Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un Ambiente Virtual

Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Eje 2. Razonamiento lógico matemático “[…] Se ha convertido casi en un comentario cliché, que nadie hoy en día alardea de ser un ignorante en literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y afirmar orgulloso que se es un incompetente en matemáticas”. Richard Dawkins

Presentación El razonamiento lógico-matemático pretende medir habilidades para contextualizar las matemáticas en nuevas situaciones, lo cual propicia generar nuevos conocimientos y aplicarlos en trabajos prácticos. Estas habilidades permiten además, procesar, analizar y utilizar gran cantidad de información en las áreas de las matemáticas como la aritmética, el álgebra, la geometría y otros campos del conocimiento. El razonamiento matemático y la habilidad matemática, permiten comprender conceptos y proponer algoritmos para resolver problemas, ya sean éstos contextualizados o abstractos. En este apartado se te presentan problemas de razonamiento lógico-matemático, puesto que el dominio de estas áreas es indispensable para iniciar tus estudios en la Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM). En la primera unidad se te explican los métodos y técnicas para resolver problemas, partiendo del razonamiento inductivo, complementado con el razonamiento deductivo; los problemas se presentan de acuerdo al grado de complejidad, sin embargo con los procedimientos presentados, dicha complejidad no será impedimento para resolver los problemas. En la segunda unidad se te muestra el método de Polya para la solución de problemas matemáticos, así como diversos ejemplos correspondientes a éstos.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Otra parte fundamental que revisarás es el razonamiento lógico abstracto aplicado al desarrollo de mecanismos el cual te servirá en la relación de secuencias de figuras. Para comprender mejor estos elementos, es necesario que prestes mucha atención a los ejemplos que se te presentan a lo largo del curso, ya que éstos ayudarán a resolver aquellas situaciones que se proponen dentro de las actividades.

Competencias A través de este eje desarrollarás la siguiente competencia específica: 

Desarrolla la habilidad de resolver problemas mediante los conceptos generales de matemáticas básicas para su representación dentro de la vida cotidiana.

Propósitos Los propósitos de este eje son los siguientes:  Identificar los tipos de razonamiento inductivo y deductivo a través del estudio de sus características para resolver problemas de la vida cotidiana.  Desarrollar la capacidad de análisis y construcción de esquemas que permitan la solución de un problema.  Resolver problemas de razonamiento matemático, utilizando el razonamiento lógico-matemático.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Metodología: ¿cómo vas a desarrollar las competencias? La forma en que se recomienda cursar este eje es revisar y analizar los ejemplos que se proponen, dado que ellos te permitirán resolver los diferentes planteamientos que se presentan en cada una de las unidades que estudiarás. Además, es indispensable que revises los recursos que se sugieren, ya que son una herramienta valiosa para lograr la competencia del curso. Así que se te invita a analizar y resolver los diferentes planteamientos que se presentan en este eje.

Planeación para tu aprendizaje El Eje 2 está dividido en tres unidades, y al finalizar cada una de ellas realizarás una actividad para evaluar tu aprendizaje y las competencias que se pretende que desarrolles. Para conocer las actividades, recursos y la forma en que será evaluado tu trabajo, revisa la siguiente planeación en la cual se muestran todos los elementos necesarios para cursar este eje de manera satisfactoria.

Unidad 1. Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo 1.1. Razonamiento inductivo 1.2. Razonamiento deductivo Logros: Identificar los tipos de razonamiento inductivo y deductivo, mediante el estudio de sus características (Análisis) Aplicar el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en la resolución de problemas (Utilización) Competencias digitales: Resuelve cuestionarios en línea para autoevaluar su aprendizaje, mediante el uso de la herramienta de evaluación que gestiona Moodle. Herramienta Recursos Actividad Evaluación Horas 12 horas Contenido en plataforma Actividad 1. Cuestionario 10% Lectura: Inducción y 9 para lectura de Moodle deducción  Razonamiento inductivo y deductivo contenidos Videos:

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático  

3 para la resolución del cuestionario

Razonamiento inductivo Razonamiento deductivo

Unidad 2. El arte de resolver problemas 2.1. Uso de tabla o diagrama 2.2. Trabajar hacia atrás 2.3. Uso de ensayo y error 2.4. Suposición y verificación 2.5. Elaboración de un boceto Logro: Identificar los cuatro pasos de Polya para la resolución de problemas de razonamiento lógico-matemático.(Compresión) Resolver problemas de lógica matemática por medio de los pasos de Polya. (Utilización) Competencias digitales: Resuelve cuestionarios en línea para autoevaluar su aprendizaje, mediante el uso de la herramienta de evaluación que gestiona Moodle. Herramienta Recursos Actividad Evaluación Horas 12 horas Actividad 2. Ingenio lógicomatemático

10%

9 para revisión de recursos 3 para solución de la actividad

Cuestionario Moodle

Contenido en plataforma. Lectura:  Método de cuatro pasos de Polya

Unidad 3. Razonamiento lógico abstracto 3.1. Ejemplos de razonamiento lógico 3.2. Relación de tiempo 3.3. Ordenamiento lineal 3.4. Parentesco Logro: Identificar problemas de orden lógico abstracto mediante el estudio de sus características. (Compresión) Resolver problemas de lógica matemática utilizando los diferentes métodos aprendidos en las unidades anteriores. (Utilización) Competencias digitales: Resuelve cuestionarios en línea para autoevaluar su aprendizaje, mediante el uso de la herramienta de evaluación que gestiona Moodle. Herramienta Recursos Actividad Evaluación Horas 12 Horas Contenido en plataforma. Lecturas: 9 para el estudio de los Actividad 3.  Ordenamiento y clasificación jerárquica recursos Razonamiento 10% Cuestionario  Razonamiento lógico y abstracto 3 para la solución de la Moodle abstracto actividad Videos:  Razonamiento lógico  Razonamiento abstracto

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Mapa general del eje A continuación se muestra la estructura general del eje, con las competencias particulares, las unidades y actividades que llevarás a cabo durante su desarrollo.

Competencia Desarrolla la habilidad de resolver problemas mediante los conceptos generales de matemáticas básicas para su representación dentro de la vida cotidiana

Actividad 1. Inducción y deducción

Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Unidad 2. El arte de resolver problemas

Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo

Actividad 2. Ingenio lógico matemático

Unidad 3. Razonamiento lógico abstracto

Actividad 3. Razonamiento abstracto

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Unidad 1. Razonamiento inductivo y deductivo El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por tanto, domina al mundo. Arturo Santana Pineda

En la vida cotidiana se utiliza el razonamiento para tomar decisiones en diversas situaciones. Dicho razonamiento nos permite estructurar diferentes enunciados que, a su vez, permiten determinar el curso de una acción, sea correcto o incorrecto. Lo mismo sucede en la escuela, constantemente debes tomar decisiones dentro del ámbito estudiantil, para lo cual utilizas dos tipos de razonamiento: el inductivo y el deductivo. Pero, te has preguntado…

¿Cuál es la estructura del pensamiento al razonar para determinar el resultado de un problema? ¿Realizas un proceso para resolver un problema o simplemente intuyes el resultado?

Para profundizar sobre los tipos de razonamiento, revisa la siguiente lectura Razonamiento inductivo y deductivo.

Razonamiento deductivo e inductivo La historia de las matemáticas se remonta al antiguo Egipto y Babilonia. Ante la necesidad de resolver problemas a través de errores y victorias, estas culturas lograron determinar técnicas que después utilizaron constantemente, como recetas de cocina, lo cual se repitió una y otra vez en problemas similares. Al observar que esta técnica funcionaba con ciertos tipos de problemas, concluyeron que este método funcionaba para problemas del mismo tipo.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Cuando resolvemos un problema, podemos llamar a la solución conjetura, que es una hipótesis, (conclusión no demostrada), que se fundamenta en observaciones repetidas de un proceso o patrón determinado. A este tipo de procesos, por su parte, se le llama razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusión general, o conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos específicos; dicha conclusión puede llegar a ser verdadera o no. Es fácil demostrar que la solución a estos ejemplos es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que así lo compruebe; a ese tipo se le conoce como contraejemplo. Podemos mencionar, además, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el punto.

Conjetura: Todos los números primos son impares Ejemplo: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Si observamos el conjunto de números, todos son números primos, pero no todos son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura. Contraejemplo: El número 2 es un número primo, pero no un número impar.

Observa el siguiente ejemplo de razonamiento inductivo:

Premisa 1: Alberto tiene 25 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Premisa 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de Izquierda. Premisa 3: Alberto tiene 22 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda. Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan por partidos de izquierda.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Las premisas anteriores pueden ser refutadas, es decir, demostrarse su falsedad con tan sólo encontrar a una persona de entre 20 y 25 años, que viva en la ciudad de México y que no vote por un partido de izquierda, el cual sería un Contraejemplo. Y es un hecho que no todas las personas de entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda.

Este tipo de razonamiento inductivo es un método potencialmente fuerte para llegar a una conclusión, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razón, algunos matemáticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo. Por su parte, el razonamiento deductivo inició con los matemáticos griegos, como revelan los trabajos de Pitágoras, Arquímedes y Euclides, entre otros, quienes aplicaron conceptos generales a problemas específicos, lo que dio como resultado un desarrollo lógico y estructurado de las matemáticas. Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un razonamiento inductivo y otro deductivo. Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el más utilizado en problemas lógico-matemáticos. Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas.

Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse. Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno. Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm.

Ahora revisa algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales se utilizarán los números naturales o números cardinales. Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático ¿Cuál es el número que sigue en la lista?, ¿cuál es el patrón? Si observamos y analizamos los números, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. ¿Sumamos 15 y 7 para obtener 22?, ¿sumamos 22 y 7 para obtener 29? Sí, efectivamente. Sumamos 7 a todo número precedente, de modo que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente número de la secuencia, utilizamos la observación, y se determina tanto el patrón como el número que sigue en la secuencia. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. Usando el razonamiento inductivo se concluye que 43 era el número siguiente, pero, ¿qué pasa si se presenta otra respuesta, por ejemplo, se relaciona con las fechas de los meses Junio y Julio? Junio D

L

M

M

J

V

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Julio D

L

M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Entonces, la secuencia quedaría de manera diferente: 1, 8, 15, 22, 29, 6, 13, 20, 27 Si analizamos la secuencia, el patrón sigue siendo 7, pero el consecutivo cambia. Aquí se muestra una falla importante en la conclusión a partir de la aplicación del razonamiento inductivo, la verdad en un caso específico no garantiza la verdad en lo

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático general, por lo tanto, el razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero ofrece los medios para hacer una conjetura. En matemáticas es común utilizar la expresión exponencial, que no es otra cosa que representar la multiplicación repetida: Base

𝟑𝟐

=

3.3 = 9

Exponente En el razonamiento deductivo se usan enunciados generales para aplicarlos en situaciones específicas, por ejemplo el teorema de Pitágoras: “En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.”

Cateto opuesto

Hipotenusa 𝒉𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Cateto adyacente Si los catetos miden 6 y 8 metros, podemos calcular la longitud de la hipotenusa, representada por ℎ. ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ℎ = (6)2 + (8)2 ℎ2 = 36 + 64 2

ℎ = √100 ℎ = 10 Por lo tanto, la hipotenusa mide10 metros, aplicando la regla general del teorema de Pitágoras. Y ésta bajo las condiciones dadas, nunca arrojará una conclusión falsa ¡Claro, si se realizan bien las cuentas!

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático El razonamiento de un problema normalmente requiere de algunas premisas, lo cual puede ser un supuesto, una ley, un teorema, una definición matemática, observación o idea. Después, con el razonamiento inductivo o deductivo, se puede obtener la solución, misma que se vuelve un argumento lógico. Podemos concluir que el razonamiento inductivo se utiliza con frecuencia para predecir la respuesta de ejercicios de cálculo, como se muestra en el siguiente ejemplo. Predice la multiplicación y el producto que sigue en esta lista de operaciones: 21 × 5 = 105 21 × 8 = 168 21 × 11 = 231 21 × 14 = 294 Primero, debemos identificar que el 21 se repite en todas las operaciones; en tanto que en el segundo factor, el incremento entre 5 y 8 es 3, por lo tanto, la siguiente multiplicación sería: 21 × 17 = 357 - por lo cual puede ser verdadero, esto depende del contexto, como en el caso del calendario. Cuando utilizamos el razonamiento inductivo, corremos ciertos riesgos asociados al razonamiento. Un ejemplo clásico es el de dividir por regiones una circunferencia, partiendo de puntos. Veamos la siguiente gráfica:

Puntos = 1 Regiones = 1

Puntos = 2 Regiones = 2

Puntos =3 Regiones = 4

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Si observamos la figura, en la primera se colocó un punto sobre la superficie, y se denota una región; si en cambio, colocamos dos puntos sobre la circunferencia y los unimos con una línea recta, formamos dos regiones. Si finalmente, colocamos tres puntos sobre la circunferencia y los unimos por medio de líneas rectas, no se crean tres regiones, sino cuatro. Esto se puede representar por medio de una progresión geométrica: 1, 2, 4, ¿Qué pasaría si colocamos cuatro puntos en la circunferencia, o cinco?, ¿cuántas regiones tendríamos? Representando cuatro y cinco puntos en la circunferencia, quedarían de la siguiente manera:

Si volvemos a representarlo en la progresión geométrica, quedaría de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16 Analicemos ¿Cuál sería el número de regiones si colocamos 6 puntos en la circunferencia? Si respondemos por medio de una conjetura tomada de un razonamiento inductivo, la progresión quedaría de la siguiente manera: 1, 2, 4, 8, 16, 𝟑𝟐

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Representándolo gráficamente, sería:

¡Nos han robado! Sólo tenemos 31 regiones. Ahora probemos con siete puntos en la circunferencia. Razonando inductivamente, tendríamos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Representándolo gráficamente, tendríamos:

¡Nos han vuelto a robar! Ahora tenemos 57 regiones, cuando deberíamos tener 64. Conclusión: Este tipo de ejemplos ilustran que en matemáticas no podemos simplemente guiarnos por observaciones; en su lugar, necesitamos argumentos lógicos y rigurosos que constituyen una prueba que demuestra la veracidad del proceso.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Recursos Una vez que hayas analizado la lectura recomendada, observa con atención los siguientes videos, en los que encontrarás una explicación clara de los conceptos de inducción y deducción. Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo y deductivo parte 1 y 2. [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A Después de haber analizado el documento y el video, te invitamos a leer la siguiente reflexión, donde comprobarás que, algunas veces, actuar de manera inductiva te lleva a resultados equivocados si no demuestras antes lo que solamente asumes. El científico y las pulgas Un científico tenía dos frascos grandes frente a él sobre la mesa del laboratorio. El frasco de la izquierda contenía 100 pulgas, en tanto que el frasco de la derecha estaba vacío. El científico sacó con cuidado una pulga del frasco de la izquierda, la colocó sobre la mesa en medio de los dos frascos, dio un paso hacia atrás, y con voz fuerte dijo “salta”. La pulga saltó y luego la colocó en el frasco de la derecha. El científico sacó entonces cuidadosamente una segunda pulga del frasco de la izquierda y la colocó sobre la mesa entre los dos frascos. De nuevo dio un paso hacia atrás y, con voz fuerte, dijo “salta”. La pulga saltó y fue colocada en el frasco de la derecha. El científico trató del mismo modo a cada una de las 100 pulgas del frasco de la izquierda y cada pulga saltó como se le ordenó. Aplicó la misma mecánica nuevamente con las pulgas de la derecha, únicamente con un cambio. El científico sacó una pulga del frasco de la derecha, le arrancó las patas traseras, y colocó la pulga sobre la mesa, dio un paso hacia atrás y dijo con voz fuerte “salta”. La pulga no saltó y fue colocada en el frasco de la izquierda. El científico hizo lo mismo con las 100 pulgas y ninguna de ellas saltó cuando se les ordenó, por lo que el científico llegó a la siguiente conclusión: Cuando se arrancan las patas traseras a una pulga, se vuelve sorda.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Actividad 1. Inducción y deducción Propósito Identificar qué es el razonamiento deductivo y razonamiento inductivo, mediante la resolución de problemas. Desarrollo Con esta actividad podrás evaluar tus habilidades para la resolución de problemas matemáticos aplicando el razonamiento inductivo y deductivo. Indicaciones 1. Regresa al aula y busca la Actividad 1. Razonamiento inductivo y deductivo, en la lista de actividades. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario. 2. Responde el cuestionario, y cuando termines, revisa la realimentación. 3. El importante mencionar que solamente cuentas con dos intentos para responder el cuestionario Evaluación El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluación final del curso. Recursos Lecturas  Contenido en plataforma  Razonamiento inductivo y deductivo Videos  Razonamiento inductivo y deductivo parte 1 y parte 2. Herramienta  Cuestionario Razonamiento inductivo y deductivo Producto  Cuestionario completado

Para responder el cuestionario interactivo debes ingresar al aula virtual.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Cierre de la unidad A lo largo de esta unidad revisaste que, antes de resolver un problema, ya sea de ámbito matemático u otro, es necesario estructurarlo para poder identificar los elementos necesarios para resolverlo. El razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo te permiten formar estas estructuras; el primero determina un resultado que puede o no tener validez, en tanto que el segundo verifica este resultado. Estos tipos de razonamiento ayudan tanto a resolver cualquier tipo de problemas, como a desarrollar diferentes habilidades, tales como la capacidad de razonar, tomar decisiones y generar nuevas ideas en cualquier ámbito.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Unidad 2. El arte de resolver problemas El razonamiento matemático puede considerarse más bien esquemáticamente como el ejercicio de una combinación de dos instalaciones, que podemos llamar la intuición y el ingenio. Alan Turing

Ahora en esta unidad se brindan algunos métodos de solución de problemas, tomados desde la aportación de George Polya, quien fue uno de los autores que propusieron el método de resolución de problemas. Además, se muestran diferentes ejemplos y técnicas con los cuales puedes resolver problemas. Como haz visto en la primera unidad, el razonamiento inductivo puede ser útil para iniciar la solución de un problema, pero también debes utilizar el razonamiento deductivo para comprobar si la solución es veraz o falsa.

Pero, ¿realmente problemas? ¿Tenemos una resolverlos?

podemos

estructura

resolver

hecha

para

Para resolver problemas debes tener una organización al momento de comprender, analizar, clasificar y determinar el resultado, puesto que si sólo te guías por conjeturas o premisas, puedes caer en errores que te dificulten la solución adecuada. Es por ello que existen procesos o tipos de estrategias para resolver un problema, a continuación se muestran algunos de éstos. Método de cuatro pasos de Polya La estrategia más conocida es la de George Polya. Nacido en Hungría en 1887, Polya fue un matemático que desarrolló diversas técnicas para la solución de problemas. Su publicación más famosa fue “How to solve it” (Cómo resolverlo), donde propuso un método de cuatro pasos para la solución de problemas.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático A continuación se explica en qué consiste el método de cuatro pasos de Polya para la solución de problemas:

Paso 1

Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema si no entiende qué le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el problema cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias veces. Después de eso, pregúntese, ¿qué debo calcular?

Paso 2

Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un problema. Elija un plan adecuado para el problema específico que está resolviendo.

Paso 3

Aplique un plan: Una vez que sabe cómo enfocar el problema, ponga en práctica ese plan. Tal vez llegue a “un callejón sin salida” y encuentre obstáculos imprevistos, pero debe ser persistente.

Paso 4

Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea razonable. ¿Satisface las condiciones del problema? ¿Se han contestado todas las preguntas que plantea el problema? ¿Es posible resolver el problema de manera diferente y llegar a la misma respuesta?

El paso 2 del método para la solución de problemas de Polya aconseja elaborar un plan. Aquí se presentan algunos métodos y estrategias, propuestos por Poyla, que han demostrado ser útiles. Sugerencias para la solución de problemas  Si una fórmula aplica, úsela  Elabore una tabla o diagrama  Trabaje hacia atrás  Busque un patrón  Suponga y verifique  Resuelva un problema similar más  Use ensayo y error sencillo  Use el sentido común  Elabore un bosquejo  Busque la trampa que se le tiende en el  Use el razonamiento inductivo caso de que una respuesta parezca  Formule una ecuación y resuélvala demasiado evidente o imposible Cuando a George Polya se le preguntaba cómo llegó a ser matemático, él contestaba que: no era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que eligió matemáticas, que es una cosa intermedia.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Ahora que conociste los métodos propuestos por Polya, es momento de revisar algunos ejemplos para que te vayas familiarizando con estos procesos. Recuerda que esto te será útil durante toda la carrera profesional que curses, aunque no se trate exclusivamente de matemáticas. El desarrollo del plan que nos propone Polya requiere el uso de varios métodos que a continuación se presentan

Ejemplos de Métodos para resolver problemas

1. Uso de tabla o diagrama

Se tomará un ejemplo del libro “Liber Abaci” del matemático Leonardo Pisano, conocido como Fibonacci. Ejemplo 1. Un hombre colocó un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes los conejos no se reprodujeron, pero cada mes a partir de entonces tuvieron una nueva pareja de conejos. Si cada nueva pareja se reprodujera de la misma manera, ¿cuántas parejas de conejos habría al cabo de un año?

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Solución: Se comenzará con la aplicación delos pasos que propone Polya:

Paso 1. Comprende el problema: la intención es comprender qué es lo que solicita el problema, y la mejor manera de hacerlo es redactando el problema para entenderlo correctamente. Por ejemplo, ¿cuántas parejas de conejos tendrá el hombre al final del año, si inicia con una pareja de conejos que no procrea durante el primer mes, pero a partir de ahí lo hará cada mes; además cada pareja que tengan se procrearán de la misma manera que la primer pareja? Paso 2. Elabora un plan: en el ejemplo se identifica un patrón definido de cómo se reproducen los conejos, así que podrías construir la siguiente tabla:

Mes 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12°

Números de parejas al inicio

Número de nuevas parejas procreadas=

Números de parejas al final del mes

La respuesta estará aquí.

Paso 3. Aplica el plan: al inicio del primer mes sólo hay una pareja de conejos, y no se reproducen durante este periodo; es decir, 1+0 = 1. Este patrón continúa, pero al segundo mes hay dos parejas; es decir, 1+1 =2. Al tercer mes solamente se reproduce una pareja, porque la segunda no se reproduce durante su primer mes de vida; es decir 2+1=3. Al seguir el patrón, la tabla quedaría de la siguiente manera.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Mes

Números de parejas al inicio

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12°

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Número de nuevas parejas procreadas= 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Números de parejas al final del mes 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

Habrá 233 parejas de conejos al final del año. Paso 4. Revisa y verifica: regresa y asegúrate de que la interpretación del problema fue correcta; verifica si la suma de los números coincide con los resultados.

2. Trabajar hacia atrás

Planteamiento Alberto asiste cada semana al Hipódromo de las Américas para las carreras de caballo con sus amigos. En una semana duplicó su dinero, pero luego perdió $300. Regresó con su dinero la siguiente semana, lo triplicó, y luego perdió $600. La siguiente semana volvió a llevar su dinero y lo intentó nuevamente. En esta ocasión cuadruplicó su dinero al jugar lo suficiente para llevarse a su casa un total de $6,000. ¿Con cuánto inició la primera semana? Solución Como el problema requiere determinar la cantidad de dinero con que inició Alberto, y se conoce la cifra final, se puede aplicar el método de trabajar hacía atrás. La cantidad final es $6,000, y representa cuatro veces la cantidad con la que inició la tercera semana.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Se divide $6,000 entre 4, para saber la cantidad que tenía la tercera semana, lo que resulta ser $1,500. Antes de perder $600 la segunda semana, tenía 1500 + 600, o sea, 2,100. Es decir, triplicó su dinero, pues la segunda semana inició con 2,100 dividido entre 3, es decir, 700. Al repetir este proceso en la primera semana, sería: 700 + 300 = 1000 Lo cual representa el doble de la cifra con la que inició, por lo tanto: 𝟏𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 Respuesta Para verificar si el procedimiento es correcto, se puede representar en ecuaciones: Primera semana, (𝟐 × 𝟓𝟎𝟎) − 𝟑𝟎𝟎 = 𝟕𝟎𝟎 Segundo semana, (𝟑 × 𝟕𝟎𝟎) − 𝟔𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 Tercera semana, (𝟒 × 𝟏𝟓𝟎𝟎) = 𝟔𝟎𝟎𝟎

3. Uso de ensayo y error

Planteamiento Pedro, Raúl y Ana son amigos, y cada uno es dueño de sólo uno de los siguientes animales: perro, gato y tortuga. Identifica el nombre de la persona propietaria de cada animal con base en los siguientes datos: 1.- El sobrino de Ana tiene un gato 2.- Pedro tiene un perro 3.- Pedro no es el dueño de la tortuga Solución: Se parte por medio de ensayo y error. Se proponen cada uno de los datos y todas las combinaciones posibles, y se eliminan aquellas que contradicen alguno de los datos hasta obtener asignaciones completas. El anterior sería un ejemplo de combinaciones posibles, aunque se podrían colocar otras, como:

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático 1. 2. 3. 4. 5.

Pedro tiene la tortuga Falso Pedro tiene el perro Verdadero Raúl tiene la tortuga Falso Raúl tiene el perro Falso Raúl tiene el gato debe ser cierta por que no contradice ninguna información y es la única opción disponible 6. Ana tiene la tortuga no contradice ninguna información 7. Ana tiene el perro Falso 8. Ana tiene el gato Falso, ya que un animal no puede tener dos dueños 9. Ana tiene el gato Falso Ana tiene la tortuga Verdadero 4. Suposición y verificación Planteamiento A las orillas de un río se vio a la cuarta parte de una manada de camellos. El doble de la raíz cuadrada de esa manada se fue al establo; y 3 por 5 camellos permanecieron a la orilla del rio en espera del camellero. ¿Cuál es el número de camellos en esa manada? Solución Si te das cuenta, en este problema el resultado es un número natural. Como en el planteamiento del problema se menciona “un cuarto de la manada”, y “la raíz cuadrada de esa manada”, el número de camellos debe ser un múltiplo de 4, como un cuadrado perfecto. Se inicia con una ecuación donde 𝑥 representa el número de camellos en la manada, el cual se sustituye por 4, para ver si es la solución. Un cuarto de la manada

+

El doble de la raíz cuadrada de la manada

+

3 veces 5 camellos

=

Número de camellos en la manada

𝟏 𝒙 𝟒

+

𝟐√𝒙

+

𝟑∙𝟓

=

𝒙

𝟏 (𝟒) 𝟒

+

𝟐√𝟒

+

15

=

4

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

1

+

4

+

15

=

4

20

≠

4

Si observas el proceso, 4 no es la solución, por lo que se intenta con el siguiente número perfecto, que es múltiplo de 4. 1 (16) + 2√16 + 3 ∙ 5 = 16 4 4 + 8 + 15 = 16 27 ≠ 16 Observas que 16 tampoco es la solución al problema, así que se utiliza el siguiente número que es múltiplo de cuatro y que tenga raíz exacta. 1 (36) + 2√36 + 3 ∙ 5 = 16 4 9 + 12 + 15 = 36 𝟑𝟔 = 𝟑𝟔 Aquí se cumple la igualdad y se encuentra el resultado al problema. La ecuación permite verificar el resultado.

Recursos Para profundizar un poco más sobre la resolución de problemas, a través de la creatividad y el juego, consulta el siguiente vínculo electrónico, donde se muestran más ejemplos de razonamiento: Tomado de: Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos [Museo del juego] Recuperado de: http://museodeljuego.org/wpcontent/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Actividad 2. Ingenio lógico matemático Propósito Resolver problemas matemáticos mediante el uso de las estructuras del razonamiento lógico-matemático. Desarrollo Con esta actividad podrás evaluar tus habilidades utilizando algunos métodos revisados durante esta unidad para la resolución de problemas lógico-matemáticos. Indicaciones 1. Regresa al aula y busca la Actividad 2. Ingenio lógico matemático, en la lista de actividades. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario. 2. Responde el cuestionario, y cuando termines, revisa la realimentación. 3. El importante mencionar que solamente cuentas con dos intentos para responder el cuestionario Evaluación El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluación final del curso. Recursos Lecturas  Método de cuatro pasos de Poyla  Ejemplos de métodos para resolver problemas Herramienta  Cuestionario Ingenio lógico matemático Producto  Cuestionario completado

Para responder el cuestionario interactivo debe ingresar al aula virtual

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Constante de Kaprekar Como puedes ver, cada uno de los problemas que acabas de revisar tiene particularidades que necesitan diversos métodos de solución. Ahora observa la siguiente reflexión que aporta un conocimiento muy útil en diferentes momentos de tu vida estudiantil.

¿Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar? Si no la conoces, realiza la siguiente Observa que obtuviste 495. Repitiendo el actividad para identificarla. proceso, vuelves a obtener el número 495. A este número se le conoce como la Selecciona un número de tres dígitos constante de Kaprekar, en la cual el diferentes. Primero, ordénalos de manera resultado siempre será 495, si el proceso se descendente, y resta los mismos tres aplica a cantidades de tres dígitos. dígitos, pero ahora ordenados de manera ascendente. Por ejemplo, selecciona los Te invitamos a realizar el mismo proceso de dígitos 4, 6 y 9, de modo que, en primera Kaprekar a un número de dos dígitos instancia, obtienes 964. diferentes (interpreta 9 como 09, si es necesario) y compara los resultados. ¿Qué 964 954 parece ser verdad? - 469 459 Realiza lo mismo, pero, en lugar de dos 495 495 dígitos, utiliza cuatro dígitos ¿Qué conjetura se puede formar respecto a esta situación?

Cierre de la unidad Hasta ahora te has percatado que la resolución de problemas no se aplica sólo a las matemáticas, sino que se amplían en otras ramas de la educación universitaria. Además, cuando se presenta un problema, algunas veces lo resuelves por medio de la intuición y su resultado te convence, pero existen otros que necesitan más de una predicción inductiva; necesitan estructuras, métodos, técnicas y demás herramientas que permiten llegar a su solución. Ahora es momento de revisar la última unidad de este eje, donde fortalecerás todo lo aprendido hasta el momento.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Unidad 3. Razonamiento lógico abstracto Las matemáticas constituyen la ciencia de la forma y la cantidad; el razonamiento matemático es simplemente lógica aplicada a la observación de la forma y la cantidad. Edgar Allan Poe

Muchos de los ejercicios que has revisado en las dos unidades anteriores han sido para orientarte y proporcionarte métodos para la solución de problemas, métodos que te sirven para determinar procesos y técnicas. Los ejemplos tratados en esta unidad te muestran situaciones relacionadas con el pensamiento creativo y a medida que los vayas resolviendo, mejorará notablemente tu capacidad de razonamiento. Reflexiona en lo siguiente:

¿Has realizado algún test psicotécnico?

¿Cómo detectas características en un patrón de figuras o en un problema?

Se denomina razonamiento lógico abstracto a aquél que se constituye por series de figuras, y debemos escoger cuál de las figuras es la que continúa; para ello, tenemos que notar ciertas características como el cambio de posición, rotación y analogías de las figuras. La forma de resolverlos es ir sacando conclusiones con un criterio lógico, sin hacer uso de conocimientos matemáticos o de lógica formal. Para precisar, reforzar y continuar con el aprendizaje dentro de esta unidad, se te recomienda leer la siguiente presentación sobre ordenamiento jerárquico:

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Ahora es importante que revises algunos ejemplos sobre razonamiento lógico y razonamiento lógico abstracto que pueden servirte como práctica antes de realizar tu última actividad.

1. Razonamiento lógico El razonamiento lógico hace uso del entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras, partiendo de lo ya conocido o de lo que se cree conocer a lo desconocido o menos conocido. En este, los razonamientos que se hagan a través de esta forma pueden ser válidos o no válidos. Será considerado como válido cuando sus premisas ofrezcan un suficiente soporte a la conclusión y en el no válido sucede exactamente lo contrario. (Definición ABC, s/f) a) Relación de tiempo Se refiere a aquellos problemas en los que las variables son la relación que existen entre los diferentes tiempos, (minutos, horas, semanas). Si el ayer del pasado mañana del mañana de anteayer de mañana es jueves, ¿qué día fue ayer? Solución: Para solucionarlo, lo más conveniente es crear una recta numérica para representar los días.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Si el ayer: -1 Del pasado mañana: +2 Del mañana: +1 De anteayer: -2 De mañana: +1 Entonces: −1 + 2 + 1 − 2 + 1 = 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠 Del resultado se deduce que mañana (+1) es jueves, y hoy es miércoles; así que ayer fue martes. b) Ordenamiento lineal Los problemas de Ordenamiento Lineal consisten en una serie de datos desordenados, que tiene toda la información requerida para poder relacionarlos entre sí (ordenarlos por premisas o correspondencia entre ellos). Se recomienda que conforme se vayan leyendo los datos, se vaya haciendo una representación gráfica como esquema del problema. (Zevallos, 2012) Ejemplo: Jorge es mayor que Sandra y ella es menor que Fidel. Marco es mayor que Jorge y Fidel, y éste es menor que Jorge. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? Enunciados a) Fidel es mayor que Jorge y menor que Sandra b) Jorge es mayor que Sandra y Fidel c) Marco es menor que Jorge y mayor que Fidel Ordenamiento: Para resolver este problema, debes iniciar ordenando los datos de acuerdo a como se presentan en el planteamiento del problema.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático En este ejemplo vamos a separar el planeamiento en tres enunciados independientes que representaremos mediante los símbolos de mayor que (>)y menor que ()y menor que ( 𝑆𝑦 𝑆 < 𝐹 𝑀>𝐽𝑦𝑀>𝐹 𝐹 𝐽 > 𝐹 > 𝑆 Por lo tanto, con este ordenamiento concluimos que la opción b) es la correcta. Jorge es mayor que Sandra y Fidel c) Parentesco Los problemas de parentesco familiar son situaciones que se refieren al número de miembros de una familia y parentesco entre ellos. Estas preguntas tienen como finalidad desarrollar la capacidad de relacionar lazos familiares, considerando que una misma persona puede desempeñar varios roles simultáneos (Zevallos, 2012). Ejemplo: En un restaurante estaban presentes: un padre, una madre, un tío, una tía, un hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos. Si cada uno consumió $350, ¿cuánto gastaron en total como mínimo? Solución: Analizando el problema, puedes determinar que cada integrante de la familia puede desempeñar diferentes papeles.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Representado en un esquema, quedaría de la siguiente manera.

Por consiguiente, estuvieron como mínimo cuatro personas, y cada una gastó, 350 pesos, así que, 4 ($350) = $1400 2. Razonamiento lógico abstracto El razonamiento abstracto evalúa la capacidad o aptitud para resolver problemas lógicos, deduciendo ciertas consecuencias de una situación planteada. El razonamiento es una de las aptitudes mentales primarias, es decir, uno de los componentes de la inteligencia general. El razonamiento abstracto, junto con el razonamiento verbal, son los ingredientes de las habilidades cognitivas. (Castaño, 2015). Ejemplos: 1.- ¿Cuál es la figura que sigue en la secuencia?

Solución: Para llegar a la solución, tienes que observar, cuales son los cambios que se van dando en la figura. En este ejemplo, observa que en (A), ya se suprimieron todas las puntas de las

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático flechas, mientras que en (B), queda una de las puntas que ya se suprimió en el segundo paso de la secuencia, por lo tanto la opción que queda es la (C). 2.- ¿Cuál es la figura que sigue en esta serie?

Solución: Si analizas el movimiento de las figuras, éstas van rotando 90°, por lo tanto, la solución es B). Ante la duda, es recomendable dibujar la figura en un papel e irla rotando 90 grados para clarificar el proceso.

Recursos Para verificar algunos procesos de solución, se te sugiere revisar los siguientes videos sobre razonamiento lógico y abstracto: Zevallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras [video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 razonamiento abstracto [video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

Por último, se te recomienda un documento donde revisarás diversos ejemplos y ejercicios sobre razonamiento lógico y abstracto, tomado de la siguiente referencia:

Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado de: http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.p df

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático

Actividad 3. Razonamiento abstracto Propósito Aplicar el razonamiento abstracto para resolver problemas lógicos, deduciendo ciertas consecuencias de la situación planteada en las figuras. Desarrollo En esta actividad tendrás oportunidad de verificar las habilidades adquiridas para la aplicación del razonamiento abstracto. Indicaciones 1. Regresa al aula y busca la Actividad 3. Razonamiento abstracto, en la lista de tareas. Una vez que la identifiques, da clic para acceder al cuestionario. 2. Responde el cuestionario, y cuando termines, revisa la realimentación. 3. El importante mencionar que solamente cuentas con dos intentos para responder el cuestionario Evaluación El cuestionario tiene un valor del 10% sobre la evaluación final del curso. Recursos Lecturas  Razonamiento lógico y razonamiento abstracto  Ordenamiento y clasificación Jerárquica Videos  Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras  Analogías gráficas problema 201 - razonamiento abstracto Herramienta  Cuestionario Razonamiento abstracto Producto  Cuestionario completado

Para responder el cuestionario interactivo ingresa al aula virtual

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Para saber más… Para precisar, reforzar y continuar tu aprendizaje con respecto a la jerarquización y ordenamiento, se te recomienda leer la siguiente presentación, que puedes consultar en el siguiente vínculo: Velásquez Martínez, J. (20014). Ordenamiento y clasificación jerárquica. Recuperado de: http://es.scribd.com/doc/245328002/Ordenamiento-y-Clasificacion-Jerarquica#scribd

Cierre de la unidad A través de esta unidad revisamos diferentes ejemplos que nos permitieron desarrollar el razonamiento lógico-matemático, crear estructuras, resolver problemas de fundamentos matemáticos. La principal intención de abordar este eje es aportar herramientas fundamentales para la creación de textos, utilizando el análisis y la toma de decisiones; Estos elementos te servirán para adquirir nuevos conocimientos en el futuro.

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático Fuentes de consulta Unidad 1. Razonamiento inductivo y razonamiento deductivo 1. Castro, L. (s/f). Diez plataformas para crear un blog [About.com]. Recuperado el 08/04/15, de: http://aprenderinternet.about.com/od/ConceptosBasico/tp/DiezPlataformas-Para-Crear-Un-Blog.htm 2. Mansilla, M. (2012). Razonamiento inductivo, deductivo parte 1 y 2 [archivo de video]. Recuperado el 08/04/15, de: https://www.youtube.com/watch?v=Uh3pyW4mf8c y https://www.youtube.com/watch?v=LM6tl4baz8A 3. Zevallos, A. (2001, 30 de marzo). Razonamiento Lógico - 17 Problemas Resueltos - (Razonamiento Inductivo y Deductivo, Problemas Recreativos) – Solucionario [El blog del profe Alex]. Recuperado el 08/04/15, de: http://profealexz.blogspot.mx/2011/03/razonamiento-logico-17-problemas.html Unidad 2. El arte de resolver problemas 1. Lerdo, I.N. (2011). Juegos de todo el mundo: juegos con cerillas y palillos [Museo del juego]. Recuperado Recuperado el 08/04/15, de: http://museodeljuego.org/wpcontent/uploads/contenidos_0000001237_docu1.pdf 2. Miller, C. D., Heeren, V. E., y Hornsby, J. (2013). Matemática: Razonamiento y aplicaciones. 12ª Edición. México: Editorial Pearson Educación. Unidad 3. Razonamiento lógico y razonamiento abstracto 1. Ayala, O. (s/f). Razonamiento. Recuperado el 08/04/15, de: http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/1176/1/RAZONAMIENTO.pdf 2. Castaño, O. (2015). Razonamiento abstracto. Mentes en blanco (¿?). Recuperado el 08/04/15, de: http://www.mentesenblancorazonamientoabstracto.com/razonamiento.html 3. Definición ABC, (s/f). Definición de razonamiento. Recuperado el 08/04/15, de: http://www.definicionabc.com/general/razonamiento.php#ixzz2IfeWzgPO

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Curso Propedéutico para el Aprendizaje Autogestivo en un ambiente Virtual Eje 2. Razonamiento lógico matemático 4. Velásquez Martínez, J. (20014). Ordenamiento y clasificación jerárquica. Recuperado el 08/04/15, de: http://es.scribd.com/doc/245328002/Ordenamiento-yClasificacion-Jerarquica#scribd 5. Zevallos, A. (2013). Razonamiento lógico 152 - verdades y mentiras. [Archivo de video]. Recuperado el 08/04/15, de: https://www.youtube.com/watch?v=S_1AQM0LozE 6. Zevallos, A. (2013). Analogías gráficas problema 201 - razonamiento abstracto. [Archivo de video]. Recuperado el 08/04/15, de: https://www.youtube.com/watch?v=pKQ5t6n8vC4

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