Universidad de Puerto Rico Recinto de Aguadilla Programa CeCiMat Elemental Definición de conceptos fundamentales de la Estadística y la Probabilidad y su aportación al mundo moderno Dr. Richard Mercado Rivera 18 de agosto de 2012 Matemática Elemental 1

Estadística  Definición:

ciencia que colecta, organiza, presenta e interpreta datos. Se divide en dos ramas; ◦ Estadística Descriptiva: recopila, organiza y presenta datos. ◦ Estadística Inferencial: se refiere a las técnicas de interpretación de datos.

Términos Básicos  Población:

conjunto de individuos u objetos cuyas características van a ser estudiadas.

 Muestra:  Variable

subconjunto de la población.

(respuesta): característica de interés de la población o muestra.

Términos Básicos 

Dato: valor numérico de la variable respuesta asociado a un elemento de la población o muestra.



Datos: conjunto de valores colectados de una variable respuesta de cada elemento de la población o muestra.



Experimento (encuesta): actividad planificada cuyos resultados producen un conjunto de datos.

Términos Básicos 

Parámetro: característica numérica de toda la población.



Estadística: característica numérica de la muestra.



Censo: estudio a toda la población.

Términos Básicos  Datos

cualitativos: es el resultado del proceso de categorizar o describir un elemento de la población. ◦ Ejemplos:  El color de los carros en un estacionamiento.  Color del cabello de las chicas en un grupo de séptimo grado.

Términos Básicos  Datos

cuantitativos: es el resultado del proceso de cuantificar, esto es, contar o medir. Se divide en discreta y continua. ◦ Discreta: resultado del proceso de contar.  Ejemplo: cantidad de maestros en el taller.

◦ Continua: resultado del proceso de medir.  Ejemplo: edad promedio de los maestros en el taller.

Tipos de Variables 

Variable cualitativa, de atributos o categórica: ◦ Variable que clasifica o describe un elemento de la población.  Nominal: es imposible asignar un orden a las categorías.  Ordinal: presenta una posición o clasificación ordenada, pero no tiene diferencia numérica.

8

Tipos de Variables: ejemplos 

Nominal: ◦ Números de seguro social. ◦ Números de identificación de los estudiantes universitarios.



Ordinal: ◦ Clasificación de excelente, bueno, regular o deficiente de una cita. ◦ Obtener A, B, C, D, o F en un curso.

9

Tipos de Variables  Variable

cuantitativa o numérica:

◦ Variable que cuantifica un elemento de la población.  Discreta: puede asumir un número contable de valores.  Continua: puede asumir un número incontable de valores. 10

Tipos de Variables  Variable cuantitativa o numérica:  De intervalo: al igual que la ordinal, presenta una posición o clasificación ordenada. Lo diferente es que sí establece una diferencia numérica. No tiene un cero natural.  De razón: similar a la de intervalo, con la diferencia que posee un cero natural.

11

Tipos de Variables: ejemplos 

Discreta: ◦ Cantidad de maestros tomando el taller.



Continua: ◦ Peso de una barra de chocolate.



Intervalo: ◦ Temperatura del salón.



Razón: ◦ Precio de los libros de textos. 12

Cuestionarios 

¿A qué escuela asistió usted?



Características: de las preguntas ◦ Preguntas no pueden ser ambiguas. ◦ Fáciles de contestar. ◦ No preguntar sobre asuntos íntimos y/o personales. ◦ No deben permitir que el encuestado tenga que escribir mucho.

Cuestionarios 

Características: del cuestionario ◦ Título claro y de fácil comprensión. ◦ Propósito fácil de entender.



Administración del cuestionario ◦ Por teléfono: poco aceptado. ◦ Por correo: no muchos contestan. ◦ De persona a persona: forma más eficiente.

Ejercicio de práctica 

Se puede trabajar en forma individual o en pareja: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦



Escoger un tema. Determinar la población. Determinar la muestra. Identificar la o las variables. Redactar tres posibles preguntas sobre el tema.

Cada maestro o equipo presentará su trabajo para ser analizado por todos.

Medidas de Tendencia Central 

Valores numéricos que localizan, de alguna manera, el centro de un conjunto de datos.



Generalmente el término promedio se asocia con todas las medidas de tendencia central. ◦ Media aritmética ◦ Mediana

◦ Moda

16

Medidas de Tendencia Central 

Media aritmética: promedio más conocido. Se denota con X . Se calcula sumando todos los valores y dividiendo el resultado por el total de valores. sumatoria



Notación:

X

x n

suma de los datos total de datos 17

Media Aritmética 

En una clase de Estadística, un estudiante obtuvo las siguientes notas en los primeros 5 exámenes:

89, 77, 92, 85 y 82. Determine la nota del estudiante hasta el momento.  ¿Cuánto deberá obtener en un próximo examen para mantener su promedio igual?  ¿Qué nota debería obtener en un examen final para finalizar con promedio de A? 

18

Medidas de Tendencia Central 

Mediana: es el valor del dato que se encuentra en el centro de una distribución. Se denota por X.



Para determinar la mediana se tienen que colocar los datos en orden ascendente.



La posición de la mediana se determina por la 1 . fórmula n

2 19

Mediana 

Ejemplo: determine la mediana de los datos siguientes;

23,12, 9, 56, 34, 48 y 17 

Mediana es 23

Si se le añade el valor 24 a los datos anteriores, ¿cuál será la mediana ahora?  Mediana es 23.5 

20

Medidas de Tendencia Central 

Moda: el valor que más se repite. La distribución puede: ◦ No tener moda. ◦ Tener una moda.

◦ Ser bimodal (dos modas). ◦ Trimodal (tres modas).

◦ Multimodal (más de tres modas).

21

Moda 

Dadas las siguientes distribuciones determine la moda de cada una de ellas:

23, 33,15, 56, 24, 87 23, 33,15, 56, 24, 87,15 23, 33,15, 56, 24, 87,15, 23 22

Medidas de Tendencia Central 

Dada la siguiente tabla determine la media aritmética, la mediana y la moda.

24

56

67

12

9

45

24

45

12

9

56

67

82

91

14

14

54

91

82

54 23

Gráficas 

Es la forma más efectiva para ayudar en la lectura de los datos.



Para cada tipo de variable se aplica un tipo de gráfica.



Revelan, en forma visual, patrones y comportamiento de la variable en estudio.

24

Variable Categórica 

Diagrama de Pastel: muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como una parte proporcional de un círculo.



Gráfica de Barras: muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como áreas rectangulares de tamaño proporcional.

25

Operaciones en el Hospital General el año pasado Tipo de operación

Número de casos

Toráxica Huesos y articulaciones Ojos, oídos y garganta General Abdominal Urológicas Proctológicas Neurológicas Total

20 45 58 98 115 74 65 23 498 26

Operaciones en el Hospital General el año pasado Toráxica Huesos y articulaciones Ojos, oídos y garganta General Abdominal Urológicas Proctológicas Neurológicas

27

Operaciones en el Hospital General el año pasado 140

120 C a n t i d a d

o 100 p e r 80 a c i 60 o n d e 40 e s 20

0 Toráxica

Huesos y articulaciones

Ojos, oídos y garganta

General

Abdominal

Urológicas

Proctológicas

Neurológicas

28

Variable Numérica 

Diagrama de Tallo y Hoja: presenta los datos usando los dígitos que corresponden a los valores de los datos.



Diagrama de Caja: presenta el resumen de 5 números: valor mínimo, cuartil uno, mediana, cuartil tres y el valor máximo.



Histograma: gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias de una variable. 29

Calificaciones de 19 estudiantes en un examen 

De un grupo se extrajo aleatoriamente una muestra de 19 calificaciones de un examen:

76 74 82 96 66 76 78 72 86 84 62 76 78 92 82 74

52 68 88

30

Calificaciones de 19 estudiantes en un examen Tallo 5 6 7 8 9

Hojas

2 6 6 2 6

8 4 6 2

2 6 4

8 2

2 8

6

8

4

31

Calificaciones de 19 estudiantes en un examen Tallo (50 -54) (55-59) (60-64) (65-69) (70-74) (75-79) (80-84) (85-89) (90-94) (95-99)

Hojas 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

2 2 6

8

4 6 2

2 6 4

6 2 6

8

4 8 2

6

8

32

Cuartiles: Qk 

Dividen los datos en cuatro partes iguales.



Cómo se obtienen: ◦ Se obtienen a través de los Percentiles. ◦ Colocar los datos en orden ascendente. ◦ Si k < 50 la posición se obtiene con ◦ Si k > 50 la posición se obtiene con

nk 100

.

n 100 k 100

. 33

Cuartiles: Qk 

Cómo se obtienen: ◦ Si la posición da a un número entero se usa el promedio de esa posición y la siguiente.

◦ Si el resultado es un número decimal se usa la posición siguiente. ◦ Si k < 50: posiciones de menor a mayor. ◦ Si k > 50: posiciones de mayor a menor.

34

Diagrama de Caja Valor Mín 0

0

Q1 86.5

100

Med. 170

Valor Máx 491

Q3 251.5

200

300

400

500

35

Notas de un examen Intervalos de Notas 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 100 – 109

Frecuencia 8 44 23 6 98 11 1 36

Histograma: notas de un examen 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

F R E C U E N C I A S

0 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109

INTERVALOS

37

Ejercicios de Práctica Obtener cuartiles y percentiles.  Dibujar : 

◦ Diagrama de pastel. ◦ Gráfica de barras. ◦ Diagrama de tallo y hoja. ◦ Diagrama de caja. ◦ Histograma. 38

Medidas de dispersión  Se

utilizan para determinar cuánto se alejan los valores del centro de la distribución. ◦ Rango ◦ Varianza

◦ Desviación estándar

Rango 

Se obtiene restando el valor menor del valor mayor de la distribución.



Indica cuantas unidades de diferencia se pueden esperar, como máximo, entre dos valores de la variable.



El rango estima el campo de variación de la variable.

Varianza:

s

2



Medida de dispersión que ostenta una variable aleatoria respecto a su esperanza.



Pasos para calcular la varianza:

◦ Calcular la media aritmética. ◦ Restar la media aritmética a cada dato de la distribución y elevar el resultado al cuadrado. ◦ Sumar los resultados del paso dos y dividir por el total de datos menos uno.

Varianza:  Fórmula

s

2

s

2

para determinar la varianza;

x x n 1

2

Varianza:

s

2

 Ejemplo:

determinar la varianza de las edades de 5 niños. Edades

x x

x x

6 3 8 5 2

 Determinar

la media aritmética.

2

x

x

n Edades

s

2

24 5

4.8

x x

x x

6

1.2

1.44

3

–1.8

3.24

8

3.2

10.24

5

0,2

0.04

2

–2.8

7.84

x x n 1

2

22.80 4

5.7

2

Desviación Estándar 

Es la medida más útil de la variabilidad de los resultados de una muestra.



Es una medida de la magnitud en que se desvían los datos de su valor medio.



Si las puntuaciones se agrupan en torno a la media, la DE será relativamente pequeña; si se extienden en todas direcciones, la DE será relativamente grande.

Desviación Estándar  La

desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

s

s

s

x

2

s

x

n 1 2

5.7

2.4

2