Manuel Crespo Ballesteros Universidad de Murcia Licenciatura en F´ısica

Ecuaciones del campo de Einstein Teor´ıa de la gravedad de Newton Comenzamos considerando la descripci´on de la fuerza de la gravedad en la teor´ıa cl´asica de Newton. En esta teor´ıa newtoniana, la fuerza gravitacional f~ sobre una part´ıcula test de masa gravitacional mG en una posici´on concreta del espacio es ~ f~ = mG~g = −mg ∇Φ donde ~g es el campo gravitatorio producido por el potencial gravitatorio Φ en esa posici´on. El potencial gravitatorio viene determinado por la ecuaci´on de Poisson ∇2 Φ = 4πGρ

(1)

donde ρ es la densidad de materia gravitacional y G la constante gravitacional de Newton. Esta es la ecuaci´on del campo de la teor´ıa newtoniana. De la ecuaci´on (1) deducimos que la gravedad newtoniana no es consistente con la relatividad especial. Esta ecuaci´on no tiene una dependencia expl´ıcita con el tiempo, lo que significa que el potencial Φ, y por tanto la fuerza f~, responden de manera instant´anea a cualquier alteraci´on de la densidad de materia ρ. Esto viola el principio de que ninguna se˜ nal f´ısica puede propagarse a velocidades m´as r´apidas que la de la luz. Podr´ıamos intentar modificar la ecuaci´on (1) para ((evitar)) el problema de la propagaci´on instant´anea. El operador Laplaciano ∇2 es equivalente al operador d’Alambertiano D2 cambiado de signo en el l´ımite cuando c → ∞, as´ı que podemos escribir la ecuaci´on (1) como D2 Φ = −4πGρ Sin embargo, esta ecuaci´on no proporciona una teor´ıa relativista consistente. No cumple el requerimiento de covarianza de Lorentz (principio de la relatividad especial) puesto que la densidad de materia ρ no se transforma como un escalar de Lorentz. Esto significa que la magnitud f´ısica ρ depende del sistema de referencia, pues depende de dos magnitudes: (i) la masa, cuya medici´on depende del sistema de referencia; (ii) el espacio, que experimenta contracciones apreciables en sistemas de referencia que se mueven a altas velocidades. Por todo esto, la densidad de materia no es un par´ametro invariante, sino que su medici´on da resultados distintos conforme se modifica la velocidad del observador. Por otra parte, la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula con masa inercial mI en un campo gravitatorio es mG ~ d2~x = − ∇Φ dt2 mI 1

Es un hecho experimental comprobado que el ratio mG /mI que aparece en la ecuaci´on es el mismo para todas las part´ıculas. Con una elecci´on apropiada de unidades podemos hacer ese cociente igual a 1. Por tanto, vemos que la trayectoria que sigue una part´ıcula en un campo gravitatorio es independiente de la naturaleza de la part´ıcula. Esta equivalencia entre masa gravitatoria e inercial es una coincidencia en la teor´ıa de Newton verdaderamente remarcable. En esta teor´ıa, a priori, no hay raz´on por la cual la cantidad que determina la magnitud de la fuerza gravitatoria sobre una part´ıcula deber´ıa ser igual a la cantidad que determina la ((resistencia)) de una part´ıcula a una fuerza aplicada.

Principio de equivalencia La igualdad entre masa gravitacional e inercial condujo a Einstein a su experimento mental del ascensor en ca´ıda libre. Se sigue de este razonamiento que la aceleraci´on de cualquier part´ıcula respecto al ascensor es cero: la part´ıcula y el ascensor tienen la misma acelaraci´on relativa a la tierra como resultado de la equivalencia entre masa gravitacional e inercial. Todas estas observaciones ((mentales)) se mantendr´ıan exactamente si el campo gravitatorio de la tierra fuese realmente uniforme. Pero por supuesto, esto no es as´ı, pues act´ ua radialmente y su intensidad es proporcional a 1/r2 . Las part´ıculas experimentar´ıan ca´ıdas radiales adem´as de presentar fuerzas de marea. Sin embargo, podemos considerar que el ascensor cae durante un corto periodo de tiempo y que es espacialmente peque˜ no, por tanto, podr´ıamos considerarlo un sistema de referencia inercial, y las leyes de la relatividad especial se mantendr´ıan en el interior del ascensor. Principio de equivalencia: En un laboratorio que cae libremente y sin rotaci´on ocupando una regi´on peque˜ na del espacio tiempo, las leyes de la f´ısica son las de la relatividad especial

Gravedad como curvatura del espacio-tiempo Las observaciones anteriores, guiaron a Einstein a hacer una profunda propuesta que simult´aneamente diese una descripci´on relativista de la gravedad y adem´as incorporara de forma natural el principio de equivalencia, y consecuentemente la equivalencia entre masa gravitatoria e inercial. Einstein propuso que la gravedad no deber´ıa ser considerada como una fuerza en el sentido convencional si no como una manifestaci´on de la curvatura del espacio-tiempo, siendo esta curvatura provocada por la presencia de materia. Esta es la idea principial de la Teor´ıa General de la Gravedad. As´ı pues, si la gravedad es una manifestaci´on de la curvatura del espacio-tiempo y no la acci´on de alg´ un cuadrivector f definido sobre la variedad espacio-temporal, entonces la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula movi´endose tan s´olo bajo la influencia de la gravedad debe ser la de una part´ıcula libre en el espacio-tiempo curvo dp =0 dτ 2

donde p es el cuadrimomento de la part´ıcula y τ es el tiempo propio medido a lo largo de su l´ınea de mundo. Por tanto, la l´ınea de mundo de una part´ıcula en ca´ıda libre bajo la acci´on de la gravedad es una geod´esica en el espacio-tiempo curvado. El principio de equivalencia restringe la posible geometr´ıa del espacio-tiempo curvo a una de tipo pseudo-Riemanniana, como deduciremos a continuaci´on. Matem´aticamente, el principio de equivalencia nos dice que en cualquier punto P del espacio-tiempo debemos poder definir un sistema de coordenadas X µ de forma que en la vecindad de P, el elemento de l´ınea del espacio-tiempo tome la forma ds2 ≈ ηµν dX µ dX ν cumpli´endose la igualdad en el punto P. De la ecuaci´on de la geod´esica, se deduce que el camino que sigue una part´ıcula libre (que s´olo se mueve bajo la influencia de la gravedad) en la vecindad de P est´a dado por d2 X i ≈0 dτ 2 Estableciendo que [X µ ] = (cT, X, Y, Z), para µ = 0 la ecuaci´on nos muestra que dT /dτ = cte. As´ı pues, para µ = 1, 2, 3 obtenemos que d2 X µ ≈0 dT 2 As´ı pues, en un entorno de P las coordenadas X µ definen un sistema cartesiano localmente inercial, en el cual las leyes de la relatividad especial se mantienen localmente. Para poder construir un sistema de coordenadas como ´este, el espacio-tiempo debe ser una variedad pseudoRiemanniana. En esta variedad, en un sistema arbitrario de coordenadas xµ , el elemento de l´ınea toma la forma general ds2 = gµν dxµ dxν

Coordenadas localmente inerciales La curvatura del espacio-tiempo nos impide encontrar unas coordenadas en las cuales la m´etrica gµν = ηµν para todos los puntos de la variedad. De este modo, no es posible definir un sistema cartesiano globalmente inercial como podr´ıamos hacer en el espacio-tiempo pseudo-Eucl´ıdeo de Minkowski. En vez de ello, estamos forzados a usar un sistema arbitrario xµ que etiquete los puntos de la variedad, y estas coordenadas en general no tienen un significado f´ısico simple. Sin embargo, por el principio de equivalencia, los problemas de la interpretaci´on f´ısica de las coordenadas se pueden superar mediante una transformaci´on de ´estas, en cada punto P del espacio tiempo, a un sistema localmente inercial X µ , el cual, en una limitada regi´on alrededor de P, corresponde a un sistema cartesiano que cae libremente sin rotaci´on. Matem´aticamente, esto corresponde a construir en un entorno de P un sistema de coordenadas X µ tal que gµν (P ) = ηµν ; (∂σ gµν )P = 0

(2)

Esto significa que Γµνσ (P ) = 0 y el sistema coordenado de vectores en P forman un conjunto ortonormal, i.e. eµ (P ) · eν (P ) = ηµν (3) 3

Existen en realidad un n´ umero infinito de sistemas de coordenadas localmente inerciales en P, todos ellos relacionados por transformaciones de Lorentz. Si un sistema X µ satisface las condiciones (2) y por tanto la condici´on (3), entonces tambi´en lo har´a el sistema X

0µ

= Λµν X ν

donde Λµν definen las transformaciones de Lorentz. De este modo, un sistema cartesiano en ca´ıda libre en un punto P est´a relacionado con alg´ un otro por transformaciones de Lorentz. Para cualquiera de estos sistemas de coordenadas, el vector de la base de car´acter temporal e0 (P ) es simplemente el cuadrivector velocidad normalizado uˆ(P ) del origen del sistema en el punto P, y los vectores de car´acter espacial ortonormales ei (P ) definen la orientaci´on de los ejes espaciales en el marco de referencia. Para puntos cercanos a P, la m´etrica en el sistema de referencia localmente inercial X µ (cuyo origen est´a en P), est´a dada por gµν = ηµν +

1 (∂σ ∂ρ gµν )P X σ X ρ 2

El tama˜ no de las derivadas segundas determinan la regi´on sobre la cual la aproximaci´on gµν ≈ ηµν sigue siendo v´alida.

Curvatura intr´ınseca de una variedad Cuando hablamos de la curvatura del espacio-tiempo en relatividad general, debemos evitar caer en la tentaci´on de pensar que el espacio-tiempo est´a embebido o insertado en un espacio de dimensi´on superior. Cualquier concepto de ((embebimiento)), tenga o no realismo f´ısico, deber´ıa ser irrelevante para nuestra discusi´on. S´olo nos interesan las propiedades intr´ınsecas de la geometr´ıa. As´ı pues, ya que la noci´on de curvatura es muy importante en la relatividad general, nos interesa tener una manera de cuantificar la curvatura intr´ınseca de una variedad en un punto P dado. Una variedad (o regi´on de ´esta) es plana si existe un sistema de coordenadas X µ tal que, para toda la regi´on, el elemento de l´ınea puede ser escrito de la forma 

ds2 = 1 dX 1

2



+ 2 dX 2

2



+ ... + N dX N

2

(4)

donde a = ±1. Si, sin embargo, los puntos de la variedad son etiquetados con alg´ un otro sistema a de coordenadas x , entonces, en general, el elemento de l´ınea no tendr´a la forma de (4). As´ı, si para alguna variedad el elemento de l´ınea est´a dado por ds2 = gab dxa dxb ¿c´omo podemos saber si la geometr´ıa intr´ınseca de la variedad en alguna regi´on es plana o curvada? Por ejemplo, consideremos el espacio tridimensional descrito por el elemento de l´ınea a2 dr2 + r2 + dθ2 + r2 sin2 θdφ ds = 2 2 a −r 2

4

¿Existe alguna forma de decir si esta m´etrica, o cualquier otra m´as complicada, corresponde a un espacio plano pero que simplemente parece complicada por la elecci´on de coordenadas? Podr´ıa ser muy tedioso y complicado descubrir cu´al es el sistema de coordenadas que reduce una m´etrica a una de la forma (4). Por tanto, necesitamos algo que nos diga si una variedad es plana directamente a partir de la m´etrica gab , independientemente de las coordenadas que usemos. ¿Cu´al es el significado f´ısico de ´esto? Si en alguna regi´on del espacio-tiempo de cuatro dimensiones podemos reducir el elemento de l´ınea ds2 = gµν dxµ dxν a la forma de Minkowski de la relatividad especial, entonces no puede haber campo gravitatorio en esa regi´on. La equivalencia de un elemento de l´ınea gen´erico con el de Minkowski garantiza por tanto, que el campo gravitatorio desaparecer´a. La soluci´on de nuestro problema de encontrar una manera independiente de las coordenadas de definir la curvatura del espacio-tiempo nos llevar´a a las ecuaciones de la gravedad.

Tensor de curvatura de Riemann Podemos encontrar la soluci´on al problema de la medici´on de la curvatura de una variedad en cualquier punto a partir de la diferenciaci´on covariante. La derivada covariante es una generalizaci´on de la derivaci´on parcial de vectores. Sin embargo, difieren en un aspecto importante: importa el orden en el cual act´ ua la derivada covariante y por tanto, cambiar el orden, modifica el resultado. Para un campo escalar, la derivada covariante es simplemente la derivada parcial, as´ı que el orden de diferenciaci´on no importa. Sin embargo, vamos a considerar un campo vectorial arbitrario definido en una variedad, cuyas componentes covariantes son va . La derivada covariante de va est´a dada por ∇b va = ∂b va − Γdab vb Si hacemos una segunda diferenciaci´on covariante, por ser ella misma un tensor de rango 2, tenemos ∇c ∇b va = ∂c (∇b va ) − Γeac ∇b ve − Γebc ∇e va = 









= ∂c ∂b va − ∂c Γdad vd − Γdab ∂c vd − Γeac ∂b ve − Γdeb vd − Γebc ∂e va − Γdae vd



Si intercambiamos los ´ındices b y c para obtener la expresi´on correspondiente a ∇b ∇c va rest´andola a la anterior obtenemos d ∇c ∇b va − ∇b ∇c va = Rabc vd (5) donde d Rabc ≡ ∂b Γdac − ∂c Γdab + Γeac Γdeb − Γeab Γdec

(6)

d ¿Qu´e ente matem´atico es Rabc ? A partir del teorema del cociente podemos probar que son las componentes de un tensor de rango 4 R. Este tensor se llama tensor de curvatura o tensor de Riemann y la ecuaci´on (6) nos muestra que est´a definido en t´erminos del tensor m´etrico gab y sus primeras y segundas derivadas.

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Debemos entonces establecer c´omo el tensor de curvatura est´a relacionado con la curvatura de la variedad. En una regi´on plana de la variedad, podemos elegir unas coordenadas tales que el elemento de l´ınea tome la forma (4) en toda la regi´on. En estas coordenadas, Γabc y sus derivadas son cero, por tanto d Rabc =0 en todo punto de la regi´on. Esta es una relaci´on tensorial, y por tanto se debe mantener en d = 0 en todo punto de una regi´on de cualquier sistema de coordenadas. Por otra parte, si Rabc una variedad, se puede demostrar que es posible elegir un sistema de coordenadas en el cual el elemento de l´ınea tome la forma (4) y por tanto, esta regi´on ser´a plana. As´ı pues, la condici´on d Rabc = 0 es necesaria y suficiente para que una regi´on de una variedad sea plana.

Propiedades del tensor de curvatura El tensor de curvatura posee un cierto n´ umero de simetr´ıas y satisface algunas identidades importantes. Las simetr´ıas del tensor se pueden derivar m´as f´acilmente en t´erminos de sus componentes covariantes. Podemos usar las componentes del tensor m´etrico para bajar un ´ındice y por tanto obtener e Rabcd = gae Rbcd En un sistema arbitrario de coordenadas, la forma expl´ıcita de las componentes del tensor son Rabcd =

1 (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd ) − g ef (Γeac Γf bd − Γead Γf bc ) 2

Consideremos ahora un sistema coordenado geod´esico sobre un punto P (en el cual Γabc (P ) = 0, aunque no sus derivadas). Las componentes covariantes del tensor de curvatura en P est´an dadas por 1 (Rabcd )P = (∂d ∂a gbc − ∂d ∂b gac + ∂c ∂b gad − ∂c ∂a gbd )P 2 A partir de esta expresi´on, vemos que el tensor posee las siguientes simetr´ıas en P: Rabcd = −Rbacd Rabcd = −Rabdc Rabcd = Rcdab Asimismo, podemos deducir la siguiente indentidad c´ıclica Rabcd + Racdb + Radbc = 0 Todos estos resultados se deducen en un sistema de coordenadas especial. Sin embargo, se tratan de unas relaciones tensoriales, por tanto, si son v´alidas en un sistema de coordenadas entonces lo son para cualquier otro sistema. Como cualquier tensor de rango 4, el tensor de curvatura podr´ıa parecer que tiene N 4 componentes, sin embargo, las simetr´ıas de ´este reducen el n´ umero de componentes independientes a 6

N 2 (N 2 − 1)/12. En el caso del espacio-tiempo de N = 4 dimensiones, tendr´ıamos 20 componentes independientes para el tensor m´etrico. Recordemos que siempre es posible construir un sistema de coordenadas para el cual en la vecindad de alg´ un punto P el elemento de l´ınea toma la forma (4). Recordemos tambi´en que se dedujo que en un punto P del espacio-tiempo podemos establecer un cambio a coordenadas cartesianas locales donde gµν (P ) = ηµν y (∂γ gµν )P = 0 pero donde en general, no pueden eliminarse las 20 combinaciones lineales de las derivadas segundas de la m´etrica (∂σ ∂γ gµν )P . Las componentes del tensor de curvatura son estas 20 combinaciones lineales. El tensor de curvatura satisface tambi´en una identidad diferencial, conocida como la identidad de Bianchi ∇e Rabcd + ∇c Rabde + ∇d Rabec = 0

Tensor de Ricci y curvatura escalar Podemos realizar una contracci´on en el primer y u ´ltimo ´ındice del tensor de curvatura para obtener un nuevo tensor no nulo de rango 2, que llamamos tensor de Ricci y cuyas componentes covariantes son c Rab ≡ Rabc y cuya expresi´on expl´ıcita es Rab = ∂c Γcab − ∂b Γcac + Γcab Γdcd − Γcad Γdbc La contracci´on del tensor de Ricci con el tensor m´etrico nos da una cantidad escalar definida en cada punto de la variedad y que llamamos el escalar de curvatura R ≡ g ab Rab = Raa Las derivadas covariantes del tensor de Ricci y del escalar de curvatura, obedecen una relaci´on muy importante, clave para el desarrollo de las ecuaciones de la relatividad general. Subiendo el ´ındice a en la identidad de Bianchi y contray´endolo con d obtenemos a a ∇e Rbc + ∇c Rbae + ∇a Rbec =0

Usando las propiedades de simetr´ıa en el segundo t´ermino nos da que a ∇e Rbc − ∇c Rbe + ∇a Rbec =0

Si subimos ahora el ´ındice b y contraemos con e encontramos que ab ∇b Rcb − ∇c R + ∇a Rbc =0

Usando las propiedades de antisimetr´ıa podemos escribir el tercer t´ermino como ab ba = ∇a Rcb = ∇a Rca = ∇b Rcb ∇a Rbc

Obtenemos entonces 



2∇b Rcb − ∇c R = ∇b 2Rcb − δcb R = 0 7

Finalmente, subiendo el ´ındice c, obtenemos el resultado buscado 1 ∇b Rbc − g bc R = 0 2 



El t´ermino entre par´entesis es el llamado tensor de Einstein 1 Gab ≡ Rab − g ab R 2 Este tensor es sim´etrico y posee una sola divergencia independiente ∇a Gab y que desaparece (por construcci´on).

El tensor momento-energ´ıa Sigamos ahora con la idea de Einstein de que la gravedad es una manifestaci´on de la curvatura del espacio-tiempo debida a la presencia de materia. Debemos pues obtener un conjunto de ecuaciones que describan cuantitativamente c´omo la curvatura del especio-tiempo en un punto est´a relacionada con la distribuci´on de materia en ese punto. Las ecuaciones de Maxwell en su formulaci´on tensorial relacionan el campo electromagn´etico F en cualquier punto con su fuente, el cuadrivector densidad de corriente j en ese punto. As´ı pues, de manera an´aloga, podemos pensar en unas ecuaciones que relacionan la curvatura con su fuente: la energ´ıa y el momento de la materia. Para construir las ecuaciones del campo gravitatorio, debemos encontrar primero una forma covariante de expresar el t´ermino fuente. El concepto covariante significa que todas las leyes f´ısicas deben tomar la misma forma en todos los sistema de referencia; las leyes han de expresarse tensorialmente pues los tensores son invariantes ante transformaciones de Lorentz. Debemos encontrar pues un tensor que describa la distribuci´on de materia en cada punto del espaciotiempo. Consideremos una distribuci´on que dependa del tiempo y cuyas part´ıculas componentes no interaccionen entre ellas, cada una con masa en reposo m0 . Esto es a lo que se le llama dust en la literatura cient´ıfica. En un punto P del espacio-tiempo podemos caracterizar la distribuci´on completamente dando la densidad de materia ρ y el trivector velocidad ~u medidos en alg´ un sistema inercial. Por simplicidad, consideramos un elemento de fluido en su sistema en reposo instant´aneo S en P, en el cual ~u = ~0. En este marco de referencia, la densidad propia est´a dada por ρ0 = m0 n0 , donde m0 es la masa en reposo de cada part´ıcula y n0 es el n´ umero de part´ıculas en una unidad de volumen. Consideramos ahora otro sistema de referencia S’ movi´endose con una velocidad relativa v respecto de S. En este sistema de referencia, el volumen sufre una contracci´on de Lorentz en la direcci´on del movimiento. Por tanto, el n´ umero de part´ıculas por unidad de volumen ser´a ahora n0 = γn0 . Adem´as, la masa de cada part´ıcula en S’ ser´a m0 = γm0 . As´ı pues, la densidad de materia en S’ ser´a ρ0 = γ 2 ρ0 De esto concluimos que la densidad de materia no es un escalar. Sin embargo, transforma como la componente 00 de un tensor de rango 2. Esto sugiere que el t´ermino fuente en las ecuaciones del 8

campo gravitatorio es un tensor de rango 2. En cualquier punto del espacio, podemos construir un tensor T de rango 2 a partir del producto tensorial de los cuadrivectores velocidad, y que es coherente con nuestra exigencia de tranformaci´on de ρ0 T(x) = ρ0 (x)u(x) ⊗ u(x)

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donde ρ0 (x) es la densidad propia del fluido, i.e., la que es medida por un observador coom´ovil con el flujo local y u(x) es su cuadrivector velocidad. El tensor T(x) es el llamado tensor momento-energ´ıa de la distribuci´on de materia. De aqu´ı en adelante denotaremos a la densidad propia como ρ. En un sistema arbitrario de coordenadas xµ en el cual el cuadrivector velocidad del elemento de fluido es uµ , las componentes contravariantes de (7) son T µν = ρuµ uν Para dar un significado f´ısico a las componentes del tensor momento-energ´ıa, consideramos un sistema de coordenadas cartesianas localmente inercial en P en el cual las componentes del cuadrivector velocidad del elemento de fluido son [uµ ] = γ (c, ~u). En este sistema de referencia, escribimos las componentes del tensor como T 00 = ρu0 u0 = γ 2 ρc2 T 0i = T i0 = ρu0 ui = γ 2 ρui T ij = ρui uj = γ 2 ρui uj El significado f´ısico de cada componentes es el siguiente: T 00 es la densidad de energ´ıa de las part´ıculas T 0i es el flujo de energ´ıa ×c−1 en la direcci´on i T i0 es la densidad de momento ×c en la direcci´on i T ij es el ritmo de flujo de la componente i del momento por unidad de a´rea en la direcci´on j. Es la componente i de la fuerza por unidad de ´area ejercida sobre una superficie cuya normal est´a en la direcci´on j.

El tensor momento-energ´ıa de un fluido perfecto Para generalizar nuestra discusi´on a fluidos reales, debemos tener en cuenta lo siguiente: Adem´as del movimiento del fluido, cada part´ıcula posee una velocidad aleatoria (t´ermica). Pueden existir fuerzas de interacci´on entre las part´ıculas que contribuyan a la energ´ıa potencial total del sistema.

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El significado f´ısico de las componentes del tensor momento-energ´ıa T, nos da una idea de c´omo generalizar su forma para incluir las propiedades de los fluidos reales. Consideremos T en alg´ un punto P y trabajemos en un sistema de coordenadas cartesiano localmente inercial S que es el sistema en reposo instant´aneo del elemento de fluido en P. Para el dust, la u ´nica componente no nula es T 00 . Vamos ahora a considerar las componentes de T en el sistema S del fluido real. T 00 : es la densidad de energ´ıa total, incluyendo cualquier energ´ıa potencial debida a las fuerzas entre las part´ıculas y a la energ´ıa cin´etica derivada de su movimiento t´ermico. T 0i : aunque no hay movimiento del volumen total del fluido, la energ´ıa puede ser transmitida por conducci´on de calor, as´ı pues, ´este es b´asicamente un t´ermino de conducci´on en S. T i0 : de nuevo, aunque las part´ıculas no sufren un movimiento global, si el calor es transmitido entonces la energ´ıa conllevar´a un transporte de momento. T ij : el movimiento t´ermico de las part´ıculas dar´a un aumento del flujo de momento, de modo que T ii es la presi´on isotr´opica en la direcci´on i y T ij (i 6= j) son los esfuerzos viscosos en el fluido. Todas estas identificaciones son v´alidas para un fluido en general. Un fluido perfecto es aquel donde las part´ıculas no interact´ uan entre ellas y donde no hay conducci´on del calor o viscosidad en S. As´ı, en S, para un fluido perfecto (es v´alido el principio de Pascal) las componentes del tensor T son   ρc2 0 0 0  0 p 0 0    [T µν ] =   (8)  0 0 p 0  0 0 0 p En general, podremos escribir las componentes del tensor como 



T µν = ρ + p/c2 uµ uν − pη µν

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v´alida para cualquier sistema cartesiano localmente inercial en P. Sin embargo, podemos obtener un expresi´on v´alida en un sistema de coordenadas arbitrario simplemente reemplazando η µν por las funciones de la m´etrica g µν . As´ı, llegamos a una expresi´on completamente covariante para las componentes del tensor momento-energ´ıa de un fluido perfecto 



T µν = ρ + p/c2 uµ uν − pg µν

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Observamos que T µν es sim´etrico y est´a compuesto por dos campos escalares, p y ρ, y un campo vetorial u que caracterizan el fluido. Cuando p → 0, el fluido perfecto se convierte en lo que hemos llamado dust. Fij´emonos en que es posible dar expresiones mucho m´as complicadas para representar el tensor para fluidos no perfectos, para fluidos cargados o incluso fluidos electromagn´eticos. Todos estos tensores son sim´etricos.

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Ecuaci´ on de continuidad Se puede deducir que la conservaci´on del momento y la energ´ıa en un sistema arbitrario de coordenadas est´a dada por la ecuaci´on ∇µ T µν = 0

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En la demostraci´on de la expresi´on no se hace referencia expl´ıcita de si el espacio-tiempo es Minkowskiano o curvo. Aunque la ecuaci´on (11) es v´alida en ambos casos y para cualquier sistema coordenado, la interpretaci´on de la ecuaci´on difiere de uno a otro caso. Si nos olvidamos de la gravedad y asumimos que el espacio-tiempo es de Minkowski, la relaci´on (11) representa la conservaci´on de la energ´ıa y el momento. En presencia de un campo gravitatorio, sin embargo, la energ´ıa y el momento de la materia no se conservan por s´ı solos. En este caso, la relaci´on (11) representa una ecuaci´on de movimiento de la materia bajo la influencia de un campo gravitatorio.

Las ecuaciones de Einstein Estamos en condiciones de deducir la forma de las ecuaciones del campo gravitatorio propuestas por Einstein. Recapitulemos algunos resultados obtenidos aqu´ı y otros que son conocidos: (i) La ecuaci´on del campo en la gravedad newtoniana es ∇2 Φ = 4πGρ (ii) Si la gravedad es una manifestaci´on de la curvatura del espacio-tiempo, para un campo gravitatorio d´ebil, en coordenadas tales que gµν = ηµν + hµν (con |hµν |