TEMA 12: COMBINATORIA COMBINATORIA La Combinatoria estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos. En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: Población. Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto. Muestra. Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra. Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos: Orden. Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no. Repetición. La posibilidad de repetición o no de los elementos. Factorial de un número natural. Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!. n! = n . (n-1) . (n-2). … .3 . 2 . 1 0!= 1 7!=7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 VARIACIONES Variaciones ordinarias. Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Su fórmula es Vm,n  m  m  1  m  2  m  n  1

Ejercicio. 1. ¿Cuántas banderas tricolores se pueden fabricar si tenemos telas de 7 colores? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición? Variaciones con repetición. Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. Su fórmula es

VRm,n  m n

Ejercicios. 2. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y 6? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición?

3. ¿Cuántas quinielas hemos d rellenar para acertar los 15 resultados? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición?

PERMUTACIONES Las permutaciones de m elementos son variaciones en las que tomamos todos los elementos (m = n) y son las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos. Su fórmula es

Pm  m!

Ejercicios. 4. En una carrera participan 8 corredores, ¿de cuántas maneras puede quedar la clasificación? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición? 5. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas en un banco de 6 plazas? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición?

COMBINACIONES Las combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) son todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos. Su fórmula es Cm,n 

Vm,n Pn



m! n! (m  n)!

Ejercicio. 6. Un pintor dispone de 7 colores, ¿cuántas mezclas de tres colores diferentes puede hacer? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición?

7. Cinco pueblos se quieren unir mediante caminos que vayan de cada pueblo a todos los demás. ¿Cuántos caminos hemos de trazar? m= n= ¿Importa el orden? ¿Hay repetición?

NÚMEROS COMBINATORIOS Los números combinatorios es una forma de expresar las combinaciones de m elementos tomados de n en n y se representan así:  m m!     n  n! m  n ! Propiedades  m  m        1 0   m  

 m  m       n  m  n  m   m   m  1          n  1  n   n 

Ejercicios. 8. Calcular los siguientes números combinatorios 8 a)     3

15  b)    10   m  m   9. Demuestra la propiedad     n  m  n

m  n m  n     10. Demuestra que   n   m 

11. Resuelve las siguientes ecuaciones combinatorias 12  x  2! a) 1 x!

b) 6Vx,3  Vx,5

c) 2Vx 1 , 2  4  Vx 1 , 2

d) VR x, 2  Vx, 2  17

e) 12Px  5Px1  Px2

f) C x , 6  7C x , 4

BINOMIO DE NEWTON La fórmula general del binomio de Newton es la siguiente:

a  bn

 n  n n n  n   n   a  b n1     b n     a n     a n1  b     a n2  b 2       a nk  b k    0 1  2 k   n  1  n

Esta fórmula nos permite elevar un binomio a cualquier potencia. Veamos algunos ejemplos.

3  x 5  4

 2 x2      x 2 

Ejercicios. 5

 x y2  12. Desarrolla el binomio   3   y x 

13. Calcular el décimo término del desarrollo de 3  x 25

14. Calcular que contiene x31 en el desarrollo de 3x  2 . ¿Qué lugar ocupa? 43

 2x 2 y 2 15. Calcular el término que contiene x31 en el desarrollo de   x  y

  

20



EJERCICIOS 1. Luis, Carlos, Gonzalo, Paco y Jorge han quedado en la puerta del cine con sus amigas, Carmen, Elena, Cristina y Gemma. Al encontrarse cada chico saluda a todas las chicas, ¿cuántos saludos se hacen en total? Sol: 40 saludos. 2. ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos? Sol: 12. 3. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería? Sol: 3 628 800. 4. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener al lanzar un dado y dos monedas distintas?. Sol: 24 resultados 5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos? Sol: 1320. 6. Una asociación se dispone ha entregar los premios “Hoja de oro” y “Hoja de plata”. Para ello se han seleccionado 10 libros. ¿De cuántas maneras pueden repartirse los dos premios? Sol: 90 formas. 7. En un aula hay 6 ventanas que pueden estar abiertas (A) o cerradas (C), indistintamente. Esta mañana su posición era esta ACAACA, es decir, estaban abiertas la 1ª, 3ª, 4ª y 6ª, y cerradas, la 2ª y 5ª. ¿Cuántas posiciones distintas pueden tener las ventanas? Sol: 64. 8. En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos: el punto y la raya, para representar letras y números. ¿Cuántas tiras de tres símbolos de estos se pueden formar? Sol: 8 tiras. 9. ¿Cuántos capicúas de tres cifras existen? Sol: 90 números capicúas. 10. Pedro y María juegan un torneo de tenis que ganará el que consiga dos sets seguidos o tres alternos. ¿De cuántas formas puede desarrollarse el torneo? Sol: 10 formas. 11. Vicente quiere regalar a su amigo Pedro 3 discos, y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Sol: 120 formas. 12. Los alumnos y alumnas de 4º ESO quieren elegir una comisión formada por tres de ellos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar con los 30 de la clase? Sol: 4 060 comisiones. 13. ¿De cuántas formas pueden elegirse dos cartas de una baraja española de 40 cartas? Sol: 780 formas. 14. Disponemos de seis clases de frutas y queremos hacer batidos de tres sabores diferentes. ¿Cuántos batidos diferentes se pueden hacer? Sol: 20 batidos. 15. ¿Cuántas posibles mezclas de dos colores, en idénticas cantidades, se pueden hacer con ocho tarros de pintura de diferentes colores? ¿Cuántas mezclas de tres colores? ¿Y de cuatro colores? Sol: 28, 56 y 70 16. ¿De cuántas formas pueden repartirse tres entradas para un concierto de rock entre seis amigos y amigas sin que ninguno pueda llevarse más de uno? Sol: 20 formas. 17. Para formar un equipo de baloncesto hacen cinco jugadores y el entrenador dispone de 10. a) ¿Cuántos equipos distintos pueden formar? Sol: 252 b) Si elige a dos jugadores y los mantiene fijos, ¿cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho restantes? Sol: 56. 18. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000? Sol: 120 y 48 son mayores que 7000. 19. Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares? Sol: 243 y 81 serán pares. 20. Se van a celebrar elecciones en la APIMA y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. ¿De cuántas maneras se podrán elegir estos cargos si se presentan ocho candidatos? Sol: 336 formas. 21. Se van a repartir tres regalos entre seis personas. Calcula de cuántas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos: a) Los regalos son distintos (una bici, un ordenador y un móvil) y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona. Sol: a) 120 b) 20 c) 216. 22. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si: a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. b) Una mujer determinada debe pertenecer al comité. c) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. Sol: a) 350 b) 150 c) 105. 23. Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que está escrita cada una de las letras de la palabra PREMIO. a) ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden salir? b) Les ofrecen fijar la P en el lugar que le corresponde y reducir el premio a la mitad. ¿Cuántas ordenaciones posibles se pueden obtener de esta forma? Sol: a) 720 b) 120 24. De cuántas formas pueden sentarse tres personas en un banco de cinco asientos? ¿Y si el banco es de tres asientos? Sol: 60 y 6

25. Estamos haciendo la maleta para ir de vacaciones y queremos elegir cuatro camisas de las ocho que tenemos. ¿De cuántas formas las podemos elegir? Sol: 70 formas 26. El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos. ¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar? Sol: 256 bytes. 27. Las 28 fichas de un dominó se reparten entre cuatro jugadores. ¿Cuántos juegos distintos podrá tener cada jugador? Sol: 1 184 040. 28. a) ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra PALOTE? b) ¿Cuántas empiezan por P? c) ¿En cuántas de ellas ocupan las consonantes los lugares impares y las vocales los pares? (Por ejemplo: PATELO). d) ¿En cuántas están alternadas vocales y consonantes? Sol: a) 720 b) 720 c) 36 d) 36. 29. Seis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine. ¿De cuántas formas pueden sentarse si quieren estar alternados? Sol: 72. 30. Señala 8 puntos en una circunferencia. Traza las cuerdas que unen cada punto con todos los demás. a) ¿Cuántas cuerdas tendrás que dibujar? b) ¿Cuántas diagonales tiene un octógono? Sol: a) 28 b) 120. 31. Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras? Sol: 9000 y 90 000. 32. En unos almacenes emplean el siguiente código para marcar los artículos: • La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el 1 y el 9. • Después, hay tres cifras, cada una de ellas del 0 al 9, que corresponden al número del proveedor. ¿Cuántas marcas distintas se pueden hacer? Sol: 9 000. 33. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. Sol: a) 207 360 b) 8 709 120. 34. Para matricularte en un curso, tienes que elegir dos asignaturas entre las siguientes: Música Tecnología Teatro Dibujo Informática Periodismo a) ¿De cuántas formas puedes hacer la elección? b) Si en secretaría te advierten de que las seis asignaturas las escribas por orden de preferencia, ¿de cuántas formas las puedes escribir? Sol: a) 15 b) 720. 35. El profesor de Matemáticas nos ha propuesto diez problemas de los que tenemos que resolver cinco. a) ¿Cuántas formas hay de seleccionarlos? b) De los 10 problemas propuestos hay 2 de los que no tienes “ni idea”. ¿Se reducen mucho las posibilidades de selección? Sol: a) 252 b) 56. Se reduce mucho la selección, aproximadamente en un 77,8%. 36. ¿Cuántos grupos de 4 cartas distintas se pueden hacer con una baraja española? ¿Cuántos de ellos están formados por 4 FIGURAS? ¿En cuántos serán OROS las 4 cartas? Sol: 91390 grupos. 1 820 grupos están formados solo por figuras. 210 grupos serán solo de oros. 37. Como sabes, una quiniela consta de 14 partidos, en cada uno de los cuales se puede poner 1, X o 2. ¿Cuántas quinielas distintas se pueden rellenar? Sol: 478 969 quinielas distintas. 38. Las matrículas de los automóviles de cierto país llevan cuatro números y tres letras. Para ello, se utilizan los dígitos del 0 al 9 y 26 letras de nuestro alfabeto. ¿Cuántas matrículas pueden hacerse de esta forma? Sol: 175 760 000 matrículas. 39. Me van a regalar 3 libros y 2 discos por mi cumpleaños. He hecho una lista con los que me gustaría tener, y en ella anoté 5 libros y 8 discos. ¿De cuántas formas distintas pueden elegir mi regalo? Sol: 280 formas. 40. Dos amigos se enfrentan en un torneo de tenis, en el que será vencedor el primero que logre ganar tres sets. ¿De cuántas formas posibles puede desarrollarse el encuentro? Sol: 20 maneras distintas. 41. En una urna hay dos bolas blancas, una negra y una roja. Extraemos sucesivamente una bola cada vez y paramos cuando tengamos las dos blancas. ¿Cuáles son los posibles resultados? Sol: 11 posibles resultados. 42. El número 75 775 está formado por dos cincos y tres sietes. ¿Cuáles son los números que podemos formar con dos cincos y tres sietes? Sol: En total hay 10 números. 43. Con las letras de la palabra CASA, ¿cuántas ordenaciones, con o sin sentido, podemos formar? Sol: 12. 44. Tenemos 5 pesas de 1 g, 2 g, 4 g, 8 g y 16 g. ¿Cuántas pesadas diferentes se pueden hacer tomando dos de ellas? ¿Y con tres? Calcula cuántas pesadas se pueden hacer, en total, tomando 1, 2, 3, 4 o las 5 pesas. Sol: Tomando 2 pesas = 10 pesadas. Tomando 3 pesas = 10 pesadas. En total se podrán hacer 31 pesadas. 45. En una pizzería preparan pizzas con, al menos, 4 ingredientes. Si disponen de 6 tipos de ingredientes, ¿cuántos tipos de pizza se pueden preparar? (Ten en cuenta que las pueden hacer de 4, 5 ó 6 ingredientes). Sol: 22 tipos de pizzas.

46. Un secretario ha escrito cinco cartas distintas dirigidas a cinco personas. También escribe los cinco sobres correspondientes y mete al azar cada carta en un sobre. a) ¿De cuántas formas posibles se pueden meter las cartas en los sobres? b) ¿En cuántos casos la carta del señor Pérez estará dentro de su sobre? Sol: a) 120 b) 24. 47. Calcula cuántos productos de tres factores distintos podemos formar con estas cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 Sol: 35. 48. Resuelve las siguientes ecuaciones:

 x  x a) 3   5  b) 6  Vx ,3  Vx ,5 4 2

c) Vx , 4  20  Vx , 2

d ) 2  Vx 1, 2  4  Vx 1, 2

Sol: a) x=7 b) x=6 c) x=7 d) x=7 49. Simplifica las expresiones sin calculadora:

9!  7! x  8! x! 17!16! 9!10!11! b) c) d) e) x  2! 10!  5! x  7  x  6! 15! 11!12!13! 1 11 Sol: a) b) (x+8) c) 288 d) x  2  x  1 1690 a)

50. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) VR x , 2  Vx , 2  17 b) Px  132  Px 2

 x  x d )    20   4  2

c) 12  Px  5  Px 1  Px  2

Sol: a) x=17 b) x=12 c) x=5 d) x=18 51. Resuelve:

 x   x  1  x  2  12  x  1!      136 b) a)     1 x! 2 2  2 

Sol: a) x=11 b) x=4 y x=-3 52. Desarrolla los siguientes binomios:

a) x  5

b) 3x  2 y 

5

c) 3  5x 

6

4

d ) 4 x  3

7

53. Desarrolla los siguientes binomios:

 x 5 a)    2 x

5

2  b)  3 x   x 

6

 1 5x  c)  3   3 x

4

3   d )  4x 2  2  x  

7

54. Del desarrollo de (x2 - 3x)6 sólo nos interesa el término quinto. ¿Cuál es? Sol: 1215x8

 

55. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de  3 x 2 

1  x

7

Sol: 5103x8 6

5  56. Averigua si hay algún término del desarrollo de  2 x 2   que sea de grado 11. Si lo hay, escríbelo. Sol: 5 103 x11. x  6

2   57. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de  x 3  2  Sol: -384 x8. x  

 x2 3  58. Calcula el quinto término de la expresión:     2 x

12

Sol:

40095 12 x 256

59. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 13 en el desarrollo de la potencia (3x-x2)8. Sol: 6º lugar.

 

60. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 2 en el desarrollo de  3x 2 

10

1  y escríbelo. x

Sol: Ocupa el 7º lugar y es 17 010 x2. 61. Determínese el coeficiente de x9y3 en: a) (x + y)12, b) (x + 2y)12, c) (2x + 3y)12. Sol: a) 220 b) 1760 c) 3 041 280.

 0,5 x 2   62. Escribe el término independiente en el desarrollo:  2  0,5  x Sol: No tiene. 63. Halla el término que ocupa el lugar 505 en el desarrollo de

9

a b  c  3

2 506

Sol: 127 765 a6b2c1008

AUTOEVALUACIÓN 1. a) En un torneo de balonmano hay 8 equipos participantes y solo 3 trofeos, ¿de cuántas maneras distintas se pueden repartir los premios 1º, 2º y 3º? b) ¿En cuántas queda 2º el equipo B? 2. Los 25 municipios de una ciudad están unidos a los demás por distintas líneas de tren. ¿Cuántas líneas habrá en total? 3. ¿De cuántas formas se pueden repartir 4 bocadillos distintos entre 4 amigos, si cada uno debe recibir solo uno? 4. a) ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9? b) ¿Cuántos de ellos serán mayores que 6000 ? 5. a) ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, pueden hacerse con las letras de la palabra PINCEL? b) ¿Cuántas de ellas empiezan y terminan en vocal? 6. a) ¿De cuántas maneras podemos ponernos 3 anillos en los dedos de una mano si no puede haber más de un anillo en cada dedo? b) ¿Y si podemos ponernos más de un anillo en cada dedo? 7. Un grupo europeo está formado por 12 países. Se quiere crear una comisión de seguimiento formada por cuatro países. a) ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden hacer? b) ¿En cuántas de ellas estará España? 8. Con los números 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9 a) ¿Cuántos productos de dos números distintos puedo hacer? b) ¿Y cuántas restas de dos números distintos? 9. Un equipo de baloncesto tiene 3 bases, 5 aleros y 4 pivots. a) ¿Cuántos equipos pueden hacerse si en cada equipo tiene que haber 1 base, 2 aleros y 2 pivots? b) ¿Cuántos se podrán hacer en el caso de que 1 de los aleros sea titular indiscutible? 10. A Pedro le presentaron ayer a una chica que le gustó. Ella le dio su número de teléfono, pero no lo apuntó y sólo recuerda que empezaba por 385 y que las otras 4 cifras eran distintas entre sí y menores que 5. a) ¿Cuántas llamadas tendrá que hacer para acertar? b) Haciendo un esfuerzo de memoria recuerda que el número terminaba en 23. ¿Cuántas llamadas necesitaría hacer ahora? 11. a) A una fiesta acuden 6 parejas. Cada persona saluda con un abrazo al resto, menos a su compañero/a. ¿Cuántos abrazos se han dado en total en la fiesta? b) Un camarero descansa dos días a la semana, de manera que estos dos días van variando cada semana. ¿cuántas semanas pasarán antes de repetirse los dos días de descanso?

x! x  x  3! x  6!  143 13. Resuelve la ecuación: x  4! 4 12. Simplifica la expresión:

 14. Desarrolla:  3 x  

2  x

5

 

15. Calcula el término de grado 2 y el lugar que ocupa en el desarrollo de:  2 x 



16. Halla el término que ocupa el lugar 87 en el desarrollo de: 4 x 2  5 x



100

3   x2 

5