5.1Propiedades de los límites para funciones: R2R

Sean f(X) y g(X) dos funciones reales de variables independientes en el espacio vectorial R2. Si existen los limites de f(x) y g(x) cuando x tiende a x0, entonces:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11.

5.2Teoremas generales sobre límites para funciones: R2R

Sean f(x,y) y g(x,y) dos funciones reales de variable independiente en el espacio vectorial R2. Teorema 1(cota superior). Sea m un número real. Si f(x,y) m para todo (x,y) perteneciente a una esfera abierta con centro en (x0,y0), y existe el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), entonces:



Teorema 2(cota inferior). Sea m un número real. Si f(x,y)m para todo (x,y) perteneciente a una esfera abierta con centro en (x0,y0), y existe el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), entonces:



Teorema 3(correspondencia). Si f(x,y)  g(x,y) para todo (x,y) perteneciente a una esfera abierta con centro en (x0,y0), y existen los límites correspondientes en (x0,y0), entonces:



Teorema 4(compresión). Si f(x,y)  g(x,y)  h(x,y) para todo (x,y) perteneciente a una esfera abierta con centro en (x0,y0),(excepto quizás en (x0,y0)). Y se cumple que

Entonces:

Teorema 5(función compuesta). Si existe el límite de g(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), entonces:

5.3. Teoremas - procedimientos para la obtención de límites para funciones: R2R

Sean f(x,y) y g(x,y) dos funciones reales de variable independiente en el espacio vectorial R2. Teorema 6: Sustitución directa. Si se sustituye el punto (x0, y0) directamente en la expresión argumento del límite. Y se obtiene un número real b. Entonces:

Teorema 7: Función acotada. Sea g(x,y) una función acotada, N  g(x, y) M con MN, para todo (x,y) perteneciente a una esfera abierta con centro en (x0,y0), y el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), es 0 entonces:

Teorema 8: Infinitésimos equivalentes. Si el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), es 0,entonces se dice que f(x,y) es un infinitésimo en los alrededores de (x0,y0). Si f(x,y) y g(x,y) son dos infinitésimo en los alrededores de (x0,y0) y si además se cumple que:

Entonces decimos que f(x,y) y g(x,y) son dos infinitésimos equivalentes. Y se denota de esta manera: f(x,y)  g(x,y) en (x0,y0). Ahora bien, este teorema establece que si un infinitésimo está multiplicando o dividiendo dentro de una expresión argumento de un límite se le puede reemplazar por otro equivalente con el propósito de reducir las operaciones. Es decir: Si f(x,y)  g(x,y) en (x0,y0) entonces

Teorema 9: Criterio de las trayectorias. Debemos notar que el punto (x, y) puede aproximarse al punto de acumulación (x0, y0) desde un número infinito de direcciones y de diferentes maneras. El único requisito es que el punto (x, y) permanezca en el dominio de f. Y por cualquiera de estos ilimitados caminos el valor del límite obtenido debe ser el mismo para que exista el límite de la función en el punto.

Esto es:

De esta manera, si existen al menos dos trayectorias en donde los limites obtenidos sean diferente, entonces se puede concluir que el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (x0,y0), no existe. En consecuencia, este método es conclusivo solo cuando trayectorias distintas obtienen distintos valores límite.

Por otro lado, cuando el valor límite obtenido resulta siempre el mismo cuando evaluamos distintas trayectorias, aunque este número es el único candidato posible a límite, esto no nos permite afirmar o negar si el límite existe hasta haber demostrado que cumple con la definición ó condición de límite.

Teorema 10(Limites iterados). La iteración proviene del hecho de que se calcula el límite con respecto a una variable elegida de inicio, considerando la otra como constante, luego se tiende al límite la variable restante. Después se repite el cálculo pero iniciando con la variable que se dejó de ultimo.

Si estos dos límites son distintos, entonces la función no tiene límite , y similar al teorema anterior, el método es conclusivo. Pero si son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada sobre la existencia del límite, hasta haber demostrado que cumple con la definición.

Prof. Amabiles Núñez, MSc.