimental independiente (no puede deducirse de otras leyes experimentales y efectivamente no es, como se dice a veces, una consecuencia de la conservación de la energía aplicada al equilibrio de energía de corrientes en campos magnéticos.

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Como por definición:

(1.2)

𝜀 = � 𝐄 ∙ 𝑑𝐥 Y

Φ = � 𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑎,

(1.3)

𝑠

La ecuación (1.1) puede escribirse como:

� 𝐄 ∙ 𝑑𝐥 = −

𝑑 � 𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑎. 𝑑𝑡 𝑠

(1.4)

Si el circuito es un circuito rígido estacionario, la derivada respecto al tiempo puede ponerse dentro de la integral, donde se convierte en una derivada parcial respecto al tiempo. Además, el teorema de Stokes puede usarse para transformar la integral de línea de E a la integral de superficie de rot E. El resultado de estas transformaciones es:

� 𝐫𝐨𝐭 𝐄 ∙ 𝐧 𝑑𝑎 = − � 𝑠

𝑠

𝜕𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑎. 𝜕𝑡

(1.5)

Como esto debe verificarse para todas las superficies S, se sigue que: 𝐫𝐨𝐭 𝐄 = −

𝜕𝐁 𝜕𝑡

(1.6)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Que es la forma diferencial de la ley de Faraday. Medios móviles y otras condiciones sutiles requieren un tratamiento más cuidadoso, que está más allá del alcance de este texto.

El signo negativo en la ley de Lenz indica, como se puede demostrar fácilmente, que el sentido de la fem inducida es tal que tiende a oponerse al cambio que la produce. Así, si intentamos aumentar el flujo que pasa por un circuito, la fem inducida tiende a crear corrientes en tal sentido que disminuya el flujo. Si intentamos introducir un polo de un imán en una bobina, las corrientes originadas por la fem inducida forman un campo magnético que tiende a repeler el polo. Todos estos fenómenos están comprendidos en la ley de Lenz, que puede enunciarse como sigue:

En caso de que haya un cambio en un sistema magnético, sucede algo que tiende a oponerse al cambio.

Es claro que esto tiene en cuenta el sentido de la corriente y el sentido de la fuerza electromotriz de los ejemplos dados anteriormente. La utilidad de la ley de Lenz no debe menospreciarse. En muchos casos representa la forma más rápida, si no la única, de obtener información acerca de reacciones electromagnéticas. Aun si se dispone de otros métodos, permite una comprobación valiosa.

Hay un caso especial de la ley de Faraday en la que la fem puede deducirse de la fuerza de Lorentz y de la conservación de la energía.

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Supongamos que un conductor recto se desliza sobre un par de rieles horizontales separados una distancia l. Supongamos que hay un campo magnético B perpendicular al plano de los rieles y que una fuente de fem 𝜀0 , , se conecta entre dos rieles.

Debido a la intensidad, I, de la corriente, el conductor experimenta una fuerza de magnitud 𝐹 = 𝐵𝐼𝑙 hacia la derecha. Por esta fuerza, se acelera hacia la derecha y se mueve en un instante particular, con una velocidad v; por tanto el trabajo se está efectuando a una razón 𝐹𝑣. La fem 𝜀0 está suministrando potencia a la razón 𝜀0 𝑰. Por

tanto,

𝜀0 𝑰 = 𝑰𝟐 𝑹 + 𝑭𝑣

(1.7)

Como resultado, 𝐼 es menos que el valor original, 𝜀0 /𝑅 , y, en consecuencia, la

fuerza magnética es distinta. Para evitar esta dificultad, se añade una fem 𝜀´ variable, adicional, en serie con 𝜀0 , de tal magnitud (variable) que mantenga 𝐼 constante. Entonces, en lugar de (1.7), tenemos:

(𝜀0 + 𝜀´)𝐼 = 𝐼 2 𝑅 + 𝐹𝑣

(1.8)

𝜀´𝐈 = 𝐁𝐈𝑙𝑣

(1.9)

Por la elección de 𝜀´, 𝜀0 𝐼 = 𝐼 2 𝑅, de donde:

Eliminando las 𝐼 se tiene:

𝜀´ = 𝐵𝑙𝑣 =

𝑑Φ ; 𝑑𝑡

(1.10)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Sin embargo, 𝜀´ no es la fem inducida, es el negativo de ella, esto es, la fem que debe añadirse a 𝜀0 para mantener constante la corriente. Por tanto,

𝜀=−

𝑑Φ ; 𝑑𝑡

(1.11)

En concordancia con la ecuación (1.1). la ecuación: 𝜀 = −𝐁𝑙𝑣

(1.12)

Puede generalizarse escribiéndola en notación vectorial. Si v se orienta arbitrariamente con respecto

a 𝑙, entonces la única componente de v que es

perpendicular a 𝑙 contribuye a 𝜀 . Por tanto, 𝜀

es proporcional a 𝒍 × 𝒗. Para B

arbitrariamente, únicamente la componente perpendicular al plano de 𝑙 contribuye a 𝜀 . Como 𝑙 × 𝑣 es perpendicular al plano 𝑙, 𝑣, 𝜀 puede escribirse:

𝜀 =𝐁∙𝒍 ×𝒗

y 𝑣

(1.13)

Excepto posiblemente por un signo menos. Nuevamente debe observarse que la ecuación (1.13) es solo un caso especial de la ecuación (1.1). La deducción de la ecuación (1.13) no demuestra la ecuación (1.1), puesto que la única clase de cambio que se ha considerado es el cambio en el área del circuito. La fem es (1.13) se llama fem por movimiento.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

1.2 AUTOINDUCTANCIA O COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN.

En este artículo se estudiara la relación que hay entre el flujo y la intensidad de corriente asociada con un circuito aislado y se aprovechara con el fin de introducir el parámetro práctico de un circuito: la autoinductancia.

𝐵(𝑟2 ) =

𝜇0 𝑑𝑙1 × (𝑟2 − 𝑟1 ) 𝐼1 � |𝑟2 − 𝑟1 |3 4𝜋 1

(1.13)

El flujo magnético que atraviesa un circuito aislado depende de la forma geométrica del circuito y, según la ecuación (1.13), es linealmente dependiente de la intensidad de la corriente en el circuito. Por tanto, para un circuito estacionario, rígido, los únicos cambios en flujo resultan de los cambios de corriente. Esto es: 𝑑Φ 𝑑Φ 𝑑𝐼 = , 𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝑑𝑡

(1.14)

Que es válida aun cuando la ecuación (1.13.1) no lo sea; el único requisito es que 𝜑

dependa solo de la corriente. No obstante, si la ecuación (1.13.1) es válida o, con mayor generalidad, si Φ es directamente proporcional a la intensidad de la corriente, entonces 𝑑Φ/𝑑𝐼 es una constante, igual a Φ/𝐼. En cualquier caso, la inductancia o coeficiente de inducción, L, se define por:

𝐿=

𝑑Φ . 𝑑𝑡

(1.15)

Cuando es esencial diferenciar entre esta y Φ/𝐼, 𝑑Φ/𝑑𝐼 se llama inductancia

incremental; a menos que se indique en otra forma es más seguro asociar la palabras inductancia con la ecuación (1.15). De las ecuaciones (1.14), (1.15) y (1.1) 9

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

se sigue que la expresión de la fem inducida, es una ecuación de importancia práctica considerable.

𝜀 = −𝐿

𝑑𝐼 , 𝑑𝑡

(1.16)

Figura 1.1 Bobina toroidal.

Como ilustración de empleo de la ecuación (1.15) para el cálculo de la inductancia, se calculara la autoinductancia de una bobina toroidal. Dicha bobina se representa en la figura 1.1 la ecuación (1.15) se aplica a un circuito completo, esto es, no solo a la bobina toroidal de la figura 1.1, sino también al circuito externo conectado a las terminales 1 y 2.

Utilizando conductores torcidos o un cable coaxial, que no producen esencialmente campo magnético externo, la proporción productora del campo del circuito externo puede suprimirse a una distancia suficientemente grande de modo que no contribuya al flujo en el toroide. Si se hace esto y se entiende por fem la fem entre las terminales 1 y 2, entonces la ecuación (1.15) puede utilizarse para obtener la inductancia de la 10

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

bobina toroidal. De la ley circuital de Ampere, la inducción magnética en el interior de una bobina toroidal es:

𝐵= Donde:

𝜇0 𝐍𝐈 , 𝑙

(1.17)

N= Número de vueltas 𝑙= Longitud media

𝐼= Intensidad de la corriente en el enrollamiento.

Las ecuaciones (1.17) y (1.18) implican la aproximación de despreciar la variación de la inducción magnética sobre el área de la sección transversal. El flujo que atraviesa cada vuelta es entonces:

Φ1 =

𝜇0 𝐍𝐈𝐀 , 𝑙

(1.18)

y el flujo total que pasa por las N vueltas es: 𝜇0 𝑵𝟐 𝐀 Φ= 𝐼. 𝑙

(1.19)

La inductancia es, entonces, simplemente: 𝑑Φ 𝜇0 𝑵𝟐 𝐀 𝐿= = . 𝑑𝐼 𝑙

(1.20)

La unidad práctica de inductancia es el Henry que, de la ecuación (1.15), es igual a un volt-segundo/ampere. La ecuación (1.20) indica que las dimensiones de 𝜇0 , que 11

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se han dado anteriormente como weber/ampere-metro, pueden darse en alternativa como henries/metro.

1.3 INDUCTANCIA MUTUA O COEFICIENTE DE INDUCCIÓN MUTUA.

En el artículo anterior solo se consideraron circuitos aislados, de modo que todo el flujo que atravesaba el circuito se debió a la corriente en el circuito mismo. Esta restricción puede eliminarse si se supone que hay 𝑛 circuitos, etiquetados 1,2,….. El

flujo que atraviesa uno de estos circuitos, digamos, el etiquetado 𝑖, puede expresarse por:

𝑛

Φ𝑖 = Φ𝑖1 + Φ𝑖2 + ⋯ + Φ𝑖𝑖 + ⋯ + Φ𝑖𝑛 = � Φ𝑖𝑗 .

(1.21)

𝑗=1

Esto es, puede escribirse como una suma de los flujos debidos a cada uno de los 𝑛

circuitos, siento Φ𝑖1 el flujo que pasa por el i-ésimo circuito debido al circuito 1, etc. La fem inducida en el i-ésimo circuito, 𝜀𝑖 , puede escribirse como: 𝑛

𝑑Φ𝑖𝑗 𝑑Φ𝑖 𝑑Φ𝑖1 𝑑Φ𝑖𝑖 𝑑Φ𝑖𝑛 𝜀𝑖 = − = −� + ⋯+ + ⋯+ � = −� . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(1.22)

𝑗=1

Si cada uno de estos circuitos es uno estacionario, rígido, los únicos cambios en los Φ𝑖𝑗 son los que resultan de los cambios en las intensidades de las corrientes. Por tanto:

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝑑Φ𝑖𝑗 𝑑Φ𝑖𝑗 𝑑𝐼𝑗 = . 𝑑𝑡 𝑑𝐼𝑗 𝑑𝑡

(1.23)

Los coeficientes 𝑑Φ𝑖𝑗 /𝑑𝐼𝑗 son constantes, independientes de la corriente, si es adecuada la ecuación (1.13). Si no son constantes, pueden depender de la

intensidad de la corriente, debido a la no linealidad de los medios magnéticos asociados con la configuración del circuito. De cualquier modo,

𝑀𝑖𝑗 =

𝑑Φ𝑖𝑗 ; 𝑑𝐼𝐽

𝑖≠𝑗

(1.24)

Se define como la inductancia mutua entre el circuito 𝑖 y el circuito 𝑗. Se verá

posteriormente que 𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑗𝑖 y, en consecuencia, no hay posibilidad de ambigüedad

en los subíndices. Por supuesto, 𝑑Φ𝑖𝑗 /𝑑𝐼𝑗 es la autoinductancia del i-ésimo circuito,

para el cual se expresa 𝐿𝑖 𝑜 𝑀𝑖𝑖. Las unidades de la inductancia mutua son las mismas que las de la autoinductancia, es decir, Henries.

Como ejemplo de cálculo para la inductancia mutua, consideremos la configuración de la figura 1.1 con un segundo enrollado toroidal de 𝑁2 vueltas añadidas. Para esta

situación, una corriente de intensidad 𝐼1 en el primer enrollado produce una inducción

magnética.

𝐵= y, en consecuencia, flujos

Φ11 =

𝜇0 𝑁1 𝐼1 , 𝑙

𝜇0 𝑁12 𝐴𝐼1 𝑙 13

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y

Φ21 =

𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴𝐼1 . 𝑙

que

como antes, y

𝜇0 𝑁12 𝐴 𝐿1 = 𝑙

𝑀21 =

𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴 𝑙

(1.25)

(1.26)

Invirtiendo el procedimiento y considerando una corriente 𝐼2 , se tiene 𝜇0 𝑁22 𝐴 𝐿2 = , 𝑙

(1.27)

𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴 , 𝑙

(1.28)

𝑀2 =

Demostrando así que para este caso 𝑀12 = 𝑀21. Además, las ecuaciones (1.25), (1.26) y (1.27) pueden combinarse para dar:

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𝑀12 = �𝐿1 𝐿2 .

(1.29)

La ecuación (1.29) representa un límite que se impone sobre la inductancia mutua entre dos circuitos, es decir, siempre es menor o igual que la raíz cuadrada del producto de las autoinductancias de los dos circuitos. En vista de este límite, a menudo se introduce un coeficiente 𝑘 de acoplamiento y se define por: |𝑘| ≤ 1.

𝑀 = 𝑘�𝐿1 𝐿2 ,

(1.30)

1.4 LA FÓRMULA DE NEUMANN.

Para dos circuitos rígidos, estacionarios en un medio lineal (vacío por el momento), la inductancia mutua es:

𝑀21 =

Φ21 . 𝐼1

(1.31)

Esto es válido simplemente porque Φ21 es proporcional a 𝐼1 , haciendo que Φ21 /𝐼1 y

𝑑Φ21 /𝑑𝐼1 sean iguales. En este caso, la ecuación (1.13.1) puede usarse para calcular

𝑀21 . El flujo está dado por:

Φ21 =

𝜇0 𝑑𝐼1 × (𝑟2 − 𝑟1 𝐼1 � �� � ∙ 𝑛 𝑑𝑎2 . |𝑟2 − 𝑟1 |3 4𝜋 𝑆2 𝐶1

(1.32)

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�

𝑐1

Por tanto,

𝑀21 =

𝑑𝐼1 × (𝑟2 − 𝑟1 ) 𝑑𝐼1 = 𝑟𝑜𝑡 � ; 2 |𝑟2 − 𝑟1 |3 𝑐1 |𝑟2 − 𝑟1 |

Φ21 𝜇0 𝑑𝐼1 = � 𝑟𝑜𝑡2 �� ;� ∙ 𝑛 𝑑𝑎2 . 𝐼1 4𝜋 𝑠2 𝑐1 |𝑟2 − 𝑟1 |

(1.33)

(1.34)

Utilizando el teorema de Stokes para transformar la integral de superficie se tiene que se conoce como la fórmula de Neumann para la inductancia mutua. La simetría aludida anteriormente se evidencia en la ecuación (1.35).

𝑀21 =

𝜇0 𝑑𝐼1 ∙ 𝑑𝐼2 � � , 4𝜋 𝐶2 𝐶1 |𝑟2 − 𝑟1 |

(1.35)

La fórmula de Neumann es igualmente aplicable a la autoinductancia, en cuyo caso se expresa como:

𝐿 =

𝜇0 𝑑𝐼1 ∙ 𝑑𝐼´1 � � , 4𝜋 𝐶1 𝐶1 |𝑟2 − 𝑟´1 |

(1.36)

Debe tenerse cuidado al aplicar la ecuación (1.36), debido a la singularidad para en cálculo de la inductancia, excepto para circuitos en los que su forma geométrica sea simple. Pero la ecuación (1.35) en particular es muy importante en el estudio de fuerzas y momentos ejercidos por un circuito sobre otro.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

1.5 INDUCTANCIAS EN SERIE Y EN PARALELO

Las inductancias se conectan a menudo en serie y en paralelo, y, como son resistores y condensadores, es importante conocer el resultado de dichas conexiones. Podríamos proceder con una deducción basada simplemente en 𝜀 = −𝐿(𝑑𝐼/𝑑𝑡) y obtener fórmulas para la inductancia efectiva de dos inductancias en serie o en paralelo; sin embargo, hacer esto sería ignorar el hecho práctico de que un inductor siempre tiene alguna resistencia interna. Una inductancia perfecta es más fácil de realizar que una capacidad perfecta o una resistencia perfecta. Por este motivo, las combinaciones en serie y en paralelo de este artículo contendrán siempre resistencias e inductancias.

Figura 1.2 Conexión en serie de dos inductores.

Para dos inductores en serie, el circuito de la figura 1.2 es el adecuado. Al sumar las caídas de voltaje en el circuito, es importante observar que M puede ser positiva o negativa [cambiando el sentido en que 𝑐1o 𝑐2 se describen, se invierte el signo de M en la ecuación (1.35)]. Teniendo esto en cuenta, se ve que la suma de las caídas de voltaje del circuito de la figura 1.3 es: ∇𝑈 + 𝜀1 + 𝜀2 = 𝑅1 𝐼 + 𝑅2 𝐼,

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

O

∆𝑈 = 𝑅1 𝐼 + 𝐿1 Esto es equivalente a:

𝑑𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝐼 + 𝑀 + 𝑅2 𝐼 + 𝐿2 + 𝑀 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

∆𝑈 = (𝑅1 + 𝑅2 )𝐼 + (𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀)

𝑑𝐼 . 𝑑𝑡

(1.37)

(1.38)

El circuito se parece entonces a un resistor de resistencia𝑅1 + 𝑅2 en serie con una

inductancia 𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀. La magnitud de la inductancia es 𝐿1 + 𝐿2 + |2𝑀| para el

acoplamiento positivo (esto es, para fluidos debidos a 𝐼1 y a 𝐼2 en el mismo sentido en

cada bobina), y es 𝐿1 + 𝐿2 − 2|𝑀| para el acoplamiento negativo. Una descripción en alternativa de la inductancia mutua es :

𝑀 = 𝑘�𝐿1 𝐿2 ,

− 1 ≤ 𝑘 ≤ 1.

(1.39)

La inductancia efectiva del circuito en serie es entonces:

𝐿𝑒𝑓 = 𝐿1 + 2𝑘 �𝐿1 𝐿2 + 𝐿2 .

(1.40)

Si se puede variar 𝑘, entonces puede construirse una inductancia variable. (En los primeros días de la radio esta fue una forma popular para sintonizar circuitos resonantes).

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Figura 1.3 Conexión en paralelo de dos inductores.

La conexión en paralelo mostrada en la figura 1.3 no es tan simple como la del circuito en serie. De hecho, el circuito representado no se comporta como un circuito L-R en serie, simple. Por tanto, no es posible decir que la inductancia efectiva y la resistencia efectiva son ciertas funciones de 𝐿1 , 𝐿2 , 𝑅1 𝑦 𝑅2 . Sin embargo 𝑅1 𝑦 𝑅2 son despreciables, entonces:

∆𝑈 = 𝐿1

𝑑𝐼1 𝑑𝐼2 +𝑀 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡

∆𝑈 = 𝐿2

𝑑𝐼2 𝑑𝐼1 +𝑀 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(1.41)

Si primero se elimina 𝑑𝐼1 /𝑑𝑡 y luego 𝑑𝐼2 /𝑑𝑡 de las ecuaciones (1.41), se tienes como resultado:

∆𝑈 = (𝐿2 − 𝑀) = (𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 )

𝑑𝐼1 , 𝑑𝑡

(1.42)

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∆𝑈 = (𝐿1 − 𝑀) = (𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 ) Sumando éstas se tiene:

∆𝑈 =

𝑑𝐼2 . 𝑑𝑡

𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 𝑑𝐼 . 𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀 𝑑𝑡

Por tanto, la inductancia efectiva de dos inductores en paralelo es:

𝐿𝑒𝑓

𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 = , 𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀

(1.44)

Donde nuevamente el signo M depende de la forma en que los inductores se conecten.

El uso más importante de las inductancias es en circuitos de corriente alterna. Para un circuito que funciona a una sola frecuencia, puede obtenerse un circuito equivalente en serie para la figura 1.3; sin embargo, ambos, el equivalente de resistencia y el equivalente de inductancia dependen de la frecuencia. Esta dependencia de la frecuencia es la raíz de la dificultad que se encontró antes.

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CAPITULO II INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE LAS MAQUINAS

2.1 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA

Casi todas las maquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado flecha. Debido a la naturaleza rotatoria de la maquina es importante tener un conocimiento básico del movimiento rotatorio. Esta sección contiene un breve repaso de los conceptos de distancia, velocidad, aceleración, ley de Newton y potencia, los cuales son aplicados a las maquinas rotatorias.

En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las maquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringida a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección de rotación puede ser descrita ya sea en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario al de las manecillas del reloj (SCMR). Para los propósitos de este volumen, un ángulo de rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj será positivo y en el sentido de las manecillas del reloj será negativo. En cuanto a la rotación sobre un eje fijo, todos los conceptos de esta sección se reducen a magnitudes escalares.

Enseguida se definen los conceptos importantes del movimiento rotatorio y se establece la relación que tienen con los conceptos correspondientes del movimiento rectilíneo.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Posición angular (θ)

La posición angular θ de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún punto de referencia arbitrario. La posición angular se mide en radianes o grados, lo cual es equivalente al concepto de distancia en el movimiento rectilíneo.

Velocidad angular (ω)

La velocidad angular es la tasa de cambio en la posición angular con respecto al tiempo. Se supone que es positiva si la rotación es en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el movimiento giratorio la velocidad angular es el concepto análogo al concepto de velocidad lineal. La velocidad lineal unidimensional se define como la tasa de cambio o razón de cambio en el desplazamiento sobre la línea (r) con respecto al tiempo.

𝑣=

𝑑𝑟 𝑑𝑡

(2.1)

De manera similar, la velocidad angular ω se define como la tasa o razón de cambio de desplazamiento angular θ con respecto al tiempo.

𝜔=

𝑑𝜃 𝑑𝑡

(2.2)

Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianes por segundo.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Tratándose de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unidades diferentes a los radianes por segundo para describir la velocidad del eje.

Frecuentemente la velocidad, angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angulares un concepto importante en el estudio de las maquinas, se acostumbra utilizar diferentes símbolos para representar la velocidad cuando se expresa en unidades diferentes, lo cual permite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades. Se utilizan los siguientes símbolos para describir la velocidad angular:

𝜔𝑚= Velocidad angular expresada en radianes por segundo

𝑓𝑚 = Velocidad angular expresada en revoluciones por segundo

𝑛𝑚 = Velocidad angular expresada en revoluciones por minuto

En estos símbolos el subíndice 𝑚 indica una cantidad mecánica en contraposición a

una cantidad eléctrica. Si no existe posibilidad alguna de confusión entre las cantidades mecánica y eléctrica, se omite el subíndice.

Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre si mediante las siguientes ecuaciones: 𝑛𝑚 = 60 𝑓𝑚 𝑓𝑚 =

𝜔𝑚 2𝜋

(2.3a) (2.3b)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Aceleración angular (α)

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo. Es positiva si la velocidad angular se incrementa en sentido algebraico. La aceleración angular corresponde a la aceleración en el movimiento rectilíneo. Así como la aceleración lineal unidimensional se define con la ecuación:

𝑎= 𝛼=

𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝜔 𝑑𝑡

(2.4)

(2.5)

Si las unidades de la velocidad angular están en radianes por segundo, la aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado.

Par (𝝉)

En el movimiento rectilíneo una fuerza aplicada sobre un objeto ocasiona un cambio de velocidad en éste. Si no ejerce una fuerza neta sobre el objeto, su velocidad permanece constante. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad.

En el movimiento rotatorio existe un concepto similar. Cuando un objeto rota, su velocidad permanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

¿Qué es par? Se le puede llamar, aunque no con mucha exactitud, la “fuerza de torsión” aplicada a un objeto. Este concepto es fácil de entender. Imagine un cilindro que rota libremente alrededor de su eje. Si se le aplica una fuerza al cilindro, de manera que la línea de acción pase por el eje del mismo figura 2.1a, el cilindro no rotará. Sin embargo, si se aplica la misma fuerza de modo que su línea de acción pase a la derecha del eje del cilindro figura 2.1b, éste tenderá a rotar en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. El par o acción de torsión sobre el cilindro depende de: 1) la magnitud de la fuerza aplicada y 2) de la distancia entre el eje de rotación y la línea de acción de la fuerza.

El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto y la distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto. Si r es un vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede describirse como: 𝜏 =(Fuerza aplicada)(Distancia perpendicular) = (𝐹)(𝑅 sen 𝜃) = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃

Donde θ es el ángulo entre el vector r y el vector F. La dirección del par será en el sentido de las manecillas del reloj si tiende a causar la rotación en el sentido de las manecillas del reloj y en sentido contrario al de las manecillas del reloj si tiende a causar la rotación en este sentido figura 2.2 .

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI y libra-pie para el sistema inglés.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Ley de rotación de newton

La ley de Newton, en cuanto a objetos que se mueven en línea recta, describe la relación entre la fuerza aplicada a un objeto y su aceleración. Esta relación está dada por la ecuación: 𝐹 = 𝑚𝑎

(2.7)

Figura 2.1 a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por un eje de rotación 𝜏 = 0. b) Una fuerza aplicada a un cilindro de manera que su linea de acción no pase por eje de rotación . Aquí 𝜏 va en sentido opuesto a las manecillas del reloj.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Donde: 𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜

𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 En unidades SI, la fuerza se mide en newtons, la masa en kilogramos y la aceleración en metros por segundo al cuadrado. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras, la masa en slugs, y la aceleración en pies por segundo al cuadrado.

Una ecuación semejante describe la relación entre el par aplicado a un objeto y su aceleración angular resultante. Esta relación, llamada ley de rotación de Newton, está dada por la ecuación: 𝜏 = 𝐽𝛼

(2.8)

Donde 𝜏 es el par neto aplicado, expresado en newton-metro o libra-pie, y α es la

aceleración resultante expresada en radianes por segundo al cuadrado. El término J cumple con el mismo propósito que el de la masa de un objeto en el movimiento lineal. Al cual se le llama momento de inercia del objeto y se mide en kilogramosmetro cuadrado o slugs-pie cuadrado.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 2.2 Obtención de la ecuación del par en un objeto.

Trabajo (W)

En el movimiento rectilíneo el trabajo se define como la aplicación de una fuerza a lo largo de una distancia, y se expresa mediante la ecuación:

𝑤 = � 𝐹𝑑𝑟

(2.9)

Donde se supone que la fuerza es colineal con la dirección del movimiento. Para el caso especial de una fuerza constante aplicada en forma colineal con la dirección del movimiento, esta ecuación se transforma en: 28

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝑤 = 𝐹𝑟

(2.10)

En el SI, la unidad de medida del trabajo es el joule, y en el sistema inglés la librapie. En el movimiento rotatorio trabajo es la aplicación de un par a lo largo de un ángulo. En este caso la ecuación es:

𝑊 = � 𝜏𝑑𝜃

(2.11)

𝑊 = 𝜏𝜃

(2.12)

Y si el par es constante

Potencia (P)

La potencia es la tasa a la cual se realiza trabajo o el incremento en el trabajo por unidad de tiempo. La ecuación de potencia es:

𝑃=

𝑑𝑊 𝑑𝑡

(2.13)

Generalmente se mide en joules por segundo (watts). Pero también se puede medir en pie-libra por segundo o en caballos de fuerza (hp).

𝑃=

𝑑𝑊 𝑑 𝑑𝑟 = (𝐹𝑟) = 𝐹 � � = 𝐹𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(2.14)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por:

𝑃=

𝑑𝑊 𝑑 𝑑𝜃 = (𝜏𝜃) = 𝐹 � � = 𝜏𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(2.15)

𝑃 = 𝜏𝜔

La ecuación (2.15) es muy importante es el estudio de las máquinas eléctricas, porque describe la potencia mecánica aplicada al eje de un motor o de un generador.

La ecuación (2.15) es la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad si la potencia se mide en watts, el par en newton-metro y la velocidad en radianes por segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, se debe de introducir una constante en la ecuación como factor de conversión. Aún es común en Estados Unidos medir el par en libra-pie, la velocidad en revoluciones por minuto y la potencia en watts (W) o caballos de fuerza (hp). Si se emplean los factores de conversión adecuados en cada término, la ecuación (2.15) se convierte en:

𝑃(𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠) =

𝜏(𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠)𝑛(𝑟/𝑚𝑖𝑛) 7.04

𝑃(𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) =

𝜏(𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠)𝑛(𝑟/𝑚𝑖𝑛) 5252

(2.16)

(2.17)

Donde el par se mide en libra/pie y la velocidad en revoluciones por minuto.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

2.2 EL CAMPO MAGNETICO Como se indicó antes, los campos magnéticos son el mecanismo fundamental para convertir la energía de una forma a otra en motores, generadores y transformadores. Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estos aparatos:

1. Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor. 2. Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ella (este principio es la base del funcionamiento del transformador). 3. Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (esta es la base del funcionamiento del motor). 4. Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (esta es la base del funcionamiento del generador).

La presente sección describe y trata sobre la producción de un campo magnético por medio de un conductor que porta corriente, mientras que las siguientes secciones de este capítulo explican los otros tres principios.

Producción de un campo magnético

La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por medio de una corriente es la ley de Ampere:

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

� 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐼𝑛𝑒𝑡

(2.18)

Donde H es la intensidad del campo magnético producida por la corriente 𝐼𝑛𝑒𝑡 , y 𝑑𝑙

es el elemento diferencial a lo largo de la trayectoria de integración. En unidades del SI, 𝐼 se mide en amperes y H en amperes-vuelta por metro. Para entender mejor el significado de esta ecuación, es de gran ayuda aplicar al sencillo ejemplo de la figura 2.3, que muestra un núcleo rectangular con un devanado de N vueltas de alambre enrollado sobre una de las piernas o columnas del núcleo. Si el núcleo es de hierro o de ciertos metales similares (llamados materiales ferromagnéticos), casi todo el

campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de modo que el cambio de integración especificado en la ley de Ampere es la longitud media del núcleo 𝐼𝑛 . La corriente que pasa por el camino de integración 𝐼𝑛𝑒𝑡𝑎 es

entonces 𝑁𝑖, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras

pasa la corriente 𝑖. La ley de Ampere se expresa entonces como: 𝐻𝑙𝑛 = 𝑁𝑖

(2.19)

Donde H es la magnitud del vector de intensidad del campo magnético H. De esta manera, la magnitud de intensidad del campo magnético en el núcleo debido a la corriente aplicada es:

𝐻=

𝑁𝑖 𝑙𝑛

(2.20)

La intensidad del campo magnético H es, de alguna manera, una medida del “esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende también del material de que está 32

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

hecho. La relación entre la intensidad de campo magnético H y la densidad del flujo magnético resultante B producida dentro del material está dada por: 𝐵 = 𝜇𝐻

(2.21)

Figura 2.3 Un núcleo magnético sencillo.

Donde:

H= intensidad del campo magnético µ= permeabilidad magnética del material B= densidad de flujo magnético resultante

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

La densidad de flujo magnético real producida en una sección del material está dada entonces por el producto de dos términos:

H, que representa el esfuerzo de la corriente por establecer un campo magnético µ, que representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un material dado

La intensidad del campo magnético se mide en ampere-vueltas por metro, la permeabilidad en henrys por metro y la densidad de flujo resultante en webers por metro cuadrado, conocido como teslas (T).

La permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se denomina permeabilidad relativa:

𝜇𝑟 =

𝜇 𝜇0

(2.23)

La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de los materiales. Por ejemplo:, los aceros que se utilizan en las máquinas modernas tienen permeabilidades relativas de 2000 a 6000 o más. Esto significa que, para una cantidad de corriente dada, en la sección de acero habrá entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente de aire. (La permeabilidad del aire es la misma que la del espacio libre.) Los metales que forman los núcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia para incrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato.

34

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte del flujo es un núcleo de hierro, como el que parece en la figura 2.3, permanece dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante, cuya permeabilidad es mucho más baja. La pequeña cantidad de flujo disperso que abandona el núcleo de hierro es muy importante para determinar el enlace de flujo entre las bobinas y las autoinductancias de las bobinas en transformadores y motores.

En un núcleo como el que se muestra en la figura 2.3, la magnitud de la densidad de flujo está dada por:

𝐵 = 𝜇𝐻 = Y el flujo total en cierta área está dado por:

𝜇𝑁𝑖 𝑙𝑛

𝜙 = � 𝐵 ∙ 𝑑𝐴

(2.24)

(2.25a)

𝐴

Donde: Da= Diferencial del área. Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a: 𝜙 = 𝐵𝐴

(2.25b)

De esta forma, el flujo total en el núcleo de la figura 1.3, producido por la corriente 𝑖 en el devanado, es: 𝜙 = 𝐵𝐴 =

𝜇𝑁𝑖𝐴 𝑙𝑛

(2.26)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Donde: A= Área de la sección transversal del núcleo.

Circuitos magnéticos

En la ecuación (2.26) se observa que la corriente

en una bobina de alambre

conductor enrollado alrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. Esto en cierta forma es análogo al voltaje que produce en el circuito eléctrico. Es posible definir un “circuito magnético” cuyo comportamiento está determinado por ecuaciones análogas a aquellas establecidas para un circuito eléctrico. Con frecuencia, el modelo de circuito del comportamiento magnético se utiliza en el diseño de máquinas y transformadores eléctricos para simplificar el proceso de diseño, que de otro modo sería muy complejo.

En un circuito eléctrico sencillo como el de la figura 2.4a, la fuente de voltaje V genera una corriente 𝐼 a lo largo de la resistencia R. La relación entre estas cantidades está dada por la ley de Ohm;

𝑉 = 𝐼𝑅 En el circuito eléctrico el voltaje o fuerza electromotriz genera el flujo de corriente. Por analogía, la cantidad correspondiente en el circuito magnético se denomina fuerza magnetomotriz (fmm). La fuerza magnetomotriz de un circuito magnético es igual al flujo efectivo de corriente aplicado al núcleo F = 𝑁𝑖

(2.27)

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Donde F es el símbolo de la fuerza magnetomotriz, medida en amperes-vueltas.

En el circuito magnético, al igual que la fuente de voltaje en el circuito eléctrico, la fuerza magnetomotriz tiene una polaridad asociada a ella. El terminal positivo de la fuente fmm es el terminal de donde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a la fuente. La polaridad de la fuerza magnetomotriz de una bobina de alambre puede determinarse mediante la modificación de la regla de la mano derecha: si la curvatura de los dedos de la mano derecha apunta en la dirección del flujo de corriente de la bobina, el dedo pulgar apuntará en la dirección positiva de la fmm (figura 2.5).

Figura 2.4 a) Circuito eléctrico sencillo. b) Circuito magnético análogo para el núcleo del transformador.

En un circuito eléctrico, el voltaje aplicado ocasiona un flujo de corriente 𝐼. En forma

similar, en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz aplicada ocasiona un flujo de 𝜙. La relación entre voltaje y corriente en un circuito eléctrico está dada por la ley de Ohm (V=IR); en forma semejante, la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo es:

37

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

F =𝜙r

(2.28)

Donde: F = fuerza magnetomotriz del circuito 𝜙 = flujo del circuito

R= reluctancia del circuito

La reluctancia de un circuito magnético es el homólogo de la resistencia del circuito eléctrico y se mide en amperes-vueltas por weber.

Existe también un análogo magnético de la conductancia. Así como la conductancia en el circuito eléctrico es el inverso de su resistencia, la permeancia P de un circuito magnético es el inverso de su reluctancia: P =1/R

(2.29)

La relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo se puede expresar como: 𝜙 =R F

(2.30)

En ciertas circunstancias, es más fácil trabajar con la permanencia del circuito magnético que con su reluctancia.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 2.5 Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza magnetomotriz en un circuito magnético.

¿Cuál es la reluctancia en el núcleo de la figura 2.3? En este núcleo está dado por la ecuación (2.26):

𝜙 = 𝐵𝐴 =

𝜇𝑁𝑖𝐴 𝑙𝑛

(2.26)

𝜇𝐴

(2.31)

𝜇𝐴 = 𝑁𝑖 � � 𝑙𝑛

𝜙 = F �𝑙 � 𝑛

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Si se conoce la ecuación (2.31) con la ecuación (2.28), se observa que la reluctancia del núcleo es:

R=

𝑙𝑛

(2.32)

𝜇𝐴

En un circuito magnético las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias en un circuito eléctrico. La reluctancia equivalente de un número de reluctancias en serie es la suma de las reluctancias individuales:

R eq = R 1 + R 2 +R 3 +…

(2.33)

De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan de acuerdo con la ecuación:

1/R eq =1/R 1 +1/ R 2 +1/R 3 +…

Las

(2.34)

permeancias en serie y en paralelo obedecen las mismas reglas que las

conductancias eléctricas. Los cálculos de flujo en el núcleo, que se obtienen utilizando los conceptos del circuito magnético, siempre son aproximaciones (en el mejor de los casos su aproximación está a ± 5 % del valor real). Existe un buen

número de razones para que ocurra esta inexactitud inherente:

1. El concepto del circuito magnético supone que el flujo está confinado dentro del núcleo, lo cual no es cierto. La permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000 veces la del aire, pero una pequeña fracción del flujo escapa del núcleo al aire circundante que es de baja permeabilidad. Este flujo

40

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

que sale del núcleo se denomina flujo disperso y es de gran importancia en el diseño de las máquinas eléctricas. 2. En el cálculo de la reluctancia se supone cierta longitud media y una sección transversal del núcleo. Esta suposición no es muy adecuada, especialmente en los ángulos de los núcleos. 3. En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad varía con la cantidad de flujo que existe desde antes en el material. Este efecto no lineal, que se describe con detalle más adelante, añade otra fuente de error al análisis del circuito magnético, puesto que las reluctancias utilizadas en el cálculo del circuito magnético dependen de la permeabilidad del material. 4. En el supuesto de que el recorrido del flujo en el núcleo existan entrehierros la sección transversal efectiva del entrehierro será mayor que la del núcleo en cada lado del entrehierro. La sección extra efectiva se debe al “efecto marginal” del campo magnético en el entrehierro figura 2.6

Figura 2.6 Efecto marginal de un campo magnético en un entrehierro. Nótese el incremento de la sección transversal del entrehierro comparada con la sección transversal del metal.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Es posible eliminar parcialmente estas fuentes internas de error si se utilizan una longitud de recorrido media y una sección transversal “corregidas” o “efectivas”, en lugar de la longitud física y el área reales obtenidas en los cálculos.

Aunque existen muchas limitaciones inherentes al concepto de circuito magnético, éste es aún la herramienta más útil disponible para el cálculo de los flujos en el diseño práctico de las máquinas. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones de Maxwell es muy difícil, y no es necesario puesto que con el método aproximado se obtienen resultados satisfactorios.

Comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos

Se indicó que la permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy alta, hasta 6000 veces la permeabilidad del espacio libre, se supuso que la permeabilidad es constante, independiente de la fuerza magnetomotriz aplicada al material. Aunque la permeabilidad es constante en el espacio libre, no lo es en el hierro y en otros materiales ferromagnéticos.

Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferromagnético se aplica una corriente directa al núcleo que se muestra en la figura 2.3, comenzando con cero amperes e incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible. Cuando se gráfica el flujo producido en el núcleo contra la fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene una gráfica como la de la figura 2.7a, la cual se denomina curva de saturación o curva de magnetización. Al comienzo, un pequeño incremento en la fuerza magnetomotriz produce un gran aumento en el flujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz, los aumentos en el flujo serán cada vez más pequeños. Finalmente, 42

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

el incremento de la fuerza magnetomotriz casi no produce cambios en el flujo. La región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama región de saturación, y se dice que el núcleo está saturado. La región de transición entre las regiones no saturada y saturada se denomina a veces “rodilla” de la curva. Note que el flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza magnetomotriz aplicada en la región no saturada y se aproxima a un valor constante, independiente de la fuerza magnetomotriz en la región saturada.

Otro diagrama estrechamente relacionado con lo anterior se muestra en la figura 2.7b. Esta figura representa la densidad del flujo magnético B frente a la intensidad de campo magnético H, y corresponde a las ecuaciones (2.20) y (2.25b),

𝐻=

𝑁𝑖 𝑙𝑛

= F / 𝑙𝑛

𝜙 = 𝐵𝐴

(2.20) (2.25b)

Es fácil deducir que para un núcleo dado la intensidad del campo magnético es directamente proporcional a la fuerza magnetomotriz, y que la densidad de flujo magnético es directamente al flujo. Por tanto, la relación entre B y H es semejante a la relación entre flujo y la fuerza magnetomotriz. La pendiente de la curva de densidad de flujo contra la intensidad del campo magnético para cualquier valor de H, en la figura 2.7b, es por definición la permeabilidad del núcleo a dicha intensidad del campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es grande y relativamente constante en la región no saturada, y decrece de manera gradual hasta un valor muy bajo cuando el núcleo se encuentra muy saturado.

En la figura 2.7c se puede ver con más detalle la curva de magnetización de una típica pieza de acero, y cuya intensidad del campo magnético está dada en una 43

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

escala logarítmica. La región de saturación de la curva puede detallarse en la gráfica sólo cuando la intensidad del campo magnético se expresa con logaritmos.

La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético es máquinas eléctricas y transformadores radica en que al aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene un flujo mayor que el obtenido en el aire. Sin embargo, si el flujo resultante debe ser proporcional o aproximadamente proporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada, el núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de magnetización.

Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo magnético para producir el voltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. Como resultado, la mayoría de las máquinas reales operan cerca del punto de rodilla de la curva de magnetización, y en núcleos el flujo no está linealmente relacionado con la fuerza magnetomotriz que lo produce.

44

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 2.7 a) Curva de magnetización con cc para un núcleo ferromágnetico. b) Curva de magnetización en términos de densidad de flujo e intensidad de campo magnético. c) Curva de magnetización detallada para una pieza típica de acero.

Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético

En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo, se aplica una corriente alterna para observar qué ocurre. Dicha corriente se muestra en la figura 2.8a, suponga que el flujo inicial en el núcleo es cero. Cuando se incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab, dibujada en la figura 2.8b. Ésta es básicamente la curva de saturación que se muestra en la figura 2.7. Sin embargo, cuando la corriente decrece, el flujo 45

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

representado en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida cuando la corriente iba en aumento. Cuando la corriente decrece, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria bcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb. Nótese que la cantidad de flujo presenta en el núcleo depende no solo de la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo, sino también de la historia previa del flujo presente en el núcleo. Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en la curva se denomina histéresis. La trayectoria bcdeb descrita en la figura 2.8b, que representa la variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis.

Figura 2.8 Curva o lazo de histéresis por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente 𝑖(𝑡).

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Nótese que si primero se aplica al núcleo una fuerza magnetomotriz intensa y luego se deja de aplicar, la trayectoria del flujo en el núcleo será abc. Cuando se suspende la fuerza magnetomotriz, el flujo no llega a cero, ya que permanece cierto flujo en el núcleo, denominado flujo residual (o flujo remanente), el cual es la causa de los imanes permanentes. Para que el flujo llegue a cero, se debe aplicar al núcleo, en dirección opuesta, cierta fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva F c.

¿Por qué ocurre la histéresis? Para entender el comportamiento de los materiales ferromagnéticos es necesario conocer algo acerca de su estructura. Los átomos del hierro y los de los materiales similares (cobalto, níquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos magnéticos fuertemente alineados entre sí. Dentro del metal hay unas pequeñas regiones llamadas dominios, en las que todos los átomos se alinean con sus campos magnéticos apuntando en una misma dirección, de modo que el dominio actúa dentro del material como un pequeño imán permanente. Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los dominios se encuentran dispuestos al azar en la estructura del material. La figura 2.9 representa un ejemplo de la estructura de los dominios en un trozo de hierro.

Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de hierro, los dominios orientados en la dirección del campo exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otras direcciones, debido a que los átomos adyacentes cambian físicamente su orientación con el campo magnético aplicado. Los átomos adicionales, alineados con el campo, incrementan el flujo magnético en el hierro, lo cual causa el alineamiento de más átomos que incrementan la intensidad del campo magnético. Este efecto de retroalimentación positiva es la causa de que el hierro adquiera una permeabilidad mayor que el aire.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

A medida que el campo magnético externo se fortalece, dominios completos alineados en otras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el campo.

Figura 2.9 a) Dominios magnéticos orientados al azar. b) Dominios magnéticos alineados en presencia de un campo magnético externo.

Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con el campo externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un aumento de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (es decir, cuando todos los dominios se encuentran alineados, ya no habrá más retroalimentación para reforzar el campo). En este momento, el hierro estará saturado con el flujo. Ésta es la situación que se muestra en la región saturada de la curva de magnetización de la figura 2.7.

La histéresis se produce cuando el campo magnético exterior se suprime, los dominios no se ubican

de nuevo al azar. ¿Por qué los dominios permanecen 48

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

alineados? Porque los átomos requieren energía para recuperar su posición anterior. La energía para el alineamiento original la proveyó el campo magnético exterior; cuando el campo magnético exterior se suprime, no hay una fuente que ayude a que los dominios regresen a sus posiciones. El trozo de hierro es ahora un imán permanente.

Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán en esa posición hasta que se les aplique una fuente de energía externa para cambiar su orientación. Otros ejemplos de fuentes externas de energía que pueden cambiar los límites entre los dominios o su alineamiento son la fuerza magnetomotriz aplicada en otras direcciones, un choque mecánico fuerte y el calor. Cualquiera de estos eventos puede suministrar energía a los dominios para cambiar su alineación (por esta razón, un imán permanente puede perder su magnetismo si se le deja caer, se le golpea o se le calienta).

Como se ha visto, para cambiar la posición de los dominios se requiere de energía, esto origina cierto tipo de pérdidas de energía en todas las máquinas y transformadores. Las pérdidas por histéresis en el núcleo del hierro corresponden a la energía que se necesita para reorientar los dominios durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al núcleo. Se puede demostrar que el área comprendida dentro de la curva de histéresis, la cual se forma al aplicar corriente alterna, es directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo dado de corriente alterna. Cuanto menores sean las variaciones de la fuerza magnetomotriz aplicada al núcleo, el área de la cuerva será menor y serán más pequeñas las pérdidas resultantes. Este hecho se muestra en la figura 2.10.

En este momento deben mencionarse otro tipo de pérdidas, causadas también por la variación del flujo en el núcleo: las pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se 49

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

explicarán posteriormente, una vez que se haya presentado la ley de Faraday. Las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas ocasionan calentamiento en los núcleos y se deben tener en cuenta en el diseño de cualquier máquina o transformador. Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metal del núcleo, se agrupan bajo el nombre de pérdidas en el núcleo.

Figura 2.10 Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotriz en la magnitud de las pérdidas por histéresis.

2.3 LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO MAGNÉTICO VARIABLE.

Hasta aquí la atención se ha enfocado en la producción de un campo magnético y sus propiedades. Ahora se examinará cómo un campo magnético puede afectar sus alrededores.

50

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

El primer gran efecto que debe considerarse es la ley de Faraday, base del funcionamiento del transformador. La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje directamente proporcional a la, tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. Esto se expresa mediante la ecuación:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = − Donde=

𝑑𝜙 𝑑𝑡

(2.35)

𝑒𝑖𝑛𝑑 = Voltaje inducido en la espira. 𝜙= Flujo que atraviesa la espira.

Si una bobina tiene N vueltas y el mismo flujo pasa a través de todas ellas el voltaje inducido en toda la bobina está dado por:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = −𝑁

𝑑𝜙 𝑑𝑡

(2.36)

Donde: 𝑒𝑖𝑛𝑑 = voltaje inducido en la bobina

N= número de vueltas de alambre en la bobina 𝜙 =flujo que circula en la bobina El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran en corto circuito, se produciría en ella una corriente que generaría un flujo 51

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

opuesto al flujo inicial. Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo produce u origina, se incluye un signo menos en la ecuación (2.36). Para comprender con claridad este concepto, observe la figura 2.11. Si el flujo que se muestra en la figura se incrementa, el voltaje que se forma en la bobina tenderá a crear un flujo que se opone a este incremento. Una corriente que fluya como se muestra en la figura 2.11b producirá ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado en la bobina debe tener la polaridad adecuada para dirigir esta corriente hacia el circuito externo. Entonces, el voltaje deberá formarse con la polaridad indicada en la figura. Puesto que la polaridad del voltaje puede deducirse del análisis físico, el signo menos de las ecuaciones (2.35) y (2.36) se omite frecuentemente, y así se hará en el resto del libro.

Utilizar la ecuación (2.36) en la práctica presenta una gran dificultad, puesto que establece que hay exactamente la misma cantidad de flujo en cada espira de la bobina. Por desgracia, esto no es verdad debido al flujo que se dispersa en los alrededores de la bobina. Si las espiras están estrechamente ligadas, de modo que la mayor parte del flujo que circula en una espira también circula en las demás, la ecuación (2.36) dará respuestas válidas. Pero si la dispersión es significativa o si se requiere la máxima exactitud, se necesitará una expresión diferente que no suponga tal hecho. La magnitud del voltaje en la i-ésima espira de la bobina está dada siempre por:

𝑒𝑖𝑛𝑑 =

𝑑(𝜙𝑖 ) 𝑑𝑡

(2.37)

Si hay N espiras en la bobina, el voltaje total en ésta es: 𝑁

𝑒𝑖𝑛𝑑 = � 𝑒𝑖 𝑖=1

(2.38)

52

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝑁

=� 𝑖=1

𝑑(𝜙𝑖 ) 𝑑𝑡

(2.39)

𝑁

𝑑 = (� 𝜙𝑖 ) 𝑑𝑡 𝑖=1

(2.40)

Figura 2.11 Significado de la ley de Lenz. a) Una bobina encierra un flujo magnético creciente. b) Determinación de la polaridad del voltaje resultante.

Él término entre paréntesis en la ecuación (2.40) se denomina flujo concatenado (o flujo ligado) 𝜆 de la bobina, en términos de este flujo, la ley de Faraday puede reescribirse como:

𝑒𝑖𝑛𝑑 =

𝑑𝜆 𝑑𝑡

(2.41)

53

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Donde:

𝑁

𝜆 = � 𝜙𝑖 𝑖=1

(2.42)

El flujo concatenado se mide en webers-vuelta.

La ley de Faraday es la propiedad fundamental de los campos magnéticos que intervienen en la operación de los transformadores. El efecto de la ley de Lenz se emplea para predecir la polaridad de los voltajes inducidos en los devanados del transformador.

La ley de Faraday también explica las pérdidas debidas a las corrientes parásitas ya mencionadas. Un flujo variable en el tiempo induce voltaje dentro de un núcleo ferromagnético de la misma forma que lo haría en un alambre conductor enrollado alrededor del mismo núcleo. Estos voltajes causan flujos de corrientes que circulan en el núcleo, similares a los remolinos que se observan desde la orilla de un río; por esta razón reciben también el nombre de corrientes de remolino. Estas corrientes parásitas disipan energía, puesto que fluyen en un medio resistivo (el hierro del núcleo). La energía disipada se convierte en calor en el núcleo.

La cantidad de energía disipada por las corrientes parásitas es proporcional a la distancia de los caminos que recorren dentro del núcleo. Por esta razón, se acostumbra cortar en delgadas tiras o laminas el núcleo ferromagnético que pudiera estar sujeto al flujo alterno, y construir el núcleo con estas tiras. Para limitar los caminos de las corrientes parásitas a áreas muy pequeñas, se utilizan óxidos o resinas aislantes entre las diferentes láminas. Debido a que las capas aislantes son extremadamente delgadas, reducen la acción de las corrientes parásitas con poco efecto sobre las propiedades magnéticas del núcleo. Las corrientes parásitas reales 54

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

son proporcionales al cuadrado del grosor de las láminas, así que se tiene un fuerte incentivo para hacer las láminas tan delgadas como sea económicamente posible.

2.4 PRODUCCIÓN DE FUERZA INDUCIDA EN UN ALAMBRE

Un segundo efecto importante que produce a su alrededor un campo magnético es el que induce una fuerza sobre un alambre conductor que porta corriente y se encuentra dentro del campo. El concepto básico involucrado se ilustra en la figura 2.12, que muestra un conductor dentro de un campo magnético uniforme de densidad de flujo B (el cual puede verse que apunta hacia dentro de la página). El conductor mide 𝑙 metros y porta una corriente de 𝑖 amperes. La fuerza inducida sobre el conductor está dada por.

𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)

(2.43)

Donde: 𝑖= magnitud de la corriente en el alambre

𝑙= longitud del alambre, con la dirección de 𝑙 definida como la dirección del flujo de corriente

B= vector de densidad de flujo magnético

La dirección de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha: si el dedo índice de la mano derecha apunta en la dirección del vector 𝑙 y el dedo medio apunta en la

dirección del vector de densidad de campo B, entonces el dedo pulgar apuntara en

55

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

dirección de la fuerza resultante sobre el alambre. La magnitud de esta fuerza está dada por la ecuación: 𝐹 = 𝑖𝑙𝐵 sin 𝜃

(2.44)

Donde: 𝜃 = Ángulo comprendido entre el alambre y el vector de densidad de flujo.

Figura 2.12 Un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético.

La inducción de una fuerza en un alambre conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético es la base de la acción motor. Casi todo tipo de motor se basa en este principio básico para las fuerzas y pares que lo mueven.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

2.5 VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE SE MUEVE EN UN CAMPO MAGNÉTICO

Hay una tercera forma importante de interacción entre un campo magnético y su alrededor. Si un alambre conductor orientado de manera adecuada se desplaza a través de un campo magnético, se induce un voltaje en aquél. Esta idea se ilustra en la figura 2.13. El voltaje inducido en el alambre está dado por: 𝑒𝑖𝑛𝑑 = (𝑣 × 𝐵) ∙ 𝑙

(2.45)

Donde: 𝑣= velocidad del alambre

B= vector de densidad de flujo 𝑙 = longitud del conductor en el campo magnético El vector 𝑙 apunta hacia el extremo del alambre que forma el ángulo más pequeño con respecto al vector 𝑣 × 𝐵.

57

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 2.13 Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético.

La inducción de voltaje en un alambre conductor que se mueve dentro de un campo magnético es el fundamento de la operación de todo tipo de generadores. Por esta razón, se le llama acción generador.

2.6 MATERIALES MAGNÉTICOS Y SUS PROPIEDADES.

Hagamos un experimento con una bobina cilíndrica de longitud 𝐿 – a la que

generalmente se llama solenoide- , que lleva una corriente 𝐼, como se muestra en la

figura 2.13a. La densidad del flujo magnético en el centro del solenoide es el doble de aquél en cualquiera de los extremos, como se ilustra en la figura 2.13b. Si se colocan pequeñas muestras de diversas sustancias dentro de este campo, se encontrará que la fuerza magnética que experimentan alcanza un máximo cerca de los extremos del solenoide, en donde el gradiente, 𝑑𝐵𝑍 /𝑑𝑧, es considerable. A fin de 58

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

continuar el experimento, supongamos que siempre se coloca la muestra en el extremo superior del solenoide y se observa la fuerza que éste experimenta. En consecuencia, nuestras observaciones revelan que la fuerza sobre una sustancia específica es proporcional a la masa de la muestra e independiente de su forma, siempre que el tamaño de la muestra no sea demasiado grande. También se observa que algunas muestras resultan atraídas hacia la región del campo más intenso y que otras son repelidas.

Materiales diamagnéticos

Las sustancias que experimentan una fuerza débil de repulsión se llaman diamagnéticas. A partir de nuestro experimento se encontró que son materiales diamagnéticos el bismuto, la plata y el cobre.

La permeabilidad del materiales diamagnético es ligeramente menor que la del vacío, en la tabla 2.1 se indican las permeabilidades de algunos materiales diamagnéticos.

Tabla 2.1. Permeabilidades relativas de algunos materiales diamagnéticos. Material

Permeabilidad relativa

Bismuto

0.999 981

Berilio

0.999 987

Cobre

0.999 991

Metano

0.999 969

Plata

0.999 980

Agua

0.999 991

59

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Materiales paramagnéticos

Nuestro experimento también reveló que existen sustancias que experimentan una fuerza de atracción. Las sustancias que son jaladas hacia el centro del solenoide con una

fuerza

débil

se

denominan

paramagnéticas.

Estas

sustancias

tienen

permeabilidades ligeramente mayores que la del vacío. En la tabla 2.2 se enumeran las permeabilidades relativas de algunos materiales paramagnéticos.

Tabla 2.2. Permeabilidades relativas de algunos materiales paramagnéticos. Material

Permeabilidad relativa

Aire

1.000 304

Aluminio

1.000 023

Oxígeno

1.001 330

Manganeso

1.000 124

Paladio

1.000 800

Platino

1. 000 014

Como la fuerza que experimentan las sustancias paramagnéticas o diamagnéticas es muy débil, con fines prácticos podemos agrupar y referirnos a ellas como materiales no magnéticos. Es una práctica común suponer que la permeabilidad de todos los materiales no magnéticos es la misma que la del vacío. Estos materiales no tienen uso práctico en la construcción de circuitos magnéticos.

60

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Materiales ferromagnéticos

En el experimento antes mencionado,

las sustancias como el fierro resultaron

literalmente succionadas por la fuerza de atracción magnética. Tales sustancias reciben el nombre de ferromagnéticas. La fuerza de atracción magnética que experimenta un material ferromagnético puede llegar a ser 5000 veces mayor que la experimentada por un material paramagnético.

61

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

CAPITULO III PRINCIPIOS BASICOS DE LAS MÁQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA 3.1 VOLTAJE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CA

De la misma manera que un conjunto de corrientes trifásicas en un estator puede producir un campo magnético giratorio, un campo magnético giratorio puede producir un conjunto de voltajes trifásicos en las bobinas de un estator. En esta sección se desarrollan las ecuaciones que rigen el voltaje inducido en un estator trifásico. Para facilitar este desarrollo, se comenzará por estudiar una sola bobina de una sola vuelta y los resultados obtenidos se extenderán a un estator trifásico más general.

Voltaje inducido en la bobina de un estator bipolar

La figura 3. 1 muestra un rotor giratorio con un campo magnético distribuido senoidalmente en el centro de una bobina estacionaria. Se asumirá que la magnitud del vector densidad de flujo B en el entrehierro entre el rotor y el estator varía senoidalmente con un ángulo mecánico, mientras que la dirección de B siempre se dirige radialmente hacia afuera. Este tipo de distribución de flujo es el ideal al que aspiran los diseñadores de máquinas. Si α es el ángulo medido desde la dirección de la densidad de flujo pico del rotor, entonces la magnitud del vector de densidad de flujo B en un punto alrededor del rotor es: 𝐵 = 𝐵𝑀 cos 𝛼

(3.1a)

62

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Nótese que en algunos lugares alrededor del entrehierro, el vector de densidad de flujo en realidad apuntará hacia dentro del rotor; en estos lugares el signo de la ecuación (3.1a) es negativo. Debido a que el rotor gira dentro del estator con una velocidad angular de 𝜔𝑚 , la magnitud del vector de densidad de flujo B en cualquier ángulo α alrededor del estator será:

𝐵 = 𝐵𝑀 cos(𝜔𝑡 − 𝛼)

(3.1b)

La ecuación para obtener el voltaje inducido en un alambre es:

Donde:

𝑒 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍

(2.45)

v=velocidad del alambre en relación con el campo magnético B=vector de densidad de flujo magnético L=longitud del conductor en el campo magnético

Sin embargo, esta ecuación se dedujo para el caso de un alambre en movimiento en un campo magnético estacionario. Pero para este otro caso, el alambre es estacionario y el campo magnético está en movimiento, por lo que la ecuación no se puede aplicar directamente. Para utilizarla, se debe tener un marco de referencia en donde el campo magnético parezca estacionario. “Situándose” en el campo magnético de manera que el campo parezca estacionario, entonces parecerá que los lados de la bobina tienen una velocidad aparente 𝑣𝑟𝑒𝑙 , y se puede aplicar la fórmula. La figura 3.15b muestra el vector del campo magnético y las velocidades desde el punto de vista de un campo magnético estacionario y un alambre en movimiento. 63

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

El voltaje total inducido en la bobina es la suma de los voltajes inducidos en cada uno de sus cuatro lados. A continuación se determinan estos voltajes:

1. Segmento ab. En el segmento ab, 𝛼=180°. Asumiendo que B está dirigido

radialmente hacia fuera del rotor, el ángulo entre v y B en el segmento ab es de 90°, mientras que la cantidad 𝒗 × 𝑩 sigue la dirección de 𝒍, por lo que: 𝑒𝑏𝑎 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍 = 𝑣𝐵𝑙

𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎

= 𝑣[𝐵𝑀 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°)]𝑙 = 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°)

(3.2)

Donde el signo de menos de debe a que el voltaje se acumula con una polaridad opuesta a la polaridad supuesta.

2. Segmento bc. El voltaje en el segmento bc es cero, debido a que la cantidad vectorial 𝒗 × 𝑩 es perpendicular a 𝒍, por lo que: 𝑒𝑐𝑏 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍 = 0

(3.3)

3. Segmento cd. En el segmento cd, el ángulo 𝛼 = 0°. Asumiendo que B está

dirigida radialmente hacia fuera del rotor, el ángulo entre 𝒗 y B en el segmento cd es de 90°, mientras que la cantidad 𝒗 × 𝑩 sigue la dirección de 𝒍, por lo que:

64

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝑒𝑐𝑏 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍

= 𝑣𝐵𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎 = 𝑣(𝐵𝑀 cos 𝜔𝑚 𝑡)𝑙 = 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡

(3.4)

4. Segmento da. El voltaje en el segmento da es cero, debido a que la cantidad vectorial 𝒗 × 𝑩 es perpendicular a 𝒍, por lo que: 𝑒𝑎𝑑 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍 = 0

(3.5)

Figura 3.1 a) Campo magnético del rotor dentro de una bobina estatórica estacionaria. Detalle de la bobina.

65

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 3.1 b) Vectores de densidad de flujo magnético y de velocidad a los lados de la bobina. Las velocidades se muestran desde un marco de referencia en el cual el campo magnético es estacionario. c) Distribución de densidad de flujo en el entrehierro.

Por lo tanto, el voltaje total en la bobina será de: 𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑒𝑏𝑎 + 𝑒𝑑𝑐

= −𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°) + 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡

(3.6)

Debido a que cos 𝜃 = − cos(𝜃 − 180°), 𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡 + 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡 = 2𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡

(3.7)

66

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Por último, el flujo que pasa a través de la bobina se puede expresar como 𝜙 = 2𝑟𝑙𝐵𝑚 , mientras que 𝜔𝑚 = 𝜔𝑒 = 𝜔 en un estator bipolar, por lo que el voltaje se

puede expresar como:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝜙𝜔 cos 𝜔𝑡

(3.8)

La ecuación (3.8) describe el voltaje inducido en una bobina de una sola vuelta. Si la bobina en el estator tiene 𝑁𝐶 vueltas de alambre, entonces el voltaje inducido total en

la bobina es:

𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 cos 𝜔𝑡

(3.9)

Nótese que el voltaje producido en el estator del devanado de esta máquina de ca sencilla es senoidal con una amplitud que depende del flujo 𝜙 en la máquina, de la

velocidad angular 𝜔 del rotor y de una constante que depende de la construcción de la máquina (𝑁𝐶 en este caso sencillo).

Nótese que la ecuación (3.9) contiene el término cos 𝜔𝑡, el cual se encuentra en otras ecuaciones de este capítulo. El término del coseno no tiene ningún significado

especial si se compara con el término del seno, es resultado de nuestra elección en cuanto a la dirección de referencia para 𝛼 en este desarrollo. Si la dirección de referencia de 𝛼 girara 90°, se hubiera utilizado el término sin 𝜔𝑡.

67

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Voltaje inducido en un grupo de bobinas trifásico

Si se colocan tres bobinas, cada una con 𝑁𝐶 vueltas, alrededor del campo magnético

del rotor, como se muestra en la figura 3.2, entonces los voltajes inducidos en cada una de ellas será igual en magnitud pero la diferencia de fase será de 120°. Los voltajes resultantes en cada una de estas tres bobinas son:= 𝑒𝑎𝑎´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin 𝜔𝑡

𝑉

𝑒𝑏𝑏´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin(𝜔𝑡 − 120°) 𝑒𝑏𝑏´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin(𝜔𝑡 − 240°)

(3.10a) 𝑉

𝑉

(3.10b) (3.10c)

Por lo tanto, un conjunto de bobinas trifásico puede generar un campo magnético giratorio uniforme en el estator de una máquina y un campo magnético giratorio uniforme puede generar un conjunto de voltajes trifásicos en tal estator.

Voltaje rms en un estator trifásico

El voltaje pico en cualquier fase de un estator trifásico de este tipo es: 𝐸𝑚á𝑥 = 𝑁𝐶 𝜙𝜔

(3.11)

Debido a que 𝜔 = 2𝜋𝑓, esta ecuación también se puede escribir así: 𝐸𝑚á𝑥 = 2𝜋𝑁𝐶 𝜙𝑓

(3.12)

68

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Por lo tanto, el voltaje rms en cualquier fase de este estator trifásico es: 2𝜋

𝑁𝐶 𝜙𝑓

(3.13)

𝐸𝐴 = √2𝑁𝐶 𝜙𝑓

(3.14)

𝐸𝐴 =

√2

El voltaje rms en los terminales de la máquina depende de si el estator tiene una conexión en Y o en Δ. Si la máquina tiene una conexión en Y, entonces el voltaje del terminal será √3 veces 𝐸𝐴 ; si la máquina tiene una conexión en Δ, entonces el voltaje

del terminal será igual a 𝐸𝐴 .

Figura 3.2 Producción de voltajes trifásicos con bobinas espaciadas 120°.

69

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

3.2 PAR INDUCIDO EN UNA MÁQUINA DE CA

En las máquinas de ca, bajo condiciones normales de operación, hay dos campos magnéticos; un campo magnético por el circuito del rotor y otro campo magnético por el circuito del estator. La interacción entre estos dos campos magnéticos produce un par en la máquina, de la misma manera que la cercanía de dos imanes permanentes generan un par que los alinea.

La figura 3.3 muestra una máquina de ca simplificada con una distribución senoidal de flujo del estator que tiene su pico en la dirección que apunta hacia arriba y una bobina de alambre simple montada sobre el rotor. La distribución del flujo del estator en esta máquina es:

Donde:

𝐵𝑆 (𝛼) = 𝐵𝑆 sin 𝛼

(3.15)

𝐵𝑆 = Magnitud de densidad de flujo pico.

𝐵𝑆 (𝛼) = Es positivo cuando el vector de densidad de flujo apunta radialmente hacia fuera de la superficie del rotor hacia la superficie del estator.

¿Cuál es el valor del par producido en el rotor de esta máquina de ca simplificada? Para encontrar la respuesta se deben de analizar la fuerza y el par en cada uno de los conductores por separado.

70

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

La fuerza inducida en el conductor 1 es: 𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)

(2.43)

= 𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

El par en el conductor es: 𝜏𝑖𝑛𝑑,1 = (𝑟 × 𝐹)

= 𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗

La fuerza inducida en el conductor 2 es: 𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)

(2.43)

= 𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

El par en el conductor es: 𝜏𝑖𝑛𝑑,1 = (𝑟 × 𝐹)

= 𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗

Por lo tanto, el par en la espira del rotor es: 𝜏𝑖𝑛𝑑,1 =2𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗

(3.16)

71

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

La ecuación (3.16) se puede expresar de manera más conveniente si se examina la figura 3.4 y se resaltan dos aspectos:

Figura 3.3 Máquina ac simplificada con distribución sinusoidal del flujo del estator y una bobina sencilla de alambre montada en el rotor.

72

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 3.4 Campo magnético en una espira del rotor.

1. La corriente 𝑖 que fluye en la bobina del rotor produce su propio campo

magnético. La dirección del pico de este campo magnético se obtiene por medio de la regla de la mano derecha y la magnitud de su intensidad de magnetización 𝑯𝑅 es directamente proporcional a la corriente que fluye en el rotor:

𝐻𝑅 = 𝐶𝑖

(3.17)

Donde: 𝐶= Constante de proporcionalidad.

73

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

2. El ángulo entre el pico de la densidad de flujo del estator 𝑩𝑆 y el pico de la intensidad de magnetización del rotor 𝑯𝑅 es 𝛾. Además, 𝛾 = 180° − 𝛼

sin 𝛾 = sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼

(3.18) (3.19)

Al combinar estas dos observaciones, el par en la espira se puede expresar como: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝐻𝑅 𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗

(3.20)

Donde:

𝐾= Constante que depende de la construcción de la máquina. Nótese que tanto la magnitud como la dirección del par se pueden expresar por medio de la ecuación: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝐻𝑅 × 𝐵𝑆

(3.21)

Por último, debido a que 𝐵𝑅 = 𝜇𝑯𝑅 , esta ecuación también se puede expresar como: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑆

(3.22)

Donde 𝑘 = 𝐾/𝜇. Nótese que en general 𝑘 no será constante debido a que la

permeabilidad magnética 𝜇 varía de acuerdo con la cantidad de saturación magnética en la máquina.

74

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

El campo magnético neto en esta máquina es la suma vectorial de los campos del rotor y del estator (si no hay saturación): 𝐵𝑛𝑒𝑡 = 𝐵𝑅 + 𝐵𝑆

(3.23)

Este hecho se puede utilizar para producir una expresión equivalente (y a menudo más útil) del par inducido en la máquina. De la ecuación (3.22) 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑆

(3.22)

Pero, de la ecuación (3.23),𝐵𝑆 = 𝐵𝑛𝑒𝑡 − 𝐵𝑅 , por lo que: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × (𝐵𝑛𝑒𝑡 − 𝐵𝑅 )

= 𝑘(𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡 ) − 𝑘(𝐵𝑅 × 𝐵𝑅 )

Debido a que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, esta ecuación se reduce a: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡

(3.24)

Por lo que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, esta ecuación se reduce a: 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 𝐵𝑛𝑒𝑡 sin 𝛿

(3.25)

75

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Donde:

𝛿 = Ángulo entre 𝐵𝑅 y 𝐵𝑛𝑒𝑡 . Las ecuaciones (3.22) y (3.25) se utilizarán para desarrollar la comprensión cualitativa del par en las máquinas ca. Por ejemplo, observando la máquina síncrona simple de la figura 3.5, en la cual los campos magnéticos giran en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Cuál es la dirección del par sobre el eje del rotor de la máquina? Si se aplica la regla de la mano derecha a la ecuación (3.22) o (3.24), se encuentra que el par inducido tiene la dirección de las manecillas del reloj o la dirección opuesta a la rotación del rotor. Por lo tanto, esta máquina debe estar actuando como generador.

Figura 3.5 Máquina síncrona simplificada que muestra los campos magnéticos del rotor y el estator.

76

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

3.3 AISLAMIENTO DEL DEVANADO EN UNA MÁQUINA DE CA

Una de las etapas más críticas del diseño de máquinas de ca es el aislamiento de sus devanados. Si falla el aislamiento de un motor o generador, la máquina entra en cortocircuito. Una reparación de este tipo es muy costosa, si es que es posible. Para prevenir la falla del aislamiento del devanado por sobrecalentamiento es necesario limitar la temperatura en los devanados. Esto se puede lograr parcialmente mediante la circulación de aire frío sobre los devanados, pero a fin de cuentas la temperatura máxima del devanado limita la potencia máxima que la máquina puede suministrar continuamente.

El aislamiento raras veces falla como consecuencia inmediata de una temperatura crítica. En cambio, el incremento en la temperatura produce un deterioro gradual del aislamiento, haciéndolo susceptible de fallar por otras causas como golpes, vibraciones o fatiga eléctrica. Una vieja regla práctica dice que la esperanza de vida de un motor con determinado tipo de aislamiento se reduce a la mitad por cada 10% de aumento en la temperatura sobre la temperatura nominal del devanado. Hasta cierto punto, esta regla aún es válida.

Para establecer en Estados Unidos un estándar de los límites de temperatura del aislamiento de la máquina, la National Electrical Manufacturers Association (NEMA) definió una serie de clases de sistemas de aislamiento. Cada clase de sistema de aislamiento especifica el aumento de temperatura máximo para esa clase de aislamiento. Hay tres clases comunes de aislamiento de NEMA para motores de ca de caballaje entero B, F y H. Cada una de ellas representa una temperatura permisible en el devanado del inducido a temperatura ambiente para un tipo de motor de inducción de ca que opera continuamente debe estar limitado a 80°C para el aislamiento clase B, a 105°C para clase F y a 125°C para clase H. 77

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

El efecto de la temperatura de operación en la vida del aislamiento de una máquina regular puede ser realmente perjudicial.

Las especificaciones de temperatura particulares para cada tipo de motores y generadores de ca se muestran con detalle en la norma NEMA Standard MGI-1993, Motors and Generators. La International Electrotechnical Commission (IEC) ha definido varias normas similares, así como también lo han hecho varias organizaciones de regulación nacional en otros países.

3.4 FLUJO DE POTENCIA Y PÉRDIDAS EN MÁQUINAS DE CA

Los generadores de ca toman potencia mecánica y producen potencia eléctrica, mientras que los motores de ca toman potencia eléctrica y producen potencia mecánica. En ambos casos, no toda la potencia de entrada alas máquina se transforman en forma útil en el otro extremo; siempre hay pérdidas asociadas con el proceso.

La eficiencia de una máquina de ca se define por medio de la ecuación:

𝜂=

𝑃𝑠𝑎𝑙 × 100% 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟

(3.26)

La diferencia entre la potencia de entrada y la potencia de salida de una máquina son las pérdidas que se presentan dentro de ella. Por lo tanto,

78

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝜂= Pérdidas en máquinas de ca

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟 − 𝑃𝑝é𝑟𝑑 × 100% 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟

(3.27)

Las pérdidas que se presentan en las máquinas de ca se pueden dividir en cuatro categorías básicas:

1. Pérdidas eléctricas o pérdidas en el cobre (pérdidas 𝐼 2 𝑅) 2. Pérdidas en el núcleo 3. Pérdidas mecánicas 4. Pérdidas dispersas o adicionales

PÉRDIDAS ELÉCTRICAS O PÉRDIDAS EN EL COBRE. Las pérdidas en el cobre son pérdidas por calentamiento resistivo que se presentan en los devanados del estator (inducido) y del rotor (campo) de la máquina. Las pérdidas de cobre en el estator (PCE, por sus siglas en inglés) en una máquina de ca trifásica están dadas por la ecuación:

Donde:

𝑃𝑃𝐶𝐸 = 3𝐼𝐴2 𝑅𝐴

(3.28)

𝐼𝐴 = Corriente que fluye en cada fase del inducido. 𝑅𝐴 = Resistencia de cada fase del inducido.

79

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Las pérdidas de cobre en el rotor (PCR) de una máquina de ca síncrona están dadas por:

Donde:

𝑃𝑃𝐶𝑅 = 𝐼𝐹2 𝑅𝐹

(3.29)

𝐼𝐹 = Corriente que fluye en el devanado de campo en el rotor. 𝑅𝐹 = Resistencia del devanado de campo.

Normalmente, la resistencia que se utiliza en estos cálculos es la resistencia del devanado a una temperatura normal de operación.

PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO. Las pérdidas en el núcleo son las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas que se presentan en el metal del motor. Estas pérdidas varían conforme al cuadrado de la densidad de flujo (𝐵 2) y, en el estator,

conforme a la 1.5ava potencia de la velocidad de rotación de los campos magnéticos (𝑛1.5 ).

PÉRDIDAS MECÁNICA. Las pérdidas mecánicas en una máquina de ca son las pérdidas asociadas con los efectos mecánicos. Hay dos tipos básicos de pérdidas mecánicas: fricción y rozamiento con el aire. Las pérdidas por fricción son causadas por la fricción en los cojinetes de las máquinas, mientras que las pérdidas por rozamiento con el aire son causadas por la fricción entre las partes móviles de la máquina y el aire dentro de la caja del motor. Estas pérdidas varían conforme al cubo de la velocidad de rotación de la máquina. 80

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

A menudo, las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el núcleo de una máquina se agrupan bajo el nombre de pérdidas rotacionales sin carga de la máquina. En vacío toda la potencia de entrada se debe utilizar para superar estas pérdidas. Por lo tanto, la medida de la potencia de entrada al estator de una máquina de ca que actúa como motor en vacío representa el valor aproximado de estas pérdidas.

PÉRDIDAS DISPERSAS (PÉRDIDAS MISCELÁNEAS). Las pérdidas dispersas son pérdidas que no se pueden ubicar en ninguna de las categorías anteriores. Sin importar qué tanta precisión se tenga en considerar las pérdidas, siempre hay algunas que se escapan de las categorías anteriores. Todas estas pérdidas se agrupan en las pérdidas dispersas. Convencionalmente, en la mayoría de las máquinas, las pérdidas dispersas se toman como 1% de la plena carga.

Diagrama de flujo de potencia Una de las técnicas más convenientes de considerar las pérdidas de potencia en una máquina es el diagrama de flujo de potencia. En la figura 3.6a se muestra el diagrama de flujo de potencia de un generador de ca. En esta figura, se suministra potencia mecánica a la máquina y luego se restan las pérdidas dispersas, las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el núcleo. Una vez que se han restado estas pérdidas, en situaciones ideales, la potencia restante se convierte de potencia mecánica a eléctrica en el punto llamado 𝑃𝐶𝑂𝑁𝑉 . La potencia mecánica que se

convierte es igual a:

𝑃𝐶𝑂𝑁𝑉 = 𝜏𝑖𝑛𝑑 𝜔𝑚

(3.30)

y se produce la misma cantidad de potencia eléctrica. Sin embargo, está no es la potencia que está presente en los terminales de la máquina. Antes de llegar a los terminales, se deben restar las pérdidas eléctricas 𝐼 2 𝑅.

81

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

En el caso de los motores ca, este diagrama de flujo de potencia simplemente se invierte como se muestra en la figura 3.6.b

.

Figura 3.6 a) Diagramas de flujo de potencia en un generador ca trifásico. b) Diagrama de flujo de potencia en un generador ca trifásico.

82

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

3.5 CONSTRUCCIÓN DE GENERADORES SÍNCRONOS

En un generador síncrono se aplica una corriente de cd al devanado del rotor, la cual produce un campo magnético en el rotor. Enseguida, el rotor del generador gira mediante un motor primario, y produce un campo magnético giratorio dentro de la máquina. Este campo magnético giratorio induce un conjunto de voltajes trifásicos dentro de los devanados del estator del generador.

Dos términos que se utilizan comúnmente para describir los devanados de una máquina son devanados de campo y devanados del inducido. En general, el término “devanados de campo” se aplica a los devanados que producen el campo magnético principal en la máquina y el término “devanados del inducido” se aplica a los devanados donde se induce el voltaje en el voltaje principal. En las máquinas síncronas, los devanados de campo están en el rotor, por lo que los términos “devanados del rotor” y “devanados de campo” se utilizan indistintamente. De manera similar, los términos “devanados del estator” y “devanados del inducido” se utilizan indistintamente.

El rotor de un generador síncrono es en esencia un electroimán grande. Los polos magnéticos en el rotor pueden ser tanto salientes como no salientes. El término salientes significa “proyectado” hacia “afuera” o “prominente” y un polo saliente es un polo magnético proyectado hacia afuera de la superficie del rotor. Por otro lado, un polo no saliente es un polo magnético construido al mismo nivel de la superficie del rotor. En la figura 3.7 se muestra un rotor de polos no salientes y en la figura 3.8 se puede ver un rotor de polos salientes. Por lo general, los rotores de polos no salientes se utilizan para rotores de dos o cuatro polos, mientras que los rotores de polos salientes normalmente se usan para rotores con cuatro o más polos. Debido a

83

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

que el rotor está sujeto a campos magnéticos variables, éste se construye con láminas delgadas para reducir las pérdidas por corrientes parásitas.

Figura 3.7 Rotor de polos no salientes en una máquina sincrónica.

Figura 3.8 Rotor de seis polos salientes en máquina sincrónica.

Se debe suministrar una corriente de cd al circuito de campo del rotor. Puesto que el rotor está girando, se requiere de un arreglo especial para que la potencia cd llegue a

84

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

los devanados de campo. Existen dos formas comunes de suministrar esta potencia cd:

1. Suministrar al rotor la potencia de cd desde una fuente externa cd por medio de anillos rozantes y escobillas. 2. Suministrar la potencia cd desde una fuente de potencia cd especial montada directamente en el eje del generador síncrono.

Los anillos rozantes son anillos de metal que circundan por completo el eje de una máquina, pero se encuentran aislados de él. Un extremo del devanado del rotor cd está unidos a cada uno de los dos anillos rozantes en el eje de la máquina síncrona y una escobilla estacionaria se desliza sobre cada anillo rozante. Una “escobilla” es un bloque de un compuesto de carbón parecido al grafito que conduce electricidad libremente pero tiene una fricción muy baja, por lo que no desgasta al anillo rozante. Si el extremo positivo de una fuente de voltaje cd se conecta a una escobilla y el extremo negativo se conecta a la otra, entonces se aplicará el mismo voltaje cd al devanado de campo en todo momento, sin importar la posición angular o velocidad del rotor.

Los anillos rozantes y las escobillas causan ciertos problemas cuando se utilizan para suministrar potencia cd a los devanados de campo de una máquina síncrona: incrementan la cantidad de mantenimiento que requiere la máquina debido a que el desgaste de las escobillas debe ser revisado regularmente. Además, la caída de voltaje en las escobillas puede ser la causa de pérdidas significativas de potencia en las máquinas que tienen corrientes de campo más grandes. A pesar de estos problemas, los anillos rozantes y las escobillas se utilizan en todas las máquinas síncronas pequeñas, ya que no hay otro método para suministrar corriente de campo cd que sea tan eficiente en términos de costo. 85

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

En los generadores y motores más grandes se utilizan excitadores o excitatrices sin escobillas para suministrar a la máquina corriente de campo cd. Un excitador sin escobilla es un generador de ca pequeño con un circuito de campo montado en el estator y un circuito de armadura montado en el eje del rotor. La salida trifásica del generador excitador se rectifica a corriente directa por medio de un circuito rectificador trifásico (que también está montado en el eje del generador) y luego se alimenta al circuito de campo cd principal. Por medio del control de la pequeña corriente de campo cd del generador excitador (localizado en el estator) es posible ajustar la corriente de campo en la máquina principal sin anillos rozantes ni escobillas. Este arreglo se muestra esquemáticamente en la figura 3.9 Debido a que no se presenta ningún contacto mecánico entre el rotor y el estator, los excitadores sin escobilla requieren mucho menos mantenimiento que los anillos rozantes y las escobillas.

Para que la excitación de un generador sea completamente independiente de cualquier fuente de potencia externa, a menudo se incluye un pequeño excitador piloto en el sistema. Un excitador piloto es un pequeño generador de ca con imanes permanentes montados en el eje del rotor y un devanado trifásico en el estator. Produce la potencia para el circuito de campo del excitador, que a su vez controla el circuito de campo de la máquina principal. Si se incluye un excitador piloto en el eje del generador, entonces no se requiere de potencia eléctrica externa para accionar el generador.

Muchos de los generadores síncronos que incluyen excitadores sin escobillas también tienen anillos rozantes y escobillas, por lo que hay una fuente auxiliar de corriente de campo cd en caso emergencia. Normalmente los estatores de los generadores síncronos están hechos de bobinas de estator preformadas en un devanado de doble capa. El devanado se distribuye y 86

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

encuerda de manera que se reduzca el contenido de armónicas en las corrientes y voltajes de salida.

Figura 3.9 Circuito excitador sin escobillas. Se rectifica una cantidad pequeña de corriente trifásica y se utiliza para alimentar el circuito de campo del excitador localizado sobre el estator. La salida del circuito de armadura del excitador (sobre el rotor) se rectifica y se utiliza para suministrar la corriente de campo de la máquina principal.

87

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

3.6 LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DE UN GENERADOR SÍNCRONO

Los generadores síncronos son por definición síncronos, lo que quiere decir que la frecuencia eléctrica se produce y entrelaza o sincroniza con la tasa mecánica de rotación del generador. El rotor de un generador síncrono consta de un electroimán al que se le suministra corriente directa. El campo magnético del rotor apunta en la dirección en que gira el rotor. Ahora, la tasa de rotación de los campos magnéticos en la máquina está relacionada con la frecuencia eléctrica del estator por medio de la ecuación:

𝑓𝑒 = Donde:

𝑛𝑚 𝑃 120

(3.31)

𝑓𝑒 = Frecuencia eléctrica en Hz

𝑛𝑚 = Velocidad mecánica del campo magnético en r/min (igual a la velocidad del

rotor de una máquina síncrona) P= número de polos.

Debido a que el rotor gira a la misma velocidad que el campo magnético, esta ecuación relaciona la velocidad de rotación del rotor con la frecuencia eléctrica resultante. La potencia eléctrica se genera a 50 o 60 Hz, por lo que el generador debe girar a una velocidad fija dependiendo del número de polos en la máquina.

88

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

3.7 EL VOLTAJE INTERNO GENERADO POR UN GENERADOR SÍNCRONO

Anteriormente se dedujo que la magnitud del voltaje inducido en cierta fase de un estator era:

𝐸𝐴 = √2𝑁𝐶 𝜙𝑓

(3.14)

Este voltaje depende del flujo 𝜙en la máquina, de la frecuencia o velocidad de

rotación y de la construcción de la máquina. Para resolver problemas de máquinas síncronas, a menudo esta ecuación se escribe de una forma más simple que enfatiza las cantidades que varían durante la operación de la máquina. Esta forma más simple es: 𝐸𝐴 = 𝐾𝜙𝜔

(3.32)

Donde:

K= es una constante que representa la construcción de la máquina. Si 𝜔 se expresa en radianes eléctricos por segundo, entonces: 𝐾=

𝑁𝐶

(3.33)

√2

Mientras que si 𝜔 se expresa en radianes mecánicos por segundo, entonces: 89

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

𝐾=

𝑁𝐶 𝑃

(3.34)

√2

El voltaje interno generado 𝐸𝐴 es directamente proporcional al flujo y a la velocidad,

pero el flujo en sí depende de la corriente que fluye por el circuito de campo del rotor. En la figura 3.10a muestra la manera en que se relacionan el circuito de campo 𝐼𝐹 y el flujo 𝜙. Debido a que 𝐸𝐴 es directamente proporcional al flujo, el voltaje interno

generado 𝐸𝐴 está relacionado con la corriente de campo, como se observa en la

figura 3.10b. Esta gráfica se llama curva de magnetización o característica de circuito abierto de la máquina.

Figura 3.10 Gráfica del flujo contra la corriente de campo para un generador síncrono. b) Curva de magnetización del generador síncrono.

3.8 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA OPERACIÓN DE LOS MOTORES

Para entender el concepto básico de un motor síncrono véase la figura 3.11, que muestra uno con dos polos. La corriente de campo 𝐼𝐹 del motor produce un campo 90

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

magnético en estado estacionario 𝐵𝑅 . Se aplica un conjunto de voltajes trifásicos al

estator de la máquina, lo que produce un flujo de corriente trifásica en los devanados.

Figura 3.11 Motor síncrono de dos polos.

Un conjunto de corrientes trifásicas en el inducido de un devanado produce un campo magnético giratorio uniforme 𝐵𝑆 . Por lo tanto, hay dos campos magnéticos

presentes en la máquina y el campo del rotor tenderá a alinearse con el campo del estator, igual que dos imanes tenderán a alinearse si se colocan uno cerca del otro. Debido a que el campo magnético del estator gira, el campo magnético del rotor (y el rotor mismo) tratará constantemente de alcanzarlo. Mientras más grande sea el ángulo entre los dos campos magnéticos (hasta un ángulo máximo), mayor será el par en el rotor de la máquina. El principio básico de la operación de los motores síncronos es que el rotor “persigue” al campo magnético giratorio del estator alrededor de un círculo y nunca lo alcanza. Debido a que un motor síncrono es igual físicamente a un generador síncrono, todas las ecuaciones básicas de velocidad, potencia y par se utilizan también para los motores síncronos. 91

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Circuito equivalente de un motor síncrono Un motor síncrono es igual en todos los aspectos a un generador síncrono, excepto en que la dirección del flujo de potencia es la opuesta. Ya que se invierte la dirección del flujo de potencia en la máquina, se puede esperar que la dirección del flujo de corriente en el estator del motor también se invierta. Por lo tanto, el circuito equivalente de un motor síncrono es exactamente igual al circuito equivalente de un generador síncrono, excepto en que la dirección de referencia de 𝐼𝐴 está invertida. En

la figura 3.12a se muestra el circuito equivalente completo resultante y en la figura 3.12b se puede observar el circuito equivalente por fase. Igual que como especificó antes, las tres fases del circuito equivalente pueden estar conectadas tanto en Y como en Δ.

92

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Figura 3.12 a) Circuito equivalente completo de un motor síncrono trifásico. b) Circuito equivalente por fase.

Debido a que el cambio en la dirección de 𝐼𝐴 , cambia también la ecuación de la ley de voltaje de Kirchhoff para el circuito equivalente. La nueva ecuación de la ley de voltaje de Kirchhoff es: 𝑉𝜙 = 𝐸𝐴 + 𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 + 𝑅𝐴 𝐼𝐴 𝐸𝐴 = 𝑉𝜙 − 𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 − 𝑅𝐴 𝐼𝐴

(3.35) (3.36)

Ésta es exactamente la misma ecuación que para el generador, excepto que se invierte el signo en el término de la corriente.

Motores síncronos desde la perspectiva del campo magnético.

Para comenzar a entender la operación de un motor síncrono, es preciso dar otra mirada a un generador síncrono conectado a un bus infinito. El generador tiene un motor primario que gira el eje y causa que éste rote. La dirección del par aplicado 𝜏𝑎𝑝 93

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

del motor primario sigue la dirección del movimiento porque el motor primario hace que el generador gire.

En la figura 3.13a se muestra el diagrama fasorial de un generador que opera con una corriente de campo grande y en la figura 3.13b se puede ver el diagrama del campo

magnético

correspondiente.

Como

se

describió

anteriormente,

𝐵𝑅

corresponde a (produce) 𝐸𝐴 , 𝐵𝑛𝑒𝑡 corresponde a (produce) 𝑉𝜙 y 𝐵𝑆 corresponde a

(produce) 𝐸𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡 (= −𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 ). La rotación tanto del diagrama de campo magnético

como del diagrama fasorial es en sentido contrario al de las manecillas del reloj en la figura, de acuerdo con la convención matemática estándar de incremento de ángulo.

Figura 3.13 a) Diagrama fasorial de un generador síncrono que opera a factor de potencia en atraso. b) Diagrama de campo magnético.

El par inducido del generador se puede calcular a partir del diagrama de campo magnético. El par inducido está dado por las ecuaciones: (3.24) y (3.25) 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 𝐵𝑛𝑒𝑡 sin 𝛿 𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡

(3.25) (3.24) 94

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

CAPITULO IV SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE CAMPOS MAGNETICOS En electromagnetismo y en la construcción de máquinas eléctricas se utiliza una magnitud llamada flujo magnético, que mide la cantidad de campo magnético o la cantidad de líneas de inducción magnética que atraviesan una superficie.

Para entender el comportamiento y la distribución de los campos magnéticos y debido a que no son visibles, se usara el programa Vizimag que es un programa de simulación numérica para resolver las ecuaciones diferenciales parciales que modelan los campos eléctricos y magnéticos en la vecindad de diferentes dispositivos.

En este programa se encuentran herramientas para la simulación de campos magnéticos, los cuales ya vienen especificados y a los que se les puede cambiar a los valores deseados, para acercarlos mas a la realidad.

4.1 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UN CONDUCTOR RECTILINEO.

Para empezar se recordará lo más esencial de los campos magnéticos, tales como: el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, el cual es tangente a la línea de campo en el punto considerado y su sentido. Y en el influirán tres factores: la intensidad de la corriente que circula por el conductor, la distancia al conductor desde el punto considerado, y el medio.

95

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Lo que quiere decir que el campo magnético alrededor de un conductor largo y recto es de forma circular, siendo mayor cerca del conductor y disminuyendo conforme aumenta la distancia del conductor. Como se muestra en las figuras 4.1a y 4.2a, en la primera, las líneas son más consistentes y unidas que en la segunda, esto se debe a que el campo magnético es más intenso, debido a la corriente que transporta cada una.

Fig. 4.1a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 10 Amperes.

Fig. 4.1b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor.

96

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Fig. 4.2a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 5 Amperes.

Fig. 4.2b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor.

4.2 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA BOBINA O SOLENOIDE.

Pero si ahora se simula el comportamiento del campo magnético en una bobina o solenoide, el cual está formado por el arrollamiento de un alambre muy largo sobre un cilindro, cuya longitud, medida a lo largo del eje de ésta, es generalmente mayor que el diámetro de cada vuelta. Un parámetro importante es el número de vueltas que tiene por unidad de longitud, así como la permeabilidad magnética del material sobre el cual esta devanada.

En un solenoide de vueltas más apretadas la separación entre estas será menor y cada vuelta se aproxima más en su forma a una espira, de manera que cada espira producirá una contribución al campo magnético similar al campo producido por una espira con corriente.

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

En la figura 4.3a se simula una bobina, colocando siete conductores rectos, tanto en la parte de arriba como en la de abajo del plano, cada uno transportando cinco Amperes, como se observa las líneas del campo magnético son mas en la parte interna de la bobina y se van haciendo menos conforme se aleja de la bobina.

Fig.4.3a Distribución de la densidad de campo magnético en una bobina de 7 vueltas transportando 5 Amperes.

Fig.4.3b Magnitud de la densidad de flujo en el centro de bobina.

Fig.4.3c Magnitud de la densidad de flujo en función de la distancia a la bobina que transporta corriente.

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Para el comportamiento de un solenoide, se simulara con datos reales como se muestra en la figura 4.4a se puede observar que en el interior del solenoide la contribución de cada vuelta al campo tiende a reforzar la contribución de las demás, de manera tal que el campo resultante es aproximadamente uniforme y paralelo al eje del solenoide. En el exterior del solenoide las contribuciones tienden a cancelarse de forma que el campo es relativamente pequeño.

Datos del solenoide: Permeabilidad: 10,000 Numero de vueltas: 100 Corriente: 3 Amperes Dimensiones 2 x 4 cm Profundidad: 2cm Rotación:90°

Fig.4.4a Distribución de la densidad del campo magnético en un solenoide.

Fig.4.4.b Magnitud de la densidad de flujo

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4.3 ARREGLOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES

A continuación se simulara una red de cuatro bobinas, cada una formada con cuatro conductores rectilíneos, transportando diez Amperes cada bobina, como muestra la figura 4.5.a y se observa que el campo magnético es mayor en el centro de ellas.

Fig.4.5 Distribución de la densidad del campo magnético en una red cuatro bobinas.

Una espira rectangular está compuesta por cuatro conductores rectilíneos. Observamos que dos fuerzas se anulan, y las otras dos provocan un par de fuerzas que hacen girar a la espira. Este es el principio de funcionamiento de los motores eléctricos: una corriente circulando por un bobinado dentro de un campo magnético.

A este arreglo se le agregara un magneto en el interior con una corriente de un Tesla, y quedara como se muestra en la figura 4.6, como el campo magnético generado por el magneto es mayor al generado por las cuatro bobinas, solo se pueden apreciar las líneas del primero. 100

CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Fig.4.6. Distribución del campo magnético. (el magneto genera 1 Tesla)

(norte arriba)

Debido a lo ocurrido en la simulacion anterior, se reducira la corriente del magneto a una de cinco Gauss.

Para simular el campo magnético generado en las bobinas y en el magneto, que hacen que éste último gire, empezando así el funcionamiento del motor, se mostrara el mismo arreglo de bobinas, y se cambiara el magneto a cuatro posiciones distintas.

Calculando la fuerza que se produce debido al campo resultante sobre el magneto, sus componentes en x, e y, y el ángulo se podra observar hacia donde se inclina éste..

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Fig. 4.7a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro.

Fig. 4.7 b Distribución del campo magnético.

El arreglo mostrado en la figura 4.7a, donde el polo norte del magneto se coloco en la parte superior, al simularlo el campo magnético se comporta como se observa en la figura 4.7b, Vizimag nos permite obtener la fuerza del magneto, simplemente al seleccionarlo, la cual es la siguiente:

F= 4.25e-4 Fx= -7.06e-5 Fy= 4.18 e-4 𝜃 = 99.5867° El ángulo nos indica hacia donde se inclina el magneto, ya que este se encuentra en el centro de dos bobinas, cada una con una polaridad diferente, una bobina va a ejercer una fuerza en contra y otra a favor, siendo asi que una lo empuja y la otra la atrae, provocando el giro del mismo.

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En la figura 4.8a, el polo norte del magneto se encuentra en la parte izquierda, y al simularlo, el coportamiento del campo magnético es el mostrado en la figura 4.8b, la fuerza del magneto es el siguiente:

F= 4.22e-4 Fx= 4.20e-4 Fy= -3.78 e-5 𝜃 = 354.8572°

Fig. 4.8a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. (el magneto genera 5 Gauss) (norte a la izquierda)

Fig. 4.8b Distribución del campo magnético.

Para seguir con la simulación del giro del magneto, en la figura 4.9a, se coloca el polo norte en la parte inferior del arreglo, y el campo magnético es simulado como se muestra en la figura 4.9b, la fuerza del magneto es la siguiente:

F= 3.14e-4 Fx= 4.60e-5 Fy= -3.11 e-4 𝜃 = 278.4136°

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Fig. 4.9a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. (el magneto genera 5 Gauss) (norte abajo)

Fig. 4.9b Distribución del campo magnético.

En el arreglo mostrado en la figura 4.10a, el polo norte del magneto se coloca en la parte derecha, y el comportamiento del campo magnético se muestra en la figura 4.10b, la fuerza del magneto es la siguiente: F= 3.14e-4 Fx= 4.60e-5 Fy= -3.11 e-4 𝜃 = 278.4136°

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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS

Fig. 4.10.a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. (el magneto genera 5 Gauss) (norte a la derecha)

Fig. 4.10 b Distribución del campo magnético.

En este capítulo se hicieron diferentes simulaciones con el programa Vizimag, con la finalidad de simular la distribución de campos magnéticos en arreglos sencillos tales como: la corriente a través de un conductor rectilíneo, el comportamiento del campo magnético en una bobina de N vueltas que transporta una corriente I, hasta el comportamiento de la distribución del campo magnético de un arreglo de N bobinas.

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CONCLUSIONES La generación y la utilización de la energía eléctrica se fundamentan en las leyes básicas de electromagnetismo, específicamente los motores eléctricos operan bajo los principios de la ley Ampere, de la ley de Lenz, de la ley de Faraday, entre otras.

En este trabajo, con la finalidad de conocer la operación en estado permanente de motores eléctricos monofásicos, trifásicos y motores polifásicos, se ha visto en la lectura especializada que el principio de cada uno de ellos es el mismo.

El campo magnético giratorio en motores y generadores es importante porque el determina el movimiento de cada uno de ellos. Los responsables de este campo magnético giratorio son, como su nombre lo indica, los campos electromagnéticos que se generan cuando se aplican corrientes constantes o variables en el tiempo, a un grupo de bobinas dispuestas de manera conveniente.

En este trabajo se construyó un motor trifásico mostrado en la figura A, cada bobina consta de 60 vueltas, devanada sobre un núcleo magnético de acero al silicio, con una permeabilidad promedio de 10,000 (m*kg*C-2), el rotor de este motor esta hecho de aluminio.

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Figura A. Motor construido.

La finalidad de la construcción de este tipo de arreglo es la de mostrar experimentalmente y a través de simulaciones digitales, la presencia del campo magnético que se presenta en el devanado del estator, el cual reacciona con el campo magnético que se genera en el rotor del motor, dando origen al movimiento mecánico del dispositivo electromagnético construido. Se observó la tendencia a girar del rotor del motor, el cual es afectado por irregularidades físicas de la construcción del dispositivo, sin embargo, se logró el giro del rotor.

Existen en el mercado una cantidad importante de programas comerciales con los cuales se puede simular una gran cantidad de dispositivos electromecánicos, sin embargo, son costosos y salen del alcance del autor. En este trabajo se utilizó el programa Vizimag mostrado en la figura B, que tiene un costo aproximado de usd 40.

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Figura B. Programa Vizimag.

Se pueden realizar en este programa, diferentes tipos de simulaciones, y cálculos para el análisis de diferentes dispositivos, en la parte derecha de la figura B, se observan diferentes opciones para elegir, se da clic en el que dice solenoide, y se dibuja la imagen en la parte izquierda de la ventana, colocándola de preferencia en el centro, para simular el campo magnético, se regresa al lado derecho, y se presiona el botón de “correr”. Para obtener la imagen mostrada en la figura C

Figura C. Simulación del campo magnético de un solenoide. .

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De esta forma se hicieron todas las simulaciones de este trabajo, para entender el comportamiento del campo magnético que hace posible el movimiento del rotor, del motor construido. Con la simulación del motor se entendió el funcionamiento, ya que el motor consta de tres bobinas, lo que hace un conjunto de bobinas trifásico, estas generan un campo magnético giratorio uniforme en el estator de dicho motor, lo que hace que el rotor se mueva y el campo magnético que se induce en este, trate de alcanzarlo, aunque nunca lo lograra. El campo magnético es lo que hace que el motor gire, y gracias a la simulación se comprende de manera más sencilla, ya que se lleva la teoría a la práctica, y se pueden realizar diferentes tipos de arreglos y simularlos para su total comprensión.

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BIBLIOGRAFÍA 1) Bhag, S. Guru y Hüseyin, R. Hiziroglu. Máquinas eléctricas y transformadores Tercera edición. Alfaomega. México, 2006 2) Reitz, John R. y Milford, Frederick J. Fundamentos de la teoría electromagnética Primera edición. Uteha. México,1981 3) Chapman, Stephen J. Máquinas eléctricas Cuarta edición. McGraw Hill. México, 2005 4)http://ing.unne.edu.ar/pub/fisica3/170308/teo/teo4.pdf 5)http://es.scribd.com/doc/55727044/13/Tema-1-Campo-magnetico-sobre-unconductor-recto-y-largo 6)http://www.portaleso.com/portaleso/trabajos/tecnologia/ele.yelectro/t4_electromagn etismo.pdf 7) Vizimag v3.193

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