CAPÍTULO

2 Métodos de solución de ED de primer orden

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables El primer tipo de ED que presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar las variables de las ecuaciones de dos variables. Veamos algunos ejemplos. .x 2

Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica

x/.y 2 C 3/ D 2xy.

H Por separar las variables de la ecuación se entiende que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso, .x 2

x/.y 2 C 3/ D 2xy )

x2

x x

D

2y : C3

y2

Como explicamos, se han colocado las x del lado izquierdo de la ecuación y las y del lado derecho. Ejemplo 2.2.2 Separar las variables de la siguiente ED

dy D 2 dx .x



2xy . x/.y 2 C 3/

H Para una ED como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se escriba la ED en la forma: g.y/ dy D h.x/ dx :

Entonces tenemos:

dy D 2 dx .x

Y ahora: g.y/ D

y2 C 3 y

2xy y2 C 3 2x ) dy D 2 dx : 2 x/.y C 3/ y x x &

h.x/ D

2x ; x2 x

con

Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial bles separables. 1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

y ¤ 0 y x2

dy D 2 dx .x

x ¤ 0:

2xy es una ED de variax/.y 2 C 3/

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias 

 Una ecuación diferencial forma:

y0 D

dy D f .x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en la dx g.y/ dy D h.x/ dx :

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad, es decir: Z Z g.y/ dy D h.x/ dx ) ) ˛.y/ C C1 D ˇ.x/ C C2 ) ˛.y/ ˇ.x/ D C2 C1 ) ) .x; y/ D C , que es la solución general de la ED. En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.2.3 Resolver la ecuación diferencial y 0 D H

dy D sen x. dx

Separando las variables tenemos: dy D sen x ) dy D sen x dx : dx

Integrando directamente: Z

dy D

Z

sen x dx ) y D

cos x C C;

que es la solución general de la ED.  Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial y 0 D sen y. H

Separando las variables tenemos: dy dy D sen y ) D dx : dx sen y

Integrando: Z

dy D sen y

Z

dx )

Z

csc y dy D x C C ) ln j csc y

cot y j D x C C :

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.  Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial H

dy D 2 dx .x

2xy . 2/.y 2 C 3/

Separando las variables: dy D 2 dx .x

2xy y2 C 3 2x ) dy D 2 dx : 2/.y 2 C 3/ y x 2

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

3

Integrando: y2 C 3 dy D y

 Z  3 y C dy D ln x 2 2 C C ) 2 y x 2 2 y ) C 3 ln j y j D ln x 2 2 C C : 2 Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita. Z

Z

2x

dx )

 Observaciones. En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral Z dy D ln j y j C C y es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las páginas siguientes y en el resto del libro, el lector podrá encontrar varias veces Z du D ln u C C: u Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED. Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de Cálculo, las convenciones usuales en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir sen y D f .x/ ) y D arcsenŒf .x/;

no hace falta insistir que, para que y sea una función bien definida, se debe cumplir j f .x/ j  1.

En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente restricciones tales como que los denominadores deben ser ¤ 0, que los argumentos del logaritmo deben ser positivos, etc., a menos que se considere necesario. También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que se añade en las integrales indefinidas, como por ejemplo, cuando F 0 .x/ D f .x/

y cuando

anotamos, respectivamente: Z F .x/ dx D f .x/ C C

Z

y

G 0 .y/ D g.y/;

G.y/ dy D g.y/ C C;

donde C representa una constante arbitraria; sin embargo si tenemos, por ejemplo: F .x/ dx D G.y/ dx;

queremos concluir que Z

o sea,

F .x/ dx D

Z

G.y/ dy;

f .x/ C C1 D g.y/ C C2 :

No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que se puede escribir donde C sustituye a C1

C2 .

f .x/ D g.y/ C C;

De forma similar, en lo que sigue, el lector podrá ver expresiones como C1 C C2 D C , C1
C2 D C , 3C1 D C , e C1 D C , cos C1 D C , etc. en las que esencialmente se hace la convención de que la suma, la resta, el producto, la exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra constante. Así por ejemplo, una fórmula como e C D C no es necesariamente incorrecta al interpretarse como un ejemplo de estas convenciones.

4

Ecuaciones diferenciales ordinarias

p Ejemplo 2.2.6 Resolver la ecuación diferencial y 0 D 2x y H

1.

Separando las variables e integrando: dy D 2x.y dx

1 1/ 2

) .y

1/

1 2

dy D 2x dx )

Z

.y

1/

1

1/ 2 C C1 D x 2 C C2 ) 2.y

) 2.y

1 2

dy D 2

Z

x dx )

1

1/ 2 D x 2 C C:

Elevando al cuadrado

1 1/ D .x 2 C C /2 ) y D 1 C .x 2 C C /2 : 4 Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita. 4.y

 Ejemplo 2.2.7 Resolver el PVI y 0 D xy C x H

2y

2; con la condición y.0/ D 2.

Para separar las variables, comenzamos factorizando y después integramos: dy D x.y C 1/ dx dy ) D .x yC1

2.y C 1/ D .y C 1/.x 2/ ) Z Z dy 2/ dx ) D .x 2/ dx ) yC1 1 1 ) ln.y C 1/ C C1 D .x 2/2 C C2 ) ln.y C 1/ D .x 2 2

2/2 C C:

Para determinar C , consideramos la condición inicial y.0/ D 2; entonces: ln 3 D De donde

1 . 2/2 C C ) C D ln 3 2 1

y C 1 D e 2 .x

2/2 Cln 3 2

2 ) ln.y C 1/ D

1

D e 2 .x

2/2 2 ln 3

e

Esta última expresión representa la solución del PVI.

1 .x 2 1

) y D 3e 2 .x

2/2 C ln 3 2/2 2

2:

1: 

Ejemplo 2.2.8 Resolver la ED H

.x 2 C 1/y 0 tan y D x.

Separando las variables e integrando: Z Z dy x dx sen y x dx tan y D x ) tan y dy D 2 ) dy D ) dx x C1 cos y x2 C 1 1 1 ln.cos y/ C C1 D ln.x 2 C 1/ C C2 ) ln.cos y/ D ln.x 2 C 1/ C C: 2 2

.x 2 C 1/ )

Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo ln.cos y/

1

1

D ln.x 2 C 1/ 2 C C ) .cos y/

Considerando e C D C y observando que e ln.x

1 2 C1/ 2

1

D e ln.x

1 2 C1/ 2

CC

D e ln.x

1 2 C1/ 2

eC :

1

D .x 2 C 1/ 2 , tenemos:

p p 1 1 D C.x 2 C 1/ 2 ) sec y D C x 2 C 1 ) y D arcsec.C x 2 C 1/: cos y Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita. 

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

Ejemplo 2.2.9 Resolver la ED H

dy .y D dx .x

1/.x 1/.y

5

2/.y C 3/ . 2/.x C 3/

Al separar las variables se obtiene:

.y

y 2 dy D 1/.y C 3/ .x

x 2 dx ) 1/.x C 3/

Z

y 2 dy D 1/.y C 3/

.y

Aplicando fracciones parciales, obtenemos: Z Z 1 dy 5 dy C D 4 y 1 4 yC3

1 4

Z

dx 5 C x 1 4

Z

Z

x 2 dx : 1/.x C 3/

.x

dx : xC3

Multiplicando por 4, e integrando: ln.y

1/ C 5 ln.y C 3/ C C1 D

ln.x 5

) ln.y C 3/

) ln

1/ C 5 ln.x C 3/ C C2 ) ln.y

1/ D ln.x C 3/5

ln.x

1/ C ln C )

C.x C 3/5 .y C 3/5 C.x C 3/5 .y C 3/5 D ln ) D ) y 1 x 1 y 1 x 1

) .y C 3/5 .x

1/ D C.x C 3/5 .y

1/:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.  Ejemplo 2.2.10 Resolver el PVI H

  sen x C e 2y sen x dy D ; con la condición y D 0. dx 3e y C e y cos 2x 2

Comenzamos factorizando para separar las variables e integrar para obtener .sen x/.1 C e 2y / ey sen x dy D y ) dy D dx ) dx e .3 C cos 2x/ 1 C e 2y 3 C cos 2x

Pero cos2 x D

1 .1 C cos 2x/, entonces: 2 Z Z sen x dx e y dy D y 2 1 C .e / 3 C Œ2 cos2 x

1

D

Z

Z

e y dy D 1 C e 2y

sen x dx 1 D 2 2 C 2 cos x 2

Z

Z

sen x dx: 3 C cos 2x

sen x dx : 1 C .cos x/2

Ahora, integrando por sustitución: 1 1 arctan.cos x/ C C2 ) arctan e y D arctan.cos x/ C C: 2 2   Considerando la condición inicial y D 0: 2  1  1  arctan e 0 D arctan cos C C ) arctan 1 D arctan 0 C C ) C D : 2 2 2 4 arctan e y C C1 D

Por lo tanto, la solución buscada es arctan e y D

1  arctan.cos x/ C ) 4 arctan e y C 2 arctan.cos x/ D : 2 4

Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI de forma implícita.  Ejemplo 2.2.11 Resolver la ecuación diferencial x 3 e 2x

2 C3y 2

dx

y3 e

x 2 2y 2

dy D 0.

6 H

Ecuaciones diferenciales ordinarias Primero separamos las variables y planteamos las integrales: 2

2

x 3e 2x e 3y dx D y 3 e

x2

e

2y 2

2

2

2

2

dy ) x 3 e 2x e x dx D y 3 e 2y e 3y dy ) Z Z 2 2 3x 2 ) x e xdx D y 2 e 5y y dy:

Integrando por partes ambas integrales y usando las siguientes consideraciones u D t2

) du D 2t dt; 1 at 2 2 dv D e at t dt ) v D e : 2a Se tiene: Z Z 1 2 3x2 1 1 2 5y 2 1 2 2 x e e 3x xdx D y e C e 5y y dy ) 6 3 10 5 1 2 3x2 1 3x2 1 2 5y 2 1 5y 2 ) x e e D y e e C C: 6 18 10 50 Multiplicando por 450 (mínimo común múltiplo de 6, 18, 10 y 50): .75x 2

2

25/e 3x C .45y 2 C 9/e

5y 2

D C:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.  Ejemplo 2.2.12 Resolver la ED

yC1 dy Dp p . dx x C xy

Separamos variables factorizando primero y posteriormente integramos: Z p Z p y C1 1C y dy yC1 yC1 dx 1 p p Dp Dp ) dy D p ) dy D x 2 dx : p dx xC x y x.1 C y/ yC1 x yC1 p Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable y D t para así obtener  Z Z  Z 2t 2 C 2t 2t 2 2t t C1 2t dt D dt D C 2 dt D t2 C 1 t2 C 1 t2 C 1 t C1   Z 2 2t D 2 C 2 dt D 2t 2 arctan t C ln.t 2 C 1/ C C1 : 2 t C1 t C1 p Dado que t D y, resulta: p p p p p p 2 y C ln.y C 1/ 2 arctan y C C1 D 2 x C C2 ) 2. y x/ C ln.y C 1/ 2 arctan y D C:

H

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

 Ejemplo 2.2.13 Resolver la ecuación diferencial H

Separando variables: dy xy 3y C x D dx xy C 2y x

dy xy 3y C x D dx xy C 2y x

3 y.x 3/ C .x 3/ .y C 1/.x 3/ y 1 x 3 D D ) dy D dx : 2 y.x C 2/ .x C 2/ .y 1/.x C 2/ yC1 xC2

Efectuando las divisiones e integrando:   Z  Z  2 5 1 dy D 1 dx ) y yC1 xC2 )y

3 . 2

ln.y C 1/2 D x

2 ln.y C 1/ C C1 D x

5 ln.x C 2/ C C2 )

ln.x C 2/5 C C:

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita. 

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables Ejercicios 2.2.1 Variables separables. Soluciones en la página 9 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:

7

8

Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.

dy D tan x C sec x . dx

dx D x2 C 1 . dt  2 dy x 12. .y ln x/ 1 D . dx yC1

2.

dy D tan y . dx

3.

dx x2 D . dy y

4.

y dx D 2 . dy x

5.

ds .2t C 1/.2s 1/ D . dt 2.t 2 C t/

11. 4tx

ds .s 3 s/.4t 3 6t/ 6. D 4 . dt .t 3t 2 /.3s 2 1/ 7.

.u C 1/.t C 1/ du D . dt .u C 2/.t 1/

8.

dt tu C u C 3t C 3 D . du tu C 2u t 2

9. x 2 y 0 D 1 10. xy 0

x2 C y2

y D 2x 2 y .

13.

d D .cos t/.cos 2 dt

14.

dy De dt

15.

dy C y D yxe xC2 . dx

16. e x y dy

.e

y

.

C e 2x

y

/ dx D 0 .

17. 2tx 2 C 2t C .t 4 C 1/x 0 D 0; con x.0/ D 1 . 18.

x2y2 .

2t C3y

cos2 / .

19. 20.

2r

1 t

dr C

1 .y

1/2

r 2r 2 dt D 0; con r .2/ D 4 . t2 1

1 dy D 0 . dx C p 2 x C4

dT D k.T T1 /, con T .0/ D T0 , donde k, T0 , dt T1 son constantes .

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables

9

Ejercicios 2.2.1 Variables separables. Página 7

1. y D

ln.cos x/ C ln.sec x C tan x/ C C .

2. y D arcsen Cex . 3. y D Ce

x

1

12.

.

3y 2 D C . ˜ 1ˆ C.t 2 C t / C 1 . 5. s D 2 6. s 3 s D C.t 4 3t 2/.

14. 2e

10. y D Cxe

.

3y

D 3e

2t

15. ln y D exC2 .x 16. 1/ C C .

8. t C ln.t C 1/ D u C 4 ln.u 1/ C C . ! x 2 C Cx 1 9. y D tan . x x2

y2 x3 C 2y C ln y D 2 3

„ ln x

13.  D arccot.sen t C C /.

4. 2x 3

7. u C ln.u C 1/ D t C 2 ln.t

11. .1 C x 2 /2 D C t .

17. 18. 19. 20.

ey .y

C C. 1/

x C C.

«

C C.

C ex C C .  arctan x C arctan t 2 D . 4 3r 2 D 16.t 2 1/. p xp 2 .y 1/3 C x C 4 C 2 ln.x C x 2 C 4/ D C . 3 2 T .t / D T1 C .T0 T1 /ek t . 1/ D e

x

1 3