EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA 1.- Dos triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes y la razón de semejanza entre el primero y el segundo es 2,4. Calcula las longitudes de los lados que faltan sabiendo que AB = 20 cm, BC = 15 cm y A´C´= 10 cm. Sólo recordar que los lados homólogos de las figuras semejantes son proporcionales, y su razón es la razón de proporcionalidad es , es decir:

AB AC BC    2,4 A´B´ A´B´ B´C´ A´B´ 8,33 cm, B´C´ 6,25 cm,

AC  24 cm

2.- En el siguiente dibujo AB y EF son paralelos y AB = 3cm, EF = 1,8 cm, FC = 3cm y AC = 6,4 cm. a) Calcula la longitud de los segmentos BC y EC. b) Determina la medida de los ángulos internos E, F y B. En este caso también hay que tener en cuenta, además de la propiedad anterior, que los ángulos de figuras semejantes son iguales … y que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º.

3 BC   BC  5 cm 1,8 3 3 6,4   EC  3,84 cm 1,8 EC Bˆ  Fˆ  103º Eˆ  49º 3.- Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 40 m. Aplicación directa del teorema de Pitágoras. Dibujar el triángulo, trazar la altura y se tienen dos triángulos rectángulos de los que se conoce un cateto y la hipotenusa. Altura = 34,64 m 4.- En un triángulo isósceles rectángulo la hipotenusa mide 10 m. Calcula la longitud de los catetos y la de la altura sobre la hipotenusa (h). Hay que aplicar el teorema de Pitágoras. Los catetos miden 50  7,07 m y la altura, h, mide 5 m 5.- Halla el área de un hexágono regular de apotema 50 m. En primer lugar hay que calcular la longitud del lado del hexágono. Al dibujar la apotema, el lado y el radio correspondiente se tiene un triángulo rectángulo. Como el radio es igual al lado (sólo en el hexágono regular) un cateto es la apotema, el otro la mitad del lado y la hipotenusa mide el doble del lado. Conocidos el lado y la apotema sólo hay que aplicar la fórmula correspondiente.

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA El lado del hexágono mide 57,74 m y su área es 8660,25 m2. 6.- Halla el área de un rombo de lado 5 m y diagonal mayor 8 m. Teorema de Pitágoras para hallar la otra diagonal. Área = 24 m2 7.- Halla el área del siguiente trapecio: Si se dibuja la altura del trapecio por el vértice del ángulo obtuso se construye un triángulo rectángulo en el que se puede calcular la longitud del cateto sobre el lado de 6cm. De este modo podemos saber cuál es la longitud de la base menor y con esto, aplicar la fórmula del área del trapecio. La base menor mide 3,94 m y el área del trapecio es 19,88 m2. 8.- Una recta corta a una circunferencia de radio 5 cm en dos puntos, A y B. Si el segmento AB mide 6 cm, ¿cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta? Dibujar un esquema de la situación y unir el centro de la circunferencia con A (ó B) y con el punto medio de AB y se obtiene un triángulo rectángulo. La distancia es de 4 cm. 9.- Un parterre tiene forma de trapecio circular, como en la figura. Sabiendo que AB = 12 m y AC = 7,5 m, halla la superficie del parterre. El parterre tiene forma de un sector de una corona circular. Como el ángulo es de 120º, el área del sector de corona es un tercio del de toda la corona. El área es 91,89 m2. 10.- Calcula el área de la parte coloreada de cada figura, sabiendo que están inscritas en un cuadrado de lado 6 cm:

El área del rombo curvilíneo verde es fácil de calcular: es el área del cuadrado menos el área de cuatro sectores circulares de radio 3, que juntos forman un círculo completo de radio 3. Área = 7,73 cm2.

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA La figura roja se compone de 8 segmentos circulares como los de la figura. Y el área del segmento circular es la diferencia entre el área del sector, que es una cuarta parte del círculo, y el área del triángulo. Área del segmento =

  32 9   2,57 cm2 4 2

Área de la figura = 8·2,57 = 20,56 cm2. 11.- Calcula el área de la región sombreada.

Se tiene un rectángulo y dos elipses. El área de la parte sombreada es la del rectángulo, menos la de la elipse grande, más la de la elipse pequeña. Área = 121,75 m2. 12.- La pirámide de la imagen tiene la base cuadrada. a) Calcula su área lateral. b) Si se llena de agua ¿Cuántos litros caben? Aplicación inmediata de las fórmulas correspondientes … y equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. Área lateral = 1872 m2. Volumen = 7564,62 m3, capacidad en litros = 7564620 l 13.- Halla la superficie total y el volumen de la siguiente pirámide hexagonal regular:

(el lado del hexágono mide 4 m y la arista lateral 6,4 m)

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA Hay que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de cada lado (apotema de la pirámide) y la altura de la pirámide. Superficie total = 114,48 m2. Volumen = 69,2 m3. 14.- Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

 

A = 3  1,25  2   3  4  1,25  4 

3  3,25 1,25  3,53    2 2 

= 51,91 m2. (área de la base del prisma + dos rectángulos 3x4 + dos rectángulos 1,25x4 + dos triángulos de base 3 y altura 3,25 + dos triángulos de base 1,25 y altura 3,58) La altura de 3,58 se calcula aplicando dos veces el teorema de Pitágoras) V = 3  1,25  4 

3  1,25  3,47  19,34 cm3 3

Volumen del prisma + volumen de la pirámide La altura de la pirámide hay que calcularla utilizando otra vez el teorema de Pitágoras A =   4  2  2  5    2  1,5  84,82 cm2 (área de la base del cilindro + área lateral del cilindro + área lateral del cono) La generatriz del cono se calcula …¡por el teorema de Pitágoras! V =  4  5 

  2 2  2,5  73,30 cm3 3

(volumen del cilindro + volumen del cono)

La “casita” es un prisma pentagonal. La dificultad está en calcular el área de los pentágonos porque no son regulares. Lo que se hace es descomponer el pentágono en un rectángulo y un triángulo. Y otra pega es calcular el lado desconocido de los rectángulos del “tejado”, que se resuelve aplicando el teorema de Pitágoras para llegar a que mide 1,80 m.



 

A = 7  3  2   2  7  1,80  7   3  2 



3 1      89,2 2  

m2 (área del “suelo” + dos veces: “paredes” + “tejados” + pentágonos) El paréntesis dentro del paréntesis es el área de cada pentágono, 7,5 m 2

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA V = 7,5  7  52,5 m3 La figura es un prisma triangular. La hipotenusa del triángulo mide 6,56 m, aplicando el teorema de …

 44   4  1,5   37,84 cm2  2 

A = 1,5  6,56  2  

(área del rectángulo inclinado + dos veces: triángulo + rectángulo inferior) El triángulo inferior es igual al perpendicular de la parte izquierda. V=

44  1,5  12 cm3 2

Son dos pirámides juntas de base cuadrada y de altura, cada una de ellas, de 2,75 m. La altura de cada triángulo es 2,30 m A = 8

3  2,30  27,6 m2 2

(ocho triángulos; no hay “base” interior) V = 2

3 2  2,75  16,5 m3 3

15.- En el siguiente tronco de pirámide cuadrada el lado de la base mayor mide 6 cm, el de la base menor 3 cm y la altura 2 cm. Halla su área y su volumen. Hallar la altura de la pirámide de la cúspide que completaría la pirámide por semejanza de triángulos al trazar un plano perpendicular a las bases y que pasa por el centro y, después, restar el volumen de la pirámide completa menos el de la pequeña de la parte superior. Al dibujar los triángulos se puede calcular la altura de los trapecios de las caras laterales. Volumen del tronco = 42 cm3. Área = 83,16 cm2. 16.- Calcula el volumen del siguiente tronco de cono: El razonamiento es el mismo que en al anterior ejercicio, sólo que el cono se completaría por la parte inferior con otro pequeño cono. Volumen = 49,48 cm3.

EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA

17.- En una urna llena de agua con forma de prisma rectangular de dimensiones 4 x 8 x 4 m se introducen dos esferas iguales de radio 2 m. ¿Cuánta agua sale de la urna? ¿Cuánta queda?

La cantidad de agua desalojada es igual al volumen de las dos esferas introducidas. Y el agua que queda es la diferencia entre el volumen del prisma y el volumen del agua desalojada. Agua desalojada: 67,02 m3 = 67020 l Agua que queda = 60,98 m3 = 60980 l 18.- Comprobar el siguiente resultado demostrado por Arquímedes: El volumen de un cilindro cuya altura es igual a su radio es igual a la suma del volumen de la semiesfera del mismo radio y del volumen del cono, de igual radio y altura. (Suponed que el radio es igual a 2 m)

Aplicación directa de las fórmulas de los volúmenes de las figuras del ejercicio. 19.- Dos puntos A y B situados sobre el ecuador tienen de longitud 20º E y 23º O. a) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? (radio de la Tierra, 6371 km) b) Si en el punto A son las 12 del mediodía, ¿qué hora es en el punto B? La longitud de un arco de circunferencia es

2 r  º , siendo α el ángulo del arco. 360º

Para el apartado b) recordar que cada huso horario abarca un ángulo de 15º. Distancia entre A y B: 4781,38 km En B son las 9 de la mañana.