CAPÍTULO

2 Métodos de solución de ED de primer orden

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables. 1. Consideremos la función de dos variables x, y:

F .x; y/ D 2x 2 y

Observamos que:

xy 2 C 4y 3 .

a. Todos los términos tienen el mismo grado 3. b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t 3 , es decir: F .tx; ty/ D 2.tx/2 .ty/

.tx/.ty/2 C 4.ty/3 D 2t 3 x 2y

D t 3 F .x; y/ :

t 3 xy 2 C 4t 3 y 3 D t 3 .2x 2 y

xy 2 C 4y 3 / D

c. Es posible factorizar x 3 : 2

F .x; y/ D 2x y

   y xy C 4y D x 2 x 2

3

3

 y 2 x

C4

 y 3  x

 y D x 3F 1; : x

d. Es posible factorizar y 3 : 2

F .x; y/ D 2x y

"   x 2 xy C 4y D y 2 y 2

3

3

2. Sea ahora la función de dos variables x, y: G.x; y/ D Observamos que:

p 3 2x 2 y

#     x x C 4 D y3 F ;1 : y y xy 2 C 4y 3 D 2x 2 y

a. Los términos del polinomio dentro de la raíz cúbica tienen el mismo grado 3. 1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

xy 2 C 4y 3


31

.

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias b. Si multiplicamos ambas variables por el mismo factor t es posible factorizar t, es decir: p p 3 2.tx/2 .ty/ .tx/.ty/2 C 4.ty/3 D 3 2t 3 x 2 y t 3 xy 2 C 4t 3 y 3 D p p p 3 D 3 t 3 .2x 2 y xy 2 C 4y 3 / D t 3 3 2x 2 y xy 2 C 4y 3 D D tG.x; y/ :

G.tx; ty/ D

c. Es posible factorizar x: p G.x; y/ D 3 2x 2 y

xy 2

C

4y 3

D

s 3

x3

 y D xG 1; : x

   y 2 x

 y 2 x

C4

 y 3  x

r   y 3 Dx 2 x

 y 2 x

C4

 y 3 x

d. Es posible factorizar y: v " u  2 u x 3 t 2 2 3 3 G.x; y/ D 2x y xy C 4y D y 2 y   x D yG ;1 : y p 3

s   #   x x 2 3 C4 Dy 2 y y

  x C4 D y

La siguiente definición generaliza las propiedades antes referidas:  Una funcion F .x; y/ es una función homogénea de grado n si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: 1. F .tx; ty/ D t n F .x; y/.  y 2. F .x; y/ D x n F 1; . x   x 3. F .x; y/ D y n F ;1 . y De acuerdo a esta definición tenemos que: La función F .x; y/ D 2x 2 y xy 2 C 4y 3 es homogénea de grado 3. p La función G.x; y/ D 3 2x 2 y xy 2 C 4y 3 es homogénea de grado 1.

Para demostrar que una función de dos variables es homogénea de grado n sólo es necesario demostrar una de las condiciones anteriores. Se acostumbra demostrar la primera condición. Ejemplo 2.5.1 Comprobar que la función H.x; y/ D H

p 5 x 2 C xy sea homogénea.

p p p p 5 .tx/2 C .tx/.ty/ D 5 t 2 x 2 C t 2 xy D 5 t 2 .x 2 C xy/ D t 2 5 x 2 C xy D 2 p 2 D t 5 5 x 2 C xy D t 5 H.x; y/ :

H.tx; ty/ D

p 5

Vemos que H.x; y/ es una función homogénea de dos variables de grado n D Ejemplo 2.5.2 Verificar que la función K.x; y/ D cos



2

x y2

C sen



3

y x3

2 . 5

sea homogénea de grado 0.



D

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas

3

H !    .tx/2 .ty/3 t 2x2 K.tx; ty/ D cos C sen D cos 2 C sen .ty/2 .tx/3 t y2  2  3 x y C sen D K.x; y/ D t 0 K.x; y/ : D cos 2 y x3 

t 3y3 t 3x3

!

D

 Ejemplo 2.5.3 Comprobar que D.x; y/ D x C y H

1 no es una función homogénea.

Vamos a suponer que D.x; y/ es homogénea, es decir, que cumple con: D.tx; ty/ D t n D.x; y/; para todo t; x & y 2 R; y para algún n :

Estamos suponiendo entonces que tx C ty

Evaluando de manera arbitraria en x D 1, y D 2:

1 D t n .x C y

3t Evaluando para t D 0:

1/:

1 D 2t n : 1 D 0:

El resultado anterior proporciona una contradicción. Por lo que tiene que ser falso lo que hemos supuesto. Se concluye entonces que D.x; y/ no es homogénea. 

 La ecuación diferencial

M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 :

es homogénea si ambas funciones M.x; y/ y N.x; y/ son homogéneas del mismo grado n.

Ejemplo 2.5.4 Verificar que la ecuación diferencial .x H M.x; y/ D x

y/ dx C . 2x C y/ dy D 0 sea homogénea de grado 1.

y es una función homogénea de grado 1.

N.x; y/ D 2x C y es una función homogénea de grado 1.

Ambas funciones son homogéneas del mismo grado. Por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea.

 Ejemplo 2.5.5 Comprobar que la ecuación diferencial .x H M.x; y/ D x

y/ dx C . 2x C y C 7/ dy D 0 no es homogénea.

y es una función homogénea de grado 1.

N.x; y/ D 2x C y C 7 no es una función homogénea.

Sólo una de las funciones M.x; y/ & N.x; y/ es homogénea. Por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea. 

4

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejemplo 2.5.6 Determinar si la siguiente ecuación diferencial .x H En este caso: M.x; y/ D x y es una función homogénea de grado 1. N.x; y/ D x 2

y/ dx C .x 2

3xy/ dy D 0 es homogénea.

3xy es una función homogénea de grado 2.

Ambas funciones son homogéneas pero de grado diferente. Por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea. 

2.5.1

Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas

Presentamos dos procedimientos para resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 :

Ambos procedimientos consisten en un conjunto de pasos para obtener una ecuación diferencial de variables separables.  Primer procedimiento. Considerando que la variable independiente es x, se despeja

dy : dx

M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 ) N.x; y/ dy D M.x; y/ dx ) M.x; y/ dy ) D I donde N.x; y/ ¤ 0 : dx N.x; y/ Puesto que ambas funciones M.x; y/, N.x; y/ son homogéneas del mismo grado n, podemos factorizar x n (la variable independiente es x) en el numerador y en el denominador:  y  y n  x M 1; M 1;  dy  yx  D  yx  : D (2.1) n dx x N 1; N 1;  x x y Hacemos el cambio de variable u D , y despejamos y: x y uD ) y D ux : x Derivamos con respecto a x: dy d d du du D .ux/ D u .x/ C x DuCx : dx dx dx dx dx Sustituimos en (2.1): du M.1; u/ du M.1; u/ D ) x D u: dx N.1; u/ dx N.1; u/ Por depender sólo de la nueva variable u, el miembro derecho de la ecuación diferencial, se puede M.1; u/ considerar como u D k.u/ y obtenemos: N.1; u/ uCx

x

du D k.u/ : dx

Ésta es ya una ecuación diferencial de variables separables. du dx D : k.u/ x Para obtener la solución de esta ecuación diferencial se integran ambos miembros de la expresión. y Posteriormente se sustituye u D y se obtiene la solución general de la ecuación diferencial hox mogénea original M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0, considerando a x como variable independiente.

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas

5

Ejemplo 2.5.7 Resolver la ecuación diferencial .x H

Primero se despeja

y/ dx C .x C y/ dy D 0.

dy considerando que la variable independiente es x: dx

.x

y/ dx C .x C y/ dy D 0 ) .x C y/ dy D .x y/ dx ) dy .x y/ y x ) D D : dx xCy yCx

Se factoriza x, la variable independiente, tanto del numerador como del denominador: y  y x 1 1 dy y x x x D y D D y : dx yCx C1 C1 x x x Se efectúa el cambio de variable u D

(2.2)

y , posteriormente se despeja y: x uD

y ) y D ux : x

Derivando con respecto a x: d du dy D .ux/ D u C x : dx dx dx Sustituyendo en (2.2): uCx

du u 1 du D ) x D dx uC1 dx u 1 u2 u D D uC1

De esta manera se obtiene: x Separando variables:

du D dx

u 1 .u 1/ u.u C 1/ uD D uC1 uC1 1 u2 .u2 C 1/ u2 C 1 D D : uC1 uC1 uC1 u2 C 1 : uC1

uC1 du D u2 C 1

1 dx : x

Integrando: Z Z Z Z Z uC1 1 udu du dx du D dx ) C D ) u2 C 1 x u2 C 1 u2 C 1 x 1 1 ) ln.u2 C 1/ C arctan u C C1 D ln x C C2 ) ln.u2 C 1/ C arctan u D 2 2 utilizando u D

ln x C C I

y , se obtiene: x 1 ln 2



 y  y2 C 1 C arctan D x2 x

ln x C C ;

que es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada y que puede ser expresada como y  ln.x 2 C y 2 / C 2 arctan D C: x 

6

Ecuaciones diferenciales ordinarias  Segundo procedimiento. Considerando que la variable independiente es y, se despeja

dx : dy

M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 ) M.x; y/ dx D N.x; y/ dy ) dx N.x; y/ ) D : dy M.x; y/ Puesto que ambas funciones M.x; y/, N.x; y/ son homogéneas del mismo grado n, se puede factorizar y n (la variable independiente es y) en el numerador y en el denominador:     x x yn N ;1 N ;1 dx y y  D  : D (2.3) x x dy n y M ;1 M ;1 y y Se hace el cambio de variable u D

x ; luego se despeja x: y x ) x D uy : y

uD Derivando con respecto a y:

dx d d du du D .uy/ D u .y/ C y DuCy : dy dy dy dy dy Sustituimos en (2.3): uCy

du D dy

N.u; 1/ du ) y D M.u; 1/ dy

N.u; 1/ M.u; 1/

u:

Por depender sólo de la nueva variable u el miembro derecho del la ecuación diferencial, se puede N.u; 1/ considerar como u D h.u/ y se obtiene: M.u; 1/ y

du D h.u/ : dy

Esta última expresión es ya una ecuación diferencial de variables separables. du dy D : h.u/ y Para obtener la solución de esta ecuación diferencial se integran ambos miembros de la expresión. x Posteriormente se utiliza u D y se obtiene de esta manera la solución general de la ecuación difereny cial homogénea original M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0, considerando a y como la variable independiente. Ejemplo 2.5.8 Resolver la ecuación diferencial .x

y/ dx C .x C y/ dy D 0.

Esta ecuación diferencial se resolvió anteriormente por medio del primer procedimiento. dx Considerando que la variable independiente es y, se despeja : dy

H

.x

y/ dx C .x C y/ dy D 0 ) .x y/ dx D .x C y/ dy ) dx xCy xCy xCy ) D D D : dy x y .x y/ y x

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas

7

Se factoriza y (la variable independiente) tanto del numerador como del denominador:   x x y 1C 1C  dx y Cx y y  D D D  x : x dy y x 1 y 1  y y

(2.4)

Se hace el cambio de variable y se despeja x: uD

x ) x D uy : y

Derivando con respecto a y: dx d du D .uy/ D u C y ; dy dy dy Se sustituye en (2.4): uCy

du 1Cu du 1Cu D ) y D dy 1 u dy 1 u

uD

.1 C u/ u.1 1 u

u/

D

1 C u u C u2 1 C u2 D : 1 u 1 u

De esta forma se obtiene una ED de variables separables: y

du 1 C u2 D : dy 1 u

Separando variables e integrando: 1 1 u du D dy ) 2 1Cu y

Z

1 u du D 1 C u2

Z

1 dy ) y

Z

du 1 C u2

Z

udu D 1 C u2

Z

dy : y

Calculando las integrales se obtiene: arctan u

1 ln.1 C u2 / C C1 D ln y C C2 ) arctan u 2

ahora utilizamos u D

1 ln.1 C u2 / D ln y C C I 2

x : y arctan

  1 x2 ln 1 C 2 D ln y C C; 2 y

  x y

que es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada y que puede expresarse como 2 arctan

  x y

ln.x 2 C y 2 / D C: 

Ejemplo 2.5.9 Obtener la solución general de la siguiente ED H

xy 0 D

Considerando a x como la variable independiente, se despeja dy D dx

p

x2 y2 y C : x x

p x2

dy : dx

y 2 C y; con x > 0.

8

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Factorizando x (la variable independiente) tanto del numerador como del denominador: s   r y2 p 2 y2 x 1 2 2 x 1 x dy y x2 C y D D C D dx x x x rx y2 r jxj 1  y 2 y 2 y x
x D C D 1 C ) x x x x
x r  y 2 y dy ) D 1 C : dx x x

Se efectúa el cambio de variable:

(2.5)

y D w ) y D xw; x

de donde, derivando con respecto a x: dy d dw D .xw/ D x C w: dx dx dx Sustituyendo en (2.5):

p p dw dw C w D 1 w2 C w ) x D 1 w 2: dx dx Separando variables e integrando Z Z dx dw dx dw p p D ) D ) 2 2 x x 1 w 1 w ) arcsen w C C1 D ln x C C2 ) arcsen w D ln x C C ) ) arcsen w D ln x C ln C ) arcsen w D ln.Cx/: x

Hemos usado C D ln C . De donde Pero w D

y , entonces x

w D senŒln.Cx/:

y D senŒln.Cx/ ) y D x senŒln.Cx/ x es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada. 

Ejemplo 2.5.10 Obtener la solución general de la ED H

.x 2 C xy C 3y 2 / dx

Considerando a x como la variable independiente, se despeja .x 2 C 2xy/ dy D .x 2 C xy C 3y 2/ dx )

.x 2 C 2xy/ dy D 0.

dy : dx

dy x 2 C xy C 3y 2 D : dx x 2 C 2xy

Factorizando x 2 (variable independiente) tanto del numerador como del denominador:    y 2 y y2 y 2  x 1 C C 3  1 C C 3 2 dy x x x   x  D D : y y 2 dx x 1 C 2 1C2  x x Efectuando el cambio de variable y derivando con respecto a x:

y dy dw D w ) y D xw ) Dx C w: x dx dx

(2.6)

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas

9

Sustituyendo en (2.6): x

dw 1 C w C 3w 2 dw 1 C w C 3w 2 Cw D )x D dx 1 C 2w dx 1 C 2w 2 w C1 dw D : )x dx 2w C 1

wD

1 C w C 3w 2 w 1 C 2w

2w 2

)

Separamos variables e integramos: Z Z Z 2w C 1 dx 2w dw dx dw D ) dw C D ) 2 2 2 w C1 x w C1 w C1 x ) ln.w 2 C 1/ C arctan w C C1 D ln x C C2 ) ln.w 2 C 1/ C arctan w D ln x C C: y . Entonces: x  2   2  y y y C x2 y ln C 1 C arctan D ln x C C ) ln ln x C arctan D C ) 2 2 x x x x y y 2 2 2 2 2 ) ln.y C x / ln x ln x C arctan D C ) ln.x C y / 3 ln x C arctan D C ) x x  2 2 x C y y y ) ln.x 2 C y 2 / ln x 3 C arctan D C ) ln C arctan D C: x x3 x

Pero w D

Esta última expresión es la solución general de la ecuación diferencial homogénea dada.  Ejemplo 2.5.11 Obtener la solución general de la ED H

En esta ED se puede despejar fácilmente .2x

y/

3x

4y C .2x

y/y 0 D 0.

dy , es decir, considerar a x como la variable independiente: dx

dy D 4y dx

3x )

dy 4y 3x D : dx 2x y

Factorizando x (variable independiente) tanto del numerador como del denominador:  y  y  x 4 3 4 3
dy x  : D  x y D y dx x
2 2 x x Efectuando el cambio de variable y derivando con respecto a x:

y dy du D u ) y D xu ) Dx C u: x dx dx Sustituyendo en (2.7): x

du 4u 3 CuD : dx 2 u

De donde: x

du 4u 3 D dx 2 u

uD

4u

3 2u C u2 du u2 C 2u 3 ) x D : 2 u dx 2 u

Esta última expresión es una ED de variables separables. Separando variables se obtiene:

u2

2 u dx du D : C 2u 3 x

(2.7)

10

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Integrando mediante fracciones parciales el miembro izquierdo de la ecuación: Z Z Z Z Z uC2 dx 5 du 1 du dx du D ) C D ) .u C 3/.u 1/ x 4 uC3 4 u 1 x 5 1 ) ln.u C 3/ C ln.u 1/ C C1 D ln x C C2 ) 4 4 5 1 ln.u C 3/ C ln.u 1/ D ln x C C: ) 4 4 Multiplicando por 4 (y usando C D 4C & C D ln C ): 5 ln.u C 3/ C ln.u

1/ D 4 ln x C C ) ln.u 1/ ln.u C 3/5 D ln x 4 C ln C )   u 1 u 1 ) ln D ln.Cx 4 / ) D Cx 4 ) 5 .u C 3/ .u C 3/5 1 D Cx 4 .u C 3/5 :

)u

Pero u D

y , entonces: x y x ) y

1 D Cx 4

y

C3

5

)

y

x

D Cx 4



y C 3x x

x x 5 .y C 3x/ x D Cx 5 ) y x D C.y C 3x/5 I x5

5

)

que es la solución general de la ecuación diferencial dada.  Ejemplo 2.5.12 Obtener la solución general del PVI H

y 

y C x cos2 dy x , con y.1/ D  . D dx x 4

Separando en dos fracciones: y  dy y D C cos2 : dx x x

(2.8)

Realizando el cambio de variable y derivando con respecto a x:

dy dw y D w ) y D wx ) Dx C w: x dx dx Sustituyendo en (2.8) y simplificando, se obtiene: x

dw dw C w D w C cos2 w ) x D cos2 w; dx dx

que es una ED de variables separables. Separando variables e integrando: Z Z dw dx dx 2 D ) sec w dw D ) tan w D ln x C C: 2 cos w x x Pero w D

y , entonces: x tan

Considerando la condición inicial y.1/ D tan

  4

y  x

D ln x C C:

 , tenemos: 4

D ln 1 C C ) C D 1;

ya que tan

  4

D 1;

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas

11

por lo tanto: tan

y  x

D ln x C 1 D ln x C ln e D ln.ex/ )

y D arctanŒln.ex/ ) y D x arctanŒln.ex/; ) x que es la solución de la ED con la condición y.1/ D

 . 4



Ejemplo 2.5.13 Obtener la solución general del PVI y dx C x.ln x H

ln y

1/ dy D 0I con y.1/ D e.

Vamos a resolver este PVI por dos procedimientos: 1. Considerando a x como la variable independiente, se despeja x.ln x

ln y

1/dy D y dx )

dy : dx

dy D dx x.ln x

y ln y

1/

:

Factorizando x tanto del numerador como del numerador: y dy x D dx ln y C 1

y x D ln x ln y C ln e

y y dy x ) D  y  D x y  : ln x dx ln e ln e x x

Haciendo el cambio de variable y derivando con respecto a x:

dy du y D u ) y D xu ) Dx C u: x dx dx Sustituyendo en (2.9): x

du u u du u u u u ln u CuD D )x D uD ) dx ln eu 1 C ln u dx 1 C ln u 1 C ln u u ln u du )x D : dx 1 C ln u

Esta última expresión es una ED de variable separables. Separando variables e integrando: Z Z Z 1 C ln u du du dx dx du D ) C D ) ln.ln u/ C ln u D ln x C C ) u ln u x u ln u u x ) ln.ln u/ C ln u C ln x D C ) ln.xu ln u/ D C: Pero u D

y , entonces: x

h y  y i h yi ln x
ln D C ) ln y ln D C: x
x x Considerando la condición inicial y.1/ D e: h ei ln e ln D C ) C D 1: 1

Por lo que

h yi y ln y ln D 1 ) y ln D e; x x

es la solución de la ED con y.1/ D e.

(2.9)

12

Ecuaciones diferenciales ordinarias 2. Otro procedimiento es considerar a y como la variable independiente y despejar entonces y dx D x.ln x

Considerando que

ln y

dx D dy dx ) D dy

1/ dy )

dx : dy

x .ln x ln y 1/ ) y     x x ln 1 : y y

(2.10)

x D w, despejando x y derivando con respecto a y: y x dx dw D w ) x D yw ) Dy C w: y dy dy

Sustituyendo en la ED (2.10): y

dw C w D w.ln w dy

1/ ) y

dw D w ln w C w dy

separamos variables e integramos: Z Z dy dw dy dw D ) D ) ln.ln w/ D w ln w y w ln w y ) ln.y ln w/ D C ) y ln w D C: Pero w D

w ) y

dw D w ln w; dy

ln y C C ) ln.ln w/ C ln y D C )

x , entonces: y   x y ln D C: y

Considerando la condición inicial y.1/ D e:   1 C D e ln D e.ln 1 e Por lo tanto, la solución del PVI es

ln e/ D e.0

1/ D e ) C D e:

  x y ln D e: y 

Ejercicios 2.5.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas. Soluciones en la página 14 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales. 1. x dx C .y

2x/ dy D 0 .

2. . t C r / dt C .7t 3. .2x

y/ dx C . 3x C 5y/ dy D 0 .

4. xy dx C .x 2 5. x

dy dx

4r / dr D 0 .

yD

y 2 / dy D 0 . p

x2 C y2 .

  y dy 1 x C 6. D . x dx 2 y 7. xy dy D .y 2

xy C x 2 / dx .

8. .x 2 C y 2 /y 0 C xy D 0 . 9. .y 2 C 3xy/ dx D .4x 2 C xy/ dy . 10. xy 0 sen 2 11. .x 2

y 

8xy

x

D x C y sen 2

y x

.

4y 2 / dy D .x 2 C 2xy

4y 2 / dx .

dy D y 3 x 3 ; con y.1/ D 2 . dx y y 13. xy 0 arctan C x D y arctan . x x 12. xy 2

2.5 Ecuaciones diferenciales homogéneas 14. y dx C x.ln x ln y 1/ dy D 0; con y.1/ D e .   x dx C y2 e y D x2 . 15. yx dy 16. xy .ln y 0

17. .x

ln x/ C x D y.ln y

ln x/ .

y/ dy D .x C y/ dx; con y. 1/ D 0 .

13 y

18. xy 0 C xe x D y; con y.1/ D 0 . 19. .x C 3y/ dy D .x 20. y dx D x.ln x

y/ dx; con y.1/ D 0 .

ln y/ dy; con x.1/ D 1 .

14

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejercicios 2.5.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas. Página 12 1.

x

D ln j y x j C C . y p ! » 2 – p t  1 3 t 4r 2 3r t 8 C4 C ln p D ln r C C . 2. ln 2 4 r r t 4r C 2 3r   » –  5y 2x 1 6 1 5y 2x 2 p 3. p arctan ln C D ln x C C . 2 25 6x 5x 6 x

6. x 2

y 2 D Cx.

y  y arctan D ln 13. x x y  14. y ln D e. x

7. .x

y/e x D C .

15. .x

4. y 4

2x 2 y 2 D C . p 5. y C x 2 C y 2 D Cx 2 . y

8. y 4 C 2x 2 y 2 D C . y

9. y 4 e x D Cx 3 . 10. 2y

x sen



2y x



D 4x ln x C Cx.

11. x C y D C.x 2 C 4y 2 /. 12. y 3 D

3x 3 ln x C 8x 3 .

p

x2 C y 2 x2

x

y/e y C y ln y D Cy. “y ” 16. y ln y D x ln x C Cx. x 17. x 2 2xy 3y 2 D 1. 18. e

y x

D ln x C 1. y  p 19. arctan D ln. x 2 C y 2 /. x 20. x D eyey .



C C.