Unidad EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Añade tres términos a cada serie a. b. c. d. e. f.

12; 11; 14; 9; 16; ... 7; 7,7; 15,47; 23,247; .... 1; 4; 10; 22; 46; .... 0; 2; 6; 14; 30; .... 3; 34; 343; 3434; .... 3 ; 6 ; 3; 2 3 ; 15 ; 3 2 ; ....

2. Escribe 5 términos más de la sucesión 1 1 1 a. ; ; ; ... 2 3 4 b. ¿Cuál es su término 30? 3. Escribe el término 100 de la sucesión, 1; 2; 3; 1; 2; 3; 1; 2; 3; .... 4. Escribe 6 término más de la sucesión a. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... b. ¿Cuál es su término número 60? 5. Escribe 4 términos más de la sucesión 2 3 4 5 a. ; ; ; ; ... 3 4 5 6 b. ¿Cuál es su término centésimo? 6. Calcula el término general de cada serie: a. b. c. d.

2; -2; 2; -2; ..... –1; 2; -3; 4; -5; ... 2; -4; 6; -8; 10; .... 0; 3; 8; 15; 24; ... 1 3 5 e. ; 1; ; 2; ; .... 2 2 2 1 2 3 4 5 f. ; ; ; ; ; ... 2 3 4 5 6 g. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...

7. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen por término general: n2 + 1 a. an = n b. an = 3 + (n − 1) ⋅ 5

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 n −1

1 c. an = 3 ⋅   2 d. an = (n − 1) ⋅ (n − 2 ) e. an =

4n 2 − 2n + 3 n +1

8. Dados los términos generales de cuatro sucesiones numéricas, hallen para cada una de los seis primeros términos y la suma de éstos. an

n n +1

3n + 1

1 2

n +1

a1 a2 a3

a4 a5 a6 S 9. Observen los gráficos de cinco sucesiones numéricas

2

(−1)n ⋅ n

Sucesiones aritméticas y geométricas a. Completen la siguiente tabla

n 1 2 3 4 5

An

Bn

Cn

Dn

En

a1 = 1

d4 = 0 b5 = −1

b. Indicar cuál de las siguientes fórmulas corresponde al término general de cada una de las sucesiones

IV.-

0 si n es par an =  . − 1 si n es impar an = 1 − n ........................ 1 an = ............................ n an = n .............................

V.-

an = (− 1) .......................

I.II.III.-

n

Progresiones Aritmética 10. Identifica; entre estas sucesiones, las que son progresiones aritméticas, justifique. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.

1; 2; 4; 7; 11; .... 2; 4; 8; 16; ...... 10; 7; 4; 1; -2; ..... 5; 7; 9; 8; 10; 12; .... 2,7; 2,9; 3,1; 3,3; .... 2 4 5 ; 1; ; ; ; 2; ..... 3 3 3 4; 9; 14; 19; ... 2; 6; 18; 36; ... –1; 1; –1; 1; –1; ... –25; -20; -15; -10; .... 3 4 5 6 ; ; ; ; ... 4 4 4 4

11. De las sucesiones siguientes, ¿Cuáles son progresiones aritméticas? a. an = 2n b. bn = 4n − 2 1 c. cn = n

3

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 d. d n = 5n − 7 12. Construye una progresión aritmética en la que el primer término sea

2 y la dife5

1 rencia . 3 13. Sin escribir los términos, indiquen cuáles de los siguientes términos generales están asociados a dos sucesiones iguales. a. an = 3 ⋅ (n − 1) b. an = 3n − 1

n2 − 1 + 2n n +1 1  d. an = 3 ⋅  − n  3  c. an =

14. En una progresión aritmética se sabe que a1 =

1 3 y a4 = . Calcula la diferencia y 2 2

los seis primeros términos. 15. Escribe el término general de las sucesiones: a. 5; 10; 15; 20; .... b. 90; 78; 66; 54; .... c. 2,2; 2,6; 3; ..... 3 ; 1; .. d. 2; 2 16. Calcula el término general de una progresión aritmética sabiendo que a7 = 6 y a15 = 10 . 17. ¿Cuánto vale la diferencia en una progresión aritmética cuyo tercer término es 27 y cuyo quinto término es 35? Calcula el primer término y escribe la sucesión. 18. En una progresión aritmética a1 =

5x x y d= 2 2

a. Calcula an b. Calcula a80 ; a100 ; a200 . 19. Construye una progresión aritmética en la que el primer término sea 26 y el noveno 58. 20. Calcula el término 100 de la progresión aritmética: -4; -2; 0; 2; 4; ...

4

Sucesiones aritméticas y geométricas 21. Los datos que se dan como hipótesis corresponden a sucesiones aritméticas. Analicen si en cada caso la tesis es verdadera o falsa. hipótesis 6444 7444 8 6tesis 78 a. Si a1 = 3 y a12 = −12, entonces d = −1 . 1 1 1 b. Si a3 = y d = , entonces a1 = − 2 2 2 c. Si a11 = 1, entonces a15 = 1 + 4d d. Si an = 37, a8 = −41 y d = 13, entonces n = 14 e. Si una sucesión a2 = 7 y a10 = 31 y en otra b5 = 1 y b7 = 7 , entonces ambas tienen la misma diferencia. 22. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 15 m. Calcula sus otros lados sabiendo que los tres forman una progresión aritmética. 23. Calcula el término que ocupa el lugar 15 en la progresión cuyos cuatro primeros términos son: 3; 2,7; 2,4; 2,1; ... 24. Calcula el cuarto término de una progresión aritmética de diferencia 3 y cuyo término número 20 es 100. 25. Interpola cuatro medios diferenciales entre 1 y 21. 26. Interpola tres medios diferenciales entre -6 y 6. 27. Interpola cinco medios diferenciales entre -9 y 9. 28. Interpola: a. Tres medios diferenciales entre 7 y 37. b. Cuatro medios diferenciales entre -10 y 15. c. Cinco medios diferenciales entre 32 y 8. 29. Calcular la suma de los primeros 40 números naturales. 30. Calcula la suma de los números naturales del 100 al 200, ambos incluidos. 31. Calcula la suma de los 18 primeros términos de la progresión: -7; -4; -1; 2; 5; .. 32. De una progresión aritmética se sabe que a1 = 2,4 y d = 1,6 . Calcula la suma de los 12 primeros términos.

33. En una progresión aritmética, a5 = 18 y a9 = 34 . Calcula la suma de los veinte primeros términos. 34. ¿Cuántos múltiplos de 9 se encuentran entre 1000 y 3000? 35. Encuentren la suma de los múltiplos de 5 mayores a 42 y menores que 158.

5

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 36. En una sucesión aritmética que tiene un número impar de términos, el central es 15. ¿Cuánto vale la suma del primero y último? 37. Halla la suma de los veinte primeros términos de las siguientes sucesiones aritméticas. a. 1; 2; 3; 4; ... b. –25; -20; -15; -10; ... c. -4; -2; 0; 2; 4; .... 38. ¿Cuánto vale la suma de los cien primeros múltiplos de 7? 39. Un club selecto tiene muchas solicitudes de entrada, pero sólo admite quince nuevos socios al mes. Si finalizó el año pasado con 253 socios y la cuota es de $ 80 mensual. ¿Qué presupuesto espera manejar este año la junta directiva?. 40. Encuentra los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética de diferencia 10. 41. El segundo y el tercer término de una sucesión aritmética son respectivamente 7 y 3 − . Calculen la suma de los primeros 10 términos. 2 42. Calcula la suma de todos los números impares de 2 cifras. 43. Calcula la suma de los 200 primeros múltiplos de 5. 44. Los ángulos de un pentágono convexo están en progresión aritmética y el menor de ellos mide 50º. Encuentra la medida de los demás. 45. Ciertos términos consecutivos de una progresión aritmética suman 105 y su término central es 7. ¿Cuántos términos se han sumado? 46. Calcula la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 mayores a 31. 47. En una progresión aritmética se tiene que d = 3 , S n =126 y an = 27 . Calcula n y a1 . 48. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 30; 27; 24; ... hay que sumar para que dicha suma sea 165? 49. En una progresión aritmética a1 + a7 = 20 . ¿Cuánto vale a4 ? Si d = 3 , calcula a1 ; a3 ; an y S10 . 50. Los lados de un hexágono están en progresión aritmética. Calcúlalos sabiendo que el mayor mide 13 cm y que el perímetro vale 48 cm. 51. Los ángulos de un hexágono convexo están en progresión aritmética y el menor mide 30º. Calcula por triangulación, la suma de ellos.

6

Sucesiones aritméticas y geométricas 52. ¿Cuánto dinero llevaba a sus vacaciones una persona si el primer día gastó $ 200, fue disminuyendo en $ 20 por día y el dinero le duró 20 días? 53. En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 metros de la pantalla y la séptima fila está a 16 metros. ¿En qué fila debe sentarse una persona que le guste ver la pantalla a una distancia de 22 metros? 54. Halla los dos términos centrales de una progresión aritmética de 8 términos sabiendo que suman 100 y que la suma del primero y dos veces el último vale 48?. 55. Determina la suma de los 30 primeros términos de la sucesión aritmética cuyo término general es an = 3n − 4 . 56. El término central de una progresión aritmética de 17 términos vale 11. Determinar la suma de esos 17 términos. 57. Construye una progresión aritmética de 6 términos que tenga por extremos 9 y 24. 58. ¿Cuántos años bisiestos hay entre los años 1999 y 2095. 59. Tres números ocupan lugares consecutivos es una sucesión aritmética de diferencia 7 3. El cociente entre el primero de ellos y el tercero es , 9 a. Encuentren el término menor. b. Hallen la suma de los tres términos. c. ¿Cuál deberá ser el cociente entre el primero de ellos y el tercero para que, con la misma diferencia, el menor término sea el opuesto del encontrado en el item a?

Progresiones Geométricas 60. De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas?. Escribe cuatro términos más en cada una de ellas y, también, su término general. a. 2, 4, 8, 16, .... b. 1; 10; 100; 1000; ... c. 32; 16; 8; 4; 2; .... d. 1; 0,1; 0,01; 0,001; .... 61. De ciertas progresiones geométricas conocemos, respectivamente: a. a1 = 2 y q = 3 . Escribe sus cinco primeros términos. b. b2 = 6 y q = 2 . Calcular b1 y b5 c. c10 = 1.024 y q = 2 . Calcular c1; c9 y c11

62. En una progresión geométrica a1 = 5 y a2 = 15 . Encuentra el término a4 y la expresión de an 63. En una progresión geométrica a1 = 8 y a3 = 2 . Calcula a6 y la expresión de an.

7

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 64. Calcula la razón y el término décimo de la sucesión geométrica: 21; 2,1; 0,21; 0,021; .. 65. Calcula x para que 3; x; 48 sea progresión geométrica. 66. En una progresión geométrica a1 = 32 y r = 0,5 a. Calcula el primer término no entero. b. Expresa, de forma indicada a25. 67. Entre los números 1 y 16, escribe otros tres m; n; p de modo que 1; m; n; p; 16 estén en progresión geométrica. a. Haz lo mismo con 3, m, n, 48 b. Haz lo mismo con 32, m, n, 2 68. En una progresión geométrica a25 = 40 y r = 0,5. Calcula a20 y a30. 69. Interpolar cuatro medios proporcionales entre 32 y 243 70. Interpola: a. Un medio proporcional entre 5 y 125 b. Tres medios proporcional entre 3 y 243. c. Cuatro medios proporcional entre 4 y 972. 71. Calcula r sabiendo que a1 =7, a5 = 70.000 81 a. Haz lo mismo siendo a2 = 2 y a6 . 8 3 3 b. Haz lo mismo siendo a7 = 7 y a10 = 10 . 10 10 c. Observa que se obtienen las siguientes relaciones. a a a r=4 5 ; r=4 6 ; r = 3 10 a2 a7 a1 72. Los datos que se muestran corresponden a sucesiones geométricas. Completar las siguientes expresiones. 1 a. Si a1 = 3 y r = , entonces a5 = ________________ 2 b. Si a7 = −64 y a3 = −4 , entonces r = _____________ 73. El primer término de una sucesión geométrica es 4 y su razón es 2. Hallen los cinco primeros términos. 74. Analicen si existe una única sucesión geométrica talque la suma del primer término y el tercero sea 20 y la suma del tercero y el quinto sea 180. 75. Hallen los cinco primeros términos de la o las sucesiones que cumplan con las condiciones del ejercicio anterior. 76. Relaciona r con am, an, n y m siendo m > n en una progresión geométrica cualquiera.

8

Sucesiones aritméticas y geométricas 77. La población mundial es de unos 5 mil millones de habitantes y crece al ritmo anual de l 2 %. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse? 78. El radio, elemento radioactivo, se descompone a razón del 4% por siglo. Un kg de radio, ¿en cuánto se habrá reducido después de 1.000 años? 79. A veces los grandes matemáticos también se equivocan. Eüler hizo el siguiente razonamiento: Sea r un número positivo menor que 1. Se tiene que: r r + r 2 + r 3 + .... = 1− r y también; 1 1 1 1 1 r −r 1 + + 2 + 3 + ... = = = = 1 r − 1 r r r r −1 1− r 1− r r r −r + = 0 resulta que y como 1− r 1− r 1 1 1 ... + 3 + 2 + + 1 + r + r 2 + r 3 + ... = 0 r r r Pero todos los sumandos son positivos luego es absurdo que la suma sea cero. ¿Cuál fue el error de Eüler?

80. Los datos de cada fila de la siguiente tabla corresponden a la misma sucesión geométrica. Completar la tabla. a1

a2

4

20

a3

a4

r

S4

5 9

15 4

0,1 0,2

-8

2,496 -15

81. En un cuadrilátero abcd, dˆ = 9bˆ y todos los ángulos interiores forman una sucesión geométrica. ¿Cuánto mide cada uno de ellos? 82. Una damajuana de cinco litros está llena de jugo. Una persona saca una copa de 50 cm3 y , para que no se note, lo sustituye por la misma cantidad de agua. Otras personas hacen la misma operación sucesivamente. ¿Cuántas operaciones hacen falta para que la mitad de la mezcla sea jugo y la otra mitad sea agua?.

9

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 83. Un avión de papel avanza en línea recta y cada segundo, avanza la mitad de recorrido que el segundo anterior. Sabiendo que en el primer segundo avanzó 10 m, ¿llegará a tocar la pared que está a una distancia de 18 m?. 84. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos a plazo fijo $ 3.000 al 15%? 85. ¿A qué tanto por ciento debe imponerse un capital para que se duplique en cinco años? 86. La población de un país de América aumenta por término medio un 10 por mil anual. Sabiendo que en la actualidad tiene 30 millones de habitantes, ¿Cuántos tendrá dentro de un siglo? 87. La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor y en su momento costo $ 400.000. ¿En cuánto se valorará esta máquina después de 11 años de funcionamiento? 88.

Calcula la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 4 y r =3.

89.

¿Cuánto vale la suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica en la que a5 = 324 y r = 3.

90.

En una progresión geométrica, la suma de los seis primeros términos es S6 = 1.456 y la razón es r =3. Encuentra a1 y a4.

91.

En la progresión geométrica, 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192; 384; ...., comprueba que: a1 ⋅ a9 = a2 ⋅ a8 = a3 ⋅ a7 = a4 ⋅ a6 = a52

92.

En una progresión geométrica cualquiera a; a ⋅ r ; a ⋅ r 2 ; a ⋅ r 3 ; a ⋅ r 4 ; a ⋅ r 5 ;.... , comprueba que a1 ⋅ a6 = a2 ⋅ a5 = a3 ⋅ a4 . Comprueba, también que a3 ⋅ a7 = a4 ⋅ a6

93.

94.

Enuncia una propiedad general que englobe los casos particulares de los dos ejercicios anteriores. En una progresión geométrica a1 ⋅ a5 = 36 . ¿Cuánto vale a3?

95.

En una progresión geométrica a1 ⋅ a3 = 25 y a4 = 125 . ¿Cuánto valen a1; a2; a3 y a4?

96.

Calcula el producto de los cuatros primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y a4 =250.

97.

En una progresión geométrica con infinitos términos es a1 = 7 y r = la suma de toda la progresión geométrica. 10

1 . Calcular 5

Sucesiones aritméticas y geométricas 98.

Al cortar un triángulo equilátero de área 1, por los puntos medios de los lados, 1 obtenemos un triángulo equilátero de . Al hacer lo mismo las infinitas veces con 4 los sucesivos triángulos, ¿cuánto vale la suma de todas las áreas obtenidas?

99.

En una progresión geométrica la suma de los infinitos términos vale 4 y a2 = 1. Calcula a1 y la razón.

100. Calcula la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica de razón

2 3

y cuyo segundo término es 6. 101. Según datos publicados por Enterprice S.R.L, en agosto de 2.000, en la Argentina había 687.438 hogares conectados a Internet en 1.999. En el mismo año, En América latina la cifra llegó a 8.500.000. Una empresa estimó, según estudios realizados de mercado, que el crecimiento anual de usuarios de Internet en la Argentina y Latinoamérica en los próximos años será geométrico. a. Calcula la cantidad de usuarios que se espera en la Argentina en el corriente año, suponiendo una tasa de crecimiento anual de 36,7 %. b. Encuentren la tasa de crecimiento anual estimada para Latinoamérica, si se calcula, según proyecciones, una cantidad de 24.300.000 usuarios de Internet para el 2.004. 102. Se estima que el crecimiento demográfico de Argentina responde a una ley geométrica de razón r = 1 + q , donde q es la tasa anual de crecimiento de población e indica el número medio de personas que se incorporan anualmente a la población total, por cada 100 habitantes. Según datos del INDEC, los censos de 1980 y 1991 indicaron que la población en la Argentina fue de 27.949.480 y 32.615.528 habitantes respectivamente. a. Considerando estos valores, hallen la fórmula del término general de una sucesión geométrica. b. Calcular el promedio de personas que se incorporaron anualmente a la población total, por cada 100 habitantes. c. Estimar cuál fue la cantidad de habitantes en la República Argentina en el año 1.995 según este modelo. d. Calculen cuál será la población de Argentina en el año 2.010, si se mantiene el ritmo de crecimiento demográfico.

11

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5 103. Observe las siguientes figuras

1 2 a. Completar el siguiente cuadro: Cuadrado

1

Área Sombreada

3 2

A1 = 1

4 3

1 A2 = 4

A3 =

4 A4 =

b. Deducir la razón y su término general c. Hacía que valor tiende la superficie de los cuadrados? 104. Analizar los cuadrados del ejercicio anterior, pero ahora en la zona no sombreada. a. Completar el siguiente cuadro Cuadrado

1

Área no sombreada B1=

2

3

B2 =

B3 =

4

B4 =

b. ¿Por qué se trata de una sucesión geométrica? c. ¿A qué valor tienden a acercarse las áreas a medida que se toman valores de n cada vez mayores? n

 1 105. Completa la siguiente sucesión, cuyo término general es an = 1 +  , utilizando  n una calculadora científica. (anotar todos los valores que aparecen en esta)

a1

(1 + 1)1 =

a2

 1 1 +  =  2

a3

 1 1 +  =  3

a10

2

a100

3

a10.000

a4

a1.000.000

a5

a10.000.000

12

Sucesiones aritméticas y geométricas a. ¿La sucesión es creciente? b. ¿Esta sucesión tiene límite?. ¿Por qué? c. Compare el valor del término an y el valor e de la calculadora (hacer e1). 106. Confeccionar tablas de valores y hallar el límite de cada una de las sucesiones. −n

 1 b.- 1 −   n

2n

1   d.- 1 +   2n 

 1 a.- 1 +   n  1 c.- 1 +   n

 1 1  e.- 1 + + 2   n n 

n

n

n

107. Las siguientes figuras corresponden a las tres primeras etapas del triángulo de “Sierpinski”. En la primera pueden observar un triángulo equilátero. En la segunda, la figura se divide en cuatro triángulos congruentes y se pinta el del medio. En la tercera etapa se divide cada triángulo en cuatro triángulos congruentes y se pinta el del medio de cada uno.

a. Dibujar la figura de la cuarta etapa b. Encuentre la expresión del perímetro de la figura no pintada, si el perímetro de la figura 1 es P. c. Expresa el área de la figura sin sombrear en cada etapa, si el área del primer triángulo es A. d. Si se considera una sucesión, hallar el término general. e. Calculen el perímetro de la sexta etapa. f. ¿Cuál es el límite de la sucesión que representa el área? 129. En la tabla siguiente, cada fila de números forma una sucesión. Las ternas verticales son pitagóricas1. a. Completen con los valores que faltan en la tabla y comprueben que verifican la fórmula del término general. 1

Se llaman ternas de números pitagóricos a un conjunto de números naturales a, b y c, que cumplan con la 2

2

2

siguiente condición: a = b + c . Dicho números pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo en el cual a es la medida de la hipotenusa.

13

Guía de ejercicios: Unidad Nº 5

n

1

2

3

a

5

b

4

8

12

c

3

15

35

4

5

6

Término General

65

101

an = 4 n 2 + 1

20

bn = 4n cn = 4 n 2 − 1

b. Utilizando las fórmulas de los términos generales, verificar que: (an )2 = (bn )2 + (cn )2 130. Las siguientes tablas contienen ternas de números pitagóricos. Completar las tablas y analizar cuál es, entre los siguientes, el término general correspondiente a cada fila. I.- 8n + 4 II.- 2n 2 + 6n III.- 2n 2 + 6n + 9 2 2 IV.- 4n + 4n − 3 V.- 4n + 4n + 5 VI.- 6n + 9 a. n a

1

b

12

bn =

c

5

cn =

b. n a

1

2

2

3

3 45

4

5

4

5

6

Término General an =

Término General an = bn =

b c

6

cn =

27

132. En los siguientes sistemas de ecuaciones, a; b y c son tres números enteros y términos consecutivos de una sucesión geométrica. x + y = a  4 x + 2 y = b

19 x − y = c  8 x + y = 9

Sabiendo que ambos sistema tienen la misma solución, calculen a; b y c 133. Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y justifiquen sus respuestas mediante un ejemplo a. Toda sucesión geométrica puede asociarse a una función exponencial, cuyo dominio es ℵ. b. Toda función exponencial, puede asociarse a una sucesión geométrica. c. Toda sucesión aritmética puede asociarse a una función lineal d. Toda función lineal, puede asociarse a una sucesión aritmética. 14