Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos variables: X + 6y = 27 7x – 3y = 9 Los valores de x, de y con los mismos en ambas ecuaciones. Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el valor de cada variable; obviamente se necesitan 2 ecuaciones. Hay varios métodos: 1) Primer método: Eliminación por igualación: Se despeja en ambas ecuaciones una de las variables y se igualan sus valores. Ejemplo: Tomemos las ecuaciones 3x + 5 y = 7 2x – y = -4 Despejemos x con ambas ecuaciones e igualemos sus valores:

7 − 5y 3 Resolvamos: x=

;

x=

2 (7 – 5y) =

3 (y - 4)

14 – 10y

3y – 12

=

26

y−4 2

⇒

7 − 5y y − 4 = 3 2

= 13y

y = 2 Ahora reemplacemos el valor de y con una de las ecuaciones: 3x + 5y

= 7

3x + 5 (2)

= 7

3x x

Germán Giraldo

= 7 - 10 = -1 Solución =

34

(-1,2)

Ahora podemos hacer la representación gráfica de las 2 ecuaciones en un solo plano cartesiano. Escribamos como primer punto la solución (-1,2) y otros dos puntos: 7 − 5y Primero: 3x + 5y = 7; x = 3 X Y Segundo: 2x – y = -4; X Y

-1 2

0 2 1 5 y−4 x= 2

-1 2

-3 1 3 5

-2 0

0 4

Ubicamos en un plano cartesiano los tres puntos de la primera ecuación y al unirlos, obtenemos una recta que se corta en el punto (- 1,2) con la recta que resulta de unir los tres puntos de la segunda ecuación. Ese punto (- 1,2) es la solución gráfica del sistema de las dos ecuaciones. 2) Método eliminación por sustitución. Ejemplo: 32 x = 25 y + 13 15 y + 16 x = 1 despejamos en una de las ecuaciones una variable y sustituímos su valor hallado en la otra. Por ejemplo: en la primera x =

25 y + 13 32

sustituímos la x en la segunda quedando así:

⎛ 25 y + 13 ⎞ 15 y + 16 ⎜ ⎟ = 1 32 ⎝ ⎠ Simplificando 16 y 32 queda: 25 y + 13 =1 2 m.c.m. = 2 30 y + 25 y + 13 = 2 55 y = - 11 1 y=Germán Giraldo 5 15 y +

35

De la misma forma que procedimos en el ejemplo anterior, podemos dibujar la gráfica de este sistema de ecuaciones. Para encontrar el valor de x, tomamos cualquiera de los valores hallados para x en una de las ecuaciones y sustituímos la y por el valor hallado:

⎛ 1⎞ 25 ⎜ − ⎟ + 13 35 y + 13 8 1 − 5 + 13 ⎝ 5⎠ = = = = x= 32 32 32 32 4 3) Método de reducción (suma y resta) 7 x – 1 = 15 y - 8 – x = 6 y: Ordenamos las ecuaciones a su posición canónica: 7 x – 15 y = 1 -x - 6y=8 Eliminamos una de las variables, multiplicando ambas ecuaciones por números tales que la variable pueda cancelarse: (2)(7 x – 15 y) = (1) (2) - 5 (- x – 6 y) = (8) (- 5) Quedan así: 14 x – 30 y = 2 5 x +30 y = - 40 19 x x x

= - 38 38 = − 19 = - 2

Para hallar el valor de y, despejamos esta incógnita: -8–x=6y ⇒

−8− x = y 6

y=-1

S=

− 8 − ( − 2) = y 6

⇒

{( − 2, − 1)}

Germán Giraldo

36

⇒

−6 = y 6

Podemos después dibujar la gráfica. Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas por cualquier método y dibujar la gráfica: 1) 8 m – 5 = 7 n – 9 6m =3n+6 3) 3(x + 2) = 2 y 2 (y + 5) = 7 x

2) m – 1 = 3n- 7 =

n+1 m+3

4)(b – c) – (6 b + 8 c) = - (10 b + 5 c + 3) (b + c) – (9 c – 11 b) = 2 c – 2 b

5) 5 (p + 3q) – (7 p + 8 q) = 6 7 p – 9 q – 2 (p – 19 q) = 0

6) 2 (m + 5) = 4 (n – 4 m) 10(n – m) = 11 n – 12 m

7) 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0 5(x - 1) – (2y - 1) = 0

8) x (y – 2) – y (x – 3) = - 14 y (x – 6) – x (y – 9) = 5

Resolver los siguientes sistemas por un método, combinando los tres:

3x + y = 11 2 9) y x + =7 2 11) 12 x + 5 y + 6 = 0 5x 7 y − = − 12 3 6

13)

15)

17)

y−3 + 3x 5 x−2 9+ =3y 7 6=−

x + y = 2b a x − y=a−b b 18 + x 12 + x

7 19 =− y 2 5 13 =− y 2

Germán Giraldo

5x − y = 9 12 10) 3y = 15 x − 4 1 + 5x 12) y = − 4 3y + 3 − =x 4 y − x 2x + y 17 14) − =− 3 2 24 x−2 y−7 = x+2 y−5

16)

18)

x+b y−b a+b + = a b b x−a y−a a+b − =− b a a 2 2 m+n + = x y mn m n − = 0 x y

37

4) Método de resolución por determinantes: Una matriz es una disposición de números en filas y columnas a12 ⎞ ⎛a ⎟⎟ una matriz de 2 x 2. Entonces Sea A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21 a 22 ⎠ DetA = A = a11 a 22 − a12 a 21 Sea el sistema de ecuaciones: a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Despejamos la x en ambas ecuaciones. c − b1 y c − b2 y x= 1 x= 2 a1 a2 Igualamos los dos valores de x; despejamos la y:

c1 − b1 y c2 − b2 y = a1 a2

a2(c1 – b1y) = a1(c2 – b2y) a2c1 – a2b1y

=

a1c2 – a1b2y

a1b2y – a2b1y = a1c2 – a2c1 y(a1b2 – a2b1)

y =

=

a1c2 – a2c1

a1

c1

a2 a1c2 − a2 c1 = a1 a1b2 − a2b1 a2

c2 b1 b2

Germán Giraldo Con el mismo procedimiento obtenemos:

38

c1b2 − c2b1 a1b2 − a2b1

X =

=

c1

b1

c2 a1

b2 b1

a2

b2

Observamos que en el numerador de x la columna por

c1 c2

y en el numerador de y, la columna

columna

b1 b2

a1 a2

es reemplazada

es reemplazada por la

c1 c2

Resolver por determinantes: 19) 7x + 8y = 29 = - 326

20) 13x – 31y

5x +11y = 26

25x + 37y = 146

21) 8x = - 9y 2x + 5 + 3y =

22) 3x – (y + 2) = 2Y + 1

7 2

5Y – (X + 3) = 3X + 1

x+2 y−3 5 − = 2 8 6 24) y − 5 2x − 3 − =0 6 5

x y + = −4 4 6 23) x y − =0 8 12

Estos ejercicios han sido tomados del Álgebra de Baldor. Germán Giraldo

39

Ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas. 4x + 2y + 3z = 8 3x + 4y + 2z =- 1 2x – y + 5z = 3

Tomamos dos ecuaciones cualesquiera y procedimiento antes visto, una de las variables.

eliminamos

por

el

Por ejemplo, tomemos la primera y la segunda ecuación y eliminemos la y:

- 2(4x + 2y + 3z) = 8(-2) 3x + 4y + 2z = - 1

8x - 4y + 6z = - 16 3x + 4y + 2z = - 1 11x

+ 8z = -17

Ahora tomemos una de las dos que tomamos anteriormente y la que faltaba y eliminemos la misma variable: 4x + 2y + 3z = 8

4x + 2y + 3z = 8

2(2x – y + 5z) = (3)(2)

4x - 2y + 10z = 6 8x

+ 13z = 14

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos variables y resolvemos el sistema como lo hicimos anteriormente. Para calcular el valor de la variable que falta reemplazamos en una de las ecuaciones iniciales los valores de las otras dos variables.

Germán Giraldo

40

Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones y representar gráficamente el punto solución. (Los 3 primeros por reducción, los otros 3 por determinantes). 25)

a b c + − =3 2 2 3 a b c + − =−5 3 3 2

26)

28) 3b + 3a+ 5c

a+ 30)

= 24 =

c−

29) m + n =

9

a−7 =b−5 3

1

n +p = -1

c + 2b = 8

2m - p

b+2 =c+4 5 c+4 b− =a−6 2

27) a −

n− p m+2 = 3 10

a b c − + =0 6 3 6

2a + 2b + c

m+n n+4 = 7 5 m− p n−4 = 5 2

p +m= -6

= 14

4m + n –

p

= 41

3m - n + 5p

= 53

Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres variables por determinantes. Sea el sistema a1x + b1y + a2x + b2y + a3x + b3y + El valor de

x=

de ecuaciones: c1z = d1 c2z = d2 c3z = d3 x de acuerdo

con

demostración

d1

b1

c1

d2

b2

c2

d1

b1

c1

d3

b3

c3

d2

b2

c2

d1

b1

c1

d3

b3

c3

d2

b2

c2

a1

b1

c1

a1

b1

c1

a2

b2

c2

a2

b2

c2

a3

b3

c3

a3

b3

c3

a1

b1

c1

a2

b2

c2

x=

41

=

anterior

es:

[ ( d1 )( b2 )( c3 ) + ( d 2 )( b3 )( c1 ) + ( d3 )( b1 )( c2 ) ] − ⎡⎣( d3 )( b2 )( c1 ) + ( d1 )( b3 )( c2 ) + ( d 2 )( b1 )( c3 ) ⎤⎦ ⎡⎣( a1 )( b2 )( c3 ) + ( a2 )( b3 )( c1 ) + ( a3 )( b1 )( c2 ) ⎤⎦ − ⎡⎣( a3 )( b2 )( c1 ) + ( a1 )( b3 )( c2 ) + ( a2 )( b1 )( c3 ) ⎤⎦ Problemas de aplicación 1. Dos estudiantes gastan, el uno los 3/7 de sus ahorros, el otro 1/3 de sus ahorros. La suma de los que les queda es $70 000 y la diferencia de sus gastos es $15 000. ¿Cuánto había ahorrado cada uno? Respuesta: $70000 y $45000 2. Un pescador afirma que el número de peces cogidos es un número compuesto de 2 cifras que suman 12 y en el que las unidades son el triple de las decenas. ¿Cuántos peces cogió? Respuesta: 39 peces 3. El número de libros que poseen 2 estudiantes está en la relación que forman dos números dígitos. ¿Cuáles son estos números sabiendo que al agregar 3 al numerador y 1 al denominador da ½ y que si se agrega 1 al numerador y se quita 1 al denominador da 1/3? Respuesta: 1 y 7 4. Encontrar dos números Respuesta: 22 y 12

cuya suma sea 34 y su diferencia 10.

5. El perímetro de un rectángulo es de 60 metros. Si el largo se aumenta en 3 metros y el ancho se disminuye en 3 metros, el área se disminuye en 21 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Respuesta: 13 y 17 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar en monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, después de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe? Respuesta: 10 de 5 y 2 de 25 7. Un joyero tiene 2 barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y la otra, de 18 quilates (el oro de 24 quilates es de oro puro; el 12 18 de 12 quilates corresponde a de pureza; el de 18 a de 24 24 pureza, y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gramos de oro de 14 quilates? R.20/3 y 10/3 gr

GGG

42

8. Una caja de cartón contiene 144 paquetes pequeños; unos pesan ¼ de libra cada uno, y los otros ½ libra: ¿Cuántos de cada tipo hay en la caja si el contenido total pesa 51 libras? Respuesta: 84 de ¼ y 60 de ½ libra 9. Tres hermanos han comprado una casa por $ 100 000 000. El mediano dice que podría pagarla solo, si el menor le diera la mitad de su dinero; el menor dice que la pagaría solo, si su hermano mayor le diera la mitad de lo que posee; el mayor, pide el dinero del mediano para pagar solo la casa. ¿Cuál es la herencia de cada uno de los jóvenes? 10. Las ciudades de Barranquilla, Medellín y Bucaramanga están situadas en los vértices de un triángulo. La distancia aproximada en línea recta entre Barranquilla y Bucaramanga, pasando por Medellín, es de 800 kms; la de Barranquilla a Medellín, pasando por Bucaramanga, es de 744 kms; la de Bucaramanga a Medellín, pasando por Barranquilla, es de 976 kms. Calcular las distancia entre estas ciudades. 11. El perímetro de un triángulo es 33 metros. El lado mayor es 5/6 de la suma de los otros dos lados y a la diferencia de estos le falta 1 metro para igualar a 1/5 del mayor. ¿Cuáles son los lados del triángulo? Respuesta: 8, 10 y 15 metros 12. Repartir una herencia de $8600000 entre tres personas de manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como 2 es a 3 y que la parte de la segunda sea a la de la tercera como 5 es a 6. Respuesta: $2000000, $3000000, $3600000 son las herencias 13. En un corral hay cerdos y gallinas. Si se cuentan las cabezas hay 5 y si se cuentan las patas hay 14. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay? 14. Se han envasado 20 litros de leche en 15 botellas, unas son de 1l y otras de 2l. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 15. En una clase se han regalado 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico por buen comportamiento. En total hay 8 alumnos y se han regalado 13 objetos. ¿Cuántos chicos y chicas hay? 16. Tenemos dos números que si se suman dan 9 y si se restan dan 3. ¿Cuáles son esos números?

Germán Giraldo

43

17. La suma de dos números nos da 11. Si dividimos el primero por 5 y el segundo por 3 y los sumamos nos da como resultado 3. ¿Cuáles son dichos números?

18. Un amigo le dice a otro: entre los dos tenemos 8€, pero si yo tuviese el doble, entonces tendríamos 11€. ¿Cuántos euros tiene cada uno de los dos amigos? 19. Tengo 11€ en monedas de 1 y 2 euros. En total tengo 8 monedas, ¿cuántas monedas de 1€ y 2€ tengo? 20. Dos números suman 40 y su cociente exacto es 4. Hallarlos. 21. Dos números suman doce y sus inversos, 12/35. Hallarlos. 22. Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa 5 cm. Si un cateto se hace cuatro veces mayor y otro aumenta en una unidad, la hipotenusa es de 13 cm. Hallar el perímetro del triángulo inicial. 23. Hallar la longitud de la arista de un cubo, sabiendo que un cubo que mide 2 m más de arista tiene una capacidad superior a la del primero en 218 m3. 24. Le preguntaron a María su edad y ésta contestó: El triple de la edad que tenía hace diez años es la edad que tengo más el doble que la que tenía hace quince años. ¿Qué edad tiene María? 25. Hallar dos números sabiendo que su producto es 15 y que la suma de sus cuadrados es 34. 26. Hallar dos números sabiendo que la suma de sus cubos es 224 y que su suma es 8. 27. ¿Cuál es el número natural, n, cuya mitad más tres multiplicada por su mitad menos tres da 187 como producto? 28. Hallar dos números, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 53 y su suma es 9. 29. La edad de un padre de familia es triple que la de su hijo. Dentro de 16 años será solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? 30. Las edades de tres hermanos sumadas dos a dos, dan 11, 14 y 23 años respectivamente. ¿Cuánto son las edades de cada uno de ellos?

GGG

44

FUNCIONES REALES Una función f definida de A en B, (f: A → B) es una correspondencia que asigna a cada elemento x ∈ A, un único elemento y ∈ B El elemento y ∈ B es el valor de x al aplicarle f y se denota por f(x), que es la imagen de x El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el codominio de la función. El rango o recorrido de la función es un subconjunto de B formado por todos los y = f(x) Ejercicios 1. Indique un ejemplo de una relación que cumpla con las condiciones siguientes: a) Es una función, tiene dominio {3,-1,1,0} y rango {2,4} b) No es una función, tiene dominio {5,1,4} y rango {0,2}. 2. Decida si la relación es una función e indique el dominio y el rango de la relación a)

b) (0,6)

(-4,0)

(0,9)

(4,0) (0,-6)

c)

(-3,0)

9 11

32 47

4 17

14 25

60

d) {(9,12),(0,12),(-1,6)} Germán Giraldo

45

(3,0)

3)

Hallar el dominio y el rango de las funciones dadas a

continuación: a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = x2 + 1 c) f(x) =

x

d) f(x) =

1 x−2

e) f(x) =

1 2

x +3

FUNCIÓN LINEAL Es aquella cuya gráfica es una línea recta. Su ecuación es f(x) = mx + b, donde b es un número real al que se lo llama ordenada al origen, y es el punto de corte de la recta con el eje y ; m es la pendiente. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas

II cuadrante

I cuadrante

x III cuadrante

IV cuadrante

Una función de un conjunto Ay en un conjunto B, es una regla que asigna a cada elemento del conjunto A un mismo elemento en el conjunto B.

Germán Giraldo

46

El dominio de toda función es el conjunto A y el rango está constituído por los elementos de B que son imágenes de algún elemento de A. Veamos algunos ejemplos de funciones lineales. Ejemplos: F (x) = x F (x = 2x – 4 F (x) = 8 -3x F (x) se puede representar como y. Por tanto puedo escribir: Y =

5x 5x en lugar de F (x) = 4 4

Hagamos la gráfica de: F (x) = 2x – 4 Para dibujar la gráfica comenzamos por hallar valores de y en función de x X Y

2 0

0 -4

1 -2

Ubicamos en un plano cartesiano los puntos (2,0); (0, -4); (1, -2). Al unir los puntos tendremos la recta que es la representación gráfica de esa función. En esta función, el dominio son todos los números reales representados en la recta horizontal (eje x) y el rango está formado por todos los números reales representados en la recta vertical (eje y). .

Germán Giraldo

47

GEOMETRÍA PERÍMETROS Y ÁREAS: Perímetro: Es la suma de las medidas de los lados de un polígono. hm dam m dm cm mm Km 103 m

102 m 101 m

100 m

10-1 m

10-2 m

10-3 m

Área: Es la medida de la superficie de un polígono. La unidad de medidas de superficie es el metro cuadrado. Tiene múltiplos y submúltiplos. Km2

hm2

dam2

106 m2

104 m2

102 m2

m2 100 m2

dm2 10-2 m2

cm2 10-4 m2

mm2 10-6 m2

Área de un cuadrado: L2. Es el cuadrado de su lado. Hay que tener en cuenta que el área se expresa en unidades cuadradas. Por ejemplo: El área de un cuadrado que tiene 26 cm de lado es: A = (26 cm)2 = 676 cm2 (centímetros cuadrados).

Área = (5,6 cm)2 = 31,36 cm2

5,6 cm

Área de un rectángulo: Es el producto de la medida del largo por la medida del ancho. 5,2 cm 2,5 cm cm2

Área = (5,2 cm) X (2,5 cm) = 13

Área de un triángulo: Un triángulo equivale a medio rectángulo, por eso, el área del triángulo es la mitad del producto de la base por la altura. Germán Giraldo

48

AB = 2,3 cm BC = 6, 4 cm El área del triángulo es igual al producto

A

B

dela base por la altura divididoentre 2.

C

El área es del triángulo + ABC es:

6, 4 cm × 2,3 cm 2

= 7,36

Área del romboide:

cm2

A

B

Altura: 2,5 cm

Área: 4,2 cm X 2,5 cm = 10,5 cm2

C

E D Base: 4,2 cm El área del romboide es igual al producto de la base por la altura. La base puede ser cualquiera de sus lados. La altura es una perpendicular trazada desde un vértice hasta la base. Área del rombo: Un rombo lo podemos dividir es dos triángulos iguales. Por tanto hallamos el área de uno de ellos y multiplicamos por dos. Simplemente, se halla el producto de las dos diagonales y se divide por dos. M

Diagonal MQ = 4,3 cm Diagonal NP = 3,4 cm

N

P

7,31 cm2 Q Germán Giraldo Giraldo

49

Área rombo MNQP:

4,3cm × 3, 4cm 2

=

Área del Trapecio: Un Trapecio se pude descomponer en dos triángulos. De Altura ahí se puede deducir su área. Área = ( Base mayor + Base menor ) 2 Base menor 3,4 cm Área Altura 2,2 cm 2, 2cm ( 3, 4cm + 6,5cm ) = 10,89 cm2 2 Base mayor 6,5 cm Triángulo rectángulo: A

El lado AC, opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

c

B

Los otros dos lados: AB y BC se llaman catetos.

b

a

Los lados de un triángulo pueden tomar el nombre del ángulo opuesto, escrito con minúscula. C

El cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la medida de los catetos. Este es el enunciado del teorema de Pitágoras. Un teorema es una afirmación que debe ser demostrada. Este enunciado se puede expresar de la siguiente manera, basándonos en el gráfico anterior: b2 = a2 + c2 Con esta fórmula, dada la medida de dos lados cualesquiera, podemos calcular el otro lado. Ejemplos: b = 5,5 cm a = 2,7 cm c=? (5,5 cm)2 = (2,7 cm)2 + c2

b=? a = 8 cm c = 6 cm b2 = (8 cm)2 + (6 cm)2

30,25 cm2 = 7,29 cm2 + c2

b2 = 64 cm 2 + 36 cm2

30,25 cm2 – 7,29 cm2 = c2

b2 = 100 cm2

22,96 cm2 = c2

b = 10 cm.

c = 4,79 cm

50

Ejercicios: 1. De acuerdo al gráfico de los ejemplos calcular el lado desconocido en los siguientes casos: b = 7,2 cm b=? b = 30 cm a = 5,4 cm a = 15 cm a=? c=? c = 18 cm c = 24 cm 2. ¿Cuál será la altura de un trapecio siendo el área 85 cm2, y las bases 22,5 cm y 16 cm respectivamente? 3. Hallar el largo de un rectángulo si su área es 36 cm2 y el ancho 9 cm. 4. Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 20 cm y 16 cm respectivamente. 5. Si uno de los ángulos obtusos de un romboide mide 1100, ¿cuánto miden los otros tres ángulos? (No olvidar que la suma de los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero es 3600. 6. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente? Área de polígonos regulares. Polígono regular es el que tiene sus lados congruentes (igual medida) y sus ángulos igualmente congruentes. Área de un polígono regular. Es igual al perímetro del polígono por el número de lados del polígono.

A=

Apotema × lado × N º de lados 2

Germán Giraldo

51

Radio

Apotema

Lado del exágono

7. Hallar el área de un triángulo equilátero de 8 cm. de lado. 8. Hallar el área de un exágono regular de 12 cm. de lado. 9. La apotema de un exágono regular mide 6 cm. Hallar su área. 10. Hallar el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm. de radio. 11. La base menor de un trapecio es un tercio de la mayor. Si su área es igual a 56 m2, hallar las bases sabiendo que su altura mide 4 m. 12. La mayor de las diagonales de un rombo mide 32 cm. y su lado mide 20 cm. Hallar la otra diagonal. 13. Hallar el área de un círculo cuya circunferencia mide 43,77 cm.

Germán Giraldo

52

14. Hallar el área de un exágono regular inscrito en un círculo cuya área es 508,68 cm2. 15. Hallar la longitud de la circunferencia y el área del círculo de radio 3,81 cm. 16. Hallar el área de un círculo cuya circunferencia tiene una longitud de 50,24 cm. 17. Hallar el diámetro de un círculo cuya área es 254,34 cm2 18. Calcular el área de un círculo inscrito en un cuadrado cuyo perímetro es 30 cm. 19. Calcular el área de un exágono regular inscrito en un círculo cuya área es 1.017,36 cm2. 20. Hallar el área de la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas de 15 cm. y 9 cm. de radio respectivamente. Volúmenes y áreas totales: Volumen: Es la medida del espacio ocupado por un cuerpo. La unidad de las medidas de volumen es el metro cúbico (m3). Tiene múltiplos y submúltiplos. Km3 109 m3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

106m3

103 m3

100 m3

10-3 m3

10-6 m3

10-9 m3

Área total del cubo = área de una cara x 6 Volumen del cubo = (arista)3 Volumen de un prisma: Área base X altura Área base de un cilindro = π R2 Área lateral de un cilindro = 2 π rh (h es altura del cilindro) Volumen de un cilindro = área de la base por altura = π R2.h

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Volumen de una pirámide =

Volumen del cono =

área de la base × altura 3

área de la base × altura π R2 × h = 3 3

Área lateral del cono = 2 π .Generatriz

Generatriz

Este triángulo rectángulo al girar sobre uno de los catetos genera un cono. Uno de los catetos es la altura del cono y el otro es el radio de la base del cono. La hipotenusa es la generatriz del cono. Volumen de la esfera =

4 π R3 3

Área de la esfera = 4 π R2

Poliedros: Son sólidos cuyas caras son polígonos congruentes. Son 5 clases de poliedros: Tetraedro regular: Sus 4 caras son triángulos equiláteros. (Una pirámide triangular regular de caras congruentes) Exaedro regular o cubo: Sus 6 caras son cuadrados. Octaedro regular: Sus 8 caras son triángulos equiláteros. Dodecaedro regular: Sus 12 caras son pentágonos. Icosaedro regular: Sus 20 caras son triángulos equiláteros.

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Problemas: 21. Hallar el área de un tetraedro regular cuya arista vale 10 cm. 22. Hallar la longitud de la arista de un octaedro regular cuya área total es 72 cm2 23. Calcular la arista de un cubo cuya área total es 96 cm2 24. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 8 cm. 25. Hallar el área total de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 10 cm. y la arista lateral 30 cm. 26. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuya base tiene 12 cm. de lado y la altura del prisma es 20 cm. 27. Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal regular cuya base tiene 8 cm. de lado y la apotema de una cara de la pirámide mide 16 cm. 28. Hallar el área total de una pirámide hexagonal regular si el lado de la base mide 6 cm y la apotema de una cara de la pirámide mide 8 cm. 29. Hallar la apotema de una cara lateral de una pirámide hexagonal regular de 12 cm. de altura y 4 cm de lado de la base. 30. Hallar el área total de un prisma que tiene por base un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm. y uno de los catetos mide 6 cm. y la altura del prisma es 16 cm. 31. El volumen de un prisma cuadrangular es 1200 cm3 y dos de sus dimensiones son 25 cm. y 6 cm. Hallar la otra dimensión. 32. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide 8 cm. y la altura del prisma 10 cm. 33. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y la apotema de una cara lateral es 5 cm. 34. Hallar la arista de un cubo cuya área es equivalente a la de un prisma de dimensiones 8 cm., 4 cm. y 16 cm. 35. La diagonal de un cubo mide 24 cm. Hallar su volumen.

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36. El área total de un cubo es 48 cm2. Hallar el volumen. 37. Hallar el volumen de una pirámide hexagonal regular si la apotema de la base mide 8 cm., y la apotema de una cara de la pirámide mide 30 cm. 38. Hallar el área total y el volumen de un sólido formado por un cubo y una pirámide cuadrangular regular. Los vértices de la base de la pirámide coinciden con los puntos medios de los lados de una de las caras del cubo. El área de la base de la pirámide mide 256 cm2 y la apotema de una cara lateral de la pirámide mide 30 cm. 39. Una base de un cilindro coincide con la base de una semiesfera y la otra base está inscrita en una de las bases de un prisma cuadrangular regular; la altura del cilindro mide 80 cm. y la del prisma 30 cm. y el área lateral de la semiesfera es 6000 cm2. Calcular el área total y el volumen del sólido formado.

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