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ÁREA DE FÍS SICA

da Libre e y Tiro o Vertic cal” “Caíd

Guillermo Becerra B a Córdo ova

E--mail: gllrmb becerra@ya ahoo.com

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TEORÍA La Cinemática es la ciencia de la Mecánica que describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparnos por conocer sus causas. El estudio de las causas de los cambios de un movimiento dado es objeto de la Dinámica y constituye el tema propio de la Mecánica. El estudio detallado del movimiento de un cuerpo es bastante complejo. Se hace necesario hacer algunas simplificaciones que nos faciliten este estudio. Así, estudiaremos sólo el movimiento de un cuerpo como si fuera una partícula. Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con las demás dimensiones que participan en el movimiento. Cuando un cuerpo se trata como partícula, se simplifica enormemente el estudio de su movimiento, pues cualquier movimiento de rotación que pueda tener el cuerpo a un eje que pasa por el cuerpo, es despreciable, y puede simplemente despreciarse. Una de las características del movimiento de los cuerpos es su relatividad o dependencia respecto del observador que estudia el movimiento. El movimiento de un cuerpo depende del punto o sistema de referencia, esto es, un cuerpo puede estarse moviendo con respecto a un punto de referencia y estar en reposo con respecto a otro punto de referencia. En consecuencia, no existe el verdadero movimiento pues todos son igualmente verdaderos. Tomemos en cuenta que, cuando nos refiramos al movimiento de un cuerpo, debemos mencionar obligatoriamente el punto de referencia. En general tomaremos como punto de referencia a la Tierra. Finalmente, el movimiento es el cambio de posición con respecto a un punto o sistema de referencia. El tiro vertical y la caída libre es parte del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. La única diferencia consiste en que la aceleración con la que su mueve un cuerpo es con la aceleración de la gravedad y su trayectoria es una línea vertical. De este modo, las ecuaciones para este tipo de movimientos son:

y = y 0 + v 0 (t − t 0 ) + g (t − t 0 ) 2 / 2

y = y0 +

v 2 − v 02 2g

v = v0 + g (t − t 0 ) −

v=

v + v0 2

1 2 3 4

−

y = y 0 + v(t − t 0 )

5

Por convención vamos a considerar que si el cuerpo sube, la velocidad es positiva y si baja, será negativa. Si el cuerpo se encuentra arriba de la superficie, la posición será positiva y

2

negativa en caso contrario. De esta forma, la aceleración de la gravedad tendrá el valor de

− 9.8 m / s 2 . Este valor nos indica que cuando el cuerpo suba, la velocidad descenderá y cuando baje, aumentará. y 0 y v 0 , es la posición y la velocidad inicial al instante t 0 , el cual se −

conoce como tiempo inicial. y y v es la posición y velocidad del cuerpo al instante t . v es la velocidad promedio. Ejemplo 1. Se lanza un objeto con una velocidad de 20 m / s . Calcule el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima y la altura máxima, al igual que el tiempo y la velocidad del cuerpo al momento de llegar al piso. Como el cuerpo se comienza a mover en el momento de accionar el cronómetro, t 0 = 0 y la velocidad inicial es de v0 = 20 m / s . Como se lanza el cuerpo desde la superficie de la tierra, y 0 será igual a cero. Si queremos conocer el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, debemos de considerar que la velocidad final en ese momento es igual a cero. En consecuencia, el tiempo que tarda el objeto en alcanzar la altura máxima es igual a:

t=

v − v0 0 − 20m / s = = 2.04 m / s 2 2 g − 9.8 m / s

Con este dato se puede calcular la altura máxima, por medio de la siguiente ecuación::

y = y 0 + v 0 (t − t 0 ) + g (t − t 0 ) 2 / 2 = 0 + ( 20m / s )(2.04 s ) + (−9.8 m / s 2 )(2.04 s ) 2 / 2 Por lo tanto:

y = 0 + (20m / s )(2.04 s ) + (−9.8 m / s 2 )(2.04 s ) 2 / 2 = 20.41 m El tiempo que tarda en llegar de nuevo al piso se calcula suponiendo que la posición final del cuerpo en el suelo es igual a cero. Al hacer uso de la ecuación 2 se tiene:

y = 0 + (20m / s)t + (−9.8 m / s 2 )t 2 / 2 = 0 Factorizando, tenemos:

t (20m / s + (−9.8 m / s 2 )t ) / 2 = 0 Es decir:

20m / s + (−9.8 m / s 2 )t / 2 = 0 Despejando, obtenemos:

t=

− 40 m / s = 4.08 s − 9.8 m / s 2

3

Como era de esperase, este resultado es igual al doble del tiempo empleado para que se alcance la altura máxima. La velocidad con la que llega al suelo el objeto debe ser igual a la velocidad con la que se lanzó pero con signo negativo debido a que está cayendo el objeto. Esto se puede comprobar utilizando la ecuación para calcular la velocidad final, es decir:

Gráfica de la Altura en función del Tiempo.

20

Altura

15

10

5

0 0

1

2

3

4

Tiempo

Figura 1

v = v 0 + gt = 20 m / s − (9.8 m / s 2 )(4.08 s ) = 20 m / s − 40 m / s = −20 m / s Observe en la gráfica que el cuerpo llega a la altura máxima alrededor de segundo segundo, que coincide con los resultados obtenidos anteriormente. De igual forma, la llegada a suelo está alrededor del cuarto segundo. Para el tiro vertical y la caída libre, la parábola siempre abrirá hacia abajo. Ejemplo 2. Desde un edificio de 60 metros se lanza un objeto con una velocidad de 20 m / s . Calcule el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima y la altura máxima, al igual que el tiempo y la velocidad del cuerpo al momento de llegar al piso. Como el cuerpo se comienza a mover en el momento de accionar el cronómetro, t 0 = 0 y la velocidad inicial es de v0 = 20 m / s . Como se lanza el cuerpo desde un edificio de 60 metros, la posición inicial corresponderá a esa altura. Si queremos conocer el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, debemos considerar que la velocidad final en ese momento es igual a cero. En consecuencia, el tiempo que tarda el objeto en alcanzar la altura máxima es igual a:

t=

v − v0 0 − 20m / s = = 2.04 m / s 2 2 g − 9.8 m / s

4

Con este dato se puede calcular la altura máxima, por medio de la siguiente ecuación::

y = y 0 + v 0 (t − t 0 ) + g (t − t 0 ) 2 / 2 = 60 m + ( 20m / s )(2.04 s ) + (−9.8 m / s 2 )(2.04 s ) 2 / 2 Por lo tanto:

y = 0 + (20m / s )(2.04 s ) + (−9.8 m / s 2 )(2.04 s) 2 / 2 = 80.41 m El tiempo que tarda en llegar al piso se calcula suponiendo que la posición final del cuerpo en el suelo es igual a cero. Al hacer uso de la ecuación 2 se tiene:

y = 60 m + (20m / s )t + (−9.8 m / s 2 )t 2 / 2 = 0 Reordenando términos, tenemos:

(−4.9 m / s 2 ) t 2 + (20 m / s ) t + 60 m = 0 La cual es una ecuación de segundo grado que se resuelve empleando la fórmula general, se tiene:

t=

− 20 m / s ± (20 m / s ) 2 − 4( −4.9 m / s 2 )(60 m) 2(−4.9 m / s ) 2

=

− 20 m / s ± 39.69 m / s = 6.09 s − 9.8 m / s 2

Observe que para obtener el resultado se escogió el signo negativo para que el cociente con la gravedad sea positivo. La velocidad con la que llega al suelo se puede calcular utilizando el tiempo anterior, es decir:

v = v 0 + gt = 20 m / s − (9.8 m / s 2 )(6.09 s ) = 20 m / s − 59.69 m / s = −39.69 m / s Gráfica de Altura en función del Tiempo. 80

Altura

60

40

20

0 0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo

Figura 2 Observe en la gráfica que al igual que en el ejemplo anterior, el cuerpo llega a la altura máxima alrededor del segundo segundo, que coincide con los resultados obtenidos anteriormente. El tiempo de llegada al suelo es de cerca de seis segundos, el cual es mayor que en el ejemplo anterior debido a que se lanza desde una altura de 60 metros.

5

Ejemplo 3. Desde un edificio de 60 metros se lanza hacia abajo un objeto con una velocidad de - 20 m / s . Calcule el tiempo y la velocidad con la que llega al piso. Como el cuerpo se comienza a mover en el momento de accionar el cronómetro, t 0 = 0 y la velocidad inicial es de v0 = −20 m / s . La velocidad es negativa debido a que se lanza hacia abajo el objeto. Como se lanza el cuerpo desde un edificio de 60 metros, la posición inicial corresponderá a esa altura. El tiempo que tarda en llegar al piso se calcula suponiendo que la posición final del cuerpo en el suelo es igual a cero. Al hacer uso de la ecuación 2 se tiene:

y = 60 m + (−20m / s )t + (−9.8 m / s 2 )t 2 / 2 = 0 Reordenando términos, tenemos:

(−4.9 m / s 2 ) t 2 + (−20 m / s) t + 60 m = 0 La cual es una ecuación de segundo grado que se resuelve empleando la fórmula general, se tiene:

t=

20 m / s ± (20 m / s ) 2 − 4( −4.9 m / s 2 )(60 m) 2 ( −4 . 9 m / s ) 2

=

20 m / s ± 39.69 m / s = 2.00 s − 9.8 m / s 2

Observe que para obtener el resultado se escogió el signo negativo para que el cociente con la gravedad sea positivo. La velocidad con la que llega al suelo se puede calcular utilizando el tiempo anterior, es decir:

v = v 0 + gt = −20 m / s − (9.8 m / s 2 )( 2.00 s ) = −20 m / s − 19.69 m / s = −39.69 m / s Note que este resultado es similar al del ejemplo anterior. En conclusión, la velocidad con la que un cuerpo llega al piso, es la misma si se lanza hacia arriba o hacia abajo, siempre y cuando se lance con la misma velocidad. Gráfica de Altura en función del Tiempo. 60

Posición

50

40

30

20

10

0 0.0

0.5

1.0

Tiempo

Figura 3

6

1.5

2.0

El programa que simula la caída libre y el tiro vertical se muestra en la figura 4. El sistema simula el movimiento simultáneo de dos objetos de acuerdo con este tipo de movimientos. Así, los valores del tiempo, la posición y la velocidad inicial, al igual que el tiempo final de la simulación pueden ser introducidos por medio de barras de desplazamiento. Conforme se lleva a cabo una simulación particular, el sistema desplegará marcas que indican la posición que van adquiriendo los cuerpos conforme se desplazan. Así, se podrá observar que los cuerpos recorren mayores distancias para iguales intervalos de tiempo, debido que su velocidad cambia uniformemente. La aceleración con la que se desplazan los objetos es la misma y corresponde con la aceleración de la gravedad, la cuál se ha considerado, por convención, negativa. En consecuencia, la velocidad de un cuerpo disminuye conforme va subiendo y aumenta conforme va bajando. El desarrollo del simulador está basado en la ecuación 1.

Figura 4

CONCLUSIONES •

El sistema muestra los movimientos de los objetos para cada parámetro que rige su simulación. Con esto se puede realizar una serie de combinaciones que permitan analizar sus comportamientos.

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El usuario podrá comprobar que la distancia que recorren y la posición de los objetos en cada simulación, coincide con las calculadas teóricamente por medio de las ecuaciones correspondientes a cada tema.

•

Los sistemas pueden ser usados para la Educación a Distancia por ser transportables fácilmente.

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Con el uso de los sistemas se puede lograr un aprendizaje activo.

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•

Se logran imágenes conceptuales a través de los modelos visuales que se generan con las simulaciones.

•

El sistema es un apoyo a la labor docente.

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