1.3. Oscilador armónico amortiguado

» Ecuación del movimiento libre de un grado de libertad amortiguado: • ED lineal de 2º orden homogénea cuya solución es de la forma:

• Si introducimos esta solución en la ED:

1

1.3. Oscilador armónico amortiguado

• Para obtener una solución distinta de la trivial el primer miembro debe ser cero:

» Las raíces pueden ser: • reales y distintas • reales e iguales • complejas conjugadas » La solución general será de la forma:

2

1.3. Oscilador armónico amortiguado

3

» Si el radicando es cero se obtiene el amortiguamiento crítico ccr:

» El amortiguamiento de un sistema se puede representar como un porcentaje con respecto del crítico. Se define el ratio de amortiguamiento , como el cociente entre el amortiguamiento del sistema y el crítico:

» Las raíces pueden expresarse amortiguamiento y la frecuencia n:

en

función

del

ratio

de

1.3. Oscilador armónico amortiguado

4

» Solución general

» Sistemas sobreamortiguados • El amortiguamiento del sistema es mayor que el amortiguamiento crítico. -4

1.6

• El movimiento resultante no es oscilatorio.

1.4 1.2 1

x(t)

• Las dos raices son reales y diferentes. Como las dos raices son negativas, x(t) disminuye con el tiempo.

x 10

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

3

3.5

4

4.5

5

1.3. Oscilador armónico amortiguado

5

» Sistemas con amortiguamiento crítico • El amortiguamiento del sistema es igual al crítico. • Las raíces son: • Desplazamiento del sistema:

20

• x disminuye con el tiempo; el movimiento resultante no es oscilatorio:

18 16 14

x(t)

12 10 8 6 4 2 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

3

3.5

4

4.5

5

1.3. Oscilador armónico amortiguado » Sistemas subamortiguados • El amortiguamiento del sistema es menor que el crítico.

• Las dos raíces son complejas conjugadas. El desplazamiento del sistema tiende, como en los casos anteriores, a anularse con el tiempo pero en este caso se produce una verdadera oscilación. Los valores de las raíces son:

siendo d la “frecuencia” angular de la vibración amortiguada (libre):

6

1.3. Oscilador armónico amortiguado • El desplazamiento del sistema será:

• La ecuación que representa el movimiento del sistema tiene la forma:

• El primer término representa el efecto disipativo y el segundo la función armónica.

• “El periodo” Td y “frecuencia” circular de oscilación del sistema amortiguado será :

• Tiempo de relajación para la amplitud (envolvente): tiempo que la amplitud tarda en llegar a valer 1/e de su valor inicial:

7

1.3. Oscilador armónico amortiguado

• Valores de las constantes de integración a partir del desplazamiento x0 y velocidad v0 en t=0 :

» Ejercicio

8

1.3. Oscilador armónico amortiguado x

9

A e -  t n

A e -  t se n( d t+ j 0) n

t

T d = 2 p/ d

• El desplazamiento tiende a cero pero oscila con frecuencia fd=d/2p entre los límites fijados por las curvas de decrecimiento exponencial.

1.3. Oscilador armónico amortiguado

10

» Decremento logaritmico  • Determina como varía la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado. • Se define como el logaritmo neperiano del cociente de las oscilaciones máximas en dos ciclos consecutivos separados Td.

• Para pequeños amortiguamientos se puede aproximar:

Td

x(t)

x1

0

0.5

Permite determinar el amortiguamiento de un sistema si se conoce la evolución temporal de la posición

x2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

1.3. Oscilador armónico amortiguado » Sistemas amortiguados en el espacio de estados

Atractor

Sistema estable

11

1.4. Vibraciones forzadas

– Vibraciones forzadas

» Originadas por fuerzas externas exteriores al sistema. » La ecuación del movimiento es una ecuación de 2º orden no homogenea. » Las fuerzas excitadoras, en función de su variación con el tiempo, pueden ser: • Excitaciones armónicas. • Excitaciones periódicas. • Impulsos, choques • Excitaciones aleatorias.

12

1.4. Vibraciones forzadas

» Sistemas de un grado de libertad amortiguados sometidos a excitaciones armónicas. • Excitaciones armónicas del tipo:

• Ecuación diferencial:

• Solución:

13

1.4. Vibraciones forzadas

14

» Solución homogénea (vibración libre amortiguada): Respuesta transitoria

» Solución particular: Respuesta permanente

• La respuesta transitoria se produce en el arranque y parada del sistema. En la mayoría de las aplicaciones tiene poco interés. • Cuando el sistema funciona de forma continua, normalmente el interés se centra en la respuesta permanente o estacionaria, que quedará determinada conociendo su amplitud X0 y desfase  , ya que la frecuencia coincide con la de excitación.

1.4. Vibraciones forzadas

15

• Solución homogénea para

• Solución particular:

un sistema amortiguado: xp(t)

xh (t)

+ t

t

x(t)

=

t

1.4. Vibraciones forzadas

16

» Determinación de la solución particular (respuesta permanente): • Sustituyendo la solución particular en la ED se obtienen los valores de X0 y .

• Amplitud X0:

r (ratio de frecuencias): relación de frecuencias de la fuerza excitadora y la frecuencia natural del sistema libre:

r=/n.

st deformación estática del resorte bajo una carga constante F0: st=F0/k.

1.4. Vibraciones forzadas

17

• Desfase : retraso de la respuesta respecto de la fuerza aplicada.

• Factor dinámico de amplificación H: número de veces que la amplitud de oscilación dinámica sobrepasa a la estática.

1.4. Vibraciones forzadas

18

» Representación del factor de amplificación en función de r y : |H|

=0.1 =0

3 |H|

=0.1 =0

3

=0.2

2,5

=0.2

2,5

2 1,5

2

=0.3=0.3

1,5

=0.4=0.4

→

=0.5=0.5 1

1

Animació n

=1

=1=1.5 =3 0,5 =1.5 =3=5 =5

0,5

/n

0

0,0

0 0,0

0,5

0,5

1,0

1,0

1,5

1,5

2,0

2,0

2,5

/n

3,0

2,5

3,0

1.4. Vibraciones forzadas

19

» Representación del desfase en función de r y :

0 00

0,5 0

0,5

=0.1 =0 1 =0.1 =0 1

1,5 1,5

2 2

/ 3n

2,5 2,5

3

=0.2

-45

→

=0.2

-45 =0.3 -90 -90 =0.3 =0.4 =0.4 =0.5 =0.5

=5 =5 =3 =3 =1.5 =1.5 =1

-135

-135

=1

-180

-180

/n

F0(º)

F0(º)

1.4. Vibraciones forzadas

» Análisis de los gráficos: • Para frecuencias de excitación menores que la mitad de la frecuencia propia del sistema, la amplitud es del mismo orden que la deflexión estática. → • Para frecuencias de excitación muy próximas a la propia del sistema la amplitud se incrementa bruscamente: RESONANCIA. → • Para frecuencias de excitación cercanas a la propia, pero no muy próximas: PULSACIÓN. → • Para frecuencias de excitación doble de la propia la amplitud de vibración es muy pequeña. → • “El ancho” de la curva de aumenta con el amortiguamiento. → • Hay un cambio de fase para una frecuencia de excitación igual a la frecuencia propia →

20

1.4. Vibraciones forzadas

» Resonancia en amplitud

» Frecuencia de resonancia

» Resonancia en energía (velocidad y energía cinética máximas)

» Frecuencia de resonancia:

21

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

Un sistema de n grados de libertad, tendrá n frecuencias propias y n modos de vibración. » Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad:

22

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

• Ecuaciones del movimiento:

• Forman un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas:

• En forma matricial:

23

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad • Resulta:

De forma general, la ecuación del movimiento se puede escribir en forma matricial:

sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden.

» Características: • La matriz de rigidez [K] es simétrica kij=kji. • La matriz de amortiguamiento [C] es simétrica cij=cji. • La matriz de masas [M] es diagonal, eligiendo el sistema de referencia adecuado. • Las matrices suelen ser matrices huecas (“sparse”)

24

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad » Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad, libre, no amortiguado

• Igual que para 1 GL, la solución será armónica pero las masas vibran con distinta amplitud. Utilizando la solución compleja:

• Sustituyendo las soluciones en la ecuación del movimiento:

25

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

• En forma matricial:

• Para obtener una solución distinta de la trivial el determinante debe ser cero:

» Sistemas no amortiguados (en general): Soluciones imaginarias:

Problema de valores propios (autovalores) de orden n en 2

26

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

» Consecuencias • La resolución de la ecuación obtenida para 2 da dos soluciones 12 y 22 que son las frecuencias propias del sistema (o n frecuencias en el caso de orden n). • La frecuencia menor 1 se denomina fundamental. • Las frecuencias propias dependen de las características del sistema: masas y rigideces. • Las frecuencias propias son independientes de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. Las condiciones iniciales determinan el grado de excitación de cada frecuencia.

27

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

28

• Si se introducen en las ecuaciones los valores de 1 y 2, se obtiene la relación que existe entre las amplitudes del movimiento para los modos 1 y 2, respectivamente:

1

2 • Hay dos modos naturales, uno por cada frecuencia. Si se desplaza el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y se deja evolucionar libremente, oscila armónicamente a la frecuencia correspondiente a ese modo. • Las dos soluciones obtenidas para los modos propios son armónicas. • La solución general es una combinación lineal de los modos propios. El movimiento general es suma de dos movimientos armónicos de distinta frecuencia y el resultado es un movimiento no armónico.

1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

29

– Rigidez equivalente Acumula la misma energía potencial que el sistema » Fuerza: F=-kx Energía potencial: U=kx2/2 » Vigas: • Deflexión st sometido a la fuerza F keq = F/  st » Resortes en paralelo: Fs=k1  st+ k2  st Fs=keq  st keq= ki

1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

30

» Resortes en serie:  st = 1+  2 Fs=k1  1=k2  2

Fs=keq  st 1/keq=1/ ki

1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

31

1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

32

1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

– Viga

– Cable

33