1.1.

EU AT AD

AI

Est´ atica en el plano

I-

Pr´ actica 1

Objetivos conceptuales

1.2.

PL

IC

Comprobar experimentalmente las ecuaciones del equilibrio de la part´ıcula y del s´olido r´ıgido en el plano.

Conceptos b´ asicos

CA A

Un sistema de part´ıculas materiales se dice que est´a en un estado de equilibrio mec´anico, cuando su configuraci´on no cambia en el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial. La condici´on necesaria y suficiente para que un sistema de part´ıculas materiales est´e en equilibrio es doble:

TO .F ISI

(1) Todas las part´ıculas tienen que estar en reposo respecto al sistema de referencia inercial en un cierto instante. (2) En cualquier instante posterior, la resultante de las fuerzas exteriores e interiores que act´ uan sobre cada part´ıcula tiene que ser nula, X ik

en k + X F~ int en F~iext jk k

k

= ~0 , para toda part´ıcula k.

(1.1)

jk

DP

En el caso de que el sistema est´e formado por una sola part´ıcula, las fuerzas interiores no existen, y las ecs. (1.1) se reducen a la ecuaci´on vectorial: X

F~i = ~0 ,

(1.2)

i

que equivale a 3 ecuaciones escalares, si estamos trabajando en el espacio tridimensional, o a 2 si estamos en un plano. 1

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

2

F~ k = ~0,

k=1 N X

~ k = ~0, M A

k=1

AI

N X

I-

En el caso de que el sistema de N part´ıculas pueda considerarse un s´ olido r´ıgido en el espacio tridimensional, el correspondiente sistema de 3N ecuaciones escalares es equivalente a un sistema de 6 ecuaciones escalares que se pueden escribir como 2 ecuaciones vectoriales: (1.3)

(1.4)

Descripci´ on de los montajes experimentales y desarrollo de la experiencia

CA A

1.3.

PL

IC

AD

P donde F~ k = i F~iext en k es la fuerza (exterior) neta sobre la part´ıcula k y ~ k = Pi [~rAi × F~ ext en k ] es el momento resultante de las fuerzas (exterioM i A res) sobre la part´ıcula k, respecto de un punto fijo arbitrario A. Esta gran simplificaci´on est´a relacionada con que el n´ umero de grados de libertad de un s´olido r´ıgido en el espacio tridimensional es 6 (como m´aximo), y con que, en el caso del s´olido r´ıgido, los vectores fuerza son deslizantes, y ello permite reducir el sistema de fuerzas sobre el s´olido a la resultante de las fuerzas y al momento resultante respecto de alg´ un punto.

La pr´actica consta de 3 partes. En cada una de ellas se construir´a una situaci´on de equilibrio diferente:

TO .F ISI

(A) Una part´ıcula sometida a 3 fuerzas coplanarias. (B) Un s´olido r´ıgido plano sometido a 3 fuerzas coplanarias paralelas. (C) Un s´olido r´ıgido plano articulado sometido a un sistema de fuerzas coplanarias.

DP

Todos los montajes se realizar´an sobre un panel de trabajo, formado por una plancha de acero de 50 × 50 cm, colocado sobre unos soportes. Este panel deber´a estar perfectamente vertical. Las fuerzas se implementar´an mediante cuerdas de las que colgar´an platillos con pesas calibradas (de masa conocida) o pesas problema (pesas cuya masa se desea determinar). Estas cuerdas ir´an unidas a poleas que se han de atornillar al borde del panel.

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

F2

I-

F1

3

AI

F3

Figura 1.1: Diagrama de fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula.

AD

A. Part´ıcula sometida a 3 fuerzas coplanarias

X

Fx = 0 :

TO .F ISI

X

CA A

PL

IC

Queremos construir una situaci´on de equilibrio cuyo diagrama de fuerzas sea como el de la fig. 1.1. Para ello usaremos una arandela que har´a el papel de part´ıcula puntual. Sobre ella han de actuar tres fuerzas coplanarias que implementaremos mediante tres cuerdas atadas a la arandela; estas cuerdas se har´an pasar por sendas poleas, de las que cuelgan pesas, de manera que se logre una situaci´on de equilibrio deseada (v´ease la fig. 1.2). La pesas pueden aplicarse directamente sobre los extremos de las cuerdas o bien ir sobre platillos que se cuelgan de las cuerdas mediante ganchos (en este caso, t´engase en cuenta el peso de los platillos y de los ganchos). S´olo una de las tres pesas ser´a conocida (para pesarla se usar´a una balanza). El objetivo es determinar la masa de las otras dos pesas, utilizando las ecuaciones del equilibrio correspondientes a esta situaci´on. Esas ecuaciones son:

Fy = 0 :

−F1 + F2 cos α + F3 cos β = 0,

(1.5)

F2 senα − F3 senβ = 0.

(1.6)

DP

Para medir los a´ngulos α y β fijaremos un papel blanco sobre el panel mediante imanes. Sobre ´el, y con ayuda de una regla, trazaremos una recta paralela a cada una de las direcciones de las tres cuerdas. Luego quitaremos el papel del panel y mediremos sobre ´el los a´ngulos α y β con ayuda de un semic´ırculo graduado o transportador de a´ngulos. Los pesos inc´ognita son, por ejemplo, F2 y F3 , los dem´as par´ametros son conocidos. Resolveremos el correspondiente sistema de ecuaciones y, para terminar, comprobaremos con ayuda de la balanza si las masas de las pesas inc´ognitas son similares a las que hemos obtenido aplicando las ecuaciones de equilibrio. (No confundir el

4

CA A

PL

IC

AD

AI

I-

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

Figura 1.2: Dispositivo experimental para implementar el diagrama de fuerzas de la fig. 1.1.

TO .F ISI

peso con la masa.)

Cuestiones

Cuesti´ on 1: ¿Podr´ıamos determinar los valores de F1 , F2 y F3 si conoci´esemos s´olo el valor de los ´angulos α y β?

DP

Cuesti´ on 2: ¿Qu´e hip´otesis sobre las cuerdas y poleas estamos asumiendo impl´ıcitamente al suponer que las fuerzas sobre la arandela son los pesos que colgamos de las cuerdas?

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

T

d1

F3

I-

F1

AD

F2

AI

P

d2

5

Figura 1.3: Diagrama de fuerzas que act´ uan sobre la varilla.

IC

B. S´ olido r´ıgido plano sometido a 3 fuerzas paralelas

TO .F ISI

CA A

PL

En esta segunda parte tenemos que construir una situaci´on de equilibrio cuyo diagrama de fuerzas sea como el de la fig 1.3. Nuestro s´olido r´ıgido plano ser´a la una varilla met´alica de 37 agujeros. Sobre ella se ejercer´an tres fuerzas paralelas horizontales, implementadas mediante cuerdas unidas con ganchos a los agujeros de la varilla, cuerdas que pasan por sendas poleas y de las que cuelgan pesas como en la primera parte de la pr´actica (v´ease la fig. 1.4). El equilibrio en la direcci´on vertical se consigue gracias a la fuerza que ejerce el hilo que cuelga del brazo sost´en (un brazo dotado de un im´an, en el que se atar´a el hilo). Esta fuerza ha de contrarrestar el peso de la varilla. Por tanto, el hilo debe permanecer perfectamente vertical (si no, el sistema implementado no ser´ıa el de la fig. 1.3). Lograr que este hilo quede vertical requiere una sabia elecci´on de las masas y de los puntos en los que se enganchan las cuerdas que implementan las fuerzas horizontales (cuerdas que deben permanecer perfectamente horizontales). El objetivo es determinar la masa de dos de las pesas (conocida la tercera), usando las ecuaciones del equilibrio: X

Fx = 0 :

−F1 − F2 + F3 = 0 ,

(1.7)

Fy = 0 : ~ O = ~0 : M

T − P = 0,

(1.8)

F 1 d1 − F 2 d2 = 0 .

(1.9)

X

DP

X

6

CA A

PL

IC

AD

AI

I-

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

Figura 1.4: Dispositivo experimental para implementar el diagrama de fuerzas de la fig. 1.3.

TO .F ISI

Cuestiones

Cuesti´ on 3: ¿D´onde se localiza el eje central del sistema de fuerzas { F~1 , F~2 }? Cuesti´ on 4: ¿C´omo ser´ıa el diagrama de fuerzas si en lugar de el hilo vertical hubi´esemos sujetado la varilla haciendo pasar por su agujero superior un eje perpendicular al panel y adosado a ´este?

DP

Cuesti´ on 5: Supongamos que partimos de una situaci´on de equilibrio como la ilustrada en la fig. 1.3. Sin cambiar dos de las pesas (es decir, cambiando s´olo la tercera pesa y los puntos donde se aplican las fuerzas horizontales), ¿se pueden obtener situaciones de equilibrio distintas a la inicial de manera que el hilo y la varilla se mantengan verticales?

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

f

d2

I-

d1

7

F1

AI

P

AD

F2

IC

Figura 1.5: Diagrama de fuerzas que act´ uan sobre el disco.

PL

C. S´ olido r´ıgido plano articulado sometido a un sistema de fuerzas

TO .F ISI

CA A

La situaci´on que queremos construir es la ilustrada en la fig. 1.5. El s´olido r´ıgido plano articulado es un disco met´alico rojo de 30 cm de di´ametro y con un freno. Primero se fijar´a su parte central a una polea de modo que ´esta gire solidaria con el disco. De la polea colgar´a una pesa conocida. La segunda fuerza se ejercer´a sujetando una cuerda al disco mediante un gancho peque˜ no. Esta cuerda se har´a pasar por una polea y de ella colgar´a un peso problema como en los casos anteriores (v´ease la fig. 1.6). Todas estas operaciones conviene hacerlas con el freno del disco puesto. Se quitar´a el freno para que el disco alcance la situaci´on de equilibrio, y luego se volver´a a poner para tomar medidas. El objetivo es hallar la masa desconocida (equivalentemente una de las dos fuerzas, por ejemplo F~1 ). Las ecuaciones de equilibrio son en este caso: X

Fx = 0 :

−F1x + φx = 0,

(1.10)

Fy = 0 : ~ O = ~0 : M

−F1y − F2y − P + φy = 0,

(1.11)

F1 d1 − F2 d2 = 0.

(1.12)

X

X

DP

Para hallar esa masa lo m´as sencillo es usar la ec. (1.12) momentos. Conocemos el m´odulo de una de las fuerzas, las distancias d1 y d2 se pueden medir usando una regla graduada corrediza en forma de T. Esa regla tiene

8

CA A

PL

IC

AD

AI

I-

EU AT

´ ´ PRACTICA 1. ESTATICA EN EL PLANO

Figura 1.6: Dispositivo experimental para implementar el diagrama de fuerzas de la fig. 1.5.

TO .F ISI

un agujero por el que se debe hacer pasar el eje de la polea. Cuestiones

Cuesti´ on 6: ¿Qu´e har´ıa falta medir (adem´as de d1 , d2 y F2 ) para poder calcular ~ en el equilibrio? las componentes de la reacci´on vincular φ Cuesti´ on 7: ¿Cu´antos grados de libertad tienen los 3 sistemas considerados en esta pr´actica (arandela, varilla y disco)?

DP

Cuesti´ on 8: Describe un sistema f´ısico plano que tenga 4 grados de libertad y otro que tenga 5.