Punto B x1 cos ϕ1 r r1B = + y1 senϕ 1
− senϕ1 a 2 x1 + a 2 cos ϕ 1 = cos ϕ1 0 y1 + a 2 senϕ 1
Punto C x2 r r2C = + y2
cos ϕ1 senϕ 1
− senϕ1 0 x2 = cos ϕ1 0 y 2
Punto P x 2 cos ϕ 2 r r2P = + y 2 senϕ 2
− senϕ 2 − b1 x 2 − b1 cos ϕ 2 = cos ϕ 2 0 y 2 − b1 senϕ 2
Punto Q x2 r r2Q = + y2
cos ϕ 2 senϕ 2
− senϕ 2 − b1 x 2 − b1 cos ϕ 2 − senϕ 2 = cos ϕ 2 1 y 2 − b1 senϕ 2 + cos ϕ 2
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
Restricciones: Restricciones simples: x0 = 0 y0 = 0 ϕ0 = 0 Par de revolución A: r r1 A = 0 x1 − a1 cos ϕ1 = 0 y1 − a1 senϕ 1 = 0
Par traslación-revolución B: →
→
BP// QP = 0 → x 2 − b1 cos ϕ 2 − x1 − a 2 cos ϕ 1 BP = y 2 − b1 senϕ 2 − y1 − a 2 senϕ 1 → − senϕ 2 QP = cos ϕ 2 →
→
BP× QP = 0 (x 2 − b1 cos ϕ 2 − x1 − a 2 cos ϕ 1 ) × (cos ϕ 2 ) − ( y 2 − b1 senϕ 2 − y1 − a 2 senϕ 1 ) × (− senϕ 2 ) = 0 Par de traslación C: →
→
u // OC = 0 1 u= 0
→
→
→
u × OC = 0
ϕ 2 −ϕ 3 = 0
y2 = 0 ϕ 2 = 0
→ x OC = 2 y2
1× y 2 − 0 × x 2 = 0 ϕ3 = 0
⇒
y2 = 0 ϕ2 = 0
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
Ecuaciones de restricción: Operando con las ecuaciones anteriores y eliminando las que resultan valores nulos resulta: x1 − a1 cos ϕ1 = 0 y1 − a1senϕ1 = 0 x2 − b1 − x1 − a2 cos ϕ1 = 0
Jacobiana
φ1 φ2 φ3
∂ ∂x1 1 0 −1
∂ ∂y1 0 1 0
∂ ∂ϕ1 a1 senϕ 1 − a1 cos ϕ 1 a 2 senϕ 1
∂ ∂x 2 0 0 1
ϕ 1 = ω 0t x1 = a1 cos ϕ1 = a1 cos ω0 t y1 = a1 sin ϕ 1 = a1 sin ω0 t x 2 = b1 + x1 + a 2 cosϕ 1 = b1 + a1 cos ω0t + a2 cos ω0 t 1 0 − 1 0
ϕ&1 = ω0 x&1 = −a1ϕ&1 sin ϕ1 = − a1ω0 sin ϕ 1 y&1 = a1ϕ&1 cos ϕ 1 = a1ω0 cos ϕ 1 x& 2 = x&1 − a2ϕ&1 sin ϕ 1 = −a1ω0 sin ϕ1 − a 2ω0 sin ϕ 1
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicio 2
Ejercicios Velocidad - Aceleración
:
Determinar La velocidad del punto C sabiendo que el brazo AB gira según la expresión: ϕ 1 = ω 0t + π / 2
B b
m2, J2
a
c
m1, J1
A
C
Determinación de los grados de libertad: 3 Eslabones :1, 2 y 0
9 coordenadas
Un cuerpo fijo (0). 3 restricciones simples
3 ec. rest,
Un par de revolución (A)
2 ec. rest.
Un par de traslación (B)
2 ec. rest.
Un par de revolución-traslación (C)
1 ec. rest.
TOTAL
1 g.d.l.
Coordenadas de los cuerpos: Cuerpo 1 :
[x1
y1 ϕ1 ]
Cuerpo 2 :
[ x2
y2 ϕ 2 ]
Cuerpo 0 :
[ x0
y0 ϕ 0 ]
T T
T
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
ϕ2
x2, y2
ϕ1
B
x1, y1 x 0, y 0 A
C
Vectores de posición de los puntos implicados: Cuerpo 0: r 0 Punto A: r0A = 0 Cuerpo 1: x cos ϕ1 r Punto A: r1 A = 1 + y1 sin ϕ 1
− sin ϕ 1 c x1 + c cos ϕ 1 = cos ϕ1 0 y1 + c sin ϕ 1
r x cos ϕ1 Punto B: r1B = 1 + y1 sin ϕ 1
− sin ϕ 1 − b = cos ϕ 1 0
x1 − b cos ϕ 1 y − b sin ϕ 1 1
Cuerpo 2:
r C x 2 cosϕ 2 r Punto C: 2 = + y 2 sin ϕ 2 Restricciones: Restricciones simples: x0 = 0 y0 = 0 ϕ = 0 0
− sin ϕ 2 − a x2 − a cos ϕ 2 = cos ϕ 2 0 y 2 − a sin ϕ 2
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
Par de revolución A: r 0 r1 A = 0
x1 + c cosϕ 1 = 0 y1 + c sin ϕ1 = 0
Par de traslación B:
ϕ 1 − ϕ 2 − 3π / 2 = 0 → → → → r u 2 // X 2 B1 ⇒ CB × X 2 B1 = 0 → cos ϕ 2 u2 = sin ϕ 2 → x − b cos ϕ 1 − x 2 X 2 B1 = 1 y1 − b sin ϕ 1 − y 2
ϕ 1 − ϕ 2 − 3π / 2 = 0 cos ϕ 2 ( y1 − b sin ϕ 1 − y 2 ) − sin ϕ 2 ( x1 − b cos ϕ 1 − x 2 ) = 0 Par de revolución - traslación C: → → → → r u0 // CA ⇒ u 0 × CA = 0 → cos ϕ 0 u0 = sin ϕ 0 → x − a cos ϕ 2 x 0 r r CA = r2C − r0A = 2 − y 2 − a sin ϕ 2 y0 cos ϕ 0 ( y2 − a sin ϕ 2 − y 0 ) − sin ϕ 0 ( x 2 − a cos ϕ 2 − x0 ) = 0
Ecuaciones de restricción: Operando con las ecuaciones anteriores y simplificando resulta: x0 = 0 y0 = 0 ϕ0 = 0 x1 + c cos ϕ 1 = 0 y1 + c sin ϕ1 = 0 ϕ 1 − ϕ 2 − 3π / 2 = 0 cos ϕ 2 ( y1 − b sin ϕ1 − y 2 ) − sin ϕ 2 ( x1 − b cos ϕ1 − x 2 ) = 0 cos ϕ 0 ( y2 − a sin ϕ 2 − y 0 ) − sin ϕ 0 ( x 2 − a cos ϕ 2 − x0 ) = 0
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
x1 + c cos ϕ 1 = 0 y1 + c sin ϕ1 = 0 ϕ 1 − ϕ 2 − 3π / 2 = 0 cos ϕ 2 ( y1 − b sin ϕ1 − y 2 ) − sin ϕ 2 ( x1 − b cos ϕ1 − x 2 ) = 0 y 2 − a sin ϕ 2 = 0
x 1 = −c cos ϕ 1 y1 = − c sin ϕ 1 ϕ 2 = ϕ 1 − 3π / 2 y 2 = a sin ϕ 2 = a sin( ϕ1 − 3π / 2 ) cos ϕ 2 ( y1 − b sin ϕ1 − y 2 ) = sin ϕ 2 cos ϕ 2 = − c cos ϕ1 − b cos ϕ1 − ( − c sin ϕ 1 − b sin ϕ1 − a sin( ϕ1 − 3π / 2 )) sin ϕ 2 x 2 = x1 − b cos ϕ 1 −
Velocidades: Matriz Jacobiana: φ1 = x1 + c cos ϕ1 φ2 = y1 + c sin ϕ1 φ3 = ϕ1 − ϕ 2 − 3π / 2 φ4 = cosϕ 2 ( y1 − b sin ϕ 1 − y 2 ) − sin ϕ 2 ( x1 − b cos ϕ1 − x2 ) φ5 = y2 − a sin ϕ 2 φ6 = ϕ 1 − ω0t − π / 2
∂
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6
∂x1 1 0 0 − sinϕ 2 0 0
∂
∂y1 0 1 0 cosϕ 2 0 0
∂
∂ϕ1 − c sin ϕ1 c cos ϕ1 1 − b cos ϕ1 cosϕ 2 − b sin ϕ1 sin ϕ 2 0 1
∂
∂x2 0 0 0 sin ϕ 2 0 0
∂
∂y2 0 0 0 − cos ϕ 2 1 0
∂
∂ϕ 2 0 0 −1 J 4 ,6 − a cosϕ 2 0
Simulación en Ingeniería Mecánica
Ejercicios Velocidad - Aceleración
J 4,6 = − sinϕ 2 ( y1 − b sin ϕ1 − y 2 ) − cosϕ 2 ( x1 − b cosϕ1 − x2 ) = = − y1 sinϕ 2 + b sin ϕ1 sinϕ 2 + y2 sinϕ 2 − x1 cosϕ 2 + b cosϕ1 cosϕ 2 + x2 cosϕ 2 = = − y1 sinϕ 2 + y2 sinϕ 2 − x1 cosϕ 2 + x2 cos ϕ 2 + b cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = = − y1 sinϕ 2 + y2 sinϕ 2 − x1 cosϕ 2 + x2 cos ϕ 2 + b cos(3π / 2) = = − y1 sinϕ 2 + y2 sinϕ 2 − x1 cosϕ 2 + x2 cos ϕ 2 = = a sinϕ 2 sinϕ 2 + (−c cosϕ1 − b cosϕ1 −
cosϕ 2 ( −c sin ϕ1 − b sin ϕ1 − a sinϕ 2 )) cosϕ 2 = sinϕ 2