Variables aleatorias Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

Variables aleatorias Por ejemplo:

A la función f se le llama función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidad

Variables aleatorias Alternativamente: Se define la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface: , es decir, la probabilidad de que x caiga entre x y x+dx

Variables aleatorias La densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:

Variables aleatorias Comentario: las distribuciones continuas asignan probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua Pr(X=a)=0 Esto no implica el evento X=a sea imposible!

Variables aleatorias Ejemplo: Distribución uniforme

Variables aleatorias Comentario: La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de x. Es la integral de f la que da la probabilidad

Variables aleatorias Ejemplo: Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por:

¿Cuál es el valor de c? Determine :

Variables aleatorias Similarmente al caso discreto, se define la función de distribución cumulativa (cdf) F(x):

De modo que Además: ,

Variables aleatorias Comentarios: - La función de distribución cumulativa F(x) Es una función no decreciente con x - Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha: para cada valor de x

Variables aleatorias Ejemplo: Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b]. ¿Cuál es la función de distribución cumulativa

Variables aleatorias

Comentario: Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad. Si X es una variable discreta que toma los valores x1,...,xn con probabilidades p1,...,pn , entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse como

Varias variables aleatorias Es común encontrar problemas que dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o más variables aleatorias.

Veamos el caso de dos variables.

Varias variables aleatorias Distribucion conjunta discreta. Sean X y Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores (xi,yi) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribución discreta. Definición: La función de probabilidad conjunta de X,Y se define como la función f tal que para cada punto (xi,yi) en el plano xy,

Varias variables aleatorias Con

Si (xi,yi) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(xi,yi) = 0. Además,

Varias variables aleatorias Similarmente al caso continuo para una variable tenemos ahora que:

donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface: y

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatorias

Caso especial: variables independientes. Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse como Pr(X=xi ,Y=yi )=g(xi )h(yi ) , donde g(xi) y h(yi) son las densidades de probabilidad de X y Y. Similarmente para el caso continuo:

Varias variables aleatorias Sobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes. Sea Y = X1 + X2, donde X1 , X2 son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f1 y f2 . La densidad de probabilidad de Y está dada por (convolución)

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatorias

Varias variables aleatorias Distribución cumulativa conjunta La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función F tal que para todos los valores de x e y de modo que

Varias variables aleatorias Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces

De aquí que

Varias variables aleatorias Distribución marginal Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le llama distribución marginal. Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f1 está dada por

Varias variables aleatorias Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f1 está dada por

Similarmente para el caso continuo:

Varias variables aleatorias Distribución condicional Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:

Varias variables aleatorias Distribución condicional Para n variables:

donde f2 es la distribución marginal de X1,... Xk

Varias variables aleatorias Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes Para n variables:

donde y Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:

Variables aleatorias Funciones de variables aleatorias Frecuentemente se requiere la distribución de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X1,X2, ¿cuál es la probabilididad de exp(X1+X2)?

Varias variables aleatorias Funciones de variables aleatorias

o bien

Variables aleatorias Algunas propiedades de las distribuciones Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables aleatorias en cuestión. En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información estadística de las variables aleatorias. Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables aleatorias.

Variables aleatorias Valor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio. Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como

f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)

Variables aleatorias En general, para una función de variables aleatorias, tenemos

Variables aleatorias Una propiedad: También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que:

donde

a y b son constantes (números reales)

Variables aleatorias

Varianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio) Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por:

donde

Variables aleatorias Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):

Variables aleatorias Generalización: k-ésimo momento Este se define como:

donde

Variables aleatorias Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por

Variables aleatorias Comentario: Los momentos centrales “skewness” y “kurtosis”

y

tienen nombre:

Variables aleatorias Función generadora (generatriz) de probabilidad

donde fn =Pr(X=xn ) y xn toma valores enteros no negativos

Variables aleatorias de modo que, por ejemplo, el primer momento está dado por

Variables aleatorias

Variables aleatorias

Otro tipo de función generadora (generatriz) es la función generadora de momentos Para una variable aleatoria X y un número real t, esta función se define como:

La función generadora existe para todo valor de t siempre que X esté acotada y MX(t=0)=E(1)=1

Variables aleatorias Entonces, el n-ésimo momento de X está dado por:

De esta forma, por ejemplo,

Variables aleatorias Ejemplo: función generadora de una densidad de distribución Gaussiana está dada por:

Variables aleatorias Caso especial: suma de variables independientes Si X1,...,Xn son variables independientes y Sn=X1+ ... +Xn, entonces

Variables aleatorias Un poco más general: si ahora Sn está dada por la suma de variables independientes de la forma: Sn=c1X1+ ... +cnXn , entonces la función generatriz viene dada por:

Variables aleatorias Covarianza y correlación Estas dos cantidades nos dicen que tanto están relacionadas/(dependen entre sí) dos variables aleatorias. Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos y La covarianza se define como

Variables aleatorias Covarianza y correlación Se puede mostrar que la covarianza se puede escribir como:

De aquí que, si X e Y son variables independientes

por lo que

Variables aleatorias Covarianza y correlación En cuanto a la correlación, ésta se define como

Se puede demostra que: y

Variables aleatorias Si hay una dependencia lineal entre las variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positiva y Corr[X,Y]=-1, si a es una constante negativa

Variables aleatorias Comentarios: a) El hecho de que haya una relación entre dos variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica que ambas variables esten correlacionadas b) Si las variables son independientes =>

pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientes

Variables aleatorias Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita entonces

Si las variables son independientes tenemos

que es un caso particular de

Variables aleatorias Teorema del límite central Sean X1,...,Xn n variables aleatorias independientes cada una descrita (estadísticamente) por funciones de probabilidad fi(x) con valores medios y varianzas . Entonces la variable

Tiene las siguientes propiedades

Variables aleatorias

1-El valor esperado está dado por

2-La varianza viende dada por

3-Para la función de probabilidad de Z tiene a una distribución normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2. Nota:las funciones fi(x) pueden ser todas distintas

Variables aleatorias

Comentarios:

1) Si las Xi siguen la misma distribución, para la distribución de Z se aproxima a una distribución normal con valor medio y varianza 2) Si una variable aleatoria está dada por podemos hacer entonces ln(Y) sigue una distribución “log-normal”