1º Bachillerato Ciencias

Autor: Mª dolores González

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES r r r r 1. Hallar un vector unitario u de la misma dirección que el vector v = 8i − 6 j .Calcular r otro vector ortogonal a v y de módulo 5.

2. Normaliza los vectores: r u = (1, 2 ) r v = (-4,3) 3. Si M(2,1), M´(3,3), M´´(6,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de un triángulo?

r r 4. Halla las componentes del vector u que sea perpendicular a v = (−3,6) y que: a) Su primera componente sea 2. b) Su módulo es 1.

r r r r r r r r 5 .Calcula ( 2u − 3v ) ⋅ (3u + v ) sabiendo que u = 1; v = 2; u ⋅ v = 2,5 r r 6. Sea B {u = ( −1,2); v = ( 2,1) } a) ¿Es base? b) Clasifica la base c) Encuentra una base ortonormal a la anterior.

RECTAS 1. De la recta r se sabe que pasa por el punto A (2,1) y un vector director es u (-2,4). Determina su ecuación en todas las formas que conozcas. 2. La ecuación implícita de una recta es 2x-3y+1=0. Escribe la ecuación de esta recta en forma continua, punto-pendiente, explícita, vectorial y paramétrica razonando las respuestas.

3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (1,-2) y B (3,0). Hallar, también, el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas. 4. La recta 4x-3y=12 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0). 5. Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y las ecuaciones y las longitudes de las tres alturas del triángulo.

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Autor: Mª dolores González

6. Hallar las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el punto P (2,-3) y formen un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0. 7. Determinar el valor de a para que las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 y 3ax-(3a+1)y(5a+4)=0 sean: • paralelas • perpendiculares 8. Determinar el valor de m para que las rectas mx+y=12 y 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después hallar su distancia.

9. Dados los puntos A (2,1), B (-3,5) y C (4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6. 10. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A (1,-2) distan 2 unidades del punto B (3,1). 11. Un rayo de luz r pasa por el punto de coordenadas (1,2) e incide sobre el eje de abscisas formando con éste un ángulo de 135º. Suponiendo que sobre el eje de abscisas se encuentra un espejo, hallar la ecuación del rayo r y del rayo reflejado en el espejo.

12. Dados los puntos A (0,-1) y B (1,2), hallar las coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta x+y=2 tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares. 13. Los puntos A (3,-2) y C (7,4) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6x-y+2=0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo y las ecuaciones de sus lados. 14. Hallar las coordenadas del simétrico del punto P (0,6) respecto de la recta y=2x-3. 15. Los puntos A (2,-1) y C (3,6) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD. Sabiendo que B está en la recta de ecuación x+4y=0, hallar las coordenadas de los vértices B y D. (Indicación: basta hallar los puntos P sobre la recta tales que PA y PC son perpendiculares).

16. Averiguar si el triángulo de vértices A (2,2), B (4,7), C (9,4) es isósceles.

17. Calcular la distancia de los puntos A (-2,5), B (1,2) y C (1/3,-5/2) a la recta de ecuaciones paramétricas:  x = 1 + 4t r:  y = 2 + 3t 18. Hallar los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de longitud de la recta 3x-4y-12=0.

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Autor: Mª dolores González

19. Un cuadrado tiene un vértice en el punto (0,7) y una de sus diagonales sobre la recta de ecuación 3x-2y-6=0. Hallar el área. 20. Un cuadrado tiene un vértice en el origen y un lado sobre la recta de ecuación x2y+10=0. Hallar el área del cuadrado y la longitud de la diagonal.

21. Hallar la ecuación de una recta que forma un ángulo de 120º con el semieje de abscisas positivo y que dista 2 unidades del origen. 22. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 3x+4y+2=0 que distan 1 unidad de ella. 23. Hallar las coordenadas de un punto P situado sobre la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas y-2=0, 3y=4x-6. 24. Las rectas de ecuaciones 3x+4y-5=0 y px+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Hallar p.

25. Determinar las longitudes de los lados y los ángulos del triángulo cuyos lados se encuentran sobre las rectas 2x+y=2, 5x+2y=10 y el eje de ordenadas.

26. Calcula las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas: r:24x-7y-2=0 s: 3x+4y-4=0 27. Dado los puntos A(2,1) B(6,3) C(7,1) D(3,-1).Demuestra que ABCD es rectángulo y calcula su perímetro y su área,

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Autor: Mª dolores González

CÓNICAS Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica y un plano π .

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio. d(P,C)=R Ecuación de la circunferencia de centro C(a,b) y radio R: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2

Ecuación reducida: x 2 + y 2 = R 2 Ecuación de la recta normal a la circunferencia de centro C(a,b) en el punto p( x0 , y 0 ) : y − y0 =

y0 − b ( x − x0 ) x0 − a

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Autor: Mª dolores González

Ecuación de la recta tangente a la circunferencia se centro C(a,b) en el punto p=( x0 , y 0 ) : y − y0 = −

x0 − a ( x − x0 ) y0 − b

ELIPSE

Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano F y F´(llamados focos), es constante. d(P,F)+d(P,F´)=2a En una elipse se cumple: a 2 = b 2 + c 2 Siendo ´´a´´ la longitud del semieje mayor, ´´b´´ la longitud del semieje menor y ´´c´´ la mitad de la distancia entre los focos.

La ecuación reducida de la elipse es: x2 y2 + =1 a 2 b2

Si la elipse tiene centro C ( x0 , y 0 ) su ecuación es: ( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 + =1 a2 b2

Se define la excentricidad de una elipse como el cociente entre la distancia focal y el eje mayor. e=

2c c = 2a a

Si e tiende a cero la elipse se asemeja a una circunferencia.

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Autor: Mª dolores González

HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F´, es constante. d (P,F)-d(P,F´)=2a El eje focal es la recta que pasa por los focos .El eje focal corta a la hipérbola en los puntos A, A´, que reciben el nombre de vértices. El segmento AA´ es el eje real de la hipérbola y su longitud es 2a. El punto medio del segmento FF ´ , O, es el centro de la hipérbola En una hipérbola se cumple: c 2 = b 2 + a 2 La ecuación reducida de la hipérbola es: x2 y2 − =1 a 2 b2

Si la hipérbola tiene centro C( x0 , y 0 ) su ecuación es: ( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 − =1 a2 b2

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Autor: Mª dolores González

c a

La excentricidad de una hipérbola es e= . Cuanto mayor es la excentricidad, más se alarga la hipérbola en sentido vertical, de forma que cuando e=1, la cónica degenera en dos semirrectas. Si e= 2 la hipérbola recibe el nombre de hipérbola equilátera y su ecuación es de la forma x 2 − y 2 = a 2

PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada directriz de la parábola. d(P,F)=d(p,d) La directriz es la recta x =

p 2

La ecuación reducida de la parábola es: y 2 = 2 px Si el foco se encuentra en el eje de ordenada la directriz es la recta y =

p y 2

la ecuación reducida es: x 2 = 2 py

Si el centro de la parábola es C( x0 , y 0 ) la ecuación de la parábola es respectivamente: ( y − y0 ) 2 = 2 p( x − x0 ) ( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y 0 )

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Autor: Mª dolores González

Ejercicios 1. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (-1,8) B(-3,6) C(-1,4) 2. Comprueba que las siguientes circunferencias son concéntricas, calculando el centro de ambas: C : x 2 + y 2 + 2 − 4 y − 31 = 0

C : x2 + y 2 + 2x − 4 y = 4 3. Encuentra la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia x 2 + y 2 − 6 x + 10 y + 30 = 0 y que pasa por el punto P(7,-2). Calcular la recta normal y tangente a la circunferencia en el punto P. 4. Estudia la posición relativa de r y C. R: y=2x+2 C: x 2 + y 2 − 2 x + 3 y + 2 = 0 5. Encuentra la ecuación de la elipse de focos F(5,0), F´(-5,0) cuyo eje mayor es 14, y calcula las coordenadas de sus vértices. 6.Los vértices de una elipse son A(11,0), A´(-11,0),B(0, 21) , B´(0,- 21) . Determina la ecuación de la elipse y las coordenadas de sus focos. Calcula la excentricidad de la elipse 7. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F, F´ y: a) F(5,0), F´(-5,0) a=4 b) F( 7,0),F´(-7,0) a=5 8. Halla los focos, los vértices y el centro de la hipérbola: 36 x 2 − 64 y 2 − 72 x − 256 y − 2524 = 0 9. Estudia la posición relativa de la recta y=-x+4 y la hipérbola x 2 − y 2 = 16 10. Calcula la ecuación de una parábola sabiendo que su foco es F(0,4) y su directriz es la recta d, de ecuación y=-2. 11. Determina la ecuación de la parábola de foco F(5,0) y de directriz x=-5. 12. El vértice de una parábola es V(1,3) y su directriz es la recta y=1.¿Cuál es su ecuación? 13.Calcula los focos y los vértices de las cónicas siguientes, e identifica el tipo de cónicas al que corresponde cada caso:

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Autor: Mª dolores González

a) x 2 + 25 y 2 = 25 b) y 2 = 10 x

x2 y2 − =1 9 16 x2 y2 d) + =1 9 16

c)

14. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a P (1,2) es doble que su distancia a Q(-1,-8) 15. Localiza la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que verifican que d (P,A)=2 d(P,r), siendo A(-3,1) y r es la recta de ecuación x+y+5=0