III. LOGARITMACION A) D e f i n i c i ó n d e l o g a r i t mo : Se denomina logaritmo de un número al exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtener un número dado. Simbólicamente:

log

a

x  y



a

y

 x

a  0



Ejemplo:

a 1

De la definición de logaritmo podemos deducir:

5. Cambio de base:

No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. B) Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Ejemplo: 2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo: 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. Ejemplo: 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

Ejemplo:

TALLER 12:

C ) L o g a r i t mo s c o mu n e s o d e c i m a l e s : Los logaritmos en base 10 se denominan logaritmos comunes. Se escribe

log

10

x

y por lo

general se omite el subíndice diez. Simbólicamente: log 10 x  log x . Para evaluar logaritmos comunes se han diseñado tablas que permiten encontrar con mucha aproximación estos valores, con base en dos elementos: la característica y la mantisa del logatimo. Sin embargo, la calculadora ha facilitado bastante este proceso por que ofrece estos valores en forma inmediata. Para calcular logaritmos comunes se debe tener en cuenta que todo número real positivo x se puede expresar de la forma x  d  10 , donde: 1  d  10  k  Z. k

 x  R+, donde x  d  10

k

se cumple que: log x  log d  k , 1  d  10 , k  Z.

Al valor s log d e le denomina mantisa y es equivalente log x  k . Al valor k se le llama característica del logaritmo. Por lo tanto, el logaritmo de un número está formado por una parte entera (característica) y una parte decimal (mantisa). Ejemplo: determina el valor de la característica y la mantisa de cada uno de los siguientes logaritmos: a) log 8  0 , 903089 b) log 25  1, 397940 c)

log 0 , 5  0 , 301029 Solución: a) Como 8  8  10 , d  8  k  0 . De aquí, log 8  log 8  0 . Por lo 0

tanto, la mantisa es log 8 y la característica es k  0 . b) 25  2 , 5  10 , d  2 , 5  k  1 . Por lo tanto, la característica es k  1 y la mantisa es 1

log 2 , 5  log 25  1  1, 397940  1  0 , 397940 . c) Como 0 , 5  5  10

1

, d  5  k   1 . Por lo tanto, la característica es k   1 y la

mantisa es log 5   0 , 301029  1  0 , 0 , 698971 . D ) L o g a r i t mo s n a t u r a l e s o n e p e r i an o s : Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados. El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x. ln 1 =0

0

e = 1 Ejemplo:

IV. RADICACION RAIZ N – ESIMA DE UN NÚMERO: La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación, que indaga por la base de la potencia cuando se conocen la potencia y el exponente. n La raíz enésima de un número b es un número a si y solo si la enésima potencia de a es b. En símbolos: b  a  a  Todo radical con radicando positivo e índice par tiene dos raíces reales de igual valor absoluto y diferente signo.  Ningún radical con radicando negativo e índice par posee raíces reales.  Todo radical con radicando positivo e índice impar tiene una raíz real.  Todo radical con radicando negativo e índice impar tiene una raíz real.

V. PROPIEDADES DE LA RADICACION: Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional. Ejemplo:

4

x

3

 x

3 4

.

1. Raíz de un producto: La raíz cuadrada de un producto A x B es igual al producto de la raíz cuadrada de "A" por la raíz cuadrada de "B" 3  2 2

3 2 2

puede hacer de esta forma:

ab 

n

cumple que

n

a

n

4



4



9  16   3   4  12 o también se 144   12 . Si a  R y n  z

+

9  16 

se

b

5. Potencia de una raíz: Con b  R y m , n  z+ se cumple que



n

b

n

a m a 

1

numerador entre la raíz del denominador.

a



b

n

n

a



1

n

a

9

Ejemplo:

9



 

3

2 4 Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de b

n

exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplo:



4

a

2



8

2   a 4   

8

16   a 4    

4

a

16

 a

4

b

x

3

y

9

3

a

a 

nm



3



3



9

y

3

x y

3

Caso Del mismo índice

.

5 

7 3

5 

21

De diferente índice

5 .

4. Raíz enésima de un número elevado a la n: Si a  R y n  z+ se cumple que Ejemplo:

3

4

 3.

. Si



n



m

b

1   b n   

mn

a

mn

Ejemplo:

3

7 

4

nm

m

m

b

1



n

m

1

7 7

3

7

1

7

4

1



12

12

7 .

n  m Ejemplo:

1

2

a

4

Definición Para la multiplicación:



3

2

 2

1

1 1 3 4

 2

1 12



12

n

a

n

 a

Ejemplo: 3

a  b  a b R Para la división: n

n

a



n

a b

b

2

con b  0  R

m

m

a b



3

 15 

3

 105

7

3 3 2 

nm

nm

2



7

a  b  a b R Para la división: n

7 

n

Para la multiplicación:

n

4

n

3

x

n

7

b

m

2. 2 a 2 4 VI. OPERACIONES CON RADICALES: 1. ADICION Y SUSTRACCION: Para adicionar o sustraer expresiones con radicales, es necesario verificar que sean semejantes. Si es así, se simplifican las expresiones y se efectúa la operación. 2. MULTIPLICACION Y DIVISION DE RADICALES:

4

a . Ejemplo:

m

3

mn

n

m

n

7. Cociente de radicales de diferentes índice: Si a  R y m , n  z entonces

3. Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical n

  

1

+

m

n



  b 

m

b n 6. Producto de radicales de diferentes índice: Si a  R y m , n  z+ entonces

n

2. Raíz de un cociente: El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del

 b

n

a

m

b

n

con b  0  R

3 4

5 11



12

3 2 3

6

5

4

11

3



12

2



6

625 1331

27  4 

6

108

3. RACIONALIZACION: Racionalizar el denominador irracional de una fracción es convertirla en una expresión equivalente, cuyo denominador sea un número racional. Ejemplo:

2

2

n



2 2

a 

2 2

 2. 2 2 2 4 PRIMER CASO: CUANDO EL DENOMINADOR ES UN RADICAL DE INDICE n: Sea a





con b  0 se

cumple

5

a

que n

b

8

5



8 2 5

4

5



4

8 2 5

4

5



5

8 2

n

a b

 n

b

b 

n

b

n 1



R.

Ejemplo:

4

 4 5 16 .

CUADRADAS:

TALLER 13:

Sea

a a 

b  a b





b

Ejemplo:



a



a 

b

5 10 

a 





8

 

b



a 



b 5







a

8



b

ab

10 

10 

a 

8



10 

8



 . 

a 



b es el conjugado

5 10  5 8 10  8





5 10  5 8

a 

b

.

.

2

n 1

2 2 2 2 SEGUNDO CASO: CUANDO EL DENOMINADOR ES UNA SUMA O DIFERENCIA DE RAICES

a

 b , a  0 se

cumple

que

4. ECUACIONES CON RADICALES: Para desarrollar una ecuación que contiene términos radicales, primero se debe aislar el término radical en uno de los miembros de la ecuación de tal manera que al elevar ambos miembros de la igualdad a una potencia igual al índice de la raíz, se elimine el radical y se pueda resolver la misma. Ejemplo: 5

x 4  2 2

x

2

 36



5

x 4 2



5

 2

x  6

5

x

2

 4  32

x

2

 32  4