UNIDAD 3 OBJETIVO: Resolverá situaciones y problemas en los que se apliquen ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos y su interpretación gráfica, en un ambiente de tolerancia y respeto.

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PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRÁICOS 3.1.

ECUACIONES LINEALES

3.1.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ECUACIÓN: Es una igualdad que contiene una o mas cantidades desconocidas, y se cumple solo para algunos valores de las mismas. Primer miembro Formato:

5x + 5

Segundo miembro

=

7x - 3

Signo de igual

AXIOMA FUNDAMENTAL: Si con cantidades iguales resultados serán iguales. Reglas derivadas: 1.- Si a ambos miembros de una ecuación: a) b) c) d) e)

Se Se Se Se Se

se verifican operaciones iguales los

le suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste. resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. multiplica por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad se mantiene. dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste. elevan a una misma potencia o si se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL Es la ecuación que contiene una sola incógnita, y el máximo exponente que tiene es UNO, su gráfica es una Línea recta, por eso también se le conoce como LINEAL. SOLUCION DE UNA ECUACIÓN APLICANDO LAS PROPIEDADES.

5x + 3 = 7 x − 5

Eliminar el 3, se le suma su inverso − 2 x = −8 5 x + 3 − 3 = 7 x − 5 − 3 aditivo para que sea cero prop. Aditiva, 1 1 − ⋅ −2 x = − ⋅ −8 5 x + 0 = 7 x − 8 Simplificación 2 2 el 7x, se le suma su 5 x − 7 x = 7 x − 7 x − 8 Eliminar inverso aditivo para que dé cero,

− 2 x = −8

Eliminar el –2(coeficiente de la incógnita ), prop. multiplicativa, se multiplica ambos miembros por – ½ (recíproco de –2).

prop. Aditiva, Simplificación

2x 8 = 2 2

x=4

Raíz o solución

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS Una ecuación se puede resolver mediante la aplicación de las propiedades de la Igualdad; la transposición de términos es derivado de las propiedades, por lo tanto, es válido utilizarlo para resolver en forma más rápida las ecuaciones. Este método es el llamado despeje, y al cambiar un término o un elemento de un término de un miembro al otro, se hace transposición. 2

REGLA: La transposición consiste en cambiar un término de un miembro al otro, saltando al signo de igual, y al saltar cambia de operación, es decir, si está sumando (+) pasa restando (-), es decir, hay cambio de signo. Si está multiplicando, se transpone y pasa dividiendo, cambia de operación y no hay cambio de signo.

EJEMPLO 1: Resolver, despejando la incógnita “x”. 2 x + 8 = 7 − 10 x 2 x + 10 x = 7 − 8

12 x = −1 −1 1 =− x= 12 12

Se transpone -10x y 8, nota que cambian de signo. Se trata de colocar los que tienen “x” en el primer miembro

Se transpone 12, nota que NO cambia de signo, estaba multiplicando y pasó dividiendo al –1 que está en el segundo miembro.

12 x = −1 Simplificación, se suman 2x y 10x, porque son semejantes, y se restan en el segundo miembro 78, y resulta en -1

x=−

1 12

Como –1/12 NO se puede dividir, pues No da entero, tampoco se puede simplificar, entonces se queda como fracción.

La RAIZ o SOLUCION es:

ECUACIONES CON DENOMINADORES NUMERICOS. (FRACCIONARIOS) Un recurso consiste en buscar el Común Denominador o Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores que se tenga. Luego el MCM obtenido, se multiplica por toda la ecuación, después se divide donde se puede y queda una ecuación totalmente lineal, sin denominadores, sin fracciones, que puede resolverse mediante el método anteriormente explicado (por transposición) Ejemplo 2: determinar el valor de “x” Se obtiene el MCM de los denominadores, 3, 2 y 4

5x 7x 3 +7= − 3 2 4

3, 2, 4 3 1 2 3 1 1 1 1 1

2 2 3 12

7x 3   5x −  12 + 7 = 2 4  3 12  5 x 7 7 x 3  −   + = 1  3 1 2 4 60 x 84 84 x 36 + = − 3 1 2 4 20 x + 84 = 42 x − 9

Se multiplica TODA la ecuación por el MCM = 12

Para facilitar la multiplicación y NO equivocarse, a los enteros se le pone denominador unitario 1, y se procede a multiplicar.

Ya multiplicado, se puede procede a dividir cada término, y de esta manera simplificarla. De esta manera se tiene una ecuación de primer grado sin denominadores, que puede resolverse mediante la transposición de términos explicado anteriormente.

3

RESOLUCIÓN:

20 x + 84 = 42 x − 9 Se transpone 42x y 84, nota que cambian de signo.

trata de colocar los que tienen “x” en el primer miembro y los que no 20 x − 42 x = −9 − 84 Se tienen “x” en el segundo miembro

se restan 20x y -42x, porque son semejantes, y da –22x; − 22 x = −93 Simplificación, segundo miembro –9 y -84 y resulta en -93

x=

− 93 93 = − 22 22

La RAIZ o SOLUCION es:

y se suman en el

Se transpone –22, para despejar la “x” y pasa dividiendo a –93 que está en el segundo miembro, observa que NO cambia de signo, solo cambia de operación.

x=

93 22

ECUACIONES LINEALES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN PERO, además de las ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado, pueden haber ecuaciones con signos de agrupación, para ello daré un ejemplo, pon mucho cuidado al estudiarlo es bastante entretenido. Ejemplo 3:

Ejemplo 4: 1  1  2x  x  − −  − 4 5 x −  = 3 x +  − 3  2  2 3 2   Lo más conveniente es ELIMINAR los signos de agrupación que contiene la ecuación, empezando con los signos de agrupación MÁS INTERNOS. En el primer miembro empezamos eliminando los paréntesis circulares, x 4 1  2x − −  − 20 x +  = 3x + − 3 porque está más interno en el problema, lo afecta únicamente la 2 2 2 3 expresión que está junto a ella a su izquierda el -4, ¿cómo lo afecta? Multiplicando, al multiplicarlos se elimina. En el segundo miembro el paréntesis circular es afectado por el signo +, por lo cual, lo que está dentro del paréntesis se multiplica por el signo +.

1 2x 4 x − − + 20 x − = 3 x + − 3 En el primer miembro, los corchetes son el signo de agrupación que existe, lo afecta el signo ( - ), entonces se multiplica por (-). En el 2 3 2 2 segundo miembro vamos a dejarlos igual. 4

AHORA se tiene una ecuación fraccionaria. Se obtiene el MCM de los denominadores, 3, 2

1 2x 4 x − − + 20 x − = 3 x + − 3 2 3 2 2

3, 2, 2 3 1 3 1 1 6

x  4  1 2x + 20 x − = 3 x + − 3 6 − − 2 2   2 3

Se multiplica TODA la ecuación por el MCM = 6

6  1 2 x 20 x 4 3 x x 3  − − + − = + − 1  2 3 1 2 1 2 1  6 12 x 120 x 24 18 x 6 x 18 − − + − = + − 2 3 1 2 1 2 1 − 3 − 4 x + 120 x − 12 = 18 x + 3 x − 18

MCM = 6

Para facilitar la multiplicación y NO equivocarse, a los enteros se le pone denominador unitario 1, y se procede a multiplicar.

Ya multiplicado, se puede procede a dividir cada término, y de esta manera simplificarla.

Ya es una ecuación lineal de primer grado sin denominadores.

− 4 x + 120 x − 18 x − 3x = −18 + 12 + 3 − 25 x + 120 x = −18 + 15 − 95 x = −3

x=

−3 − 95

x=

3 95

EJERCICIO 30 En este tema se evaluará con un examen escrito, poner todo es desarrollo que realices, sin quitar detalles. 8.- resuelve la ecuación siguiente: 3x − 5 = 10 x + 1 9.- resuelve la ecuación 3x 3 1 siguiente: − 2 x + = 6 x + 2 4 4 10.- Resolver 5

x 5  x − 2 − 2( − 1) = 10 x + 6 4  3 3.1.2. RELACION DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL

3.1.3. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL Y SU RELACIÓN CON LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. 3.2. SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS. 3.2.1. MÉTODOS ALGEBRÁICOS: SUMA Y RESTA, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y DETERMINANTES. Conociendo los símbolos a emplear en Álgebra, podemos interpretar problemas que generen sistemas de ecuaciones y sean resueltas con cualquiera de los métodos que en el subtema siguiente se estudian.

Ejemplo 1: Un ganadero compró 4 vacas y 7 caballos, por $30,000.00, más tarde a los mismos precios compró 8 vacas y 9 caballos por $45,000.Halle el sistema de ecuaciones que nos dé el costo de una vaca y de un caballo. Se conviene en asignar la “x” a el precio de una vaca. y la “y” al precio de cada caballo En el primer caso, Después, 4 x + 7 y = 30 000 8 x + 9 y = 45 000

El sistema de ecuaciones que nos resuelve el problema es:

4 x + 7 y = 30000 8 x + 9 y = 45000 Ejemplo 2: Si a cinco veces el mayor de dos números se añade siete veces el menor, la suma es 316, y si a nueve veces el menor se resta el cuadruple del mayor, la diferencia es 53.Hallar el sistema de ecuaciones que nos resuelve el problema.

Se conviene en asignar la “x” al número mayor. En el primer caso, 5 x + 7 y = 316

Después, 9y - 4 x = 53

El sistema de ecuaciones que nos resuelve el problema es:

5 x + 7 y = 316 − 4 x + 9 y = 53 6

EJERCICIO 31 Traduce: a) Encontrar dos números cuya suma sea 105, sabiendo que el mayor es el séxtuplo del menor. b)

Juan tiene 12 monedas más que Carlos, y entre ambos tienen 78. determina cuántas monedas tiene cada uno.

c)

La tercera parte de un número es 7 unidades menos que la mitad del número.

No olvidar que se debe poner todo el proceso.

TEMA 4.2 METODOS ALGEBRAICOS SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS Este tipo de ejercicios sirven para resolver problemas que generan Dos Ecuaciones con Dos Incógnitas, generalmente “x” y “y”; La solución consiste en encontrar el valor de cada incógnita ( “x” e “y” ), y para ello se cuenta con tres métodos algebraicos ( Sustitución, Igualación y Reducción) , uno aritmético (Determinantes) y uno gráfico, en total cinco métodos.

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Con CUALQUIER método se obtiene el MISMO RESULTADO. ¿CÓMO SABER SI EL SISTEMA VA A TENER SOLUCIÓN?

FORMA

Primero debe observarse que el sistema esté ORDENADO, luego, se toman únicamente los coeficientes numéricos, y se hacen las comprobaciones respectivas siguientes:

Las letras “x” y “y” son las

SOLUCIÓN UNICA: El sistema tendrá UNA solución si se cumple: Este es un sistema ORDENADO de DOS ecuaciones con DOS incógnitas.

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Las letras a1, a2, b1, y b2 son los COEFICIENTES NUMÉRICOS del sistema, y, c1 y c2 son los términos independientes.

a1 b1 ≠ a2 b2

Su gráfica, son dos rectas que SI se cortan o intersecan en un punto (x,y)

SIN SOLUCIÓN: El sistema NO tendrá solución cuando el sistema cumpla con: a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2

Su gráfica, son dos rectas Paralelas, NO se cortan o intersecan.

SOLUCIÓN MÚLTIPLE: El sistema tendrá muchas soluciones, cuando se cumpla que:

a1 b1 c1 = = a2 b2 c2

Su gráfica es una misma recta, pues las ecuaciones son equivalentes, hay muchos puntos

Es necesario recordar que para utilizar éstos recursos, es indispensable que el sistema esté ordenado, en caso contrario se cometerá error.

La expresión anterior es un sistema de dos ecuaciones, como podrá haberse entendido. Bien, ahora vamos a darle una forma habitual, es decir vamos a poner un sistema de ecuaciones real:

EJEMPLO: 5x - 3y = 1 - 2x + 4y = 2

También es un sistema ORDENADO de

¿Tiene solución única el sistema? Hacemos la comprobación:

a1 b1 −3 5 ≠ ⇒ ≠ a 2 b2 −2 4

Como puede observarse, -5/2 es diferente a –3/4, por lo tanto, éste sistema de ecuaciones tiene UNA solución única, por lo tanto podemos utilizar un método y resolverlo.

8

Metodo: SUSTITUCIÓN PASOS

1 5x - 3y = 1 2 - 2x + 4y = 2

1.- Se despeja UNA incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones. Elegimos arbitrariamente despejar la “x” de la ecuación 1

Ya se logró una ecuación lineal de UNA sola incógnita.

− 2 − 6 y + 20 y = 10 − 6 y + 20 y = 10 + 2

14 y = 12

5x - 3y = 1

y=

5x = 1 + 3y

x=

1+ 3y 5

12 6 = 14 7

y=

2.- Ya despejada la “x” se sustituye en la ecuación 2 que aún no se ha utilizado.

6 7

3. Ya calculado el valor de “y” se procede a calcular el valor de la otra incógnita “x”. Se sustituye el valor obtenido, en la “x” despejada en el paso 1.

- 2x + 4y = 2

1+ 3y  − 2  + 4y = 2  5  − 2 1+ 3y    + 4y = 2 1  5 

x =

1 + 3 y 5

3  6   6  18 1 + 3 1 +    1 + 7 1  7  =  =  7 x = 5 5 5

− 2(1 + 3 y) + 4y = 2 1(5)

18 1 ( 7 ) + 18 (1 ) 7 + 18 7 = 7 7 = = 5 5 5

1+

− 2 − 6y + 4y = 2 5  − 2 − 6y 5 + 4 y = 2   5 5 − 2 − 6y  + 4 y = 2 1  5  5(−2 − 6 y ) + (5)4 y = (5)2 (1)5 − 10 − 30 y ) + 20 y = 10 5

x =

25 x = 7 5

25 = 7 5 1

=

( 1 )( 25 ) 25 = ( 7 )( 5 ) 35

x =

− 2 − 6 y + 20 y = 10

La solución del sistema de ecuaciones es :

ó

 5 6  ,  

9

x=

5 y y=6 7 7

5 7

=

5 7

Método: REDUCCIÓN

PASOS:

Considere: 1 2

1.- Colocamos el sistema de ecuaciones.

2x – 3y = 4 - x + 2y = 5

En éste método se trata de hacer que los coeficientes de una de las incógnitas (puede ser “x” ó “y”) sean iguales pero de signo contrario. En este caso, el sistema está ordenado, por lo cual, procedemos a igualar los coeficientes de la incógnita “x” ,(elegida en forma arbitraria, por ser más sencillo)

1 2

2x – 3y = 4 - x + 2y = 5

2.- Para que los coeficientes de la incógnita “x” sean iguales a 2, pero con signo contrario, multiplicamos por 2 toda la ecuación 2 2 2

2 [ - x + 2y = 5 ] -2x + 4y = 10

3.- Acomodamos otra vez el sistema y aplicamos el método.. Reducción

1 2

2x – 3y = 4 -2x + 4y = 10 y = 14

Entonces

y = 14

4.- Sabiendo el valor de y = 14, calculamos la “x” despejándola de cualquiera de las dos ecuaciones originales. Elegimos, arbitrariamente, la ecuación

2

2

- x + 2y = 5

- x + 2(14) = 5 - x + 28 = 5 - x = 5 – 28 = -23 - x = -23 multiplicamos todo por –1, para cambiar el signo de la “x”; tendremos:

( -1 )( -x = - 23 ) La solución es:

x = 23

La solución del sistema de ecuaciones es :

x = 23

y = 14

y

ó

10

Método: IGUALACIÓN

PASOS: 1 -3x –2y = 4 2 x –5y = 6

1.- Se despeja una de las variables, se elige en forma arbitraria, puede ser “x” o puede ser “y” Elegimos despejar la “x” en cada ecuación:

1 -3x –2y = 4 − 3x = 4 + 2 y 4 + 2y x=  −3

2 x –5y = 6 x = 6 + 5y



2.- Se IGUALAN las variables despejadas: x = x

4 + 2y = 6 + 5y −3 Y se resuelve la ecuación lineal resultante, observa que tiene una incógnita, la “y”.

4 + 2 y = −3(6 + 5 y ) 4 + 2 y = −18 − 15 y 2 y + 15 y = −18 − 4

y=

− 22 17

y=−

22 17

17 y = −22

Sabiendo cuánto vale “y”, se puede calcular la “x”, podemos sustituir en cualquiera de las dos “x” despejadas en el paso 1: Elegimos el despeje de la “x” de la ecuación 2 por ser más sencillo. 22 110 102 − 110 − 8 x = 6 + 5y x = 6 + 5(− ) = 6 − = = 17 17 17 17 −8 22 x= x = 6 + 5(− ) 17 17 −8 La solución del sistema de ecuaciones es : x = y 17 22 y=− 17

11

Método: DETERMINANTES

Para aplicar este método es necesario que el sistema de ecuaciones esté ORDENADO, es sumamente indispensable. Pero ANTES de aplicar este método es necesario, saber qué es una Matriz y una Determinante. MATRIZ: Arreglo numérico rectangular, consta de filas y columnas. MATRIZ DE DOS POR DOS O DE SEGUNDO ORDEN: Es un arreglo numérico que consta de dos filas y dos columnas. ES CUADRADO porque tiene el mismo número de filas y de columnas. El valor que resulta se llama Determinante. Diagonal principal

a

b =

c

d

Producto de los números de las diagonal principal. Siempre va en primer lugar

Producto de los números de las diagonal secundaria. Siempre va en segundo lugar

Diagonal secundaria

ad - cb Determinante

El signo menos SIEMPRE lo lleva, NO puede omitirse

Ejemplo: Obtenga la Determinante de la siguientes matrices: a)

-3

4

-2

5

= (-3)(5) - (-2) (4) = -15 –(-8) = -15 + 8 = -7 Determinante

b)

-½ 1/4 = (-½ )(3) - (-2/3) (1/4) = -3/2 –(-2/12) =

− 18 + 2 − 16 8 4 =− =− = 12 12 6 3

-2/3 3 Determinante

REGLA DE CRAMER. Dado el sistema de ecuaciones, ordenado, se procede a aplicar al regla de Cramer. Esta, consiste en tomar los coeficientes numéricos en el orden en que están y por esto, el sistema debe estar ordenado, para formar las matrices. a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 12

DETERMINANTE DEL SISTEMA, D a1 b1 D= a2 b2 DETERMINANTE PARA LA VARIABLE X, Dx c1 b1 Dx = c2 b2 DETERMINANTE PARA LA VARIABLE Y, Dy a1 c1 Dy = a2 c2 CÁLCULO DE “X” Y DE “Y”

x=

Dx D

y=

Dy D

EJEMPLO: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método Determinantes: -2x = - 5y + 2 4x + y = 1 Ordenando el sistema tendremos: -2x + 5y = 2 4x + y = 1 DETERMINANTE DEL SISTEMA, D -2 5 = (-2)(1) –(4)(5) = -2 – (20) = - 2 – 20 = -22

D= 4 1

13

DETERMINANTE PARA LA VARIABLE X, Dx 2 5 Dx =

= (2)(1) –(1)(5) = 2 – (5) = 2 – 5 = - 3 1 1

DETERMINANTE PARA LA VARIABLE Y, Dy -2 2 Dy =

= (-2) (1) – (4) (2) = -2 – (8) = -2 – 8 = - 10 4 1 Para este método determinantes, se podrá auxiliar de la animación en Power Point indicado.

CÁLCULO DE “X” Y DE “Y”

x=

−3 3 = − 22 22

y=

− 10 5 = − 22 11

La solución del sistema de ecuaciones es : x =

3 y 22

y=

5 11

ó  3 5

EJERCICIO 32 En este tema se evaluará CON UN EXAMEN ESCRITO.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por los cuatro métodos, escribir los detalles sin omitir alguno.

1.

3x − 5 y = 2 x + 10 y = 6

2.-

5 x = −3 + 4 y 6 y − 2x = 5

14

3.2.2. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: PUNTO DE INTERSECCIÓN DE LAS RECTAS Y CASOS EN QUE SON PARALELAS. La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta. Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.

y

En este caso el sistema es:

x + 4y = 8

x + 4y = 8

x − 3y = 1

2

tiene solución única.

(4, 1)

1 0 1

4

2

x

x -3y =1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.

En este caso el sistema es:

y x − =1 2 2x − y = 2

y x− 0

tiene solución infinita.

1

-2

2x − y = 2

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y =1 2

x

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y y distintas entre sí.

1

x

0

En este caso el sistema es:

y =1 2 2x − y = 3 x−

NO tiene solución.

-2

-3

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE EN LOS QUE SE APLICAN LAS ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. 3.3.1. ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES DE TRES POR TRES Y LA RELACIÓN CON LA MATRIZ DE TRES POR TRES. 3.3.

DEFINICIONES: MATRIZ: Es un arreglo numérico rectangular, consta de filas y columnas MATRIZ CUADRADA: Es la matriz que consta del mismo número de filas y columnas. MATRIZ CUADRADA de TERCER ORDEN ó de 3x3: Es aquella matriz que consta de TRES filas y TRES columnas.

16

DETERMINANTE: Es el valor asociado a una matriz

17

18