ECUACIONES LINEALES Y MATRICES SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones, siguiendo el concepto general de identidad a = a . Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación (axioma de igualdad), la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia básica es despejar la variable en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación lineal con una variable 5 x + 6 = 3 x + 12 Los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. 5 x − 3 x = 12 − 6 2x = 6

Por transposición de términos

Por agrupación de términos semejantes

6 2 x=3

x=

Por transposición de términos

Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original: 5 x + 6 = 3x + 12 5(3) + 6 = 3(3) + 12 15 + 6 = 9 + 21 21 = 21

Definición de una ecuación lineal en n variables Una ecuación lineal en n variables x1 , x2 , x3 ,..., xn tiene la forma

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b Los coeficientes a1 , a2 , a3 ,..., an son números reales y el término constante b es un número real. El número a1 es el coeficiente principal y x1 es la variable principal. Una solución de una ecuación lineal en n variables es una sucesión en n números reales s1, s2 , s3 ,..., sn ordenados de modo que la ecuación se cumple cuando los valores s1 = x1 , a2 = x2 , s3 = x3 ,..., sn = xn s1 = x1 se sustituyen en ésta.

Representación paramétrica de un conjunto solución Resuelva la ecuación lineal 1. x1 + 2 x2 = 4 2. 3x + 2 y − z = 3 En álgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo tiempo. Una ecuación ax + by = c , con a y b diferentes de cero, es una ecuación lineal en dos variables x ∧ y . Del mismo modo,

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 1

ax + by + cz = d es una ecuación lineal con tres variables x y ∧ z . El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar técnicas específicas del álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales es lineal en las mismas n variables.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2 n xn

= b1 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn M am1 x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn

= b3 M bm

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión de números s1, s2 , s3 ,..., sn que es solución de cada una de las ecuaciones lineales del sistema. Ejemplo2: Resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

3x + 4 y = 10 2x + y = 5 Este sistema se puede resolver por los métodos de eliminación, igualación o eliminación. Para resolverlo vamos a utilizar el método de sustitución.

y = 5 − 2 x Despejamos y de la segunda ecuación, luego la sustituimos en la primera 3 x + 4(5 − 2 x ) = 10

Tenemos una ecuación con una variable

3 x + 20 − 8 x = 10 − 5 x = 10 − 20

Por agrupación de términos semejantes

x=

− 10 −5

Por transposición de términos

x=2

Al sustituir este resultado en cualquiera de las dos ecuaciones iníciales, obtenemos

y =1 y

f(x)=2.5-(3/4)x f(x)=5-2x

8 7 6 5 4 3 2 1 x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

-1 -2

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 2

Ejercicio. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y grafique cada sistema como un par de rectas. − 3x + y = 6 3 y − 2x = 4 5x + 5 y = 4 a) x − y = 2 b) − 6 y + 4 x = −8 c) x + y = 2 Clasificación de sistemas lineales Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en Sistema inconsistente ⇔ No tiene soluciones Sistema inconsistente determinado ⇔ Tiene solución única Sistema inconsistente indeterminado ⇔ Tiene infinitas soluciones

Para hallar las soluciones de un sistema lineal con más de dos variables podemos usar el método de eliminación que consiste en manipular las ecuaciones hasta obtener un sistema equivalente de ecuaciones más sencillas, para las cuales podemos hallar sus soluciones con facilidad. Algunas manipulaciones (o transformaciones) que llevan a sistemas equivalentes son las siguientes: Operaciones que conducen a sistemas de ecuaciones lineales 1. Intercambiar dos ecuaciones. 2. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero. 3. Sumar un “múltiplo constante” de una ecuación a otra ecuación.

Uso de la eliminación gaussiana para reescribir un sistema en la forma escalonada por filas Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema. x − 2 y + 4 z = − 20 4 x + 2 y − 4 z = 10 3x

+ 2y

− 3z

=

5

Vamos a resolver el sistema utilizando el método de eliminación. Eliminaremos algunas de las variables, sumando un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.

− 2 y + 4 z = − 20  4 x + 2 y − 4 z = 10  Sumamos -4 veces la primera ecuación a la segunda 3x + 2 y − 3z = 5  x

x

− 2y

+ 4z

= − 20  + 10 y − 20 z = 90  Sumamos -3 veces la primera ecuación a la tercera 3x + 2 y − 3z = 5 

x

− 2y

+ 4z

x − 2y

+ 4z

= − 20  + 10 y − 20 z = 90  Multiplicamos por 1 la segunda ecuación 10 8y − 15 z = 65 

y 8y

= − 20  − 2z = 9  Sumamos -8 veces la segunda ecuación a la tercera − 15 z = 65 

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 3

x − 2 y + 4 z = − 20  y − 2z = 9  Hallamos las soluciones por sustitución z = − 7  De la tercera ecuación vemos que z = −7 , al sustituirla en la segunda ecuación y − 2( −7 ) = 9 , obtenemos y = −5 . Para obtener el valor de x sustituimos z = −7 y y = −5 en la primera ecuación x − 2( −5) + 4( −7) = −20 , con lo cual x = −2 Si analizamos el método de solución del ejemplo anterior, podemos ver como los símbolos usados para las variables carecen de importancia; debemos tener en cuenta los coeficientes de las variables. Así pues, si utilizamos símbolos distintos en las variables, por ejemplo ( a, b, c) , obtenemos el sistema.

− 2b + 4c = − 20  4a + 2b − 4c = 10  3a + 2b − 3c = 5  a

Entonces, el método de eliminación puede realizarse de la misma forma que en el ejemplo anterior. Para simplificar el proceso, recurrimos a un esquema, para utilizar los coeficientes sin necesidad de escribir las variables. Colocamos los coeficientes en el mismo orden de cada ecuación en esta forma.  1 − 2 4 M − 20     4 2 − 4 M 10  3 2 −3 M 5    El ordenamiento de números de esta forma se llama matriz, los renglones de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal. 1

−2

4

2

3

2

− 20 Primer renglón, R1

4

−4

10

Segundo renglón, R2

5

Tercer renglón, R3

−3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical. Pr imera

Segunda

Tercera

Cuarta

Columna

Columna

Columna

C1

C2

C3

Columna C4

1

−2

4

− 20

4

2

10

3

2

−4 −3

5

La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales, del ejemplo anterior, es la matriz del sistema también llamada matriz aumentada. Si borramos la última columna, tenemos la matriz coeficiente.

1 − 2 4    A = 4 2 − 4 3 2 − 3   Matriz coeficiente Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

 1 − 2 4 M − 20    A =  4 2 − 4 M 10  3 2 −3 M 5    Matriz aumentada Página 4

Con objeto de hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, comenzamos con la matriz aumentada. Si una variable no aparece en una ecuación, suponemos que el coeficiente es cero. Luego trabajamos con las filas de la matriz como si fueran ecuaciones. La ecuación se expresa de la forma Ax = b

 x − 2 y + 4 z = − 20  Sistema 4 x + 2 y − 4 z = 10 3 x + 2 y − 3 z = 5  1 − 2 4    A =  4 2 − 4  Es la matriz coeficiente  3 2 − 3    x   x =  y z  

Es el vector de variables o incógnitas

 − 20    b =  10  Es el vector de términos independientes  5     1 − 2 4 M − 20    La matriz  4 2 − 4 M 10  es la matriz aumentada del sistema Ax = b 3 2 − 3 M 5    Teorema sobre transformaciones de filas de matrices Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: 1) Se intercambian renglones 2) Se multiplica un renglón por una constante diferente de cero. 3) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón

Usaremos los símbolos de la próxima tabla para denotar transformaciones elementales de renglones de una matriz, donde la flecha → se lee “sustituye” Transformaciones elementales de fila de una matriz Símbolo Significado Intercambiar renglones i y j Ri ↔ R j

KRi → Ri

Multiplicar renglón i por K

KRi + R j → R j

Sumar K veces el renglón i al renglón j

MÉTODO DE GAUSS

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una variable menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "matriz escalonada”. Se realizan determinadas transformaciones elementales de fila a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver. Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 5

OBTENCIÓN DE UNA MATRIZ ESCALONADA: El algoritmo para la obtención de una matriz escalonada consta de los siguientes pasos: -

El primer número diferente de cero del primer renglón de izquierda a derecha, deberá ser uno, y será el primer pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote. - En el segundo renglón buscamos el primer número diferente de cero y lo volvemos uno y será el segundo pivote, luego con las operaciones elementales haremos ceros debajo del segundo pivote. - Seguimos buscando en cada renglón el primer número diferente de cero y lo volvemos uno, hasta no tener más pivotes. - Los renglones formados completamente de ceros, pueden aparecer en la parte inferior de la matriz. Este método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss. Forma escalonada de una matriz

 1 a12  A = 0 1 0 0 

a13 a23 1

a14   a24  a34 

 1 a12  0 1 0 0 A= 0 0 0 0  0 0 

a13

a14

a15

a16

a23

a24

a25

a26

0 0 0 0

1 0 0 0

a35

a36

0 0 0

1 0 0

a17   a27  a37   a47  0  0 

Ejemplo 4: uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Resolver el siguiente sistema

− 2 y + 3z = 4  x   2x + y − 4z = 3 − 3 x + 4 y − z = − 2 

Lo primero que debemos hacer, es pasar los coeficientes a la matriz, en el mismo orden en que aparecen en el sistema  1 −2 3 M 4    1 −4 M 3   2  − 3 4 −1 M − 2   Como en R1 el primer número diferente de cero es uno, la dejamos como está y con este uno hacemos ceros los demás coeficientes de la primera columna 1 − 2 3 M 4    − 2 R1 + R2 → R2  0 5 − 10 M − 5  3R1 + R3 → R3  0 − 2 8 M 10  Ahora debemos volver el primer número diferente de cero de R2 un uno, por esto multiplicamos todo el renglón por 15

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 6

1 − 2 3 M 4    R2 → R2  0 1 − 2 M − 1  0 − 2 8 M 10    Con este uno de la R2 volvemos cero el coeficiente que está debajo de éste 1 − 2 3 M 4     0 1 − 2 M − 1 2 R2 + R3 → R3  0 0 4 M 8  1 5

Para finalizar multiplicamos R3 por

1 4

para que el primer número diferente de cero sea un uno

1 − 2 3 M 4     0 1 − 2 M − 1 1 R → R3  0 0 1 M 2  4 3 La matriz está de forma escalonada, por lo cual volvemos al sistema de ecuaciones  x − 2 y + 3z = 4  y − 2z = −1   z = 2  De la tercera ecuación vemos que z = 2 , al sustituirla en la segunda ecuación, obtenemos y = 3 . Para obtener el valor de x sustituimos z = 2 y y = 3 en la primera ecuación, con lo cual x = 4 . La solución del sistema es la triada ordenada ( x = 4, y = 3, z = 2) Para verificar el resultado, debemos sustituir los valores de las variables en una de las tres ecuaciones originales. En este caso lo haremos con la ecuación tres − 3 x + 4 y − z = −2 − 3(4) + 4(3) − (2) = −2 − 12 + 12 − 2 = −2 − 2 = −2 Este es un sistema consistente determinado con respuesta única.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN Como vimos, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordán continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria. Es decir, hasta que aparezcan ceros arriba del primer uno de cada renglón. La matriz resultante se conoce como escalonada reducida.

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 7

•

Forma escalonada reducida de una matriz

 1 0 0 a14    •  0 1 0 a24  0 0 1 a  34  

1  0 0 • 0 0  0 

0 a13 1 a23 0 0 0 0 0 0 0 0

0 a15 0 a25 1 a35 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

a17   a27  a37   a47  0  0 

Cuando tenemos una matriz escalonada reducida es fácil determinar cuando tiene solución única, infinitas soluciones o cuando no tiene solución.  1 0 0 M b14    A =  0 1 0 M b24  Matiz con solución única 0 0 1 M b  25    1 0 a13 M b14    A =  0 1 a23 M b24  Matiz con infinitas soluciones 0 0 0 M 0     1 0 0 M b14    A =  0 1 0 M b24  Matiz sin solución 0 0 0 M b  25   Ejemplo 5: resolver el sistema del ejemplo1.4.1: mediante la forma escalonada reducida

1 − 2 3 M 4     0 1 − 2 M − 1 0 0 1 M 2   2 R2 + R1 → R1  1 0 − 1 M 2     0 1 − 2 M − 1 0 0 1 M 2   

R3 + R1 → R1 2 R3 + R2 → R2

1 0 0 M 4    0 1 0 M 3  0 0 1 M 2  

El sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada reducida nos da la solución única sin usar sustituciones: ( x = 4, y = 3, z = 2)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 8

SISTEMA CON MÁS VARIABLES QUE ECUACIONES No siempre vamos a tener sistemas con el mismo número de ecuaciones que de variables, para este caso se aplican las mismas técnicas de matrices, según se expone en este ejemplo. Ejemplo 6: Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con tres variables. 2 x + 3 y + 4 z = 1  3 x + 4 y + 5 z = 3

Resolver el siguiente sistema

SOLUCIÓN: El primer paso es pasar los datos a una matriz y hallar la forma escalonada reducida  2 3 4 M 1    3 4 5 M 3

R1 ↔ R2  3 4 5 M 3     2 3 4 M 1 − R2 + R1 → R1  1 1 1 M 2    2 3 4 M 1 1 1 1 M 2    − 2 R1 + R2 → R2  0 1 2 M − 3 

− R2 + R1 → R1  1 0 − 1 M 5     0 1 2 M − 3 Teniendo la matriz escalonada reducida, volvemos a escribir el sistema con los coeficientes de la matriz −z = 5 x  y 2z = − 3  Y despejamos las variables dependientes x ∧ y en función de la variable dependiente z +z x = 5   y = − 3 − 2Z En este sistema tenemos un número infinito de soluciones, depende del número t que le asignemos a la variable independiente z. Así x = 5+t , z=t y = −3 − 2t , Las soluciones del sistema están formadas por la triada ordenada (5 + t ,−3 − 2t , t ) para cualquier número real t , ejemplo: Para t = 0 (5,−3,0) Para t = 4 (9,−11,4) Para t = −2 (3,1,−2) Para t =

1 2

( 112 ,−4, 12 )

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 9

Para cualquiera de estas triadas ordenadas podemos verificar el resultado. Lo vamos a hacer con la ecuación uno

(5,−3,0)

Para t = 0 2x + 3y + 4z = 1 2(5) + 3(−3) + 4(0) = 1 10 − 9 = 1 1=1

Ejemplo 7: Solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.

− 4 x − 2 y − 5 z = 3   6 x + 6 y + 12 z = 6  8x 4y 10 z = 15  − 4 − 2 −5 M 3    6 12 M 6   6  8 4 10 M 15   6 12 M 6  R1 ↔ R2  6   − 4 − 2 −5 M 3   8 4 10 M 15   1 6

1 2 M 1 R1 → R1  1   − 4 − 2 −5 M 3   8 4 10 M 15  

2 M 1 1 1   3 M 7 4 R1 + R2 → R2  0 2 − 8 R1 + R3 → R3  0 − 4 − 6 M 7  2 M 1 1 1   3 7 1 0 1 M R → R  2 2 2 2 2 0 − 4 − 6 M 7   − R2 + R1 → R1  1 0 12 M −25     0 1 32 M 72  4 R2 + R3 → R3  0 0 0 M 21

Este es un sistema que no tiene solución, pues al sumar 0 + 0 + 0 = 0 y si observamos R3 0 + 0 + 0 = 21 y esto no es posible, por lo cual decimos que el sistema no tiene solución Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 10

SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos sus términos no son variables, es decir, sus términos constantes, son ceros Ax = 0 (o sea b = 0 ). Un sistema homogéneo siempre tiene una solución trivial obtenida al sustituir cero por cada variable. A veces existen soluciones que no son triviales. El procedimiento para hallar soluciones es el mismo que en los sistemas no homogéneos. Ejercicios: Resolver el sistema homogéneo con solución trivial  x − 2y + z = 0  2 x + 3 y − z = 0  3y + 4z = 0 

Resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales. − 2 y 2z = 0  x   3x + 2 y + 2 z = 0 − 2 x − 4 y = 0  Los ejercicios siguientes ilustran problemas de aplicación Ejemplo 8: Uso de un sistema de ecuaciones para solucionar un problema de mezclas

Un comerciante desea mezclar dos calidades de maní que cuestan $3.000 y $4.000 por libra, respectivamente, con nueces de la India que cuestan $8.000 por libra, con objeto de tener 140 libras de una mezcla que cuesta $6.000 por libra. Si el comerciante también desea que la cantidad de maní de menor precio sea el doble de la de maní de mejor calidad. ¿Cuántas libras de cada variedad ha de mezclar SOLUCIÓN: Introducimos tres variables X = número de libras de maní de $3.000 por libra Y = número de libras de maní de $4.000 por libra Z = número de libras de nueces de la India de $8.000 por libra Con el enunciado del problema obtenemos el siguiente sistema: x+ y+ z = 140 3.000x + 4.000y + 8.000z = $6000(140) x = 2y La ecuación 2 la multiplicamos por

Ecuación de peso Ecuación de valor Contraste

1 para facilitar la operación 1000

Al expresarlo en forma matricial queda:  1 1 1 M 140     3 4 8 M 840  1 − 2 0 M 0   

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 11

1 M 140  1 1   5 M 420  − 3R1 + R2 → R2  0 1 − R1 + R3 → R3  0 − 3 − 1 M − 140  − R2 + R1 → R1  1 0 − 4 M − 280     0 1 5 M 420  3R2 + R3 → R3  0 0 14 M 1120   1 0 − 4 M − 280     0 1 5 M 420  1 R → R3  0 0 1 M 80  14 3

4 R3 + R1 → R1  1 0 0 M 40    − 5 R3 + R2 → R2  0 1 0 M 20   0 0 1 M 80    El comerciante debe mezclar 40 libras de maní de menor precio, 20 libras del de mejor calidad y 80 libras de nueces de la India.

Ejercicios

Utilizar matrices en la solución de los sistemas.  x − 2 y − 3z = − 1  1. 2 x + y + z = 6  x + 3 y − 2 z = 13 

 x + y −z = 7  2. 4 x − y + 5 z = 4 2 x + 2 y − 3 z = 0 

2 x − 3 y + 4 z = − 17  3. 3 x − 2 y + 3 z = − 17  x + 2 y − 7 z = 37 

− y + 3z = 6  4x  4. − 8 x + 3 y − 5 z = − 6  5x − 4 y = −9 

3 x − 2 y − 3z = 0  5. 2 x + 3 y + z = 1 4 x + 2 y − 2 z = − 10 

 2 x1 − 3x2  6. − 3 x1 + 2 x2  4x + x2  1

2 x1  7. 2 x1 4 x  1

− 3 x2 + 3 x2

+ 2 x3 + x3

= =

−3 1

+ 2 x2

− 2 x3

= − 10

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

+ 2 x3 + x3 − 3 x3

= −3 = 1 = 4

 x + 3y − z = − 3  8. 3 x − y + 2 z = 1 2 x − y + z = − 1 

Página 12

5 x + 2 y − z = − 7  9.  x − 2 y + 2 z = 0  3y + z = 17 

3 x + 6 y − 6 z = 9  10. 2 x − 5 y + 4 z = 6 5 x + 28 y − 26 z = − 8 

 3x − 2 y + z = 4  11. − 3x + 2 y + z = 1  4x + y − 3z = 4 

− x1 + x2  12.  2 x1 + x2  x  1 − 2 x2

− x1 + x2  13.  x1 + 3 x2  4x  1 + x2

+ x3 − x3

= 1 = 1

− 3x3

= 4

− x + y + z = 1  14.  x + 3 y − z = 1  4x + 2 y + z = 1 

+ x2  x1  15. 3 x1 + x2 4 x + 2 x 2  1

+ 3 x3 + 2 x3 + 3 x3

= 3 = 2 = 1

− x + y + z = 1  16.  x + 3 y − z = 1  2x + 2 y + z = 1 

+ x3 + 2 x3 + 3 x3

= 1 = 2 = 1

2 x − 2 y − z = 0  17. 2 x + 4 y − 2 z = − 6 5 x − 2 y − 3 z = 7 

 2 x + 3 y − 3z = 2  + z = −5 18.  3 x − 6 x + 3 y − 3 z = 4 

2 x + 3 y − 3 z = 2  19.  x + 3 y − z = 1 4 x + y − 3 z = 4 

2 x + 3 y − 3 z = 2  20. 3 x −z = 1 4 x + y − 3 z = 4 

 x − y + 4z = 0  21.  2 x + y − z = 0 − x − y + 2 z = 0 

x + y + z = 0  22.  x − y + z = 0 x − y − z = 0 

− 8 x + 6 y + z = 0  23.  4 x − 4 y − z = 0  2x +y +z = 0 

+ 3 y + 11z = 0  x  24. − 3 x − 6z = 0  + 4 y + 12 z = 0 

3 x + 2 y − 5 z = 0 25.   x − 3y + 4z = 0

4 x + 3 y + 4 z = 3 26.  5 x − 6 y + 4 z = 0

 x + 3y + 7z = 7 27.  3 x + 5 y − 3 z = 5

6 x − 2 y + z = 12 28.  5 x − 3 y + 2 z = 7

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 13

6 x + 4 y − 3 z = 4 29.  6 x − 3 y + 4 z = 7

− 3 x + 4 y − 4 z = 4 30.  − 3 x − 6 y + 4 z = 5

30. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan $3´000.000 y los del tipo F2 $5´000.000. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de $70´000.000 para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos de cada tipo debe comprar? 31. Una compañía tiene tres maquinas, A, B y C, cada una de las cuales puede producir cierta pieza: sin embargo, debido a la falta de operadores calificados, sólo es posible trabajar dos al mismo tiempo. La tabla indica la producción de un período de tres días, usando varias combinaciones de las maquinas. ¿Cuánto tardara cada máquina, si se emplea sola, en producir 1000 piezas? Maquinas usadas Horas usadas Piezas producidas AyB 6 4500 AyC 8 3600 ByC 7 4900 32. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, concentrándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión? 33. En una competencia deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas que hay en cada categoría.

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 14