EU AT

Introducci´ on. Sistemas de s´ olidos r´ıgidos

AP

5.1.

LIC

AD AI

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

I-

Cap´ıtulo 5

DP

TO .F ISI

CA

Un sistema de s´ olidos r´ıgidos es un conjunto de s´ olidos r´ıgidos que interaccionan entre s´ı y con el exterior. Un sistema de s´ olidos r´ıgidos es un modelo para describir un sistema mec´ anico, como lo son otros que hemos venido manejando en este texto (punto material, sistemas de puntos materiales, s´ olido r´ıgido). En este cap´ıtulo vamos a estudiar el equilibrio de sistemas mec´ anicos suponiendo que su comportamiento mec´ anico se explica satisfactoriamente considerando que son sistemas de s´ olidos r´ıgidos. En un sistema de s´ olidos r´ıgidos llamamos ligadura o v´ınculo a una interacci´on que tiene el efecto de limitar las posiciones que puede ocupar uno o varios de los s´ olidos r´ıgidos. Diremos que un sistema est´ a ligado o vinculado si contiene ligaduras. Si la ligadura se produce entre uno de los s´ olidos y el exterior diremos que es una ligadura externa. Si la ligadura se produce u ´nicamente entre s´ olidos del sistema, diremos que es una ligadura interna. Llamaremos fuerzas de reacci´ on vincular internas y momentos de reacci´ on vincular internos a las fuerzas y momentos que, seg´ un el principio de liberaci´ on, sintetizan el efecto mec´ anico de ligaduras internas. Llamaremos fuerzas de reacci´ on vincular externas y momentos de reacci´ on vincular externos a las fuerzas y momentos que, seg´ un el principio de liberaci´ on, sintetizan el efecto mec´ anico de ligaduras externas. Las fuerzas activas (es decir, aqu´ellas capaces de provocar movimiento) que act´ uan sobre un sistema de s´ olidos r´ıgidos son de dos tipos: Las fuerzas activas externas, que son aquellas debidas a la interacci´on del sistema con agentes exteriores (el peso de los s´ olidos r´ıgidos, por ejemplo). 133

sistema de s´olidos r´ıgidos

ligadura

ligadura externa ligadura interna fuerzas de reacci´on vincular internas momentos de reacci´on vincular internos fuerzas de reacci´on vincular externas momentos de reacci´on vincular externos fuerzas activas

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

134

Las fuerzas activas internas, que son las debidas a interacciones entre partes del sistema (por ejemplo, un muelle que una dos partes del sistema). El estudio del equilibrio de sistemas de s´ olidos r´ıgidos nos permitir´a resolver varios tipos de problemas. Por ejemplo:

I-

Averiguar qu´e fuerzas soportan las ligaduras que hay entre las vigas que forman un cierta estructura cuando est´ a soportando una cierta carga.

AD AI

Averiguar qu´e fuerzas externas soporta el terreno en el que se sustenta una estructura. Averiguar cu´ ando se puede suprimir una ligadura sin por ello poner en peligro la estabilidad de un sistema. Averiguar qu´e fuerzas internas se producen en una viga cuando est´ a soportando una cierta carga.

LIC

En estos problemas, en general, las fuerzas y momentos de reacci´ on vincular son inc´ ognitas del problema. Antes de comenzar con el estudio del equilibrio de un sistema de s´ olidos r´ıgidos procede hacer los siguientes comentarios sobre c´ omo se define un “sistema”. En los problemas que involucran varios s´ olidos r´ıgidos suelen plantearse dos dilemas previos:

AP

(A) ¿De cu´ antos s´ olidos r´ıgidos est´ a formado el sistema? (B) ¿Qu´e cuerpos forman parte del sistema y cu´ ales no?

TO .F ISI

CA

La respuesta que se d´e a (A) va a determinar el n´ umero de inc´ ognitas asociadas a v´ınculos y fuerzas interiores van a aparecer en el problema. La respuesta que se d´e a (B) va a determinar qu´e v´ınculos y fuerzas se van a considerar como interiores y cu´ ales como exteriores. Para un sistema de cuerpos dado, en principio hay varias elecciones posibles (compatibles con la suposici´ on de que el sistema es un conjunto de s´ olidos r´ıgidos). En la pr´actica, las elecciones que se hagan depender´an del problema concreto a estudiar.

DP

EJEMPLO: Dos vigas soldadas entre s´ı y unidas al exterior mediante una articulaci´ on se podr´an considerar como un u ´nico s´ olido r´ıgido, si lo que nos interesa es averiguar las fuerzas que ha de soportar la articulaci´ on; pero ser´ a m´ as conveniente suponer que se trata de dos s´ olidos r´ıgidos si lo que nos interesa es averiguar el momento que ha de soportar la soldadura. Esas dos vigas pueden formar parte de una estructura m´ as compleja (por ejemplo, un puente), pero si lo que nos interesa es u ´nicamente averiguar las fuerzas que ha de soportar la articulaci´ on, lo m´ as pr´actico ser´ a suponer que el resto del puente es el exterior.

5.2.

Condiciones necesarias y suficientes de equilibrio

Un sistema de N s´ olidos r´ıgidos est´ a en equilibrio si y s´ olo si:

El m´ etodo de fragmentaci´ on

135

Los N s´ olidos est´ an inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia inercial.

F~i +

i=1

mk X i=1

~ O (F~i ) + M k

nk X

nk X

f~j = ~0,

j=1

~ O (f~j ) = ~0. M k

j=1

(5.1)

AD AI

mk X

I-

Los sistemas de fuerzas (externas e internas) que act´ uan sobre cada uno de los N s´ olidos son sistemas nulos. Es decir, para cada s´ olido k (con k = 1, . . . , N ) sometido a mk fuerzas externas, F~i , y nk fuerzas internas, f~i , se debe cumplir:

EU AT

5.3

(5.2)

El m´ etodo de fragmentaci´ on

TO .F ISI

5.3.

CA

AP

LIC

Para cada s´ olido r´ıgido k, se puede usar un punto Ok distinto para el c´ alculo de los momentos. N´ otese que los sumatorios de las fuerzas y de los momentos de las ecs. (5.1) y (5.2) se extienden hasta los mismos valores mk y nk . Esto es as´ı porque estamos incluyendo los pares de fuerzas en la ec. (5.1), a´ un cuando sabemos que sus resultantes son nulas. Cada una de las N ecuaciones vectoriales del tipo (5.1) y (5.2) se puede reescribir como 3 ecuaciones escalares. En el caso plano, para cada s´ olido obtendremos 3 ecuaciones escalares (dos de fuerzas y una de momentos), y por tanto en total tendremos 3N ecuaciones escalares linealmente independientes. Estas ecuaciones permitir´ an resolver 3N inc´ ognitas, entre las que estar´ an incluidas inc´ ognitas de configuraci´ on (que son las coordenadas o ´angulos de equilibrio de alguno de los s´ olidos) y las inc´ ognitas asociadas a fuerzas y momentos activas y de reacci´ on vincular, tanto interiores como exteriores.

DP

Cuando se estudia el equilibrio de un sistema de s´ olidos r´ıgidos no siempre interesa determinar todas las fuerzas de reacci´ on vincular, de manera que puede ser innecesario resolver el sistema formado por todas las ecuaciones del tipo (5.1) y (5.2). Esto nos lleva a adoptar una estrategia o m´etodo de generar ecuaciones de equilibrio que se conoce como el m´etodo de fragmentaci´ on . Este m´etodo se basa en la siguiente observaci´ on: Si fragmentamos mentalmente un sistema de s´ olidos que est´ a en equilibrio, cada uno de los fragmentos tambi´en ha de estar en equilibrio. El m´etodo de fragmentaci´ on consta de 4 pasos: (I) Fragmentar el sistema en tantas partes como sea necesario para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan expl´ıcitamente las inc´ ognitas (de reacci´ on vincular y de configuraci´ on) deseadas. (II) Dibujar el diagrama de las fuerzas que act´ uan sobre cada uno de los fragmentos, teniendo en cuenta que hay que aplicar: (a) El principio de liberaci´ on, es decir, sustituir todos los v´ınculos (tanto externos como internos) por las correspondientes fuerzas y momentos de reacci´ on vincular.

m´etodo de fragmentaci´ on

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

136

(b) El principio de acci´ on-reacci´ on o tercera ley de Newton a las fuerzas y momentos interiores.

I-

(III) Escribir las 3 ecuaciones de equilibrio (en el caso plano) correspondientes a cada uno de los N fragmentos. (IV) Resolver el sistema formado por las 3N ecuaciones.

AD AI

PROBLEMA RESUELTO 5.1:

LIC

El sistema plano de la figura consta de 4 barras de pesos despreciables sometidas a los siguientes v´ınculos: en A y E hay sendas articulaciones, en B un apoyo simple, en C y D sendas soldaduras, entre F y G una biela que forma 53◦ con la horizontal. Sabiendo que de H cuelga un peso de 100 N, determina las fuerzas de reacci´on vincular en los puntos A, B, E y G. Datos adicionales: lAB = 1 m, lBE = 6 m, lBG = 3 m, lEF = lEH /2.

Soluci´ on:

CA

A

H

F D G

B

TO .F ISI

PROBLEMA RESUELTO 5.1 Sistema de 4 s´ olidos r´ıgidos. En A y E hay sendas articulaciones, en B un apoyo simple, en C y D sendas soldaduras, entre F y G una biela que forma 53◦ con la horizontal, y de H cuelga un ~. peso P

AP

C

E

(a) Para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan las inc´ ognitas buscadas, basta con considerar dos fragmentos: la barra EH y el resto del sistema.

DP

(b) Los diagramas de fuerzas de los dos fragmentos se ilustran en la fig. P1a. ~ Ex , φ ~ Ey y φ ~G N´ otese que en el diagrama de la izquierda los sentidos de φ son los contrarios a los del diagrama de la derecha (y lo mismo ocurrir´ıa con los sentidos de los momentos, si apareciesen momentos de reacci´on vincular asociados a ligaduras internas). (c) Tomando cos 53◦ = 35 y sen 53◦ = 45 , las ecuaciones de equilibrio del fragmento de la izquierda son: 3 φAx − φG + φEx = 0, 5 4 φAy + φB − φG + φEy = 0, 5

(P1.1) (P1.2)

El m´ etodo de fragmentaci´ on

137

EU AT

5.3

-fG fEy

-fEy P

fG

AD AI

G

fB

fAy fAx

I-

F

D

A

H

FIGURA P1a: Diagramas de fuerzas de los dos fragmentos.

B

LIC

C

-fEx E

fEx

E

3 6φAx − 1φAy − 3 φG = 0, 5

(P1.3)

donde la u ´ltima ecuaci´ on se ha obtenido tomando momentos en E.

AP

Las ecuaciones de equilibrio de la barra EH son:

CA

3 −φEx + φG = 0, 5 4 −φEy + φG − 100 = 0, 5 lEH 4 φG − lEH 100 = 0, 2 5

(P1.4) (P1.5) (P1.6)

TO .F ISI

donde la u ´ltima ecuaci´ on se ha obtenido tomando momentos en E. N´ otese que no hace falta calcular lEH puesto que puede sacarse como factor com´ un en la ec. (P1.6). (d) Resolviendo el sistema formado por las ecs. (P1.4)–(P1.3) obtenemos φEx = 150 N, φEy = 100 N, φG = 250 N, φAx = 0 N, φAy = −450 N y φB = 550 N. Si queremos expresar vectorialmente la soluci´ on diremos que sobre el frag~A = mento de la izquierda act´ uan las siguientes fuerzas de reacci´on vincular: φ ~ ~ ~ (0, −450) N, φB = (0, 550) N, φG = (−150, −200) N, φE = (150, 100) N.

DP

PROBLEMA RESUELTO 5.2:

El sistema plano de la figura consta de las barras uniformes, AC y CE, ambas de longitud l, que forman sendos ´angulos de 53◦ con la horizontal. El m´ odulo del peso de la barra AC es P y el de la barra CE es 2P . Las barras est´an articuladas entre s´ı en el punto C y unidas por sus puntos medios mediante una biela horizontal BD. Adem´as, la barra AC est´a articulada con el exterior en el punto A y la barra CE

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

138

tiene un apoyo simple sobre una superficie horizontal en el punto E. Para el estado de equilibrio, determina las fuerzas que sufren las barras en los puntos A, B, C, D y E en funci´ on de P .

I-

C

A

53o

D 53o

E

LIC

PROBLEMA RESUELTO 5.2

AD AI

B

Soluci´ on:

(a) Para que en las ecuaciones de equilibrio aparezcan las inc´ ognitas buscadas, basta con considerar dos fragmentos: la barra AC y la barra CE.

AP

(b) El diagrama de fuerzas de la barra AC se ilustra en la fig. P2a izda. y el de la barra CE en la fig. P2a dcha. N´ otese que en el diagrama de la izquierda ~B , φ ~ Cx y φ ~ Cy son los contrarios a los del diagrama de la los sentidos de φ derecha.

TO .F ISI

CA

fCy

FIGURA P2a: Diagramas de fuerzas de las barras AC (izda.) y CD (dcha.).

fCx

D

fAx

fE

-fB

fAy P A

2P

(c) Tomando cos 53◦ = barra AC son:

DP

-fCy

fB

B

-fCx

C

C

3 5

y sen 53◦ =

4 5,

E

las ecuaciones de equilibrio de la

−φAx + φB − φCx = 0,

φAy − P + φCy = 0, l3 4 3 l4 P + l φCx + l φCy = 0, − φB − 25 25 5 5

(P2.1) (P2.2) (P2.3)

esta u ´ltima ecuaci´ on se ha obtenido tomando momentos en el punto A. Las

El m´ etodo de fragmentaci´ on

139

ecuaciones de equilibrio de la barra CE son: −φB + φCx = 0, −φCy − 2P + φE = 0, l3 3 l4 2P + l φE = 0, − φB − 25 25 5

(P2.4) (P2.5) (P2.6)

EU AT

5.3

I-

esta u ´ltima ecuaci´ on se ha obtenido tomando momentos en el punto C.

AD AI

(d) Resolviendo el sistema formado por las ecs. (P2.1)–(P2.6) obtenemos: φAx = 9P P 7P 0, φAy = 5P on 4 , φB = φCx = 8 , φCy = − 4 , φE = 4 . La expresi´ vectorial de las
fuerzas de reacci´ o n vincular que act´ u an sobre la barra AC

~ C = − 9P , − P . ~ B = 9P , 0 , φ ~ A = 0, 5P , φ es: φ 4 8 8 4 En el ejemplo anterior hemos llegado a la soluci´ on resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de los dos fragmentos. A veces, sin embargo, puede resultar m´as sencillo resolver el sistema formado por las ecuaciones de uno de los fragmentos y las del sistema considerado como un todo.

LIC

N´ otese que las ecs. (P2.1)–(P2.3) correspondientes a la barra AC contienen 5 inc´ ognitas de reacci´ on vincular, y las ecs. (P2.4)–(P2.6) correspondientes a la barra CE contienen 4 inc´ ognitas de reacci´on vincular. Sin embargo, las ecuaciones correspondientes al sistema como un todo (v´ease fig. P2b),

AP

−φAx = 0, φAy − P − 2P + φE = 0, 4 3 l3 l3 3 −l φAx − l φAy + P− 2P + l φE = 0, 5 5 25 25 5

(P2.7) (P2.8) (P2.9)

CA

contienen s´olo 3 inc´ ognitas de reacci´ on vincular (la u ´ltima ecuaci´ on se ha obtenido tomando momentos en C). Por tanto, el sistema formado por las ecs. (P2.4)–(P2.9) permite obtener las mismas soluciones y es m´as sencillo de resolver que el formado por las ecs. (P2.1)–(P2.6).

TO .F ISI

C

D

B

fE

fAy

DP

fAx

P

A

2P

E

Existen otros m´etodos para la resoluci´ on de sistemas de s´ olidos r´ıgidos como el m´etodo de los nudos (que se basa en que si un sistema de s´ olidos est´ a en equilibrio, cada uno de los nudos, puntos, considerado en esa sistema ha de estar en equilibrio) y el m´etodo de Ritter o m´etodo de las secciones que introduciremos en la secci´ on 5.5.

FIGURA P2b: Diagrama de fuerzas del sistema formado por las barras AC y CD considerado como un todo.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

140

5.4.

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

5.4.1.

Grados de libertad externos e internos

AD AI

I-

Conviene recordar que se denomina n´ umero de grados de libertad del sistema, o simplemente grados de libertad del sistema, al n´ umero de magnitudes (en este texto, longitudes y ´angulos) independientes que determinan de modo inequ´ıvoco la configuraci´ on de un sistema de puntos materiales.

LIC

EJEMPLO: El n´ umero de grados de libertad de un sistema plano formado por N s´ olidos r´ıgidos, supuestos libres (es decir, no sometidos a v´ınculos de ning´ un tipo, ni externos ni internos), es 3N , y representa los movimientos independientes en que se pueden descomponer todos los posibles movimientos de los N s´ olidos libres en el plano.

CA

AP

Cuando se analiza un sistema de s´ olidos r´ıgidos puede considerarse, por una parte, los movimientos que dicho sistema puede realizar como conjunto, es decir, como si se tratase de un u ´nico s´ olido r´ıgido (con todos los v´ınculos “congelados”). Por otra parte, podemos considerar los movimientos relativos entre los cuerpos que forman el sistema de s´ olidos. Adoptando este punto de vista, podemos decir que un sistema de s´ olidos r´ıgidos posee grados de libertad externa (o grados de libertad externos) GE , asociados a los movimientos de conjunto respecto al exterior, y grados de libertad interna (o grados de libertad internos) GI , asociados a los movimientos independientes de los s´ olidos r´ıgidos entre s´ı. Para el caso de un sistema plano de s´ olidos libres, el n´ umero de grados de libertad externos vale GE (l) = 3, (5.3)

TO .F ISI

ya que son 3 los movimientos independientes que como conjunto (como si fuera un u ´nico s´ olido) pueden realizar en el plano: dos traslaciones y un giro (por ejemplo). Por otro lado, dado que el n´ umero de grados de libertad de cada s´ olido r´ıgido libre es tambi´en 3, el n´ umero total de grados de libertad del sistema de N s´ olidos r´ıgidos ser´ a G = 3N, (5.4)

DP

de donde resulta que el n´ umero de grados de libertad internos del sistema debe ser GI = 3N − 3. (5.5) Si el sistema plano de s´ olidos est´ a ligado, los movimientos relativos y de conjunto quedan total o parcialmente impedidos o restringidos a causa de los v´ınculos o ligaduras. Conviene recordar que llamamos coacciones a las limitaciones elementales de movimiento originadas por cada ligadura. Las coacciones son t´ıpicamente impedimentos de traslaciones y/o giros (por ejemplo, las coacciones realizadas por una articulaci´ on sobre un s´ olido consisten en impedir dos traslaciones). Una coacci´ on, por consiguiente, equivale a la supresi´ on de un grado de libertad. Las coacciones se modelan mediante fuerzas y/o momentos

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

141

Estabilidad externa o estabilidad de sustentaci´ on

AD AI

5.4.2.

I-

de reacci´ on vincular, de acuerdo con el principio de liberaci´ on. Estas fuerzas y momentos de reacci´ on vincular introducen inc´ ognitas de reacci´ on vincular en el problema, en n´ umero equivalente al de coacciones (por ejemplo, una articulaci´ on introduce una fuerza de reacci´ on vincular con dos inc´ ognitas, que corresponden a las dos coacciones realizadas por el v´ınculo). De lo anterior se deduce que a causa de los v´ınculos externos e internos presentes deber´ a disminuir el n´ umero de grados de libertad global del sistema G respecto al caso libre, y con ´el GE , GI , o ambos.

EU AT

5.4

GE = 3 − CE .

LIC

El n´ umero de grados de libertad externa, GE , est´ a exclusivamente condicionado por las ligaduras externas, puesto que ´estas son las u ´nicas que pueden impedir los movimientos de conjunto. Dado que para un sistema plano GE (l) = 3, las ligaduras externas deben ejercer un m´ınimo de 3 coacciones (el impedimento de dos traslaciones y un giro, por ejemplo) para impedir todos los movimientos del sistema de s´ olidos como un todo. En el caso plano, si el n´ umero de coacciones externas es CE ≤ 3, el n´ umero de grados de libertad externos del sistema de s´ olidos se obtiene como (5.6)

AP

Si, por el contrario, CE > 3, el n´ umero de grados de libertad externos es, por definici´ on, GE = 0. Alternativamente, GE recibe el nombre de grado de inestabilidad externa del sistema. Seg´ un el valor de CE pueden plantearse 3 situaciones:

CA

CE = 3. En este caso las ligaduras externas son las estrictamente necesarias en n´ umero, y adecuadas en tipo y localizaci´ on, para impedir los movimientos del sistema de s´ olidos como un todo: ello implica que aparecen 3 inc´ ognitas de reacci´ on vincular externas en las ecuaciones de equilibrio del sistema completo (que tambi´en son 3), y dichas inc´ ognitas se podr´an determinar a partir de tales ecuaciones. Por tanto,

TO .F ISI

GE = 0.

(5.7)

Un sistema de este tipo se dice que es externamente isost´ atico o isost´ atico de sustentaci´ on.

DP

CE > 3. En este caso las ligaduras externas son superabundantes en n´ umero, y eficaces por su tipo y localizaci´ on, lo que significa que el n´ umero de coacciones ejercidas por ellas es mayor que 3, y que los movimientos del sistema como un todo quedan suprimidos. Entonces, el n´ umero de inc´ ognitas de reacci´ on vincular externas supera al n´ umero de ecuaciones de equilibrio del sistema completo. Por tanto, no pueden calcularse todas las inc´ ognitas s´ olo con las ecuaciones de la Est´ atica del sistema completo1 . Su determinaci´ on require: (a) si el sistema es inestable de constituci´on (v´ease m´ as adelante), usar las ecuaciones independientes “sobrantes” (v´ease m´ as adelante) para calcular alguna de las inc´ ognitas de reacci´ on vincular externas; (b) si el sistema es inestable de constituci´ on y las ecuaciones generadas por el m´etodo (a) no son suficientes, o si el sistema es 1 A veces, sin embargo, la simetr´ ıa del problema reduce el n´ umero de inc´ ognitas externas de reacci´ on vincular efectivas, con lo cual ese c´ alculo s´ı ser´ıa posible.

n´ umero de coacciones externas

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

142

I-

grado de hiperestaticidad externa

estable internamente (v´ease m´ as adelante), admitir que los s´ olidos del sistema experimentan peque˜ nas deformaciones, y recurrir a ecuaciones adicionales propias de la Elasticidad y Resistencia de Materiales. En estos sistemas cabe la posibilidad de suprimir o modificar algunas ligaduras externas (no cualesquiera) sin que por ello puedan producirse movimientos de conjunto al aplicar fuerzas arbitrarias sobre el sistema. Para caracterizar la estabilidad externa del sistema de s´ olidos cuando CE > 3 se define el grado de hiperestaticidad externa del sistema,

externamente hiperest´atico

(5.8)

AD AI

HE = |3 − CE | > 0,

aunque no debe olvidarse que en estos sistemas GE = 0, de acuerdo con la definici´ on de grados de libertad. Un sistema de este tipo se dice que es externamente hiperest´ atico, o hiperest´ atico de sustentaci´ on, con grado de hiperestaticidad externa HE .

externamente inestable

CA

AP

LIC

CE < 3. En este caso las ligaduras externas ejercen un n´ umero de coacciones menor que 3, insuficiente para cancelar todos los movimientos del sistema como un todo. Si las fuerzas se eligen convenientemente, el sistema puede estar en equilibrio como un todo respecto a un sistema de referencia exterior pero, en general, el sistema se mover´a bajo la acci´ on de fuerzas cualesquiera. En el primer caso, ser´ an aplicables las ecuaciones de equilibrio del sistema como un todo. A partir de ellas podr´an despejarse todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular externas y, adem´ as, se obtendr´ an condiciones que deben ser satisfechas bien por las fuerzas activas externas o bien por la disposici´ on geom´etrica del sistema de s´ olidos (par´ ametros de configuraci´ on), a fin de que el sistema est´e en equilibrio como conjunto. En estos sistemas, GE > 0. (5.9) Un sistema de este tipo se dice que es externamente inestable, o un mecanismo de sustentaci´ on, con grado de libertad externo GE .

TO .F ISI

Los sistemas externamente estables son tanto los externamente isost´ aticos como los externamente hiperest´ aticos. Para terminar, una importante consideraci´ on de ´ındole pr´actica acerca del tipo y localizaci´ on de las ligaduras: antes de determinar GE (´ o HE ) hay que comprobar si las ligaduras o v´ınculos externos son realmente eficaces a la hora de ligar al sistema. Un an´ alisis similar al que hicimos en el cap´ıtulo 4 para el caso de un u ´nico s´ olido r´ıgido demuestra que aquellos sistemas planos cuyas fuerzas de reacci´ on vincular externas sean todas paralelas o todas concurrentes en un punto son externamente inestables, aunque sea CE > 3. En el apartado 5.4.5 se discutir´ a esto con m´ as detalle.

DP

5.4.3.

Estabilidad interna o estabilidad de constituci´ on

El n´ umero de grados de libertad interna, GI , est´ a exclusivamente condicionado por las ligaduras internas, puesto que ´estas son las que pueden impedir los movimientos relativos entre los s´ olidos del sistema. Dado que para un sistema plano GI (l) = 3N − 3, las ligaduras internas estrictamente necesarias para impedir todos los movimientos relativos entre s´ olidos deben ejercer 3N − 3 coacciones (impedir 3N − 3 movimientos independientes).

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

143

n´ umero de coacciones internas

I-

Si fragmentamos el sistema y consideramos los N s´ olidos por separado se generan 3N ecuaciones linealmente independientes que permiten despejar 3N inc´ ognitas (entre externas e internas). Por otro lado, al estudiar el equilibrio del sistema consider´ andolo como un todo, se obtienen 3 ecuaciones de equilibrio. Estas 3 ecuaciones de equilibrio global son combinaciones lineales de las 3N ecuaciones obtenidas al considerar los N s´ olidos por separado. En el caso plano, si el n´ umero de coacciones internas es CI ≤ 3N − 3, el n´ umero de grados de libertad internos del sistema de s´ olidos se obtiene como

EU AT

5.4

(5.10)

AD AI

GI = 3N − 3 − CI .

Si, por el contrario, CI > 3N − 3, el n´ umero de grados de libertad internos es, por definici´ on, GI = 0. Alternativamente, GI recibe el nombre de grado de inestabilidad interna del sistema o grado de deformabilidad interna del sistema. Seg´ un el valor de CI pueden plantearse 3 situaciones:

internamente isost´atico

AP

LIC

CI = 3N − 3. En este caso las ligaduras internas son las estrictamente necesarias en n´ umero, y adecuadas en tipo y localizaci´ on, para impedir eficazmente los movimientos relativos de los s´ olidos del sistema plano: ello implica que aparecen 3N − 3 inc´ ognitas de reacci´ on vincular internas en las ecuaciones de equilibrio internas e independientes del sistema (que tambi´en son 3N − 3), y dichas inc´ ognitas se podr´an determinar a partir de tales ecuaciones. Un sistema de este tipo se dice que es internamente isost´ atico o isost´ atico de constituci´ on.

grado de inestabilidad interna

TO .F ISI

CA

CI > 3N − 3. En este caso las ligaduras internas son superabundantes en n´ umero, y eficaces por su tipo y localizaci´ on, lo que significa que el n´ umero de coacciones ejercidas por ellas es mayor que 3N − 3, y que los movimientos relativos quedan suprimidos. Entonces el n´ umero de inc´ ognitas de reacci´ on vincular internas supera al n´ umero de ecuaciones de equilibrio internas independientes del sistema. Su determinaci´ on admitir que los s´ olidos del sistema experimentan peque˜ nas deformaciones, y recurrir a ecuaciones adicionales propias de la Elasticidad y Resistencia de Materiales. En estos sistemas cabe la posibilidad de suprimir o modificar algunas ligaduras internas (no cualesquiera) sin que por ello puedan producirse movimientos relativos entre s´ olidos al aplicar fuerzas arbitrarias sobre el sistema. Para caracterizar la estabilidad externa del sistema de s´ olidos cuando CI > 3N − 3 se define el grado de hiperestaticidad interna del sistema, HI = |3N − 3 − CI | > 0, (5.11) aunque no debe olvidarse que en estos sistemas GI = 0, de acuerdo con la definici´ on de grados de libertad. Un sistema de este tipo se dice que es internamente hiperest´ atico, o hiperest´ atico de constituci´ on, con grado de hiperestaticidad interna HI .

DP

CI < 3N − 3. En este caso las ligaduras internas ejercen un n´ umero de coacciones insuficiente para cancelar todos los movimientos relativos posibles entre los s´ olidos. Si las fuerzas se eligen convenientemente, el sistema puede estar en equilibrio relativo interno pero, en general, las distintas partes del sistema se podr´ an mover unas respecto a otras internamente bajo la acci´ on de fuerzas cualesquiera. En el primer caso, ser´ an aplicables las ecuaciones de equilibrio internas independientes. A partir de

internamente hiperest´atico

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

144

ellas podr´an despejarse todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular internas (aunque en funci´ on de las externas, si las hubiera). En este caso, GI > 0.

Un sistema de este tipo se dice que es internamente inestable, internamente deformable, inestable de constituci´ on, o deformable de constituci´ on, con grado de libertad interna GI .

I-

internamente inestable

(5.12)

AD AI

En el caso plano, si el n´ umero de coacciones ejercidas por los v´ınculos (tanto internos como externos) es C = CE +CI ≤ 3N , el n´ umero de grados de libertad global del sistema, al que denominaremos simplemente n´ umero de grados de libertad, se obtiene como G = 3N − C. (5.13)

CA

FIGURA 5.2: Sistema de tipo (ii) con HE = 1, HI = 1 y H = 2.

Estabilidad global de un sistema: sistemas inestables, isost´ aticos e hiperest´ aticos

AP

5.4.4.

LIC

FIGURA 5.1: Sistema de tipo (i): GE = 0, GI = 0 y G = 0.

Los sistemas internamente estables son tanto los sistemas internamente isost´ aticos como los internamente hiperest´ aticos. Al igual que en el caso de los grados de libertad externos, antes de determinar el n´ umero de grados de libertad interna GI del sistema hay que comprobar si las ligaduras o v´ınculos internas son realmente eficaces a la hora de ligar al sistema, y prestar atenci´ on a la disposici´ on de tales ligaduras y de los propios s´ olidos. Por ejemplo, puede ocurrir que un sistema en el que GI = 0 conste de dos partes: una de ellas excesivamente ligada, y la otra deficientemente ligada, de modo que el exceso de ligaduras de una se compense con el defecto de la otra. Sin embargo, la parte deficientemente ligada podr´a deformarse si las fuerzas son las apropiadas, con lo que subsisten a´ un movimientos relativos internos en el sistema. Esto se discutir´ a con m´ as detalle en el apartado 5.4.5.

TO .F ISI

Si, por el contrario, C > 3N , el n´ umero de grados de libertad es, por definici´ on, G = 0. Para caracterizar la estabilidad global del sistema de s´ olidos cuando C > 3N , se define el grado de hiperestaticidad global del sistema,

DP

FIGURA 5.3: Sistema de tipo (iii) con GE = 1, GI = 1 y G = 2.

FIGURA 5.4: Sistema de tipo (iii) con GE = 1, GI = 1 y G = 2.

H = |3N − C| > 0.

(5.14)

No obstante, debemos advertir que en los casos HE > 0, GI > 0, y GE > 0, HI > 0, las ecs. (5.13) y (5.14) pueden dar resultados incorrectos para determinadas disposiciones de las ligaduras. Esta circunstancia se discutir´ a en detalle m´ as adelante. Si no quisi´eramos m´ as informaci´ on que la estabilidad global de un sistema, bastar´ıa con dar G (´ o H). Sin embargo, este n´ umero no siempre es lo suficientemente informativo sobre el comportamiento que cabe esperar en el sistema. En cambio, la combinaci´ on de GE (´ o HE , en sistemas externamente hiperest´ aticos) y GI (´ o HI , en sistemas internamente hiperest´ aticos), proporciona una idea m´ as clara de lo que ocurre. La tabla 5.1 resume las 9 posibles formas de clasificar un sistema de s´ olidos r´ıgidos atendiendo a su estabilidad externa e interna. Dichos casos son los siguientes: (i) GE = 0, GI = 0 y G = 0 (v´ease la fig. 5.1). En este caso el sistema es al mismo tiempo isost´ atico externa e internamente (de sustentaci´ on y

145

EU AT

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

GE = 0

GE > 0

HI > 0 (y GI = 0)

H > 0 (y G = 0), v´ease (ii)

H > 0 (y G = 0), v´ease (vi)

G > 0 (por inspecci´ on), v´ease (v)

GI = 0

H > 0 (y G = 0), v´ease (vii)

G = 0, v´ease (i)

G > 0, v´ease (ix)

GI > 0

hiperest´ atico, isost´ atico o mecanismo, H ´ o G por inspecci´ on, v´ease (iv)

G > 0, v´ease (viii)

I-

HE > 0 (y GE = 0)

AD AI

5.4

G > 0, v´ease (iii)

TABLA 5.1: Las 9 clases de sistemas de s´ olidos r´ıgidos seg´ un su estabilidad externa e interna.

LIC

de constituci´ on). Los v´ınculos externos e internos son los estrictamente necesarios en n´ umero, y del tipo y localizaci´ on adecuados, para impedir de modo eficaz los movimientos relativos y de conjunto del sistema de s´ olidos, sean cuales fueren las fuerzas que se apliquen. Ser´ a posible determinar a partir de las ecuaciones de equilibrio todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular. El sistema es globalmente isost´ atico o est´ aticamente determinado.

FIGURA 5.5: Sistema globalmente hiperest´ atico de tipo (iv) con HE = 2, GI = 1 y, por inspecci´ on, H = 1.

CA

AP

(ii) HE > 0, HI > 0 y H > 0 (v´ease la fig. 5.2). En este caso el sistema es a la vez hiperest´ atico externa e internamente. Los v´ınculos externos e internos son en ambos casos superabundantes, el tipo y distribuci´ on de unos y otros es el adecuado, y los posibles movimientos relativos y de conjunto est´ an impedidos (adem´ as, lo est´ an con suficiencia). No es posible determinar los valores de todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular mediante el exclusivo recurso a las ecuaciones de equilibrio de la Est´ atica. El sistema es globalmente hiperest´ atico, ´ o est´ aticamente indeterminado, de grado H.

FIGURA 5.6: Sistema globalmente hiperest´ atico de tipo (iv) con HE = 2, GI = 1 y, por inspecci´ on, H = 1.

(iv) HE > 0 y GI > 0 (v´ease las figs. 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 y 5.10). En este caso es necesario estudiar la mutua influencia entre las ligaduras externas y las internas en relaci´ on con los posibles movimientos relativos interiores. Los movimientos de conjunto est´ an neutralizados debido a la hiperestaticidad externa del sistema. Aparentemente, dado que el sistema es deformable internamente, subsistir´ıan movimientos relativos no cancelados entre s´ olidos. Sin embargo, debemos tener en cuenta que si las superabundantes ligaduras externas son suficientes en n´ umero, son del tipo adecuado y est´ an convenientemente situadas, pueden contribuir a impedir los movimientos relativos entre los s´ olidos del sistema, “colaborando” con las ligaduras internas. Si ´este fuera el caso, el sistema de

FIGURA 5.7: Sistema globalmente isost´ atico de tipo (iv) con HE = 1, GI = 1 y, por inspecci´ on, G = 0.

DP

TO .F ISI

(iii) GE > 0, GI > 0 y G > 0 (v´ease las figs. 5.3 y 5.4). En este caso el sistema es externa e internamente inestable. Los v´ınculos externos e internos son insuficientes para impedir todo movimiento relativo y de conjunto. Si se aplican fuerzas al sistema, en general se mover´ a y deformar´ a. A´ un as´ı, elegidas convenientemente las fuerzas, el sistema puede permanecer en equilibrio, y en ese caso podr´ıamos escribir las oportunas ecuaciones de equilibrio y a partir de ellas determinar los valores de todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular. El sistema es globalmente mecanismo de grado G, o lo que es lo mismo, es inestable de grado G.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

146

s´ olidos tendr´ıa G = 0 y, si adem´ as HE > GI , tendr´ıa un grado de hiperestaticidad global dado por la ec. (5.14). El sistema quedar´ıa clasificado como globalmente hiperest´ atico (si HE > GI , v´ease las figs. 5.5 y 5.6) o globalmente isost´ atico (si HE = GI , v´ease la fig. 5.7).

I-

AD AI

LIC

(vi) GE = 0, HI > 0 y H > 0 (v´ease la fig. 5.12). En este caso todos los movimientos relativos y de conjunto est´ an neutralizados. No se podr´an calcular todas las inc´ ognitas de reacci´ on vincular a partir de las ecuaciones de equilibrio, exclusivamente. El sistema es globalmente hiperest´ atico.

TO .F ISI

FIGURA 5.10: Sistema globalmente inestable de tipo (iv) con HE = 1, GI = 2 y, por inspecci´ on, G = 1.

(v) GE > 0, HI > 0 y G > 0 (v´ease la fig. 5.11). En este caso la superabundancia de ligaduras internas cancela los movimientos relativos entre los s´ olidos, pero no puede impedir los movimientos de conjunto del sistema, que es inestable externamente. As´ı pues, ser´ıa err´ oneo calcular G mediante la ec. (5.13) ´o H mediante la ec. (5.14), pues si HI > GE resultar´ıa H > 0, siendo este resultado a todas luces carente de sentido cuando el sistema globalmente considerado se puede mover. Deberemos, por tanto, caracterizar la estabilidad del sistema dando por separado GE y HI . El sistema deber´ a clasificarse como globalmente inestable. El valor real de G se determinar´ a mediante el an´ alisis de los movimientos no cancelados en el sistema.

AP

FIGURA 5.9: Sistema globalmente pseudohiperest´ atico, inestable de tipo (iv) con HE = 3, GI = 1 y, por inspecci´ on, G = 1. El c´ alculo de H usando la ec. (5.14) da H = 2, lo cual es incorrecto.

Queda la posibilidad de que C < 3N . En este caso el sistema quedar´ıa clasificado como globalmente inestable , y calcular G con la ec. (5.13) plantea menos objeciones conceptuales, porque es verdad que subsisten movimientos no cancelados en el sistema (v´ease la fig. 5.10).

CA

FIGURA 5.8: Sistema globalmente pseudoisost´ atico, inestable de tipo (iv) con HE = 1, GI = 1 y, por inspecci´ on, G = 1. El c´ alculo de G usando la ec. (5.13) da G = 0, lo cual es incorrecto.

Cuando la mutua interrelaci´ on ligaduras internas-ligaduras externas no tiene como resultado la cancelaci´ on de todo posible movimiento interno no ser´ a G = 0, sino G > 0. En este caso debemos caracterizar la estabilidad del sistema mediante HE y GI , y deducir el aut´entico valor de G analizando los movimientos no cancelados del sistema. El c´ alculo de G usando la ec. (5.13) ´o H usando la ec. (5.14) no tiene otro significado que el hecho de que el sistema, con los mismos v´ınculos distribuidos de otra forma, ser´ıa potencialmente isost´ atico (G = 0) o hiperest´ atico (H > 0). Denominar´ıamos a tal sistema pseudoisost´ atico o pseudohiperest´ atico, seg´ un sea C = 3N (v´ease la fig. 5.8) ´o C > 3N (v´ease la fig. 5.9), respectivamente.

(vii) HE > 0, GI = 0 y H > 0 (v´ease la fig. 5.13). Este caso es similar al anterior. De nuevo es H > 0, y el sistema es globalmente hiperest´ atico.

DP

(viii) GE = 0, GI > 0 y G > 0 (v´ease las figs. 5.14 y 5.15). En este caso la mutua influencia entre los v´ınculos externos e internos no impide que subsistan movimientos relativos en el sistema. El sistema ser´ a globalmente inestable.

FIGURA 5.11: Sistema de tipo (v) con GE = 1, HI = 3 y, por inspecci´ on, G = 1.

(ix) GE > 0, GI = 0 y G > 0 (v´ease la fig. 5.16). En este caso los movimientos relativos entre s´ olidos est´ an suprimidos, pero el sistema se puede mover como un conjunto r´ıgido, debido a la insuficiencia num´erica de las coacciones ejercidas por los v´ınculos externos. Por tanto, G > 0, y el sistema es globalmente inestable.

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

5.4.5.

147

Sistemas propia e impropiamente ligados

FIGURA 5.12: Sistema de tipo (vi) con GE = 0, HI = 1 y H = 1.

DP

TO .F ISI

CA

AP

LIC

AD AI

I-

Diremos que un sistema de s´ olidos est´ a propiamente ligado cuando las ligaduras, por su n´ umero, tipo, distribuci´ on y disposici´ on, son capaces de impedir eficazmente todo movimiento del sistema. En caso contrario, el sistema estar´ a impropiamente ligado. Opcionalmente, podemos hablar tambi´en de ligaduras propias e impropias: cuando la ligadura que se considere impide eficazmente el movimiento del sistema contra el cual dicha ligadura ejerce su coacci´ on y para el cual ha sido prevista, diremos que se trata de una ligadura propia, o mejor dicho, propiamente establecida. Si no es el caso, la ligadura ser´ a impropia o estar´ a impropiamente establecida. El concepto de sistema propia o impropiamente ligado tiene sentido si se admite que lo que uno persigue al establecer ligaduras en un sistema es inmovilizarlo por completo: resultar´ıa un tanto extra˜ no suponer que una puerta que puede abrirse y cerrarse gracias a las bisagras que la sujetan al marco est´ a impropiamente ligada, cuando cumple “con propiedad” la funci´ on para la que se ha concebido. Lo mismo podr´ıa decirse de cualquier mecanismo: un motor, un reloj mec´ anico, una gr´ ua, un cami´on con veinticuatro ruedas, un paraguas. . . Por tanto, hay que entender los t´erminos propio e impropio en un sentido abstracto, exento de matices de valoraci´on. Ahora bien, es en el ´ ambito arquitect´ onico y constructivo, en que lo que prima es que las estructuras sean r´ıgidas e inm´ oviles, donde el concepto gana fuerza y matices. Y en ese contexto, un sistema en el que el n´ umero de ligaduras es inferior al estrictamente necesario para evitar todo movimiento ha de considerarse impropiamente ligado. M´ as interesante es hacer notar que un sistema de s´ olidos en el que el n´ umero de ligaduras sea igual o superior al estrictamente necesario para cancelar todo movimiento puede, no obstante, estar impropiamente ligado, ya sea porque el tipo o naturaleza de los v´ınculos no es el adecuado, porque est´en mal distribuidos, porque est´en mal dispuestos (mal orientados) en el lugar en el que act´ uan, o por varias de estas razones a un tiempo. Como ejemplos f´ aciles de visualizar, aquellos sistemas planos cuyas fuerzas de reacci´ on vincular externas sean de direcci´ on dada y todas paralelas (por ejemplo, apoyos simples ad hoc) son externamente inestables, dado que ello implica la posibilidad de que tales sistemas efect´ uen traslaciones en direcci´ on perpendicular a esas reacciones. Tambi´en, si las fuerzas de reacci´ on vincular externas de un sistema son concurrentes en un punto, el sistema ser´ a externamente inestable, puesto que subsiste la posibilidad de que tenga lugar un giro respecto al punto de concurrencia. O tambi´en: un sistema en el que GE = 2 y HI = 17, pongamos por caso, est´ a excesivamente ligado y rigidizado internamente, y sin embargo est´ a deficientemente ligado externamente, raz´ on por la que puede moverse como un todo. En la pregunta anterior hemos analizado c´ omo una deficiente estabilidad interna o externa puede comprometer la estabilidad global de un sistema. Todas esas situaciones corresponden a sistemas impropiamente ligados. En conclusi´ on: a la hora de elegir el n´ umero de v´ınculos, su tipo, su distribuci´ on y su orientaci´ on, habr´ a que tener cuidado para evitar estas situaciones y otras que pudieran comprometer la estabilidad de los sistemas de s´ olidos utilizados en la construcci´ on (por ejemplo, las estructuras articuladas).

EU AT

5.4

FIGURA 5.13: Sistema de tipo (vii) con HE = 2, GI = 0 y H = 2.

FIGURA 5.14: Sistema de tipo (viii) con GE = 0, GI = 1 y G = 1.

FIGURA 5.15: Sistema de tipo (viii) con GE = 0, GI = 1 y G = 1.

FIGURA 5.16: Sistema de tipo (ix) con GE = 1, GI = 0 y G = 1.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

148

PROBLEMA RESUELTO 5.3:

I-

√ Las varillas homog´eneas AC y BC, de peso P y longitud 2 m est´an articuladas en C. En los puntos A y B existen apoyos sin rozamiento y est´an conectados entre s´ı mediante un resorte de longitud natural 1 m y constante el´astica 3 kp/m. (a) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global.

AD AI

(b) Determina el valor del peso P de cada varilla para que en C se forme un ´angulo recto. Si se sustituye el resorte por un hilo ideal tenso de 2 m de longitud, y el peso de cada varilla es de 58,8 N. (c) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global.

C

AP

LIC

(d) Determina la tensi´ on del hilo.

A

CA

PROBLEMA RESUELTO 5.3

B

Soluci´ on:

TO .F ISI

(a) Tenemos que: GE = 3 − CE = 3 − [1(A) + 1(B)] = 1. Sistema inestable externamente o de sustentaci´ on. GI = 3N − 3 − CI = 3 × 2 − 3 − [2(C)] = 1. Sistema inestable internamente o de constituci´ on.

DP

G = GE + GI = 2. Sistema globalmente inestable.

(b) Si el ´angulo en C es 90◦ , como sabemos tambi´en la longitud de las barras, podemos por el teorema de Pit´agoras la separaci´ on entre los apoyos: q determinar √ 2 AB = 2 ( 2) = 2 m. Y esa es tambi´en la longitud actual del muelle (de longitud natural 1 m), de modo que la fuerza que est´a ejerciendo el muelle vale Fmuelle = k|lact − lnat | = 3 kp/m |2 − 1| m = 3 kp.

En esas condiciones, nos piden cu´al debe ser el peso P de las barras. Para ello, debemos generar ecuaciones de equilibrio donde aparezca el peso P .

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

149

Si probamos con las ecuaciones del sistema completo, que evitan los v´ınculos internos (la articulaci´ on en C) y las fuerzas activas internas (la del muelle en este caso), parece que vamos a disponer de 3 ecuaciones con 3 inc´ ognitas (φA , φB y P ), pero vamos a ver qu´e es lo que pasa realmente. Para ello, dibujamos el diagrama de s´olido libre correspondiente al sistema completo: De donde planteamos las siguientes ecuaciones de equilibrio: X Fx = 0 : −2P + φA + φB = 0,

MCz = 0 :

2m

←

P

2m

y +

←

P

x

A

0,5 m

0,5 m

B

0,5 m 0,5 m ←

fA

I-

fB

(P3.1)

FIGURA P3a: Resoluci´ on del apartado (b) del problema 5-1. Sistema completo.

AD AI

X

Fy = 0 :

C

←

0 = 0,

X

EU AT

5.4

P 0,5 − P 0,5 − φA 1 + φB 1 = 0,

(P3.2)

(P3.3)

φA = φB = P.

LIC

resultando as´ı un sistema de dos ecuaciones independientes con 3 inc´ ognitas, que resolvemos en funci´ on de una de ellas, P : (P3.4)

AP

Resulta as´ı que la simetr´ıa de la situaci´on a “inutilizado” una de las ecuaciones de equilibrio, y no nos queda otro remedio que fragmentar el sistema para generar las ecuaciones de equilibrio de una de las barras. En principio, parece que nos bastar´a con una sola de sus ecuaciones, pero hay que pensar que al fragmentar aparecen nuevas inc´ ognitas de reacci´ on (las de los v´ınculos internos), que necesitan de m´as ecuaciones para poder resolver.

CA

As´ı, dibujamos el diagrama de s´ olido libre de la barra AC (en principio, se puede escoger cualquiera de los fragmentos, eligiendo el que sea m´as simple de estudiar —y contenga por supuesto las inc´ ognitas de inter´es—, pero en este caso podemos ver que da igual coger una u otra barra por la simetr´ıa de este problema):

TO .F ISI

De donde planteamos las siguientes ecuaciones de equilibrio: X Fx = 0 : X

X

Fy = 0 :

(P3.5)

−P + φA + φCy = 0,

(P3.6)

Fmuelle 1 + P 0,5 − φA 1 = 0.

(P3.7)

MCz = 0 :

Y sustituyendo valores hallados anteriormente:

DP

1 3 + P − P = 0, 2

fC x

fC y

C

y +

2m

x ←

←

Fmuelle

A

0,5 m

P 0,5 m

←

fA

FIGURA P3b: Resoluci´ on del apartado (b). Barra AC.

Fmuelle − φCx = 0,

φCx = = 3 kp, φCy = 0,

← ←

(P3.8) (P3.9) (P3.10)

hallando de la ec. (P3.10) que P = 6 kp. S´ olo nos hizo falta la ecuaci´ on de momentos para hallar la inc´ ognita del peso de las barras, aunque de paso hemos ~ AC = (−3, 0) kp = −φ ~ CB . calculado la reacci´on en la articulaci´ on interna C: φ C C

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

150

(c) Ahora el cable es una ligadura (interna) que influye en la estabilidad y grados de libertad del sistema, a diferencia del muelle en la situaci´on anterior, que no influ´ıa en la estabilidad ni en los grados de libertad del sistema: GE = 3 − CE = 3 − [1(A) + 1(B)] = 1. Sistema inestable externamente o de sustentaci´ on (igual que antes).

I-

GI = 3N − 3 − CI = 3 × 2 − 3 − [2(C) + 1(cable AB)] = 0. Sistema isost´atico internamente o de constituci´ on.

←

fC y C

fC x

45o

2m ←

6 kp

0,5 m

45o -fC y

y +

2m 6 kp

←

T

x 0,5 m

(d) Al ser el hilo de 2 m de longitud, la configuraci´on del sistema de barras es id´entica al apartado (b), formando 90◦ una barra respecto de la otra. El peso de las barras no es ahora desconocido, sino que vale P = 58,8 N = 6 kp, precisamente.

-fC x

←

T

A

←

C

B

0,5 m 0,5 m

←

←

fA

fB

Planteamos entonces las siguientes ecuaciones de equilibrio: X Fx(AC) = 0 :

AP

FIGURA P3c: Resoluci´ on del apartado (d).

Como la tensi´ on del hilo es una ligadura interna, no queda otro remedio que fragmentar el sistema en las dos barras (o en una de las barras por un lado y el sistema completo por el otro, como en el apartado (b)), para que ´esta aparezca en los diagramas de s´olido libre y sus ecuaciones correspondientes:

LIC

←

AD AI

G = GE + GI = 1. Sistema globalmente inestable (pero con un grado de libertad menos que antes).

TO .F ISI

CA

X

Fy(AC)

(AC) MCz

X

Fx(CB) = 0 :

X

Fy(CB)

(CB) MCz

(P3.11)

−6 + φA + φCy = 0,

(P3.12)

T 1 + 6 0,5 − φA 1 = 0,

(P3.13)

−T + φCx = 0,

(P3.14)

−6 + φB − φCy = 0,

(P3.15)

−T 1 − 6 0,5 + φB 1 = 0.

(P3.16)

=0:

X

X

T − φCx = 0,

=0:

=0: =0:

Como vemos que las ecs. (P3.11) y (P3.14) son iguales salvo signo (consecuencia de la simetr´ıa de la situaci´on), tenemos un sistema de 5 ecuaciones independientes con 5 inc´ ognitas: {T, φA , φB , φCx , φCy }.

DP

El sistema se puede resolver de la siguiente forma: (P3.12) + (P3.15) : (P3.13) + (P3.16) :

−12 + φA + φB = 0,

(P3.17)

−φA + φB = 0,

(P3.18)

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

151

y de la ec. (P3.18) deducimos que φA = φB (l´ ogico por la simetr´ıa; tambi´en se deduc´ıa en el apartado (b), pero de las ecuaciones del sistema completo); sustituyendo en (P3.17) obtenemos φA = φB = 6 kp, que sustituido en (P3.13) ´o (P3.16) nos determina por fin la tensi´ on del cable: T = 3 kp,

(P3.19)

AD AI

I-

que vemos coincide con la fuerza que en el apartado (b) ejerc´ıa el muelle en cada barra. Esto era de esperar porque, comparando ambos apartados, los pesos de las barras son iguales y su configuraci´ on tambi´en, aunque antes fuera mantenida por un muelle y ahora lo sea por un hilo.

EU AT

5.4

De paso, y para terminar, obtenemos de las ecs. (P3.11) y (P3.12) ´o (P3.15), la ~ AC = (−3, 0) kp = −φ ~ CB , como en el reacci´on en la articulaci´ on interna C: φ C C apartado (b), l´ ogicamente.

LIC

PROBLEMA RESUELTO 5.4:

CA

AP

La figura representa una gr´ ua formada por dos barras r´ıgidas de longitudes L y l = L2 . La primera est´a articulada en el extremo A y sostiene por su otro extremo la carga P . La segunda est´a ligada a la primera mediante una deslizadera m´ ovil M (sin rozamiento); y por su otro extremo est´a soldada con un ´angulo fijo α = 30◦ a la deslizadera (r´ıgida) R, que puede deslizar sin rozamiento en la vertical que pasa por A. El peso de las barras puede considerarse despreciable frente al de las cargas que puede elevar. La maquinaria de la gr´ ua ejerce una fuerza vertical F sobre la deslizadera r´ıgida R para mantener suspendida la carga. (a) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global.

TO .F ISI

(b) Calcula el ´angulo θ al que trabaja la gr´ ua si es F = reacci´on en los v´ınculos A, M y R en ese caso.

P 2

, y las inc´ ognitas de

(c) Si queremos que la maquinaria de la gr´ ua siempre trabaje ejerciendo fuerzas F por debajo de la mitad de la carga P suspendida, calcula el rango de alturas del punto B respecto del A. (d) Si la soldadura en R no es capaz de soportar momentos de reacci´on superiores a 1000 Kp m, ¿cu´al es la mayor carga P que puede sostener la gr´ ua en las condiciones del apartado (b)?

Soluci´ on:

DP

(a) Considerando la gr´ ua como un sistema plano formado por las barras AB y M R, tenemos que: HE = |3 − CE | = |3 − [2(A) + 2(R)]| = 1. Sistema hiperest´atico externamente o de sustentaci´ on. GI = 3N − 3 − CI = 3 × 2 − 3 − [1(M )] = 2. Sistema inestable internamente o de constituci´ on.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

152

←

F

B

R

P

a

I-

L

AD AI

l

M

← R f R

←

P

α

L l ←

fM

←

-fM

q q

←

M

M

fA y

q

A

←

fA x

(b) Empleamos el m´etodo de fragmentaci´ on (v´ease la fig. P4a): Se ha tenido en cuenta que la deslizadera m´ ovil M es una ligadura interna, por lo que en aplicaci´ on de la tercera ley de Newton genera en M dos fuerzas iguales, de sentido contrario, aplicadas en cada uno de los cuerpos; y que ´estas son perpendiculares a la gu´ıa (y eje) de la barra AB. Las inc´ ognitas de reacci´on vincular son: barra AB: ~ A = (φAx , φAy ) • articulaci´ on externa en A: φ ~ M = (φM cos θ, φM sen θ) • deslizadera m´ ovil en M : φ barra M R: ~M • deslizadera m´ ovil en M: −φ ~ R = (φRx , 0), M ~ R = (0, 0, MR ). • deslizadera r´ıgida en R: φ

TO .F ISI

FIGURA P4a: Resoluci´ on del apartado (b).

Por inspecci´ on, G = 1. Sistema globalmente inestable.

AP

←

MR

CA

←

F B

A

LIC

PROBLEMA RESUELTO 5.4

q

~ M como φ ~ R son perpendiculares a las respectivas gu´ıas por Obs´ervese que tanto φ las que deslizan las correderas.

DP

Las ecuaciones de equilibrio para la barra AB, eligiendo los ejes horizontal y vertical como x e y respectivamente, y tomando momentos en A, resultan: φAx − φM cos θ = 0,

φAy − φM sen θ − P = 0, P L sen θ + φM AM = 0..

(P4.1) (P4.2) (P4.3)

△

AM se halla geom´etricamente del tri´angulo AM R, al igualar su altura horizontal calculada por un lado como cateto opuesto al ´angulo α, y por otro como cateto opuesto al ´angulo θ: l sen α = AM sen θ; sen α l. AM = sen θ

(P4.4) (P4.5)

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

153

Las ecuaciones de equilibrio para la barra M R, con los ejes coordenados anteriores y tomando momentos en el punto M , son: φM cos θ + φR = 0,

(P4.6)

F + φM sen θ = 0, MR + F l sen θ − φR l cos θ = 0.

(P4.7) (P4.8)

EU AT

5.4

I-

√

= 0, = 0,

(P4.9) (P4.10)

= 0,

(P4.11)

= 0,

(P4.12)

= 0,

(P4.13)

LIC

φAx − φM cos θ φAy − φM sen θ − P 1 P L sen θ + φM L 4 sen θ φM cos θ + φR 1 P + φM sen θ 2 √ 3 1 1 MR + P L − φ R L 2 4 4

AD AI

Sustituyendo los valores conocidos, l = L2 , α = 30◦ (sen 30◦ = 21 , cos 30◦ = 23 ) y F = P2 (para este apartado (b)), nos quedan las siguientes ecuaciones, teniendo 1 en cuenta que ahora ser´ıa AM = 4 sen θ L:

= 0.

(P4.14)

AP

Tenemos as´ı 6 ecuaciones con 6 inc´ ognitas, justo las que nos piden en este apartado: θ, φAx , φAy , φM , φR , MR ; la primera inc´ ognita es de configuraci´ on y las otras 5 de reacci´on; P y L son datos param´etricos. Resolvemos de la siguiente forma: 1 (i) De la ec. (P4.13): φM = − 2 sen θP; 3

(iii) de donde resulta sen θ =

1 8

1 1 2 sen θ P 4 sen θ L

CA

(ii) sustituyendo en la ec. (P4.11): P L sen θ −

= 0;

◦

y θ = 30 (= α).

(iv) Sustituyendo en (I) resulta: φM = −P (su sentido es opuesto al dibujado en ambas barras);

TO .F ISI

(v) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.9) resulta: φAx = −

(vi) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.10) resulta: (vii) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.12) resulta:

√

3 2 P

(sentido opuesto);

φAy = 12 P ; √ φR = 23 P ;

(viii) sustituyendo (III) y (IV) en (P4.14) [la ec. (P4.13) da el mismo resultado que (IV)] resulta: MR = 14 P L. Si queremos expresar las inc´ ognitas de fuerza de reacci´ on en forma vectorial, en √  √ 3 3 1 ~ ~ los ejes elegidos resultar´ıa lo siguiente: φA = − 2 P, 2 P ; φR = P, 0 ; 2 √ 
3 1 ~ AB = ~M R ~ R = 0, 0, 1 P L ; φ M M 4 2 P, 2 P = −φM .

DP

(c) La altura del punto B respecto del A viene dada por hAB = L cos θ.

Usando las ecs. (P4.3), (P4.5) y (P4.7), pero sustituy´endoles los datos l = L2 y α = 30◦ , aunque no F = P2 , pues ahora s´olo queremos que F ≤ P2 , nos queda: (i) De (P4.7): φM = − sen1 θ F ;

(ii) sustituyendo en (P4.3)+(P4.5): P L sen θ −

1 1 sen θ F 4 sen θ L

= 0;

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

(iii) resulta para θ entonces que: sen3 θ =

EU AT

154

1F 4P

.

F ≤ 2 ⇒ sen3 θ ≤ 81 ⇒ sen θ ≤ 21 ⇒ Finalmente, imponemos que F ≤ P2 ⇔ P √ √ 3 3 ◦ θ ≤ 30 ⇒ cos θ ≥ 2 ⇒ hAB ≥ 2 L, de donde nos ha salido el rango de valores de hAB que busc´abamos (evidentemente tambi´en est´a acotada superiormente: hAB < L).

AD AI

I-

(d) Si queremos que la gr´ ua funcione sin que se rompa la soldadura que hay en R, y si F = 21 P , entonces |MR | ≤ Mmax . En ese caso, como siguen siendo v´alidos los resultados del apartado (b), MR = 41 P L, y la desigualdad se traduce en 4Mmax 1 . 4 P L ≤ Mmax ⇔ P ≤ L Para Mmax = 1000 kp m resulta finalmente P ≤ 4000 a en metros) para L kp (si L est´ el rango de cargas que puede sostener la gr´ ua. Se observa que cuanto m´as largo sea el brazo de la gr´ ua, L, menor ser´a el rango permitido de cargas que se pueden elevar.

LIC

PROBLEMA RESUELTO 5.5:

AP

En el sistema de s´olidos r´ıgidos que se muestra en la figura, las barras AB y CD son id´enticas, de longitud L y de peso P . El peso de la barra BC es, en cambio, despreciable. En A hay un apoyo simple, en B y C articulaciones, y en D un empotramiento. (a) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global.

CA

En el punto medio de la barra AB se aplica una fuerza F~ que forma un ´angulo de 60◦ con la horizontal. Determina: (b) El m´ odulo de F~ para que la situaci´on mostrada en la figura sea de equilibrio.

TO .F ISI

(c) Las fuerzas de reacci´on vincular en A y en D ejercidas sobre las barras, y el momento del empotramiento en D en esta situaci´on de equilibrio.

(d) Las fuerzas de reacci´on vincular ejercidas en B y en C sobre la barra BC en esta situaci´on de equilibrio. B

←

C

F

60o A

30o

30o

D

PROBLEMA RESUELTO 5.5

DP

Soluci´ on:

(a) Teniendo en cuenta que la barra BC es d´ oblemente articulada y de peso despreciable, se puede considerar como un v´ınculo tipo biela, en vez de un tercer s´olido del sistema. Entonces resulta que el sistema de dos s´olidos (barras AB y CD) tiene:

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

155

HE = |3 − [1(A) + 3(D)]| = 1, es hiperest´atico de sustentaci´ on o externo.

GI = 3 × 2 − 3 − [1(biela BC)] = 2, es mecanismo de constituci´ on o interno. G = GE + GI = 1, es mecanismo globalmente.

←

I-

(b) Como el sistema es un mecanismo con un grado de libertad, es natural que nos pregunten por el valor de una fuerza activa para que se mantenga la configuraci´ on (en equilibrio) con el valor del grado de libertad que indique la figura.

EU AT

5.4

AD AI

Y si est´a el sistema en equilibrio, podemos usar el m´etodo de fragmentaci´ on para generar ecuaciones de fuerza de donde hallar el m´ odulo F de la fuerza activa —su direcci´ on viene dada por la figura: 60◦ con la horizontal—.

X

F cos 60◦ − φbiela = 0, B

(P5.1)

F sen 60◦ − P + φA = 0,

(P5.2)

Fy = 0 :

MAz = 0 :

AP

X

LIC

Si tomamos como fragmento la barra AB, s´olo con sus 3 ecuaciones de equilibrio podremos hallar F y dos inc´ ognitas de reacci´ on, la del apoyo en A y la de la biela BC en B: Teniendo en cuenta la fig. P5a, F~ = (F cos 60◦ , F sen 60◦ ), y quedan las siguientes ecuaciones de equilibrio: X Fx = 0 :

F ( L2 sen 30◦ ) − P ( L2 cos 30◦ ) + φbiela (L sen 30◦ ) = 0. B

(P5.3)

CA

Sustituyendo valores conocidos (P se supone que es un par´ametro) resulta: 1 − φbiela = 0, B 2 √ 3 F − P + φA = 0, 2 √ 3 1 1 F L−P L + φbiela L = 0, B 4 4 2

TO .F ISI

F

(P5.4) (P5.5) (P5.6)

DP

es decir, 3 ecuaciones con 3 inc´ ognitas: F , φbiela y φA . Las soluciones son las B siguientes: √ 3 P, (P5.7) F = 2 √ 3 φbiela = P, (P5.8) B 4 1 φA = P. (P5.9) 4 Y la respuesta a este apartado (b) es F =

√

3 2 P.

(c) La reacci´on en A, φA , ya la hemos hallado en el anterior apartado, de modo ~ A = (0, P ). Y para hallar la que la fuerza de reacci´ on en forma vectorial queda φ 4 fuerza de reacci´on y el momento de reacci´ on en el empotramiento D necesitamos

←

F

30o 30o

G

←

fA o

A

30 30o

fBbiela B

←

P

y

+ x

FIGURA P5a: Resoluci´ on del apartado (b).

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

156

m´as ecuaciones de equilibrio, que van a ser las del fragmento barra CD (tambi´en valdr´ıan las del sistema completo, pero en este caso tienen una complicaci´on a˜ nadida: desconocemos la longitud de la biela BC): De donde:

y x ←

fD y ←

P

Fy = 0 :

X

+ G

X

m ←

FIGURA P5b: Resoluci´ on del apartado (c).

−P + φDy = 0,

(P5.11)

(Lsen 30◦ ) + P ( L2 cos 30◦ ) − φbiela B emp D µ = 0.

Sustituyendo valores conocidos (del apartado anterior, φbiela = B √ 3 P − φDx = 0, 4 −P + φDy = 0, √ √ 3 3 P L− P 12L + µemp D = 0, 4 4

LIC

fD x D

(P5.10)

MDz = 0 :

←emp D

30o

φbiela − φDx = 0, B

I-

- fBbiela

Fx = 0 :

AD AI

←

C

X

(P5.12)

√

3 4 P ):

(P5.13) (P5.14) (P5.15)

CA

AP

de donde obtenemos:

~ D = (− Y vectorialmente: φ

φDx =

µemp D √

3 4 P, P ),

√

3 P, 4 = P,

(P5.16)

φDy √ 3 P L. =− 8 µ ~ emp D = (0, 0, −

(P5.17) (P5.18) √

3 8 P L).

DP

TO .F ISI

(d) Las fuerzas de reacci´on en B y C sobre la barra BC son las fuerzas de reacci´on de la biela BC, cuyo m´ odulo com´ un hallamos en el apartado (b), pero considerando su efecto sobre la propia biela BC, que viene dado por el Principio de Acci´ on y Reacci´ on: ! √ 3 BC AB biela ~ ~ ~ φB = −φB = −φB = P, 0 , (P5.19) 4 ! √ 3 BC CD biela ~ ~ ~ P, 0 . (P5.20) φ = −φ = −(−φ )= − C C B 4

PROBLEMA RESUELTO 5.6: La barra de la figura, de peso 10 N y longitud L, se encuentra apoyada sin rozamiento en el punto A, forma 30◦ con la horizontal y est´a sometida a la acci´ on de

Grados de libertad y estabilidad de un sistema de s´ olidos r´ıgidos

157

√ una fuerza horizontal F = 6 3 N en su punto medio. El extremo opuesto B se encuentra articulado a un bloque homog´eneo de peso P que se apoya sobre una superficie con rozamiento. El coeficiente de rozamiento est´atico entre el bloque y el suelo es µ = 1. (a) Suponiendo que el sistema se encuentra en equilibrio, determina:

AD AI

I-

1. Los vectores fuerza de reacci´ on vincular que act´ uan sobre la barra en los puntos A y B. 2. El vector fuerza de reacci´ on vincular que act´ ua en el apoyo con rozamiento y su punto de aplicaci´ on, en funci´ on del peso P del bloque.

EU AT

5.4

(b) Calcula el rango de valores de P para el cual el sistema se encuentra en equilibrio.

B

2m

←

F

LIC

1m

30º

A

AP

Soluci´ on:

PROBLEMA RESUELTO 5.6

Fx = 0 :

X

Fy = 0 :

(P6.1)

−PAB + φBy + φA = 0,

(P6.2)


−φA (L cos 30◦ ) + PAB L2 cos 30◦ +
F L2 sen 30◦ = 0,

(P6.3)

F − FR = 0,

(P6.4)

−P + N − PAB + φA = 0,

(P6.5)

MBz = 0 :

X

Fx = 0 :

X

Fy = 0 :

DP

X

F − φBx = 0,

TO .F ISI

X

CA

(a) En el equilibrio aplicamos el m´etodo de fragmentaci´ on para generar ecuaciones de fuerza, eligiendo como fragmentos la barra AB por un lado (para que aparezcan las inc´ ognitas de reacci´ on de la articulaci´ on interna B que nos piden) y, por otro lado, el sistema completo barra-bloque:

X

MOz = 0 :


−F 21 + PAB L2 cos 30◦ + 1 + φA (L cos 30◦ + 1) + N x = 0.

(P6.6)

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

158

←

←

30º

←

fA A

GAB ←

y

F

PAB

x

+

2m

L GAB

←

N

G

←

1m

←

F ← 30º P AB

P O

←

FR x

−P + N − 10 + φA = 0, √ √ 1 3 −6 3 + 10( + 1)− 2 √ 2 φA ( 3 + 1) + N x = 0.

LIC

FIGURA P6a: Resoluci´ on del apartado (a).

Sustituyendo valores conocidos, teniendo en cuenta que L, la longitud de la barra AB, puede hallarse de la fig. (P6a) (al ser L sen 30◦ = 1 m, es L = 2 m), y simplificando, resulta: √ (P6.7) 6 3 − φBx = 0, −10 + φBy + φA = 0, (P6.8) 10 6 + = 0, (P6.9) −φA + 2 √2 6 3 − FR = 0, (P6.10)

I-

fA A

B

AD AI

fB x

L ←

Tambi´en podr´ıamos haber elegido el bloque como segundo fragmento. Veremos que una ventaja de nuestra elecci´ on es que pueden resolverse por un lado las 3 primeras ecuaciones para obtener las inc´ ognitas que nos piden en (a.1), y por otro las 3 u ´ltimas para obtener las inc´ ognitas de (a.2).

fB y

←

(P6.11)

(P6.12)

AP

Es un sistema de 6 ecuaciones y 6 inc´ ognitas: φBx , φBy , φA , FR , N y x (P es un dato). De la ec. (P6.9): √ φA = 8 N. Sustituyendo en la ec. (P6.8): φBy = 2 N. on del apartado (a.1) De la ec. (P6.7): φBx = 6 3 N. Vectorialmente, la soluci´ √ √ ~ A = (0, 8) N, φ ~ AB = (−6 3, 2) N. De la ec. (P6.10): FR = 6 3 N. De la es: φ B √ 3−2 ec. (P6.11): N = 2 + P N. De la ec. (P6.12): x = 62+P m. Vectorialmente, la √ ~ suelo = (−6 3, 2 + P ) N. soluci´ on del apartado (a.2) es: φ (b) Hay equilibrio mientras se cumplan las siguientes condiciones:

CA

FR ≤ µN (no deslizamiento). −1 ≤ x ≤ 1 (no vuelco).

TO .F ISI

√ √ La primera condici´ on implica 6 3 ≤ 1(2 + P ) ⇒ P ≥ 6 3 − 2 = 8,39 N. La segunda condici´ on equivale a dos condiciones: √ x ≥ −1 ⇒ P ≥ −6 3 N la cual no nos a˜ nade nada porque se cumple al presuponer P ≥ 0. √ x ≤ 1 ⇒ P ≥ 6 3 − 2 = 6,39 N.

DP

Como el mayor de los dos m´ınimos de P es 8,39 N, el rango de valores de P que mantiene el equilibrio ser´a finalmente: P ≥ 8,39 N.

5.5.

Fragmentaci´ on interna del s´ olido r´ıgido: Acciones interiores sobre una secci´ on

En esta secci´ on nuestro objetivo es determinar la relaci´ on que existe entre las fuerzas exteriores (activas y de reacci´ on vincular) que act´ uan sobre un s´ olido

Fragmentaci´ on interna del s´ olido r´ıgido: Acciones interiores sobre una secci´ on

I-

r´ıgido y las fuerzas internas que se producen en ´el (y que lo mantienen ´ıntegro e indeformable). Se trata de averiguar c´ omo responden las coacciones internas que aseguran la rigidez del s´ olido frente a las fuerzas externas aplicadas. Para ello se utiliza el m´etodo de fragmentaci´ on introducido en la secci´ on 5.3 de la siguiente manera: (I) Se calculan todas las fuerzas exteriores (tanto activas como de reacci´ on vincular) que act´ uan sobre el s´ olido r´ıgido. (II) Se fragmenta el s´ olido r´ıgido mediante un plano imaginario de secci´ on S en dos fragmentos. Cada uno de ellos se considera un s´ olido r´ıgido “soldado” al otro fragmento por la secci´ on S. Se llaman esfuerzos internos a las fuerzas entre los fragmentos imaginarios de un s´ olido r´ıgido. Se llama m´etodo de las secciones al m´etodo de fragmentaci´ on aplicado al c´ alculo de los esfuerzos internos. El m´etodo de las secciones es el punto de partida para el estudio de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales, donde se calculan las deformaciones y tensiones internas que sufren los s´ olidos reales sujetos a las fuerzas exteriores. El m´etodo de las secciones no sirve para hallar ciertas fuerzas internas que aparecen en los materiales r´ıgidos pretensionados. En estos materiales se introduce una tensi´ on interna durante su fabricaci´ on con objeto de que soporte mejor ciertas cargas exteriores. Estos materiales son frecuentes en la construcci´ on. Supongamos un s´ olido r´ıgido en equilibrio bajo la acci´ on de fuerzas exteriores (activas y reacci´ on vincular) conocidas. Lo seccionamos mentalmente (por el lugar donde m´ as interese conocer los esfuerzos internos) en dos partes, A y B, mediante un plano, dando lugar a la secci´ on S del s´ olido (ver fig. 5.17). Cada fragmento estar´ a en equilibrio bajo la acci´ on de su correspondiente porci´on de fuerzas externas s´ olo si se restablecen las acciones internas que el otro fragmento ejerc´ıa a trav´es de S.

159

EU AT

5.5

AD AI

esfuerzos internos

←

←

FjAB

A

+

GS

+

TO .F ISI

Fi'

CA

AP

LIC

m´etodo de las secciones

B ←

Fi

DP

S

Denotaremos por F~i las fuerzas exteriores y por F~jAB los esfuerzos ejercidos sobre el fragmento B por el fragmento A. Los esfuerzos constituyen un sistema de fuerzas —de car´ acter deslizante— distribuidas por toda la secci´ on S, y ~ aplicada en un punto —por por tanto son reducibles a una fuerza resultante R, ejemplo en el centroide de S, al que denotaremos por G—, m´ as un par de fuerzas

FIGURA 5.17: M´etodo de las secciones para revelar las acciones sobre una secci´ on.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

160

~ igual al momento en ese punto del sistema de fuerzas F~ AB : de momento M i X ~ = F~jAB , (5.15) R j∈S

~ = M

X

~ G (F~jAB ). M

(5.16)

I-

j∈S

AD AI

~ yM ~ son las inc´ Consideraremos que R ognitas de reacci´ on que sustituyen a una acciones interiores sobre la secci´ on “soldadura” entre A y B. Llamaremos acciones interiores sobre la secci´ on S al ~ M ~ }. par {R, Nuestro objetivo es escribir estas inc´ ognitas en funci´ on de las fuerzas exteriores (activas y de reacci´ on vincular) —que suponemos conocidas—, usando las ecuaciones de equilibrio que nos proporciona el m´etodo de fragmentaci´ on. En particular, usaremos las ecuaciones de equilibrio de B: X X F~jAB = ~0, (5.17) F~i + j∈S

i∈B

~ G (F~i ) + M

LIC

X

X

~ G (F~ AB ) = ~0, M j

AP

y las ecuaciones de equilibrio del sistema completo (A + B): X X F~i = ~0, F~k + ~ G (F~k ) + M

(5.19)

i∈B

k∈A

X

(5.18)

j∈S

i∈B

X

~ G (F~i ) = ~0. M

(5.20)

i∈B

k∈A

TO .F ISI

CA

De las ecs. (5.15) y (5.17), y de las ecs. (5.16) y (5.18) deducimos, respectivamente, que: X ~ =− F~i , (5.21) R i∈B

~ =− M

X

~ G (F~i ), M

(5.22)

i∈B

DP

que nos permiten despejar las fuerzas y momentos exteriores sobre B en funci´ on de las fuerzas y momentos exteriores sobre A. Introduciendo estos resultados en las ecs. (5.21) y (5.22), obtenemos X ~ = R F~k , (5.23)

esfuerzo axial

k∈A

~ = M

X

~ G (F~k ). M

(5.24)

k∈A

Por tanto, las acciones interiores sobre una secci´ on cualquiera del s´ olido r´ıgido, considerada como secci´ on extrema de una de las partes, es equivalente al sistema de fuerzas externas aplicadas sobre la otra parte. Para terminar, conviene conocer la terminolog´ıa que se usa en Elasticidad y Resistencia de Materiales. Cuando se descomponen las acciones interiores sobre la secci´ on S seg´ un un eje normal a S, y en el plano tangente a S. Se llama esfuerzo axial o esfuerzo de tracci´ on-compresi´ on, y se denota

Fragmentaci´ on interna del s´ olido r´ıgido: Acciones interiores sobre una secci´ on

t2 ←

Q

Mτ

←

N

B

GS

←

Mf

←

I-

←

+

RS

AD AI

←

Fi

n t1

←

MS

FIGURA 5.18: Componentes de las acciones sobre una secci´ on en los ejes naturales de ´esta.

AP

LIC

~ , a la componente de R ~ normal a S. por N ~ a la componente de R ~ tanSe llama esfuerzo cortante, y se denota por Q, gencial a S. ~ τ , a la componente de M ~ Se llama momento torsor, y se denota por M normal a S. ~ f , a la componente de M ~ Se llama momento flector, y se denota por M tangencial a S. Evidentemente, se cumple ~ =N ~ + Q, ~ R ~ =M ~τ +M ~ f. M

(5.25) (5.26)

TO .F ISI

CA

Los adjetivos “axial”, “cortante”, “torsor” y “flector” describen qu´e tipo de resistencia (a la tracci´ on-compresi´ on, al corte, a la torsi´ on, a la flexi´on, respectivamente) realiza cada componente para contrarrestar las deformaciones debidas a las fuerzas exteriores. Esas 4 resistencias internas suelen actuar simult´ aneamente, pero hay situaciones especiales en las que predomina una o dos de ellas frente a las dem´ as. En esos casos, una buena aproximaci´ on consiste en suponer que s´ olo una o dos de las 4 componentes son distintas de cero. Por ejemplo, cuando se estudian las acciones interiores sobre las secciones transversales de vigas rectas horizontales cargadas con cargas verticales en un plano longitudinal de simetr´ıa, predominan los esfuerzos cortantes y momentos flectores, por lo que conviene considerar nulos los esfuerzos axiales y los momentos torsores.

DP

161

EU AT

5.5

esfuerzo cortante momento torsor momento flector

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

162

Problemas propuestos

Se sabe que el m´ odulo de la reacci´on en la articulaci´ on en B puede ser, como m´aximo, 2×104 N y que el empotramiento se rompe si el m´ odulo del momento en el v´ınculo supera el Un bloque homog´eneo triangular de peso 3 N, arti- valor 3 × 103 N m. Con estos condicionantes, culado en los puntos A y C, y que en el v´ertice B sufre la acci´ on de una fuerza F~ que forma 53◦ con la (e) determina el valor m´aximo de la fuerza F que puede horizontal. aplicarse a la barra CD. Una barra homog´enea de 1 N de peso, articulada en el punto C y apoyada sin rozamiento en el punto D.

(a) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad interna, externa y global. (b) Calcula el m´ odulo de la fuerza F~ para que el sistema se encuentre en equilibrio con la configuraci´ on de la figura.

Datos adicionales: sen 53◦ ≈

4 5;

cos 53◦ ≈

3 5.

6m

53o

C

B

CA

3m

AP

←

F

A

B

LIC

(c) Calcula las fuerzas de reacci´ on vincular en A, C y D, para la situaci´on anterior.

AD AI

I-

5.1. En la figura se muestra un sistema de s´olidos r´ıgidos formado por:

15o

C

←

F

4m

A

D 4m PROBLEMA 5.2

D

PROBLEMA 5.1

TO .F ISI

5.3. La gr´ ua de la figura consta de un m´astil vertical, de peso de m´ odulo P = 104 N, y dos brazos horizonta′ 3 5.2. El sistema de s´ olidos que se muestra en la figura les, F B y BD, de pesos respectivos P1 = 2 × 10 N y 3 est´a formado por 3 barras homog´eneas. En A, B y D exis- P2 = 5 × 10 N, siendo despreciables los grosores tanto del ten articulaciones mientras que en C hay un empotramiento m´astil como de los brazos. El m´astil vertical est´a empotrao soldadura. Tan s´ olo la barra BC posee masa no despre- do en su extremo A, mientras que los brazos horizontales ′ ciable, de valor 103 kg. En el punto medio de la barra CD est´an unidos al m´astil mediante articulaciones (B y B ) y ′ cables tensos (C E y CD). El contrapeso de la gr´ ua situase aplica una fuerza puntual horizontal de m´ odulo F . do en el punto E es de m´ odulo Q1 = 104 N. Si la carga (a) Clasifica el sistema atendiendo a su estabilidad inter- que levanta la gr´ ua es de m´ odulo Q2 = 1,2 × 104 N, na, externa y global.

DP

(b) Determina las fuerzas de reacci´ on vincular en B y en D que se ejercen sobre el sistema de s´ olidos, en funci´ on de F .

(a) clasifica el sistema de s´olidos r´ıgidos constituido por la gr´ ua atendiendo a su estabilidad externa, interna y global.

(c) Determina la fuerza que la barra AB ejerce sobre la BC y la fuerza que la barra CD ejerce sobre la BC, en funci´ on de F .

(b) calcula la fuerza y momento de reacci´on vincular en el empotramiento A.

(d) Determina el momento en el empotramiento sufrido por la barra BC, en funci´ on de F .

(c) calcula la tensi´ on del cable CD y la reacci´on de la articulaci´ on B sobre el brazo BD.

163

EU AT

Problemas propuestos

AD AI

I-

5.5. Un tabl´ on AB, homog´eneo, de peso P1 = 150 N y longitud L1 = 5 m, se apoya sobre el suelo y sobre el tabl´ on CD, como se indica en la figura. La distancia CB es 1 m, el coeficiente de rozamiento est´atico del apoyo del tabl´ on AB con el suelo es µ = 0,8 y el rozamiento es despreciable en el apoyo en C. El tabl´ on CD, homog´eneo, de peso P2 = 200 N y longitud L2 = 3 m, se encuentra empotrado en el punto D.

(a) ¿Est´a el tabl´ on AB en equilibrio? Justifica tu respuesta. (b) Halla los vectores fuerza y momento de reacci´on vincular en el empotramiento D.

LIC

PROBLEMA 5.3

CA

AP

5.4. Dos piezas de m´aquina est´an conectadas por un pasador en el punto E, como se muestra en la figura. El pasador est´a sujeto a la pieza CD y desliza sin rozamiento en una ranura existente en la pieza AB. Sobre CD se apli~ 1 = 150~k N m. En los ca un par de fuerzas de momento M puntos B y D existen articulaciones. La pieza AB tiene longitud LAB = 6 m y peso PAB = 20 N, mientras que la pieza CD tiene longitud LCD = 8 m y peso PCD = 50 N. La distancia BD es h = 3 m y el ´angulo que forma CD con la horizontal, α, es 30◦ .

TO .F ISI

(a) Clasifica el sistema seg´ un su estabilidad interna, externa y global. ~ 2 del par que habr´ıa que aplicar (b) Halla el momento M en la pieza AB para que el sistema estuviera en equilibrio.

B C 30o

A

D

60o

PROBLEMA 5.5

(c) En el caso de que apliquemos dicho par, halla las fuer- 5.6. En la figura se muestra esquem´aticamente un coberzas de reacci´on sobre las barras en los puntos B y D, y la tizo cuyo tejado CD (de longitud lCD = 6 m y peso PCD = 30 kp) se apoya sobre una plataforma horizontal fuerza de reacci´on en E sobre la barra AB. y sobre un paramento vertical AB (de longitud lAB = 4 m y peso PAB = 40 kp) empotrado en el suelo en el punto A. C El apoyo en C es sin rozamiento mientras que el contacto M2 B en B tiene rozamiento con coeficiente µ. Calcula:

E

M1 a=30o

DP

A

PROBLEMA 5.4

D

h

(a) Las fuerzas de reacci´on vincular sobre la barra CD en los puntos B y C y las reacciones sobre la barra AB en A, suponiendo que el sistema est´a en equilibrio. (b) El valor m´ınimo del coeficiente de rozamiento µ para que el sistema est´e en equilibrio.

Est´ atica de los sistemas de s´ olidos r´ıgidos

EU AT

164

C

PROBLEMA 5.7

4,5 m

5.8. En la figura la viga homog´enea AB, de peso P1 , est´a unida a la pared mediante una articulaci´ on y es soportada por un pilar homog´eneo, de peso P2 = 10 × 103 kp y altura h = 2 m. Una biela, que forma 53◦ con la horizontal, une el extremo B de la viga y el punto medio de la base superior del pilar (C). Suponiendo que el pilar se apoya en el suelo y que el coeficiente de rozamiento est´atico de dicho apoyo es µ = 0,5:

1,5 m B

I-

53o D

AD AI

4m

A

(a) Halla el peso P1 m´aximo que puede tener la viga para que el pilar pueda soportarla sin deslizar.

PROBLEMA 5.6

(b) Si el peso de la viga fuera P1 = 16 × 103 kp, halla cu´al debe ser la anchura b de la base del pilar para que no se produzca el vuelco del mismo.

LIC

5.7. Se utiliza un par de cu˜ nas para mover una caja de peso W (v´ease la figura). El coeficiente de rozamiento es el mismo en todas las superficies y el peso de las cu˜ nas es Datos adicionales: sen 53◦ ≈ 54 ; cos 53◦ ≈ 35 . despreciable. Determina

←

F

TO .F ISI

W

A

B 53o C

CA

Datos adicionales: W = 2400 N, µ = 0,3.

AP

(a) El m´aximo valor de θ para que la cu˜ na se mantenga en su posici´ on cuando F = 0. (b) El valor del m´ odulo de la fuerza F~ que habr´a que aplicar a la cu˜ na para introducirla, supuesto θ = 20◦ .

q

h = 2m

b PROBLEMA 5.8

Cuestiones

DP

5.1. Sea un sistema mec´anico plano formado por dos s´olidos r´ıgidos. Uno de ellos est´a vinculado con el exterior mediante una ligadura E. Adem´as, los s´olidos est´an vinculados entre s´ı mediante una ligadura interna I. Indica cu´al de las siguientes combinaciones hace que el n´ umero de grados de libertad global del sistema sea exactamente 3. (a) E es un empotramiento e I una articulaci´ on.

(b) E es una deslizadera r´ıgida e I una articulaci´ on. (c) E es una articulaci´ on e I una biela. (d) E e I son bielas. 5.2. Sea un sistema plano formado por N s´olidos r´ıgidos vinculados entre s´ı y con el exterior. Entonces, se cumplir´a que

165

(a) un n´ umero de coacciones externas mayor que 3 puede contribuir a impedir los movimientos relativos entre los s´olidos cuando el n´ umero de coacciones internas sea menor que 3N − 3.

EU AT

Cuestiones

hay fuerzas activas interiores y sobre el que act´ ua un sistema de fuerzas activas exteriores conocido, (a) no es posible el equilibrio.

(b) en general, las ecuaciones de la Est´atica, por s´ı solas, permitir´an resolver todas las inc´ ognitas de reacci´on vincular, tanto externas como internas.

I-

(b) un n´ umero de coacciones externas mayor que 3 contribuir´a siempre a impedir los movimientos relativos entre los s´olidos cuando el n´ umero de coacciones internas sea menor que 3N − 3.

(c) en general, las ecuaciones de la Est´atica, por s´ı solas, no permitir´an resolver todas las inc´ ognitas de reacci´on vincular internas. (d) si se suprime una cualquiera de las coacciones internas el sistema siempre pasar´a a ser inestable de constituci´ on.

(d) un n´ umero de coacciones internas mayor que 3N − 3 contribuir´a siempre a impedir el movimiento del sistema de s´olidos como un todo cuando el n´ umero de coacciones externas sea menor que 3.

5.5. Sea un s´olido r´ıgido en equilibrio y S una secci´ on cualquiera que divida a ´este en dos partes. Acerca de las acciones que una parte transmite a la otra a trav´es de dicha secci´ on podemos afirmar que

(a) tiene que ser necesariamente inestable de constituci´ on.

AP

(b) tiene que ser necesariamente inestable de sustentaci´ on. (c) puede ser hiperest´atico de constituci´ on.

(d) no puede ser hiperest´atico de sustentaci´ on.

TO .F ISI

CA

5.4. En un sistema de s´ olidos r´ıgidos que es isost´atico de sustentaci´ on e hiperest´atico de constituci´ on, en el que no

DP

(a) son independientes de las fuerzas externas que act´ uan sobre el s´olido.

LIC

5.3. Un sistema globalmente inestable

AD AI

(c) un n´ umero de coacciones internas mayor que 3N − 3 puede contribuir a impedir el movimiento del sistema de s´olidos como un todo cuando el n´ umero de coacciones externas sea menor que 3.

(b) el esfuerzo cortante y el momento flector son ambos tangentes a la secci´ on S. (c) los esfuerzos cortante y axial est´an contenidos en el plano de la secci´ on y los momentos flector y torsor son perpendiculares a dicho plano.

(d) son nulas, dado que suponemos que el s´olido est´a en equilibrio.