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SUCESIONES NUMÉRICAS 1; 8; 27; …….n3

Ejemplo 1: SUCESIONES: - Es aquel conjunto de elementos (Números, letras, figuras), que se encuentran ordenados según una ley de formación (Fórmula de recurrencia). Ejemplo: 9, 11, 14,18……. LEY DE FORMACION: Es el orden matemático que relaciona los términos; se determina relacionando las operaciones básicas o una deducción lógica.

Tn 

Cada elemento tiene un orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un ordinal; por lo general se considera a un término representativo de cada sucesión llamado TÉRMINO ENÉSIMO que se simboliza como “Tn” donde “n” indica la posición que ocupa cada elemento, como también el número de términos. En general: Segundo

Número Ordinal Término de la sucesión

Tercero

Enésimo

1°

2o

3o

…..

no

T1

T2

T3

…..

Tn

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1º

3º

4º

2n 2(1) 2(2) 2(3) 2(4) : ; ; ; n 2  1 12  1 2 2  1 32  1 42  1 5

5

T4 

8 17

Ejemplo 3: Hallar el término enésimo en: 3; 4; 5; 6; …….Tn Solución El primer término debe de estar en función de 1, el segundo en función de 2, el tercero en función de 3 y así sucesivamente, hasta el enésimo que debe representarse en función de “n”, luego dando una forma adecuada a: 4;

(1+2) (2+2)  Tn = n + 2

296

2º

 T1  1 ; T  4 T  3 3 2

3;

Los procedimientos a utilizar no son únicos, hay muchas formas de establecer relaciones sencillas entre las operaciones matemáticas.

T3 ……. Tn

Ejemplo 2: Indicar los cuatro primeros términos, de una sucesión que tiene por término enésimo a: 2n Tn  2 n 1 Solución: Ordinal

Todos los términos de una sucesión dependen de una constante llamada RAZÓN que podrá determinarse por diferencia, por cociente o por cualquier ley que se desee establecer.

Primer

T1 T2

5;

6; ………. Tn

(3+2)

(4+2) ….. (n+2)

OJO: Cada término involucra al orden que ocupa (su número ordinal); por eso será de mucha importancia, saber calcular el término enésimo.

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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O a.2) Sucesión Geométrica Progresión Geométrica

Ejemplo 4: Hallar el enésimo término de la siguiente sucesión: 7; 11; 15; 19; …..;Tn Solución 7; 11; 15; 19; ……..;Tn

a.3) Sucesión Polinomial Polinomio Cuadrado a.4) Sucesión Armónica

4x1+3 4x2+3 4x3+3 4x4+3 ..…4xn+3

B) Sucesiones Literales o Alfanuméricas

Donde: Tn = 4n + 3  Término enésimo

C) Sucesiones Gráficas

Ejemplo 5: Dado el término enésimo (Tn) de una sucesión: Tn = 7n + 1. Hallar la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión. a) 72

b) 73

c) 74

d) 75

76

Solución Como: Tn= 7n +1

2º 15; +7

Conjunto de números, en el que cada uno de ellos tiene un orden determinado por su ley de formación. SUCESIONES NUMERICAS IMPORTANTES

T1= 7(1) +1 = 8 T2= 7(2) +1 = 15 T3= 7(3) +1 = 22 T4= 7(4) +1 = 29 Entonces la sucesión es: 1º 8;

A. SUCESIONES NUMERICAS:

4º no 29; ….. ;(7n +1)

3º 22; +7

1. SUCESIÓN ARITMÉTICA Lineal o de Primer Orden: Cuando la diferencia (razón=r) entre 2 términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es siempre constante también, se le llama P.A T1; T2; T3; T4;…… ;Tn +r1

+7

Nos piden: 8 + 15 + 22 + 29 = 74 Ejemplo 6: Hallar el término enésimo de la siguiente sucesión: 2; 5; 28; 257; …….. a) n3+1 b) 2n3+3 c) n2+n d) nn-1 e) nn+1

2º

3º

4º

2;

5;

28;

257;……

+r3

Ejemplo: ¿Qué número sigue?: 10; 12; 16; 22;

Solución Asociando cada término con el lugar que ocupa: 1º

+ r2 T 2=T1+r1 T3=T2+r2 T4=T3+r3 ………..

+2

no

+4

+6

30…. +8

Progresión Aritmética (P.A).- Cuando la razón (r) es siempre constante. Ejemplo: 1º 2º 3º 4º no 6; 10; 14; 18;… ; Tn

; Tn

11+1 22+1 23+1 24+1 2n+1 n Luego: Tn = n + 1 (Término enésimo)

+4

TIPOS DE SUCESIONES

+4

+4

 Razón Aritmética

A) Sucesiones numéricas a.1) Sucesión Aritmética: Progresión Aritmética

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297

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Se observa que el término anterior al primero (To) es igual a: 6 – 4 = 2 Además: T1= 6 = 4(1) +2 T2= 10 = 4(2) + 2 T3= 14 = 4(3) +2 . To

Ejemplo2: Hallar el trigésimo quinto término en: 32; 29; 26; 23; ……. a) -70

razón

En general: Dada la progresión aritmética: T1; T2; T3; T4;

e) -76

-3 -3 Tn = -3n + 35 Nos piden: T35 = -3(35) +35

Tn

…;

Además, es una Decreciente (r0)

+4

+4

+4

 razón (r)

Tn  T1  1  n  401  (7)  1  n  103 r 4

2. SUCESIÓN GEOMÉTRICA: Se caracteriza porque cada término que continua a partir del segundo término se obtiene al multiplicar, el inmediato anterior por un mismo número llamado RAZÓN GEOMETRICA (q).

Clases de Progresiones Aritméticas Hay dos clases de progresiones:

La razón (q) se halla dividiendo cualquier término entre el anterior. T1; T2; T3; T4; Tn

 Progresión Aritmética Creciente; si r > 0  Progresión Aritmética Decreciente, si r < 0

xq1 CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

Aritmética

Tn T1 1 r

n

a)101

a) 6n+1; 12 b) 6n; 120 c) 5n; 100 d) 6n-1; 121 e) 6n-1; 119 Solución Analizando la razón, se deduce que es una P.A -1 5; 11; 17; 23; …. +6

Progresión

Ejemplo: ¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión?: -7; -3; 1; 5; ……; 401

Ejemplo1: Hallar el término enésimo y el término del lugar 20 en: 5; 11; 17; 23; …

+6

→ T35 = 70

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: En una sucesión o progresión aritmética; para calcular el número de términos, se aplicará la siguiente relación:

Tn = r n + To pero: To = T1 – r

Tn = T1 + (n-1) r

-3 → r = -3

-3

+

+6

d) -67

Se trata de una progresión Aritmética 35 32 29 26 23

Tn= 4(n) +2

+6

c) -73

Solución

.

+r

b) -66

298

xq2

xq3

xqn

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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” Ejemplo: 3; 9; 36; 180; …..1080 x3

x4

x5

R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O  Tn = 4x 3n-1 Nos piden. T22 = 4 x 322-1 = 4 x 321 T22 = 4 x 33x7  T22 = 4x277 Ejemplo 3: Hallar el T11 en: 2 ; 2; 2 2 ; 4; ….. a) 64 2 b) 32 2 c) 128 2 d) 16 2

x6

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G): Cuando

Solución Analizando la razón, se deduce que se trata de una Progresión Geométrica 2; 4; ….. 2; 2 2;

la razón q es constante para cada término. T1;

T2; xq

T3; xq

T4;

Tn

xq  Razón Constante

xq

x 2

Ejemplo 1: 1º 2º

3º

4º

3,

12,

24;

6;

x 2

x 2

no

2.(2) 5

x2 x2 x2…Razón Geométrica Se observa que: T1= 3 = 3x20 T2= 3 = 3x21 T3= 12 = 3x22 T4= 24 = 3x23 T1 . . Tn = 3x2n-1

2.( 2 ) n1

2.( 2 )111 =

Nos piden: T11 =

…Tn.

 razón (q)

x 2

 Tn = T1.qn-1  Tn =  T11 = 32

2.( 2 )10 =

2

3. SUCESIÓN CUADRÁTICA o de Segundo Orden: Son aquellas en la cual la razón aparece en segundo orden. Su término enésimo viene dado por la siguiente expresión: Tn  an 2  bn  c

nєN

a≠0

a; b y c se calculan aplicando una regla práctica. Ejemplo 1:

2;

7;

16;

46; …..

29;

Razón +5

En general: Dada una Progresión geométrica: T1; T2; T3; T4; Tn xq xq xq xq Su término enésimo se calcula así:

+9

+13

+17

+4 +4 +4 Ejemplo 2: Calculare el vigésimo término de la siguiente sucesión: -1; 3; 13; 29; 51; …,

q: cte

a) 1101 b) 1111 c) 1107 d) 1201 e) 1011

Tn = T1.qn-1

Solución 1) Primero debemos hallar el término anterior a -1 c 1 -1; 3; 13; 29; 51;….

T1 = Primer término q = Razón n = Número de terminos Tn = Enésimo término

a+b -2

Ejemplo 2: Hallar el vigésimo segundo término en: 4; 12; 36; 108; …. a) 4x320 b) 4x317 c)4x312 27 7 d) 4x3 e) 4x27 Solución Se trata de una progresión geométrica: 4;

12; x3

36; x3

2a

+6

+10 +6

+16 +6

+22 +6

2) Ahora hallamos los valores de : a, b y c 2a = 6  a = 3; a + b = -2  b = -5 y c = 1 Luego: Tn  an 2  bn  c  Tn = 3n2 -5n+1 3) Nos piden: T20 T20 = 3(20) – 5(20) + 1  T20 = 1101

108 x3

+4

Razón (q)

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Ejemplo 3: Hallar el número de términos en: 4; 9; 18; 31; ….;438 Solución * Hallamos el término enésimo: Tn c 3; 4; 9; 18; 31;….; 438 a+b +1 2a

+5 +4

+9 +4

+13 +4

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SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes.

Nombre

S U C E S I O N E S

Sucesión

S U C E S I O N E S

De los números naturales

1, 2, 3, 4, 5,……….

tn = n

De los números pares

2, 4, 5, 8, 10,……….

tn = 2n

De los números impares

1, 3, 5, 7, 9,……….

tn = 2n – 1

De los números Triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21,…..

De los números tetraédricos

1, 4,10, 20, 35,……….

N O T A B L E S

Números Pentagonales

1, 5, 12, 22,……….

tn = n(3n -1) 2

Números hexagonales

1, 6, 15, 28,……….

tn = n(2n-1)

De los números cuadrados

1, 4, 9, 6, 25,……….

tn = n 2

De los cubos perfectos

1, 8, 27, 64, 125,……

tn = n 3

De los números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13,……

No tiene termino enésimo pero si criterio de orden.

De Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..….

t1 = 1 t2 = 1 tn = tn-1 + tn-2

De Feinberg1 (“Tribonacci”)

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24….…

De Lucas

1, 3, 4, 7, 11,…..

E S P E C I A L E S

A=1 B=2 C=3 D =4 E =5 F =6

G=7 H=8 I=9 J = 10 K = 11 L = 12

M = 13 N = 14 Ñ = 15 O = 16 P = 17 Q = 18

R = 19 S = 20 T = 21 U = 22 V = 23 W= 24

X = 25 Y = 26 Z = 27

c) Q

d) R

 n≥ 3

t1 = 1 t2 = 1 t3 = 2 tn = tn-1 + tn-2 + tn-3 n≥ 4 t1 = 1 t3 = 3 tn = tn-1 + tn-2 ∀n≥ 3

A; B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M; N; Ñ; O; P

3 3 3 3 Luego sin temor a equivocarnos podemos decir que nuestra razón de distancia es de tres letras Entonces la letra que sigue en la serie: A; E; I; M; es la letra P.

NO SE CONSIDERA “CH” ,” LL”

Ejemplo 1: Que letra sigue en: A; E; I; M; . b) P

tn = n(n  1) 2 n(n 1)(n 2) tn = 6

Solución Para resolver esta clase de ejercicios, también s busca una razón de distancia, entre letra y letrae siempre se encontrará una relación de simetría, . Veamos nuestro caso:

SUCESIONES LITERALES.- Son sucesiones de letras en función del alfabeto castellano. A cada letra le corresponde un número, mediante la siguiente tabla:

a) O

Regla de formación o termino enésimo

e) S

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Ejemplo 2: Que letra sigue en: B; D; G; K; .. Solución Si recurrimos al abecedario, tenemos: B; C; D; E; F; G; H; I; J; K; L; M; N; Ñ; O 1 Letra

2 Letras

3 Letras

4 Letras

Luego: La letra que sigue en la serie es la O

I.- SUCESIONES ARITMETICAS (1)

a) 715

Hallar “x” 12; 6; 3; 13; 46; x a) 100 b) 98 c) 112 Hallar el valor de “x” 1; 6; 13; 28; 63; 136; x

d) 124

a) 261 b) 271 c) 241 Hallar el valor de “x” -20; 0; 8; 16; 42; 110; x a) 220 b) 230 c) 250 (4) Hallar el valor de “x” 10; 15; 23; 35; 53; 80; x

d) 231

(2)

II. (6)

a) 100 b) 110 Hallar “x” 4; 0; 0; 5; 16; x

c) 120

a) 24 b) 34 c) 28 SUCESION GEOMETRICAS

d) 280

d) 529

a) 1830 b) 1730 c) 1930 d) 1530 (14) Hallar el valor de “x” 8; 16; 20; 24; 32; x a) 62 b) 64 c) 82 d) 72 (15) Hallar el valor de “x” 1; 28; 31; 32; 33; x

d) 160

d) 32

a) 32

Hallar el valor de “x” 1; 1; 2; 6; 24; x

b) 34

c) 36

d) 42

IV. SUCESION ALTERNADAS (16) Hallar el valor de “x” 3; 4; 7; 7; 11; 11; 15; x a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 (17) Hallar el valor de “x” 6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; x a) 17 b) 18 c) 20 d) 24 (18) Hallar el termino enésimo en: 5; 11; 19; 29;……… 2 2 2 a) n + 3n+1 b) n +1 c) n +2 d) n+2

a) 100 b) 110 c) 120 d) 180 Hallar el valor de “x” 5; 10; 40; 320; x a) 4120 b) 5120 c) 2220 d) 3420 (8) Hallar el valor de “x” 2; 4; 8; 24; 144; x a) 2160 b) 1120 c) 1420 d) 1820 (9) Hallar el valor de “x” 1; 1; 1; 1; 2; 24; x a) 3912 b) 6912 c) 5260 d) 8312 (7)

(19) Hallar el termino enésimo en: 2; 5; 10; 17; 26;………

(10) Hallar el valor de “x”

a) n2+ 1 b) n+2 c) n2+4 d) N.A.

3; 1; 1; 3; 27; x

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c) 829

III. SUCESION COMBINADAS (11) Hallar el valor de “x” 0; 2; 4; 8; 20; x a) 72 b) 68 c) 74 d) 70 (12) Hallar el valor de “x” 1; 2; 18; 146; 658; 1682; x a) 2706 b) 3072 c) 1024 d) 1576 (13) Hallar el valor de “x” 4; 5; 10; 40; 250; x

(3)

(5)

b) 729

302

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(20) Calcular el trigésimo termino en: 3; 13; 29; 51;……… a) 7229 b) 2729 c) 563 (21) Halle el número de termino en: 2; 5; 10; 17; 26;…; 122

(28) Calcular el número que ocupa la posición 100 es: 5; 8; 11; 14; 17; 20;…

d) 654

a) 300

b) 302

c) 304

d) 306

(29) ¿Cuántos esferos hay en la figura 100?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 (22) ¿Cuántos triángulos hay en la fig. 12? Fig. 1 Fig. 2

a) 5050 Fig. 1

Fig. 2

a) 20

Fig. 3

b) 21

Fig.4

b) 4040

c) 3030

d) 8080

(30) ¿Cuántos cuadraditos habrán en la posición 60?

Fig. 4

c) 22

Fig. 3

d) 23

(23) Hallar el término que sigue: 1 C 5 ? A a) G, 7

3

E

b) E, 8

(1)

? c) F, 6

a) 2434

d) H, 2

(2)

(3)

(4)

b) 3424

(5)

c) 34324

d) 2443

(24) Qué número le sigue : 36

40

18

80

SUCESIONES NUMÉRICAS

12

7

Hallar el Siguiente Número

X

6

a) 14

b) 16

(1)

c) 18

9, 16, 23, 30, x a) 37

d) 20

(2)

(25) Qué número le sigue : 3

27

(3)

X

2

(4)

7

a) 160

b) 177

c) 180

d) 182

(7)

Hallar el termino 41. b) 1688

a) 70

(6)

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d) 26

b) -27

c) 30

d) 40

b) 15

c) 16

d) 17

b) 71

c) 72

d) 73

c) 5

d) 6

c) 32

d) 33

8, 5, 7, 4, 6, x b) 4

3, 5, 8, 13, 21, x a) 30

c) 1680

c) 24

8, 16, 17, 34, 35, x

a) 3

(27) En lo siguiente sucesión: 4; 7; 12; 19; 28;…. a) 1684

(5)

b) 22

20, 18, 21, 17, 22, x a) 14

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 (26) En un aula reparten caramelos de la siguiente manera: a Luís 2; Alberto 7; Luz 12; Ada 17; Olga 22; así sucesivamente ¿Cuántos caramelos recibirá el alumno numero 36?

d) 39

33, 21, 9, -3, -15, x a) -30

6

32

c) 36

8, 9, 12, 17, x a) 20

8

b) 35

b) 31

d) 1900 303

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(8)

2, 6, 18, 54, x a) 160

(9)

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b) 162

c) 164

a) A

d) 166

32

2 8 b) 5 3

a) B c) 4

7

b) 39 b) 55 b) 5 b) -91

c) 40

b) 73

c) 57

b) 1

c) O

d) L

b) L

c) N

d) A

c) U

d) T

(29) D, C, S, O, D, x

d) 75

a) D

b) O

(30) AB, BD, DG, GK, x

d) -1

a) KL

b) KP

c) KO

d) KH

SUCESIONES GRAFICAS

a) 11 y 28 b)14 y 15 c) 20 y 21 d) 4 y 5 1 , 5, 1/2, 6, 1, 8, 3, a, b, x (17) 2

(18)

d) S

b) M

a) H

(16) 2, 16, 3, 18, 6, 22, x, y,

a) 11 y 13 b) 11 y 12

c) J

(28) B, C, D, E, F, I, H, x

d) 92

c) 0

d) H

b) M

a) N

c) 74

c) L

(27) W, T, P, N, J, x

d) 15

c) 91

d) L

b) Y

a) A c) 10

c) Ñ

(26) E, F, M, A, M, x

d) 59

(15) 3, 6, 4, 2, 4, 2,x a) 2

b) N

a) X

(14) 2, 4, 10, 22, 42, x a) 72

d) W

d) 41

a) M

(13) 1, 5, 14, 30, 55, x a) 90

c) V

(25) A, B, E, J, P, x

(12) 3,-5,-9,-9,-5,x a) -5

b) C

(24) B, A, F, C, J, E, x

(11) 5, 11, 19, 29, 41, x a) 53

d) H

d) 8

(10) 4, 7, 12, 19, 28, x a) 38

c) L

(23) I, K, Ñ, P, T, x

40, 10, 5 , 5 , x a) 5

b) P

(31) Hallar El valor de x: 40

c) 14 y 13 d) 15 y 17

8

5

3

2 , 3 ,2,3, 12 , 3 3 , 4 3 , x, y X

a) 9 y 4 15 b) 8 y 4 15 c)7 y

d) 8 y 9

4 15

(19) 2, 9, 28, 65, x a) 114

b) 115

c) 116

d) 117

c) 46

d) 47

a) 15 b) 5 c) 24 d) 43 (32) Hallar la letra que sigue (32) Hallar la letra que sigue

e) 17

1 11

R

(20) 6, 0, 0, 7, 22, x a) 44

b) 45

? a) M

SUCESIONES LITERALES

b) R

b) N

c) P

d) A

e) B

d) 36

e) 1

(33) Hallar el valor de x:

(21) E, H, L, P, x a) V

K

19

c) A

d) F

(22) B, C, E, H, L, x a) 13 CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

304

15 3

16 37

19 10

40

X

1

b) 9

c) 24

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(34) Hallar lo que sigue: M P U A ? 9

16 a)

D 7

25 b)

36 M 49

(39) ¿ que figura sigue en la siguiente sucesión?

? R 81

c)

d)

H 49

e)

1 8

(35) Hallar el valor de “x” 8

5

4

7

9

9

15

4

6

12

4

x

a) 10 b) 12 c) 15 (36) Hallar el valor de x:

(40) La figura que continua en :

d) 17

e) 20

d) 5

e) 1

27 4 16 8

5 X 9 27

a) 17

b) 35

c) 8

CLAVES

(37) Hallar el valor de x 16

14

X

18

25

a) 27

b) 14

c) 12

d) 72

e) 15

(38) ¿Qué figura completa adecuadamente el recuadro?

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305

1

a

11

c

21

a

31

a

2

c

12

a

22

b

32

d

3

b

13

c

23

c

33

b

4

c

14

a

24

a

34

d

5

a

15

b

25

b

35

b

6

d

16

a

26

c

36

d

7

b

17

b

27

a

37

b

8

b

18

a

28

b

38

e

9

b

19

a

29

a

39

e

10

a

20

c

30

b

40

c

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SERIES NUMÉRICAS 1)

SERIE NUMÉRICA:- Es la adición indicada

Donde: Sn: Suma de los n siguientes términos.

de los términos de una Sucesión Numérica.

Ejemplo: La suma de los 40 primeros términos de una P.A de razón 7 es 5580. Calcular la suma de los 40 términos siguientes: Solución: Sn = 5580 + 7(40)2 = 16780

Al resultado de la adicción se le llama. VALOR DE LA SERIE Ejemplo 1, 1, 2, 3, 5,….. ,144 1+1+2+3+5 +…….+144

t1+t2+t3+t4+t5+…..+tn

=

Término central: t  t1  t n c 2 Ejemplo: Hallar la suma de la siguiente serie: 4 + 7 +10 +…………………+34   Solución: n = 11

SUCESION SERIE

k n

 tk k 1

Se lee: “Sumatoria de los números de la forma tk desde k =1 hasta k = n”

S = 19 x 11 = 209 2. SERIE GEOMETRICA:-Es la adición indicada

n

Si tenemos la expresión:

 tk

de los términos de una sucesión Geométrica.

k a

Nº SUMANDOS = n-(a+1) DE LA SERIE

S= t1 + t2 + t3+…+ t1.qn-1

a;n  Z

xq xq

Ejemplo: Cuantos sumandos tiene la serie:

razón cte

2.1 Serie Geometrica Finita:

30

 (2k 7) ?

k 5

S

Solución: Nº SUMANDOS = 30 -5+1=26 SERIES NUMÉRICAS IMPORTANTES 1)

2

n t1 q  1   q 1

t1 = Primer Termino q = Razón n = Cantidad sumandos

Ejemplo 1: Hallar S en: S =1 +21+ 22 23+………+215 Solución: Aplicando la fórmula se obtiene el valor de S:

SERIE ARITMETICA: Es la adición o suma indicada de los términos de una sucesión aritmética. nValor de la serie: t1=Primer Sumando S= (𝑡𝑛−𝑡𝑛 1)𝑛 2 tn=Ultimo Sumando n = Cantidad de sumandos

 216  1    65535 S  1  2 1   

Ejemplo 2: Hallar la suma total de: S = 3 + 6 + 12 + 24 + …. + 3072

NOTA: Si la suma de los n primeros términos de una P.A, de razón r es s entonces la suma de los n siguientes términos de dicha

a) 6142 b) 6141 c) 6072 d) 3072

Sn =s+r n2

 CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA

306

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tc = 1

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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O Suma de los “n” primeros Números Cuadrados Perfectos. n(n)(2n  1) 2 1 + 22 + 32 + 42+.....….+n2 S= 6 1)

Solución: Como x2

x2

x2

S = 3 + 6 + 12 + 24 + …. + 3072      3x20 3x21 3x22 3x23 3x210

2)

Suma de los “n” primeros números cubos perfectos.

 n(n  1)  13 + 23 + 33 + 43+…….n3 S=   2  

11 términos 

2

Luego, aplicando la fórmula se tiene:

S

3211  1 2  1 S = 6141 1)

2.2 Serie Geométrica Decreciente de Infinitos Términos: (|q| b Si a < b

Calcular: (-2 � -1) - ( -1 � -2) a) -8

b) -7

c) -6

d) - 5

y a = ya  y-2

(8).- Si:

8

Donde:

8 3 = 81

2

x

3 1

Calcular el valor de “x” a) 3

b) 9

c) 81

d) 1/3

b

(9) .-Si

a

c

=

a+b+c

y a = a2 1

1

1 -3

Hallar el valor de: -2 a) 16 b) 4 c) 1

d) 196 3n  2

(10).- Sea la operación: n =

2n

Entonces el valor de “n” en a) 1 (11).- Si

b) 2 c) 3 d) 4 = ad – bc. Hallar “y” en: a c b d

a) 1

n = n es:

4 1 6 5

+

b) 3

3 x 1 y

=

c) 5

5 1 x y

d) 7

(12).- Hallar el resultado de la siguiente operación, evaluando de la izquierda a la derecha. 4 1 2 2 0 3 y consultando esta tabla



4

3

2

1

0

4

0

4

3

1

1

3

2

1

2

4

2

2

1

3

2

4

3

1

2

4

0

3

4

0

3

2

1

2

0

a) 2

b) 3

c) 6

d) 4

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329 329

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(5)

(1) Si se define la operación (%) para cualquier par de numero reales “a” y “b”, como: a % b = a2 –a . b Calcular el valor de “x”, si: (x+2) % (x-1) = 5x a) 3 b) 6 c) -3 d) -6 (2) Si : 2 ∗ 3 = 2 3∗ 2=2 5 ∗ 4 = 27 1∗ 5=5 2 5 ∗ 2 = 36 Calcular el valor de: 2152 ∗ 3543 (4) En el conjunto M = {1;2;3;4}definimos una operación mediante la siguiente tabla:



1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

2

1

3

1

2

3

4

4

4

1

2

3

a) 4  4

b) 1

Según esta tabla Calcular: E = (1  2)  [3  (4  1)]

abc

c) 2

d) 4

1 ( x  2 )( X  3) (5) Si x + 1 =

Hallar “n” S = 1 + 2 + 3

n = 6 13 a) 18 b) 19 c) 20 d) 24 e) 25



 (6) Definimos: a a= a

aa

M = (2 ) . (4 )

Calcular: a)

64

2

b)

32

a=a a

a = a –a

2

c)

16

2

d)

8

2

e)

4

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2 330

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R A ZO N A MIEN TO MA TEMÁ TIC O 3.

En la columna de las decenas vemos que: a+b=8 y como podemos estar llevando 1 (de las columnas de las unidades) o sea a+b=8.

4.

De las dos observaciones anteriores deducidos que: a+b=8, entonces analizamos las posibilidades hasta encontrar la válida.

CRIPTO ARITMÉTICO Definición: Es el arte de encontrar las cifras representadas con letras y símbolos en una operación aritmética, teniendo en cuenta las propiedades de las mismas y sobre todo de la habilidad deductiva: Representación de un numeral a

: Numeral de 1 cifra

ab

: Numeral de 2 cifras

abc

: Numeral de 3 cifras

CRIPTO ARITMÉTICA CON SUSTRACCIÓN.- Para realizar la sustracción hay que tomar en cuenta tres pasos fundamentales cripto aritméticas: Ejemplo  Hallar S+A+N, sabiendo que: 666–SAN =NAS.

Cifras en el Sistema de base 10

Solución:

{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

1. Siempre que tengamos una sustracción, la convertimos a adición: Si 666–SAN=N A S o sea SAN+NAS=666.

NOTA: En un numeral dado en una base cualquiera siempre las cifras son menores que la base. Cada uno de los problemas deberá ser tratado en forma particular, ya que no existen formas preestablecidas y solo es materia del INGENIO y RAZONAMIENTO al encontrar SU solución o soluciones.

2. Colocar según el orden posicional : C D U S A N + N A S 6 6 6 3. Analizamos cada orden y deducimos:

CRIPTO ARITMÉTICA CON SUMA.- Para resolver la adición se deben de tomar en cuenta cuatro pasos fundamentales de Cripto aritmética:

 En la columna de las unidades: N+S=6 ó 16

Ejemplo

 En la columna de las centenas: S+N=6

 Sabiendo que ab+ba = 88 y que a>b, hallar el máximo valor que puede tomar a . b .

 En la columna de decenas: A+A=6 o sea A=3 Como: N+S=6 y A=3 o sea S+A+N=9

Solución:

2.

En la columna de las unidades observamos que: b+a termina en 8 o sea b+a=8 ó 18.

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axb 7 12 15 = Si

4 x 4 = 16 → No porque 4 = 4 no cumple el requisito de a > b.

Descomposición de un número:  2345 = 2(10)3 + 3(10)2 +4(10) + 5  2325 = 2300 + 25  2345 = 2000 + 345  2345 = 2000 + 300 + 45  2345 = 2340 + 5

Ubicamos las cifras de los números sumados de acuerdo a su valor posicional, una con respecto a la otra.

b 1 2 3

Porque 5>3; 5+3=8 y 15 es el mayor posible.

abcd : Numeral de 4 cifras

1.

a 7 6 5

331

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1).- Hallar a+b+c, si: a7c  c6a  5b9  1c2b a)15 b) 30 c) 8 d) 4 e) N.A.

(1)

SIN  SIN  NADA

Solución:

Hallar: S + I + N + A + D + A

Escribiendo verticalmente la adición:

a7c  * Unidades: c+a+9=16  c+a=7 (1) * Decenas: 1+7+6+b=22  b=8 c6a * Centenas: 2+a+c+5=10+c  a=3 Reemplazando en (1) se tiene: c=4 Se no pide: a+b+c+=3+8+4=15

5b9 1c26

Sabiendo Que:

a) 20 (2)

b) 21 DALE + CREMA GARRA

Si,

c) 22

d) 23

;donde:

GA es un cuadrado perfecto y R=7; D=L

2).- Si se cumple que: abc  6  .344 (a>c>b). Hallar el valor de: ab  bc  ac a) 26 b) 24 c) 22 d) 28 e) N.A. Solución El producto dado se puede escribir como:

Hallar el valor; C + R + E + M + A

(3)

a) 27

b) 26

D

DALE  D

Si,

c) 23

d) 30

Calcular: D + A + L + E

abc 

a) 15

6 .344

(4)

i) cx6=.4 Donde “c” puede tomar valores de 4 ó 9. Probemos con 4:  4x6=24 (Pongo 4 y llevo 2) abc

b) 16

c) 17

d) 18

FELIZ  DIA  MAMA , donde: 1