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SECCIÓN 4.6

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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v EJEMPLO 6 Maximizar ingresos Una tienda ha estado vendiendo 200 quemadores de DVD por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de descuento a compradores, el número de unidades vendidas aumentará en 20 por semana. Encuentre la función de demanda y la función de ingresos. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos? SOLUCIÓN Si x es el número de quemadores de DVD vendidos por semana, entonces el aumento semanal en ventas es x  200. Por cada aumento de 20 unidades vendidas, el precio se reduce en $10. Por tanto, por cada unidad adicional vendida, la disminución en precio será 201  10 y la función de demanda es 1 px  350  10 20 x  200  450  2 x

La función de ingreso es Rx  xpx  450x  12 x 2 Como R(x)  450  x, vemos que R (x)  0 cuando x  450. Este valor de x da un máximo absoluto por la prueba de la primera derivada (o simplemente al observar que la gráfica de R es una parábola que abre hacia abajo). El precio correspondiente es p450  450  12 450  225 y el descuento es 350  225  125. Por tanto, para maximizar el ingreso, la tienda debe ofrecer un descuento de $125.

4.6 Ejercicios 1. Considere el siguiente problema: Hallar dos números cuya

suma sea 23 y cuyo producto sea un máximo. (a) Haga una tabla de valores, como la siguiente, de modo que la suma de los números en las primeras dos columnas sea siempre 23. Con base en la evidencia de esta tabla, calcule la respuesta al problema.

4. La suma de dos números positivos es 16. ¿Cuál es el valor más

pequeño posible de la suma de sus cuadrados? 5. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con perímetro

100 m cuya área es tan grande como sea posible. 6. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con área de

1000 m2 cuyo perímetro es tan pequeño como sea posible. Primer número 1 2 3 . . .

Segundo número

Producto

22 21 20 . . .

22 42 60 . . .

(b) Use cálculo para resolver el problema y compare con su respuesta al inciso (a). 2. Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo

producto sea un mínimo. 3. Encuentre dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya

suma sea un mínimo.

;

Se requiere calculadora graficadora o computadora con software de gráficas

7. Un modelo empleado para el rendimiento Y de una cosecha

agrícola como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (medido en unidades apropiadas) es Y

kN 1  N2

donde k es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeno da el mejor rendimiento? 8. La cantidad (en mg de carbón/m3/h) a la que tiene lugar la

fotosíntesis para una especie de fitoplancton está modelada por la función 100 I P 2 I I4 donde I es la intensidad de la luz (medida en miles de pies-candelas). ¿Para qué intensidad de luz es P un máximo? CAS Se requiere de un sistema computarizado de álgebra

1. Tareas sugeridas disponibles en TEC

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

9. Considere el siguiente problema: Un agricultor con 750 ft

de material para construir una valla desea encerrar un área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales con vallas paralelas a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área total más grande posible de los cuatro corrales? (a) Dibuje varios diagramas que ilustren la situación, algunos con corrales anchos y poco de fondo, y algunos con corrales angostos y mucho de fondo. Encuentre las áreas totales de estas configuraciones. ¿Parece que hay un área máxima? Si es así, calcúlela. (b) Haga un diagrama que ilustre la situación general. Introduzca notación y marque el diagrama con sus símbolos. (c) Escriba una expresión para el área total. (d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables. (e) Use el inciso (d) para escribir el área total como función de una variable. (f) Termine resolviendo el problema y compare la respuesta con su estimación en el inciso (a). 10. Considere el siguiente problema: Se ha de construir una caja

con tapa abierta, a partir de una pieza de cartón de 3 ft de ancho, cortando para ello un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblando los costados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que esa caja pueda tener. (a) Haga varios diagramas para ilustrar la situación, algunas cajas de poca altura con bases grandes y algunas cajas altas con bases pequeñas. Encuentre los volúmenes de varias de estas cajas. ¿Parece que hay un volumen máximo? Si es así, calcúlelo. (b) Trace un diagrama que ilustre la situación general. Proponga una notación y etiquete el diagrama con sus símbolos. (c) Escriba una expresión para el volumen. (d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables. (e) Use el inciso (d) para escribir el volumen como función de una variable. (f) Termine resolviendo el problema y compare la respuesta con su cálculo del inciso (a). 11. Si se dispone de 1200 cm2 de material para hacer una caja con

una base cuadrada y tapa abierta, encuentre el volumen más grande posible de la caja. 12. Una caja con base cuadrada y tapa abierta debe tener un volu-

men de 32,000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que maximicen la cantidad de material empleado. 13. (a) Demuestre que de todos los rectángulos con un área determi-

nada, el de perímetro más pequeño es un cuadrado. (b) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tenga área más grande es un cuadrado. 14. Un recipiente rectangular con tapa abierta ha de tener un volu-

men de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado; el de los costados, cuesta $6 por metro cuadrado. Encuentre el costo de materiales para hacer el recipiente más barato.

15. Encuentre los puntos en la elipse 4x2  y2  4 que estén más

alejados del punto (1, 0).

; 16. Encuentre, correctas a dos lugares decimales, las coordenadas del punto en la curva y  tan x que sea más cercano al punto (1, 1).

17. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área más grande

que pueda ser inscrito en un triángulo equilátero de lado L, si un lado del rectángulo está en la base del triángulo. 18. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área más grande

que tiene su base en el eje x y sus otros dos vértices arriba del eje x y está en la parábola y  8  x2. 19. Un cilindro circular recto está inscrito en una esfera de radio r.

Encuentre el volumen más grande posible de este cilindro. 20. Encuentre el área del rectángulo más grande que pueda inscri-

birse en la elipse x2a2  y2b2  1. 21. Encuentre las dimensiones del triángulo isósceles del área más

grande que pueda inscribirse en un círculo de radio r. 22. Una lata cilíndrica sin tapa está hecha para contener V cm3 de

líquido. Encuentre las dimensiones que reducirán al mínimo el costo del metal para hacer la lata. 23. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rema-

tado por un semicírculo. (De esta forma, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo. Véase el Ejercicio 58 en la página 24.) Si el perímetro de la ventana es 30 ft, encuentre las dimensiones de la ventana para que deje pasar la mayor cantidad posible de luz. 24. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono con altura h

y radio r de base. Encuentre el volumen más grande posible de ese cilindro. 25. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos piezas,

una de las cuales se dobla en un cuadrado y la otra en un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que el área total encerrada sea (a) máxima? (b) mínima? 26. Una valla de 8 ft de alto corre paralela a un edificio alto a una

distancia de 4 ft del edificio. ¿Cuál es la longitud de la escalera más corta que llegue del suelo y pase sobre la cerca hasta la pared del edificio? 27. Una taza en forma de cono está hecha de una pieza circular de

papel de radio R cuando se corta un sector y se unen los bordes CA y CB. Encuentre la máxima capacidad de esa taza. A

B R

C

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SECCIÓN 4.6

28. Una taza en forma de cono está hecha para contener 27 cm3 de

agua. Encuentre la altura y radio de la taza que usará la más pequeña cantidad de papel. 29. Un cono con altura h está inscrito en un cono más grande con

altura H para que su vértice esté en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interior tiene volumen máximo cuando h  13 H . 30. La gráfica muestra el consumo de combustible c de un

auto (medido en galones por hora) como función de la rapidez v del auto. A muy baja rapidez el motor funciona en forma ineficiente, de modo que inicialmente c se reduce cuando la rapidez aumenta. Se puede ver que c(v) se minimiza para este auto cuando v  30 mi/h. No obstante, para eficiencia en el combustible, lo que debe reducirse al mínimo no es el consumo en galones por hora sino más bien el consumo en galones por milla. Llamemos G a este consumo. Usando la gráfica, calcule la rapidez a la que G tiene su valor mínimo. c

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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cera en la construcción de celdas. El examen de estas celdas ha demostrado que la medida del ángulo u del vértice es sorprendentemente consistente. Con base en la geometría de la celda, se puede demostrar que el área superficial S está dada por S  6sh  32 s 2 cot   (3s 2s3 2) csc  donde s, la longitud de los lados del hexágono, y h, la altura, son constantes. (a) Calcule dSdu. (b) ¿Qué ángulo deben preferir las abejas? (c) Determine la mínima área superficial de la celda (en términos de s y h). Nota: Se han hecho mediciones reales del ángulo u en colmenas y las medidas de estos ángulos raras veces difieren en más de 2° del valor calculado. ángulo triédrico ¨

fondo de la celda

h 0

20

40

60

√

31. Si un resistor de R ohms se conecta en paralelo una batería de

E volts con resistencia interna de r ohms, entonces la potencia (en watts) en el resistor externo es P

E 2R R  r 2

Si E y r son fijos pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia? 32. Para un pez que nada a una rapidez v con respecto al agua,

el gasto de energía por unidad de tiempo es proporcional a v 3. Se cree que los peces que emigran tratan de reducir al mínimo la energía total necesaria para nadar una distancia fija. Si los peces están nadando contra una corriente u (u  v), entonces el tiempo requerido para nadar una distancia L es L(v  u) y la energía total E requerida para nadar la distancia está dada por Ev  av 3 ⴢ

L vu

donde a es la constante de proporcionalidad. (a) Determine el valor de v que minimice E. (b) Trace la gráfica de E. Nota: Este resultado ha sido verificado experimentalmente; los peces emigrantes nadan contra una corriente a una rapidez 50% mayor que la rapidez de la corriente. 33. En una colmena, cada celda es un prisma hexagonal regular,

abierto en un extremo con un ángulo triédrico en el otro extremo como en la figura. Se piensa que las abejas forman sus celdas para reducir al mínimo el área superficial para un volumen determinado, haciendo así uso de la mínima cantidad de

b

s

frente de celda

34. Un bote sale de un muelle a las 2:00 p.m. y navega hacia el sur

a una rapidez de 20 km/h. Otro bote se ha estado dirigiendo hacia el este a 15 km/h y llega al mismo muelle a las 3:00 p.m. ¿En qué tiempo estuvieron más cerca los dos botes? 35. Una refinería de petróleo está ubicada en la margen norte de

un río recto que mide 2 km de ancho. Un oleoducto se ha de construir de la refinería a tanques de almacenamiento situados en la margen sur del río, 6 km al este de la refinería. El costo de instalar la tubería es de $400,000/km en tierra a un punto P en la margen norte y $800,000/km bajo el río hasta los tanques. Para reducir al mínimo el costo del oleoducto, ¿dónde debe estar situado P?

; 36. Suponga que la refinería del Ejercicio 35 está situada 1 km al norte del río. ¿Dónde debe situarse P?

37. La iluminación de un objeto por medio de una fuente de luz

es directamente proporcional a la intensidad de la fuente, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. Si dos fuentes de luz, una tres veces más intensa que la otra, se colocan a 10 ft entre sí, ¿dónde debe colocarse un objeto en la línea entre las fuentes para que reciba la menor iluminación? 38. Una mujer en un punto A, que se encuentra en la orilla de

un lago circular de 2 millas de radio, desea llegar al punto C diametralmente opuesto a A en el otro lado del lago en el

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

(c) Si su función de costo semanal es C(x)  68,000  150x, ¿cómo debe el fabricante fijar el monto de la rebaja para maximizar su utilidad?

tiempo más corto posible (véase la figura). Ella puede caminar a razón de 4 mi/h y remar en bote a 2 millas/h. ¿Cómo debe avanzar? B

A

¨ 2

48. El gerente de un complejo de 100 departamentos sabe por

experiencia que todas las unidades estarán ocupadas si la renta es $800 por mes. Un estudio de mercado sugiere que, en promedio, una unidad adicional estará desocupada por cada $10 de aumento en la renta. ¿Qué renta debe cobrar el gerente para maximizar los ingresos?

C

2

49. Sean a y b números positivos. Encuentre la longitud del

segmento de recta más corto que es cortado por el primer cuadrante y pasa por el punto (a, b).

39. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 5)

que corta el área mínima del primer cuadrante. CAS

40. ¿En qué puntos de la curva y  1  40x  3x la recta 3

5

tangente tiene la máxima pendiente? 41. ¿Cuál es la longitud más corta posible del segmento de recta

50. El marco de una cometa ha de hacerse de seis piezas de

madera. Las cuatro piezas exteriores han sido cortadas con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener las piezas diagonales?

que es cortado por el primer cuadrante y es tangente a la curva y  3x en algún punto?

a

b

a

b

42. ¿Cuál es el área más pequeña posible del triángulo que es

cortado por el primer cuadrante y cuya hipotenusa es tangente a la parábola y  4  x2 en algún punto? 43. (a) Si C(x) es el costo de producir x unidades de una mercancía,

entonces el costo promedio por unidad es c(x)  C(x)x. Demuestre que si el costo promedio es un mínimo, entonces el costo marginal es igual al costo promedio. (b) Si C(x)  16,000  200x  4x32, en dólares, encuentre (i) el costo, costo promedio y costo marginal a un nivel de producción de 1000 unidades; (ii) el nivel de producción que reducirá al mínimo el costo promedio; y (iii) el costo promedio mínimo. 44. (a) Demuestre que si la utilidad P(x) es máxima, entonces el

ingreso marginal es igual al costo marginal. (b) Si C(x)  16,000  500x  1.6x2  0.004x3 es la función de costo y p(x)  1700  7x es la función de demanda, encuentre el nivel de producción que maximice la utilidad.

51. Sea v1 la velocidad de la luz en aire y v2 la velocidad de la luz

en agua. De acuerdo con el principio de Fermat, un rayo de luz se desplazará del punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo transcurrido. Demuestre que sen sen

1

v1

2

v2

donde se muestran u1 (el ángulo de incidencia) y u2 (el ángulo de refracción). Esta ecuación se conoce como Ley de Snell. A ¨¡

45. Un equipo de beisbol juega en un estadio con capacidad para

55,000 espectadores. Con precios de $10 por boleto, la asistencia promedio había sido de 27,000. Cuando los precios de boletos se bajaron a $8, la asistencia promedio subió a 33,000. (a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es lineal. (b) ¿En cuánto deben fijarse los precios de boletos para maximizar el ingreso? 46. Durante los meses de verano Terry hace y vende collares en la

playa. El verano pasado vendió los collares en $10 y sus ventas promediaron 20 por día. Cuando él aumentó el precio en $1, encontró que el promedio bajó en dos ventas por día. (a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es lineal. (b) Si el material para cada collar cuesta a Terry $6, ¿cuál debería ser el precio de venta para maximizar su utilidad?

C

¨™ B 52. Dos postes verticales PQ y ST están asegurados por una cuerda

PRS que va de lo alto del primer poste a un punto R en el suelo, situado entre los postes, y luego a lo alto del segundo poste como se ve en la figura. Demuestre que la longitud más corta de esa cuerda ocurre cuando u1  u2. P S

47. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 televisores por semana

a $450 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de rebaja ofrecido al cliente, el número de aparatos vendidos aumentará en 100 por semana. (a) Encuentre la función de demanda. (b) ¿Qué tan grande debe ser la rebaja que la compañía ofrezca al comprador para maximizar su utilidad?

¨™

¨¡ Q

R

T

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SECCIÓN 4.6

53. La esquina superior derecha de una hoja de papel, de 12 in.

por 8 in., como se ve en la figura, se dobla hasta llegar al borde inferior. ¿Cómo se debe doblarla para minimizar la longitud del doblez? En otras palabras, ¿cómo se debe escoger x para minimizar y? 12

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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58. Una pintura en una galería de arte tiene una altura h y está col-

gada de modo que su borde inferior esté a una distancia d sobre los ojos de un observador (como en la figura). ¿A qué distancia de la pared debe encontrarse el observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, ¿dónde debe colocarse el observador para maximizar el ángulo u subtendido en su ojo por la pintura?) h

y

x ¨

8

d

59. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves 54. Un tubo de acero está siendo llevado por un pasillo de 9 ft de

ancho. Al final del pasillo hay una vuelta a la derecha que va a un pasillo más angosto, de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que puede ser pasado horizontalmente por la esquina?

6 ¨

9 55. Encuentre el área máxima de un rectángulo que pueda ser cir-

cunscrito alrededor de un rectángulo determinado con longitud L y ancho W. [Sugerencia: Exprese el área como función de un ángulo u.] 56. Un canal (o canalón) de tejado se ha de construir de una lámina

de metal de 30 cm de ancho, doblando hacia arriba un tercio de la lámina a cada lado, en un ángulo u. ¿Cómo debe escogerse u para que el canal lleve la máxima cantidad de agua?

¨

tienden a evitar vuelos sobre cuerpos de agua grandes durante horas con luz diurna. Se piensa que se requiere más energía para volar sobre el agua que sobre tierra porque el aire generalmente sube sobre tierra y cae sobre agua durante el día. Un ave con estas tendencias se libera de una isla que está a 5 km del punto más cercano B en una orilla recta, vuela a un punto C en la orilla y luego vuela a lo largo de la orilla hasta su área de anidar D. Suponga que el ave instintivamente escoge una trayectoria que minimiza su gasto de energía. Los puntos B y D están a 13 km entre sí. (a) En general, si se requiere de 1.4 veces más energía volar sobre agua que sobre tierra, ¿a qué punto C debe volar el ave para reducir al mínimo la energía total consumida en regresar a su área de anidar? (b) Con W y L denotemos la energía (en joules) por kilómetro que vuele el ave sobre agua y tierra, respectivamente. ¿Qué significaría un valor grande del cociente WL en términos del vuelo del ave? ¿Qué significaría un valor pequeño? Determine la razón WL correspondiente al mínimo gasto de energía. (c) ¿Cuál debe ser el valor de WL para que el ave vuele directamente a su área de anidar D? ¿Cuál debe ser el valor de WL para que el ave vuele a B y luego a lo largo de la orilla a D? (d) Si los ornitólogos observan que aves de cierta especie llegan a la orilla en un punto a 4 km de B, ¿cuántas veces más energía necesita un ave para volar sobre agua que sobre tierra?

¨

10 cm

10 cm

10 cm

isla

57. ¿Dónde debe escogerse el punto P en el segmento de recta AB 5 km

para maximizar el ángulo u?

C B B

13 km

2

D nido

¨

P

60. El sistema vascular está formado por vasos sanguíneos

3

A

5

(arterias, arteriolas, capilares y venas) que llevan sangre del corazón a los órganos y la regresan al corazón. Este sistema debe funcionar de modo que minimice el gasto de energía por parte del corazón al bombear sangre. En particular, esta energía

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

61. Las magnitudes de rapidez del sonido c1 en una capa superior,

se reduce cuando la resistencia de la sangre se reduce. Una de las Leyes de Poiseuille da la resistencia R de la sangre como RC

L r4

donde L es la longitud del vaso sanguíneo, r es el radio y C es la constante positiva determinada por la viscosidad de la sangre. (Poiseuille estableció esta ley experimentalmente, pero también se deduce de la Ecuación 6.7.2.) La figura muestra un vaso sanguíneo principal con radio r1 que se ramifica a un ángulo u en un vaso más pequeño de radio r2.

C

así como c2 en una capa inferior de rocas y el grosor h de la capa superior, se pueden determinar por exploración sísmica si la rapidez del sonido en la capa inferior es mayor que la de la capa superior. Una carga de dinamita se detona en un punto P y las señales transmitidas se registran en un punto Q, que está a una distancia D de P. La primera señal en llegar a Q se desplaza a lo largo de la superficie y toma T1 segundos. La siguiente señal se mueve de P a un punto R, de R a S en la capa inferior y luego a Q, tomando T2 segundos. La tercera señal es reflejada de la capa inferior en el punto medio O de RS y toma T3 segundos para llegar a Q. (a) Exprese T1, T2 y T3 en términos de D, h, c1, c2 y u. (b) Demuestre que T2 es un mínimo cuando sen u  c1c2. (c) Suponga que D  1 km, T1  0.26, T2  0.32 s y T3  0.34 s. Encuentre c1, c2 y h.

r™

A

P

b

ramificación vascular r¡

Rapidez del sonido=c¡ h

¨

Q

D

¨

¨

B R

a

S

O

Rapidez del sonido=c™

(a) Use la Ley de Poiseuille para demostrar que la resistencia total de la sangre a lo largo de la trayectoria ABC es

RC





b csc  a  b cot   r14 r24

donde a y b son las distancias mostradas en la figura. (b) Demuestre que esta resistencia se minimiza cuando cos  

r24 r14

© Manfred Cage / Peter Arnold

(c) Encuentre el ángulo óptimo de ramificación (correcto al grado más cercano) cuando el radio del vaso sanguíneo más pequeño es dos tercios del radio del vaso más grande.

Nota: Los geofísicos usan esta técnica cuando estudian la estructura de la corteza terrestre, ya sea en busca de petróleo o para examinar líneas de fallas.

; 62. Dos fuentes luminosas de idéntica intensidad están instaladas

a 10 m entre sí. Un objeto se ha de colocar en un punto P en una recta ᐉ paralela a la recta que une las fuentes de luz y a una distancia d metros de ella (véase la figura). Deseamos localizar P en ᐉ para que la intensidad de iluminación se minimice. Necesitamos usar el hecho de que la intensidad de iluminación para una sola fuente es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. (a) Encuentre una expresión para la intensidad I(x) en el punto P. (b) Si d  5 m, use las gráficas de I(x) y de I(x) para demostrar que la intensidad se minimiza cuando x  5 m, es decir, cuando P está en el punto medio de ᐉ. (c) Si d  10 m, demuestre que la intensidad (quizá sorprendentemente) no se minimiza en el punto medio. (d) En algún punto entre d  5 m y d  10 m hay un valor de transición de d en el que el punto de mínima iluminación cambia en forma abrupta. Calcule este valor de d por métodos gráficos. A continuación encuentre el valor exacto de d. P

ᐉ

x d 10 m