Álgebra y Geometría Analítica

Prof. Gisela Saslavsky

Vectores en R2 y en R3. Rectas y planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica y usando un software de Matemática. 1) Sabiendo

que

AB =

(-2,

1)

y

B(2,

3)

hallar

las

coordenadas

de

A.

Sabiendo que CD = (-4, -2) y C(-3, 1) hallar las coordenadas de D. 2) Hallar las coordenadas A(1, 0), B(2, 3) y C(3, -2).

del

vértice

D

del

paralelogramo

3) Hallar las componentes de un vector v que tenga la magnitud π 2π v =3, θ = 6 ; b) =6, θ = 3

v

ABCD

sabiendo

que

y la dirección θ indicadas: a)

v

4) Dados los vectores a = (3, 1), b = (4, 6) y c = (0, 1) calcular las componentes del vector a+ ½ b - 3c 5) Calcular la magnitud y dirección de los vectores 3u + 2v y

2 v − 5u v = ( 3 ,− 1) 3 4 si u = (5,− 2) y .

6) Hallar el valor de x para que el vector u = ( 1/3, x) sea unitario. 7) Sean u = 2i − 3 j y v = − i + 2 j . Hallar un vector unitario cuya dirección sea la misma que la de a) 2u − 3v ; b) 3u + 8v 8) Un perro intenta cruzar a nado un río perpendicularmente a él. Si es capaz de nadar con una velocidad de 6 m/seg y la corriente del río lleva una velocidad de 6 m/seg, ¿cuál es la velocidad efectiva del perro? ¿Cuál es su dirección? 9) En cada caso obtener, si es posible, el vector x como combinación lineal de los vectores v y u

10) Indicar si el conjunto de vectores es linealmente independiente o linealmente dependiente, de acuerdo a la figura siguiente

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11) Si A = i + 2 j , B = 2i − 4 j y C = 2i − 3 j , expresar C como combinación lineal de A y B. ¿Es única su solución? 12) Dados los vectores a = (-3, 2), b = (1, 1) y c = 2.a -3.b, a) representarlos gráficamente, b) ¿son los vectores a y b L.I.?, c) ¿son los vectores a y c L.I.?, d) escriba c como una combinación lineal de a y b. 13) ¿Los vectores u = (0, 1) y v = (1, -2) son L.I.? Expresar los vectores a = (3, 2) y b = (-2, 1) como combinación lineal de u y v. 14) Indicar de qué tipo es el ángulo entre los vectores (2, 1) y (6, 10). 15) Hallar a.b sabiendo que a = (1, -2), que el módulo de b es 4 y que el ángulo entre ellos es de 60º. 16) Dados los puntos A(2, 1), B(6,3), C(7, 1) y D(3, -1) demostrar que el polígono ABCD es un rectángulo y calcular su perímetro. 17) Dados los vectores u = (3, -1) y v = (-2, 2) hallar: a) el módulo del vector v + u y verificar la desigualdad triangular b) el vector v + 2u, c) v.u, d) cos . 18) Hallar x para que los vectores (3, -x) y (-4, 2) sean ortogonales. 19) Hallar vectores ortogonales al (-3, 1) tales que a) su primera componente sea 2, b) su segunda componente sea 4, c) sea un vector unitario. 20) Dados los vectores v = (3, -4) y u = (6, k) hallar el valor de k para que a) sean paralelos, b) sean perpendiculares. 21) Sean P = (2,3) , Q = (5,7) , R = (2,− 3) y S = (1,2) . Calcular la proyección de PQ sobre RS y la proyección de RS sobre PQ . Graficar. 22) Hallar las componentes de un vector sabiendo que forma un ángulo de 45º con a = (-2, -2) y que es perpendicular a b = (3, 0) 23) Sean los puntos A(2,5), B(-2,4) y C(3,-7) a)hallar el área del triángulo ABC b)hallar analíticamente y graficar la proyección del vector AB en la dirección de AC c)expresar, si es posible, el vector AC como combinación lineal de los vectores AB y BC

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24) Sean u = − 2i + 5 j y v = α i − 2 j . Hallar α tal que a)los vectores sean ortogonales; b) los vectores 2π 3 sean paralelos; c) el ángulo entre los vectores sea u

25) Sean u y v vectores de R2 que forman un ángulo de 45º entre ellos. Si el longitud de v para que sea perpendicular a u - v ?

=1 ¿cuál debe ser la

26) Elija distintos valores reales de α , β y c y muestre gráficamente que el vector v = α i + β j es  ortogonal a la recta α x + β y + c = 0 . Luego, demostrar analíticamente que los vectores v = α i + β j y u = β i − α j son ortogonales y explique la no influencia de c en la determinación del vector perpendicular a la recta.. 27) Si ϕ es el ángulo positivo más pequeño entre los dos vectores diferentes de cero u y v , demostrar u.v cos ϕ = u .v que 28) Sean los vectores ortogonales entre sí a = (3, 2) y b = (4, -6). Hallar las componentes de c = (2, 3) en las direcciones definidas por a y b. w= u− 29) Sea v un vector no nulo. Demostrar que, si u es otro vector, Interpretar geométricamente.

u.v v

2

.v es ortogonal a v .

30) Sean A y B vectores no nulos de dos dimensiones. Probar que son Linealmente Independientes si y solo si no son paralelos. 31) Sean A y B vectores no nulos y no paralelos de dos dimensiones. Probar que cualquier vector V de ese espacio se puede escribir como combinación lineal de A y B en forma única. 32) a)Representar en R3 los siguientes puntos: P = (0,0,2); R = (3,1,3); S = (1,0,2) b) Si desde el punto P = (2,5,1) se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, hallar las coordenadas del punto de intersección de cada recta con el plano coordenado. c) Hallar las coordenadas de los vértices del paralelepípedo rectángulo limitado por los planos coordenados y los planos x = 2, y = 3, z = 5. Hallar además las longitudes de sus lados. 33) Hallar la distancia entre los puntos P y Q siendo a) P = (3,-4,7) y y Q = (-2,2,5) c) P = (0,2,4) y Q = (1,-4,5)

Q = (3,-4,9)

b) P = (-2,1,4)

34) Expresar las coordenadas del punto medio de un segmento en relación a las coordenadas de los puntos extremos de dicho segmento. Usarla luego para determinar el punto medio del segmento AB donde A(1,2,3) y B=(3,2,1) 35) Averiguar si los puntos A = (3,-4,1), B = (5,-3,0) y C = (6,-7,4) determinan un triángulo isósceles rectángulo.

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36) Hallar los valores de k tales que el punto (k,k,1) diste de (0,0,2) en 5. Graficar. 37) Determinar los puntos del eje Y que equidistan de P = (3,2,0) y Q = (2,-1,1). Graficar. 38) Calcular el producto cruz entre u y v siendo: a) u = i − 2 j ; v = 3k v = − i + 7 j − 3k

b) u = ai + b j ; v = ci + d j , a b c y d reales c) u = i + 7 j − 3k ;

d) u = 3i − j + 8k ; v = i + j − 4k

e) u = ai + a j + a k ; v = bi + b j + bk a y b reales 39) Sean u = 2i − j + k y v = i − 2 j + k . Comprobar que el vector uΧ v es ortogonal a u y a v y calcular el área del paralelogramo determinado por u y v . 40) Calcular el área del triángulo de vértices A = (2,1,3), B = (0,1,2) y C = (1,1,1). Ídem para el determinado por i + j ; j + k y i + k 41) Hallar dos vectores unitarios ortogonales a u = 2i + j − k y a v = − 3i − 2 j + 4k . 2

42) Demostrar que

2

2

uΧ v = u v − (u.v) 2

43) Sean u = 5i + k , v = 3i − 2 j y w = − 4i + j + k . a) Mostrar que los 3 vectores son linealmente independientes. b) Hallar las proyecciones del vector u en la dirección del vector x = 2v − w . 44) Encontrar todos los vectores de longitud 2 perpendiculares al plano determinado por u = 2i − j + 2k y v = 3i + j + k 45) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u = i − j , w = − 7 j + 3k

v = 3i + 2k y

46) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ, PR y PS , si P = (2,1,-1), Q = (-3,1,4) y S = (-3,-1,5) 47) Averiguar los valores de α para los cuales los vectores siguientes son coplanares: (Linealmente dependientes) a) u = i + α j + k , v = 2i + j − 2k y w = 2i + j + k b) u = α i + k , v = i + j y w = − i + 2 j + α k 48) Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es posible, de la recta dada por:

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a) pasa por A(4,6,-7) y es paralela a u = 5i + 9 j + 4k b) pasa por los puntos R(1,2,1) y S(3,5,-2) c) pasa por B(3,-5,6) y es paralela al eje X d) pasa por C(4,3,-1) y es perpendicular al plano YZ 49) Hallar la ecuación del plano dado por: a) pasa por el punto (5,1,3) y es perpendicular a n = 2i − 3 j + 4k b) contiene a los puntos (3,5,2) ; (2,3,1) y (-1,1,4) c) pasa por el punto (2,3,-5) y es paralelo al plano x + y - 4z = 1 d) pasa por el punto (3,6,12) y es perpendicular al eje Y e) contiene a las rectas R: (1,-1,5) +t(1,1,-3) y S: (3,4,2)+t(-2,-2,6) x− 1 y+ 1 z− 5 = = −1 6 f) contiene a la recta R: (1,-1,5) +t(1,1,-3) y S: 2 g) pasa por el origen y contiene a la recta S del punto anterior h) pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R del punto f) i) pasa por los puntos (2,-1,1) y (3,1,2) y es paralelo al eje Y j) contiene a (3,4,-5) y es paralelo a los vectores (3,1,-1) y (1,-2,1) 50) Un plano tiene ecuación x + 2y - 2z + 7 = 0. a) hallar un vector normal de longitud unidad b) los segmentos en que corta a los ejes c) la distancia del origen al plano d) las coordenadas del punto Q del plano más próximo al origen 51) Dibujar los siguientes planos: a) 2x+y-1=0; b) x-z=0; c) 3y=0; d) 2z+3=0; e) 4x+6y+3z=12 52) Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (1,2,-3) y es paralelo al plano dado por la ecuación 3x – y + 3z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los dos planos? 53) Hallar el ángulo formado por los planos x + y = 1 , x + z = 2 54) Hallar la ecuación del plano paralelo al dado por 2x-y+2z+4=0 sabiendo que el punto (3,2,-1) equidista de ambos. 55) Indicar cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano 3x – y + 4z = 2

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b)

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x− 2 y z+ 1 = = 2 − 2 − 2 x− 1=

y− 1 z− 1 = −1 −1

c) x = 2 – t , y = 4 + t, z = -5t 56) Demostrar que la intersección de los planos 5x-3y+2z=5; 2x-y-z-1=0 está situada en el plano 4x3y+7z-7=0 57) Dados P(-1,2,3), Q(1,-1,1) R(2,1,-1) hallar a) la recta que contiene al lado QR del triángulo PQR b) longitud de la mediana correspondiente al lado PR c) la recta que contiene a la altura correspondiente al lado PQ d) la ecuación de la mediatriz correspondiente al lado PR e) la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo PQR 58) ¿Para qué valores de A y D la recta x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t está situada en el plano Ax + 2y - 4z + D = 0? 59) Hallar una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta del espacio. (Sugerencia: exprese el seno de un ángulo en función del módulo del producto cruz entre vectores). Utilice la fórmula para a)Calcular la distancia entre P=(2,3,6) y la recta que pasa por los puntos Q=(-1,7,0) y R=(3,5,-2) b)Calcular la distancia entre el punto P=(3,7,9) y la recta a lo largo del vector v = 2i − 3 j + k , que pasa por el origen. 60) Indicar la posición relativa de las rectas L y R:

 x = 1 + 2t  L :  y = − 2 + 3t  z = 3+ t 

 x=   R: y =    z =

 x = − 1 + 2t  L :  y = 3t z= t 

x = 2+ t  R :  y = − 3 + 2t z= t 

3t −5 −t 3 7 + 2t 3

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61) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por T(3,-1-4), está contenida en el plano 2x-y+zx− 2 z y + 1= = −3 4 3=0 y es perpendicular a la recta L: 62) Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(1,2,-3) y es paralelo a la recta L del ejercicio anterior y a la recta -2x – y + 4z + 2 = 0 -3x + 5z – 6 = 0 63) Parametrización de un plano: Sean los vectores del espacio u = α i + k y v = j + β k donde α , β son números reales dados a) hallar la ecuación del plano determinado por los vectores u, v (es decir el plano determinado por el origen de coordenadas y los extremos de dichos vectores) b) Sea w = su + r v donde s y r son escalares. Probar que para cualquier elección de s y r el extremo de w está en el plano determinado por u, v    64) Probar que uΧ (vΧ w) es coplanar con v y w , para cualquier vector u 65) Hallar las ecuaciones canónicas de la recta que pasa por el punto M(2,-4,-1) y por el punto medio del segmento de recta: 3x + 4y + 5z – 26 = 0 3x - 3y - 2z – 5 = 0 contenido entre los planos: 5x + 3y - 4z + 11 = 0 y 5x + 3y - 4z – 41 = 0