Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

1

Problemas de los Temas 2 y 3 Problema 3.1 Consid´erese el circuito de la figura formado por una resistencia y un condensador conectados en serie. La variable de entrada es el voltaje aplicado ve , la variable de salida es el voltaje en los extremos del condensador vs . Se pide: +

R

0110 Ve i

-

0110

111 000 000 111

0110 10 10 C 1010 11111111 00000000 1010 10 1010 1010

01 + Vs

01 -

a) Obtener un modelo apropiado del sistema considerando que los componentes son ideales y de valor R Ohmios y C Faradios. b) Obtener la funci´on de transferencia del circuito G(s) =

Vs (s) Ve (s) .

c) Si vs = ve = 0 para t < 0 y el voltaje de entrada sufre una subida en escal´on de amplitud 2 voltios en el instante t = 0, obtener Vs (s). d) Utilizando la antitransformada de Laplace hallar vs (t). e) Comprobar qu´e sucede si en lugar de aplicar ve (t) = 2u(t) se hubiese aplicado la entrada ve (t) = u(t). f) Calcular vs (t) en el caso en que se conecta una fuente que sigue una rampa de pendiente 2V /s. Calcule el error de arrastre.

Problema 3.2 Para un sistema mec´anico formado por una masa unida a una pared mediante un muelle sobre la que se aplica una horizontal F se pide:

k

m F x

a) Obtener las ecuaciones din´ amicas que describen el comportamiento del sistema en funci´on de la masa m, la constante del muelle k y la fuerza F .

2

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

b) Calcular la funci´on de transferencia del sistema siendo la entrada la fuerza aplicada y la salida el desplazamiento de la masa. c) Calcular la trayectoria de salida si la fuerza que se aplica es un impulso. d) Realizar los apartados anteriores si adicionalmente existe una fricci´on, que se puede modelar como una fuerza que se opone al movimiento de forma proporcional a la velocidad con una constante f.

Problema 3.3 Considere el sistema mec´anico traslacional formado por dos masas mostrado en la figura.

k2 B

B

m2 y2 k1

m1 F

y1

La entrada es la fuerza u(t) aplicada a la masa 1. La salida es y1 (t), el desplazamiento de dicha masa respecto a su posici´on de equlibrio en ausencia de fuerza u = 0. Las ecuaciones que modelan dicho sistema son F

= m1 y¨1 + K1 (y1 − y2 )

K1 (y1 − y2 ) = m2 y¨2 + 2B y˙ 2 + K2 y2 Se pide: a) Describir el sistema en forma de diagrama de bloques de tipo integradores y ganancias. En este diagrama deben aparecer las se˜ nales y1 e y2 . (s) (s) b) Funciones de transferencia YF2(s) y YF1(s) obtenidas a partir de las ecuaciones diferenciales y tambi´en a partir del diagrama de b) mediante las transformaciones del ´algebra de bloques.

c) Trayectoria de la salida y1 (t) cuando la entrada es un escal´on unitario partiendo de condiciones iniciales nulas. El valor de los par´ ametros es K1 = 2, K2 = 2, B = 1, m1 = 2 y m2 = 1.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

3

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Problema 3.4 Se trata de modelar un dep´ osito c´onico como el que se muestra en la figura. El caudal de agua entrante es Qe (m3 /s), el caudal de agua evacuado por gravedad es Qs (m3 /s). La altura del nivel de agua sobre la abertura es H (m) y es la salida del sistema. El ´angulo que forma una generatriz del cono con el eje es α conocido. Qe

r α H

H

Qs

Las ecuaciones que modelan el sistema son:

V

π tan2 α 3 H 3 √ = B H

=

Qs dV = Qe − Qs dt Se pide:

a) Obtener la descripci´ on externa del sistema en ecuaciones diferenciales. b) Como el modelo resultante es no lineal, se propone linealizarlo en torno a Qe = 1 (m3 /s). c) Usando el modelo linealizado del punto anterior describir qu´e ocurre cuando Qe se incrementa bruscamente en un 10 %. d) Dibujar un diagrama de bloques del modelo linealizado en el que intervengan (al menos) las se˜ nales qe , qs y h (variaciones con respecto al punto de funcionamiento).

Problema 3.5 Un sistema din´ amico se excita con una se˜ nal u(t) = 1 − e−t

4

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

y responde de forma que y(t) = e−2t (2/5cos(t) − 1/5sen(t)) − e−t + 3/5. Se pide:

a) Determinar la funci´on de transferencia del sistema din´ amico. b) Deducir la ecuaci´ on diferencial que lo representa c) Determinar una posible descripci´ on interna del mismo. d) Calcular la respuesta impulsional del sistema e) Calcular la respuesta del sistema cuando se excita con u(t) = 2sen(3t)

Problema 3.6 El diagrama de bloques que se muestra a continuaci´ on representa el ´angulo θ(t) girado por una carga accionada por un motor de corriente continua alimentada por una tensi´on Va (t). θ Va B

Va

Ia 1 La s + Ra

+ -

Cp

P

J

1 Js+B

sΘ

1 s

Θ

Vce Kce

Se pide

a) Calcular la funci´on de transferencia del sistema b) Calcular la funci´on de transferencia tomando como salida el par del motor c) Asuma que el motor experimenta un efecto de frenado debido a un elemento externo. Se sabe que este elemento ejerce un par de frenado Tf . Redibuje el diagrama de bloques anterior de forma que tenga en cuenta esta nueva entrada d) Calcule la funci´on de transferencia del diagrama de bloques anterior.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

5

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Problema 3.7 Dado el diagrama de bloques de la figura,

+ +

SSISTEMA LINEAL

en el que el sistema lineal viene dado por la funci´on de transferencia K , τs + 1 hallar la expresi´ on matem´ atica de y(t) sabiendo que u(t) es un escal´on unitario en los siguientes experimentos: G(s) =

a) Se cierra I1 en t = 0s mientras que I2 permanece abierto. b) Se cierra I2 en t = 0s mientras que I1 permanece abierto. c) Se cierra I2 en t = 0s e I1 en t = 4s. d) Se cierra I1 en t = 0s e I2 en t = 2s. Nota: en todos los casos se parte de condiciones en t = 0s nulas.

Problema 3.8 El sistema de la figura consiste en un motor de corriente continua alimentado con una tensi´on V que acciona una bomba que est´a conectada a su eje. Esta bomba impulsa un ´ caudal qc de l´ıquido combustible de alimentaci´ on de una caldera. Esta aporta una potencia ˙ calor´ıfica Q a un horno en el que se calienta una sustancia. El horno no est´ a aislado t´ermicamente, por lo que cede calor al ambiente, que se encuentra a una temperatura constante T ext = 25o C.

Text combustible Th

ω

V

Bomba Motor

caldera qc

6

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

La bomba se modela mediante una momento de inercia J y una constante de fricci´on B. Adem´ as el caudal de l´ıquido impulsado por ´esta es proporcional a la velocidad con la que se acciona, de forma que qc = Kq · w. El calor cedido por la caldera es proporcional al caudal, de forma que Q˙ = Cq · qc, siendo Cq el poder calor´ıfico del combustible. El horno tiene una capacidad calor´ıfica Kh y una constante de p´erdidas de calor cedido al ambiente Kper. El sistema viene descrito por las siguientes ecuaciones:

• Motor de corriente continua:

V (t) = Ra ·ia (t) + La ·

dia (t) + Kcem ·ω(t) dt

T (t) = Kp ·ia (t) siendo ia (t) la intensidad por la armadura del motor, ω(t) la velocidad angular del eje del motor y T (t) el par ejercido por el eje del motor. • Bomba de caudal: T (t) = B·ω + J·

dω dt

qc (t) = Kq ·ω siendo qc (t) el caudal de combustible impulsado por la bomba. • Caldera: ˙ Q(t) = Cq ·qc (t) ˙ siendo Q(t) la potencia calor´ıfica aportada por la caldera. • Horno: Kh ·

dTh (t) dt

˙ = Q(t) − Kper ·(Th (t) − Text )

siendo Th (t) la temperatura del horno.

El sistema a analizar tiene como entrada la tensi´on de alimentaci´ on del motor V y como salida la diferencia entre la temperatura del horno y la temperatura del ambiente, θ = T h − T ext. Se pide: a) Dibujar un diagrama de bloques del modelo, indicando los elementos (motor, bomba, horno) que lo forman en funci´on de los par´ ametros. b) Funci´on de transferencia del sistema, en funci´on de los par´ ametros.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

7

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Par´ ametro Inductancia del motor de CC Resistencia del motor de CC Cte. contraelectromotriz Cte. de par Momento de inercia de la bomba Cte. de fricci´on de la bomba Cte. de impulsi´on de la bomba Poder calor´ıfico del combustible Capacidad calor´ıfica del horno Cte. de p´erdidas con el ambiente

Nombre La Ra Kcem Kp J B Kq Cq Kh Kper

Valor 0.001 1 1 1 2 1 0.02 5000 50 5

Unidades H Ω V s/rad N m/A kgm2 N ms/rad m3 /rad W s/m3 J/o C W/o C

c) Calcular la temperatura que alcanza el horno cuando se aplica una tensi´on constante al motor V = 10 voltios. d) Calcular la respuesta del sistema si V (t) =

(

10 t < 10 12 t ≥ 10

Problema 3.9 Dado el diagrama de bloques de un sistema lineal con dos entradas r(s) y p(s), y una salida y(s) que se muestra en la figura adjunta, utilizar el ´algebra de bloques para determinar:

a) La funci´on de transferencia entre la salida y(s) y la entrada r(s). b) La funci´on de transferencia entre la salida y(s) y la entrada p(s).

-

r(s) +

A(s)

+

B(s)

y(s)

+

C(s)

+

-

p(s) D(s)

Problema 3.10 En la figura (a) se tiene el diagrama de bloques de un sistema din´ amico lineal. Llamemos F (s) = Y (s)/U (s) a la funci´on de transferencia del mismo. Las constantes A y k son mayores que cero. Se plantean las siguientes cuestiones:

8

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

a) Si u(t) tiene la forma indicada en la figura (b), ¿cu´ al es la expresi´ on de y(t)? b) Si u(t) = 0 para t < 0 y u(t) = 0.01t2 para t ≥ 0, ¿cu´ al es la expresi´ on de y(t)?

(a)

(b)

Problema 3.11 Un cilindro met´alico de masa mc tiene una temperatura Tc o C. El aire que le rodea est´a a una temperatura menor Ta . Se conoce la masa, el calor espec´ıfico y la constante de convecci´ on: mc = 30 kg, Ce = 2 J/(kg o C), Kconv = 0.1 W/o C. Dentro del cilindro ocurre una reacci´ on qu´ımica exot´ermica que produce un calor u (W). Las ecuaciones que modelan este sistema son d(mc Ce Tc ) = Q˙ aportado − Q˙ cedido dt Q˙ aportado = u Q˙ cedido = Kconv (Tc − Ta ) Suponga que la variable de entrada es u y la de salida es y = Tc − Ta . En el instante t = 0 la temperatura del cilindro es Tc = 20 o C. El ambiente permanece a temperatura constante Ta = 20 o C. El calor generado por la reacci´ on del interior del cilindro es un escal´on unitario. Se pide:

a) Indique la expresi´ on y(t). b) Al cabo de 900 segundos la reacci´ on cesa bruscamente. Indique la expresi´ on y(t) para t > 900. c) Suponga ahora que no se produce ninguna reacci´ on y que inicialmente Tc = 60 o C mientras que el ambiente permanece a temperatura constante Ta = 20 o C. Indique la expresi´ on y(t).

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

9

Problema 3.12 Obtener la expresi´ on y(t) de la salida del modelo cuya funci´on de transferencia es H(s) =

(s + 1) (s + 5)(s + 10)

suponiendo que la entrada u(t) es: a) Un escal´on en t=0s de amplitud unidad. b) Un escal´on de amplitud 2 en t=3s. c) Una rampa unitaria en t=0s. d) Un impulso unitario en t=-2s.

Problema 3.13 Se puede modelar una estufa de infrarrojos como un elemento de masa M y calor espec´ıfico Ce que se calienta mediante una corriente el´ectrica y disipa calor por radiaci´on al medio ambiente. La potencia calor´ıfica producida por la corriente el´ectrica viene dada por Qe = V 2 /R y la emitida al ambiente por la estufa es Qr = K(T 4 − Ta 4 ), donde V es la tensi´on el´ectrica, R la resistencia el´ectrica, K una constante, T la temperatura de la estufa y Ta la temperatura ambiente, que se considera constante y conocida. Considerando V como la entrada y T como la salida del sistema y despreciando la transferencia de calor por conducci´ on y convecci´ on: a) Obtenga el modelo matem´ atico del sistema. Recu´erdese que M Ce

dT = Q˙ aportado − Q˙ cedido dt

b) Calcule el valor de la temperatura T en el punto de funcionamiento, en el que la entrada vale Vpf . c) Obtenga el modelo lineal en torno al punto de funcionamiento y la funci´on de transferencia utilizando los cambios de variable: λ = (V − Vpf ), θ = (T − Tpf ).

Problema 3.14 En la figura adjunta se muestra un coche representado por un cuerpo de masa M c y el sistema de suspensi´ on de ´este, formado por un resorte de constante K y un amortiguador de constante B. El autom´ovil lleva adherido un cuerpo auxiliar de masa M a mediante un resorte de constante Ka. La acci´on de la variaci´on de la altura del suelo a lo largo del

10

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

tiempo x(t), induce un desplazamiento vertical en el coche xc(t) y en el cuerpo auxiliar xa(t). Estos desplazamientos, indicados en la figura, tienen como origen una posici´on de equilibrio del sistema.

xc(t)

Mc K a

K Ma

B

xa(t)

x(t)

Las ecuaciones que modelan el sistema son:

M c·x¨c + K·(xc − x) + B·(x˙c − x) ˙ + Ka ·(xc − xa ) = 0 M a·x¨a − Ka ·(xc − xa ) = 0

Calcular la funci´on de transferencia, tomando como se˜ nal de salida la posici´on del coche xc(t) y como se˜ nal de entrada el desplazamiento del suelo x(t).

Problema 3.15 El circuito de la figura (a) es un sistema din´ amico lineal de par´ ametros concentrados con entrada u(t) y salida y(t) que puede describirse por medio del diagrama de bloques de la figura (b). Indique la funci´on de transferencia G(s) = Y (s)/U (s) (en funci´on de los par´ ametros del circuito) y los bloques A(s) y B(s).

(a)

(b)

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

11

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Problema 3.16 a0 z(t) a1

a2 0

Un dep´ osito prism´atico tiene una base de S m2 y una altura de a0 m. El dep´ osito est´a abierto en su parte superior, por donde se ha llenado, y se vac´ıa por gravedad a trav´es de dos agujeros iguales practicados en la pared a distintas alturas (a1 y a2 ), como muestra la figura. a) Si inicialmente el dep´ osito est´a lleno de agua y no se a˜ nade m´ as, ¿cu´ al es la ecuaci´ on diferencial que modela el comportamiento de z(t) antes de que el nivel baje hasta a1 ? b) Indique, en funci´on de los par´ ametros, cu´ anta agua habr´ıa que aportar por segundo para que el nivel se mantuviese en z0 = (a0 + a1 )/2. c) Linealice el modelo hallado en el apartado a) en torno a z0 = (a0 + a1 )/2. d) Indique, en funci´on de los par´ ametros, cu´ anta agua habr´ıa que aportar por segundo para que el nivel se mantuviese en z1 = (a1 + a2 )/2.

Problema 3.17 Sea un sistema formado por dos dep´ ositos prism´aticos de secciones A1 y A2 dispuestos verticalmente. El dep´ osito superior (dep´ osito 1) est´a alimentado por un caudal de agua Q(t) y desagua por gravedad, con un caudal de salida Qs1 , en el otro dep´ osito (dep´ osito 2). Este tambi´en se desagua por gravedad con un caudal de salida Qs2 . La constante de fricci´on de la tuber´ıa de descarga del dep´ osito 1 es K1 y del dep´ osito 2 es K2 . Q(t)

Se pide: a) Las ecuaciones que modelan el sistema, indicando unas variables de estado del mismo.

00 11 00 11 00 11 111111 000000 111 00 000 11 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 H1(t) 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 00000000 111111 11 000000 111111 Qs1(t)

b) La expresi´ on del punto de equilibrio del sistema (H1o ,H2o ,Qos1 y Qos2 ) en funci´on de Qo . c) La funci´on de transferencia del sistema linealizado en torno al punto de funcionamiento considerando como se˜ nal de salida H2 (t) y como se˜ nal de entrada Q(t). (Utilice como variables incrementales q = Q−Qo , h1 = H1 −H1o , h2 = H2 −H2o , q1 = Qs1 − Qos1 y q2 = Qs2 − Qos2 ).

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 000000 111111 00 11 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Qs2(t) 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

H2(t)

12

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

Problema 3.18 Una piscina de paredes verticales y de 18 m2 de secci´ on dispone de una v´alvula de desag¨ ue de tipo esf´erica de cuarto de vuelta, como se muestra en la figura. El fabricante de la v´alvula facilita la relaci´ on no lineal entre la constante de fricci´on Kp de la misma y el ´angulo de apertura θ, siendo Kp = 10−6 · θ2 (observe la gr´ afica).

Qe

h(t)

qs(t) Kp (m7/2/kg1/2)

Densidad del agua 1000 Kg/m3 Aceleración de la gravedad 9.8 m/s2 q=Kp (p1-p2)1/2 Abierta 90º 2

1 0º Cerrada

ángulo de apertura

0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0

K =10−6 θ2 p

10 20 30 40 50 60 70 80 90 θ (grados)

La piscina est´a constantemente alimentada por un caudal Qe = 10 · 10−3 m3 /s. Suponga que la v´alvula est´a abierta 12 grados y se ha llegado a las condiciones estacionarias. Se pide: a) Calcule la altura alcanzada por el agua en las condiciones estacionarias b) Conseguidas las condiciones estacionarias, a las 13:00 horas se incrementa el ´angulo de apertura 0.1 grados. Haga los c´alculos necesarios y dibuje la evoluci´on del nivel de agua desde las 13:00 hasta las 19:00 horas.(la v´alvula no se ha manipulado en este periodo). c) Una vez estabilizado el nivel a las 19:00 h. se posiciona la apertura de la v´alvula en 8 grados, evolucionando en las horas posteriores hasta una nueva situaci´on estacionaria. Calcule el nivel alcanzado por el agua en esta nueva situaci´on. d) Conseguidas las condiciones estacionarias, a las 13:00 horas del d´ıa siguiente se incrementa el ´ angulo de apertura 0.1 grados. Haga los c´alculos necesarios y dibuje la evoluci´on del nivel de agua desde las 13:00 horas.(la v´alvula no se ha manipulado en este periodo). Nota: dado que el sistema es no lineal, la evoluci´on del nivel se calcular´ a de forma aproximada a partir del modelo linealizado en torno a punto de equilibrio apropiado

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

13

Problema 3.19 La figura adjunta muestra la parte mec´anica de una m´ aquina de mezcla de pinturas. La m´ aquina recibe en el eje1 un par T (t) de un motor externo responsable del movimiento del conjunto eje1-engranaje-eje2-agitador. T(t) par motor rueda dentada con N2 dientes eje2

01 : ángulo girado por eje1

rueda dentada con N1 dientes cojinetes2

eje1

cojinetes1

ángulo girado por eje2 : 02

agitador

Se tienen los siguientes par´ ametros: • el eje1 junto con su rueda dentada tiene un momento de inercia J1 • el eje2 junto con su rueda dentada y el agitador presenta un momento de inercia J2 • los coeficientes de fricci´on viscosa que presentan los cojinetes de cada eje son B1 y B2 respectivamente • el coeficiente de fricci´on viscosa que presenta el agitador con el l´ıquido de mezcla es Bagitador

Tenga en cuenta que utilizamos una reductora y por lo tanto ha de cumplirse que trabajo el trabajo realizado por un engranaje ha de ser el mismo que el desarrollado por el otro (suponiendo que no hay fricci´on) y que el la distancia sobre la superficie que viaja cada engranaje es la misma, por lo tanto: T1 θ 1 = T1 θ 1 θ 1 r1 = θ 2 r2 de aqu´ı se deduce que: T1 r1 ω2 θ2 = = = T2 r2 ω1 θ1 Donde T es el par, ω es velocidad angular, θ es ´angulo girado y r es el radio del engranaje.

14

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US. 2

Por otro lado el par motor se emplea en vencer la inercia J ddt2θ , vencer la fricci´on B dθ dt y proporcionar el par u ´til Tu . T =J

d2 θ dθ +B + Tu dt2 dt

Se pide: a) Modelo de ecuaciones diferenciales del sistema considerando como entrada al mismo 2 el par motor T (t) y como salida la velocidad angular del eje2, dθ dt . b) Funci´on de transferencia.

c) Conocidos los valores de los par´ ametros, as´ı como los datos del conjunto cuando trabaja en r´egimen permanente: • J1 = 0.1kg · m2 y J2 = 0.2kg · m2 • N1 = 10 y N2 = 100

·m·s ·m·s ·m·s , B2 = 2 Nrad y Bagitador = 10 Nrad • B1 = 1 Nrad

• Potencia del motor 2232.14 W • Par motor T (t) aplicado 50N · m Indique el valor num´erico de la velocidad angular del eje2 en r´egimen permanente. d) Si la velocidad angular del eje2 es insuficiente para hacer una mezcla eficiente y se desea aumentar esta velocidad hasta multiplicarla por 10, indique los valores num´ericos del par motor T y potencia del motor necesarios para conseguirlo en los siguientes casos: • d1) en el caso de mantener la configuraci´ on actual del engranaje. • d2) en el caso de eliminar el engranaje y dejar s´ olo el eje2 pero cambiando todos los cojinetes a este eje, tal y como muestra la figura adjunta.

T(t) par motor

cojinetes1 cojinetes2 ángulo girado por eje : 02

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

15

Problema 3.20 Una piscina de paredes verticales y de 18 m2 de secci´ on dispone de una v´alvula de desag¨ ue de tipo esf´erica de cuarto de vuelta, como se muestra en la figura. El fabricante de la v´alvula facilita la relaci´ on no lineal entre la constante de fricci´on Kp de la misma y el ´angulo de apertura θ, siendo Kp = 10−6 · θ2 (observe la gr´ afica).

Qe

h(t)

qs(t) Kp (m7/2/kg1/2)

Densidad del agua 1000 Kg/m3 Aceleración de la gravedad 9.8 m/s2 q=Kp (p1-p2)1/2 Abierta 90º 2

1 0º Cerrada

ángulo de apertura

0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0

K =10−6 θ2 p

10 20 30 40 50 60 70 80 90 θ (grados)

La piscina est´a constantemente alimentada por un caudal de Qe = 10·10−3 m3 /s. Suponga que a las 12:00 horas la piscina est´a vac´ıa. Se pide:

a) Dibuje la actuaci´on sobre la v´alvula (´angulo de apertura de la v´alvula) y la evoluci´on del nivel desde las 12:00 hasta las 13:00 si se pretende conseguir como objetivo alcanzar y mantener un nivel de 1 metro en el menor tiempo posible. b) A las 13:00 horas se lanzan a la piscina varios ni˜ nos para jugar, siendo el volumen ocupado por sus cuerpos de 1m3 . Este hecho se puede considerar como un impulso unitario en el caudal de entrada. A las 14:00 horas los ni˜ nos abandonan la piscina (considerado igualmente como un impulso). Haga los c´alculos necesarios y dibuje la evoluci´on del nivel de agua desde las 13:00 hasta las 19:00 horas. (la v´alvula no se ha manipulado en este periodo, se queda en el valor calculado en el punto anterior).

c) Una vez estabilizado el nivel a las 19:00 se cierra la v´alvula 0.1 grados. Calcule la evoluci´on del nivel de agua hasta las 24:00 horas. Nota: dado que el sistema es no lineal, la evoluci´on del nivel se calcular´ a de forma aproximada a partir del modelo linealizado en torno a punto de equilibrio apropiado

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

16

Problema 3.21 Un aerogenerador es una instalaci´ on que permite producir energ´ıa el´ectrica a partir de la energ´ıa del viento. La figura adjunta muestra un modelo simplificado de un aerogenerador: el eje1 tiene acopladas las palas y su velocidad angular es baja. Cuando hace viento, este eje recibe un par T1 (t) que es el par responsable del movimiento del conjunto eje1-engranaje-eje2-generador. El eje2 es el eje de velocidad angular alta, en el mismo est´a acoplado el generador que opone un par Tg al movimiento de este eje.

aerogenerador cojinetes1 T1

N1

01

eje1 02 Tg

eje2 cojinetes2

N2

generador

Se dispone de la siguiente informaci´ on: • el eje1 junto con su rueda dentada tiene un momento de inercia J1 • el eje2 junto con su rueda dentada y el rotor del generador presenta un momento de inercia J2 • las fricciones viscosas que se presentan en el eje1 se modelan agrupadas en el coeficiente de fricci´on viscosa B1 . • las fricciones viscosas en el eje2 se modelan agrupadas en un s´ olo coeficiente B2 . • el n´ umero de dientes de la rueda dentada del eje1 es N1 , y el de la rueda el eje2 es N2 . Tenga en cuenta que utilizamos una reductora y por lo tanto ha de cumplirse que trabajo el trabajo realizado por un engranaje ha de ser el mismo que el desarrollado por el otro (suponiendo que no hay fricci´on) y que el la distancia sobre la superficie que viaja cada engranaje es la misma, por lo tanto: T1 θ 1 = T1 θ 1 θ 1 r1 = θ 2 r2 de aqu´ı se deduce que: T1 r1 ω2 θ2 = = = T2 r2 ω1 θ1 Donde T es el par, ω es velocidad angular, θ es ´angulo girado y r es el radio del engranaje.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

17

2

Por otro lado el par motor se emplea en vencer la inercia J ddt2θ , vencer la fricci´on B dθ dt y proporcionar el par u ´til Tu . T =J

d2 θ dθ +B + Tu 2 dt dt

La potencia mec´anica es Pm = T ω Se pide:

a) Calcule la ecuaci´ on diferencial f (ω˙ 2 , ω2 , T1 , Tg ) = 0. b) Se conocen los siguientes valores de los par´ ametros, as´ı como de los datos del conjunto cuando trabaja en r´egimen permanente: • J1 = 100kg · m2 y J2 = 40kg · m2 • N2 = 200 dientes

·m·s ·m·s • B1 = 1 Nrad , B2 = 2 Nrad

• Potencia el´ectrica generadada en r´egimen permanente 50 kW (se considera un rendimiento del generador η = 1, es decir, toda la energ´ıa mec´anica aplicada al generador se convierte en energ´ıa el´ectrica) • Par motor aplicado por el viento T1permanente = 9865.6N · m

• velocidad angular del eje 2 en r´egimen permanente ω2permanente = 194 rad/s. Con estos datos ¿cu´ al debe ser el n´ umero de dientes N1 de la rueda 1 y el par del generador Tg ?. c) Exprese ω2 (t) tomando como condiciones iniciales ω2 (0) = 0 y aplicando a partir de t = 0 un par procedente del viento T1 = 9865.6N · m y un par resistente del generador Tg = 400N · m constantes.

Problema 3.22 Una empresa fabricante de lunas t´ermicas para veh´ıculos encarga a los alumnos de 2o curso un estudio para conocer el comportamiento de un nuevo espejo retrovisor externo que pretende sacar al mercado. El espejo, en la cara posterior, es recorrido por un fino hilo de resistencia R = 2Ω, que servir´a para calentar el vidrio y poder eliminar la escarcha que se pueda formar en condiciones atmosf´ericas desfavorables (observe la figura).

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

+ + 12V

_

regulador de tensión discreto (4V / 8V)

18

espejo

4V u 8V en función del termostato

_ Termostato

La resistencia del espejo no se conecta directamente a la bater´ıa de 12 V del veh´ıculo, sino que lo hace a un regulador de tensi´on intermedio que alimentar´ a a la resistencia bien a 4V, o bien, a 8V, en funci´on de un termostato conectado al regulador. Concretamente, la empresa est´a muy interesada en disponer modelos din´ amicos en estos dos puntos de trabajo. De esta forma podr´a estudiar la viabilidad de a˜ nadir un segundo regulador de tensi´on continuo. La empresa aporta los siguientes datos: • Masa del vidrio 0.3 kg • Calor espec´ıfico del vidrio 400J/kg o C • Constante de transmisi´on de calor por convecci´ on entre el vidrio y el aire Kconv = 1W/o C SIMPLIFICACIONES: Se supone despreciable la masa de la resistencia. Toda la energ´ıa el´ectrica absorbida se transforma en calor.Considere la temperatura ambiente es de 0o C. La din´ amica de transmisi´ on de calor entre la resistencia y el vidrio es muy r´ apida comparada con la del vidrio y el aire. Nota: el modelo de ecuaci´ on diferencial considerando como entrada la tensi´on aplicada a la resistencia y como salida el incremento de tempertura del vidrio con respecto al 2 V2 ambiente, teniendo en cuenta que Q˙a = V · I = VR es Cr · mv · dT dt = R − Kconv · T Se pide: a) La temperatura alcanzada en r´egimen permanente por el vidrio cuando se aplica 4V a la resistencia. b) La temperatura alcanzada en r´egimen permanente por el vidrio cuando se aplica 8V a la resistencia. c) Funci´on de transferencia del sistema cuando se trabaja en torno a los 4V. d) Funci´on de transferencia del sistema cuando se trabaja en torno a los 8V. e) Suponiendo que se est´a trabajando a 4V, exprese la evoluci´on de temperatura del vidrio T(t) cuando hay un incremento de 0,1 voltios (en forma de escal´on) en la entrada.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

19

f) Suponiendo que se est´a trabajando a 8V, exprese la evoluci´on de temperatura del vidrio T(t) cuando hay una variaci´on de -0,1 voltios (en forma de escal´on) en la entrada. g) Suponiendo el espejo en equilibrio a 0o C y que el regulador en el instante t=0 pasa a aplicar 4V al espejo. Indique en cuanto tiempo alcanzar´ a el espejo la temperatura de 7.6o C. h) Suponiendo el espejo en equilibrio a 0o C y que el regulador en el instante t=0 pasa a aplicar 8V al espejo. Indique en cuanto tiempo alcanzar´ a el espejo la temperatura de 7.6o C.

Problema 3.23 vista posterior

tambor

D=40 cm

Motor d=4 cm

Centro de masas de la ropa húmeda a 2 cm de la pared del tambor

Interior del tambor: la ropa húmeda en ciclo de centrifugado sigue una trayectoria circular

Interesa estudiar el giro del tambor de una lavadora en el ciclo de centrifugado (velocidad alta). Para ello se realizan las siguientes consideraciones: 1- Se supone que la lavadora dispone de un motor de corriente continua. 2- En el ciclo de centrifugado la velocidad de giro del tambor es alta, por lo que la ropa h´ umeda se posiciona junto a la pared del tambor por efecto de la fuerza centr´ıfuga, por tanto, gira solidaria al tambor, (observar figura superior derecha). Datos de los par´ ametros del motor: resistencia el´ectrica, Re = 5 Ohmios, con·s stante de fuerza contraelectromotriz, Kce = 0.095 Vrad , constante de par, Kp = 0.095 NA·m , momento de inercia del rotor del motor Jmotor = 6.1 · 10−4 kg · m2 , fricci´on viscosa de los ·m·s cojinetes del rotor y escobillas, Bmotor = 9 · 10−5 Nrad . Autoinducci´ on La = 0 Henrios. Datos dimensionales de la transmisi´ on : di´ ametro de la rueda mayor D = 40cm, di´ ametro de la rueda menor d = 4cm, (observe la figura superior izquierda). Simplificaci´on: las poleas no presentan p´erdidas por fricci´on con la correa y sus momentos de inercia son despreciables. A nivel de modelado, la transmisi´on con poleas y correas puede ser tratada como engranajes. Datos constructivos del tambor: no se dispone del momento de inercia del tambor Jtambor aunque se sabe que est´a compuesto por tres piezas de acero inoxidable (mismo material y mismo espesor) soldadas, de las que se conoce sus masas y dimensiones mostradas en la figura inferior. El tambor en su conjunto presenta una constante de fricci´on viscosa

20

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US. ·m·s (cojinete del tambor y otras fricciones). Btambor = 50 · 10−5 Nrad

Piezas que forman el tambor

R=28 cm

R=28 cm disco masa 4 kg R=28 cm

tambor masa 15 kg

r=14 cm

cilindro hueco masa 8 kg

corona masa 3 kg

Datos de la ropa h´ umeda: no se dispone del momento de inercia de la ropa h´ umeda Jropa respecto al eje de giro del tambor, aunque se puede calcular con las siguientes simplificaciones: se considera que la masa de la ropa h´ umeda ser´a de 5kg durante el ciclo de centrifugado y estar´a concentrada en su centro de masas que se mantendr´ a a 2cm de la pared cil´ındrica del tambor. Nota importante: no considere los pares producidos por la fuerza de la gravedad sobre el tambor por albergar la masa de ropa h´ umeda, (pares sinuoidales). Nota: Informaci´ on sobre los momentos de inercia que se puede encontrar en libros de f´ısica: R P J = masai · radio2i (masas puntuales) J = ρ · radio2 dV (medio continuo) anillo delgado respecto a su eje de revoluci´on: J = masa · radio2

cilindro macizo respecto a su eje de revoluci´on: J =

masa·radio2 2

Se pide: a) Modelo (param´etrico, no num´erico) en forma de ecuaci´ on diferencial y funci´on de transferencia del sistema en ciclo de centrifugado, considerando como entrada la tensi´on aplicada al motor V y como salida la velocidad de giro del tambor ω. (nota en la ec. dif. y funci´on de transferencia s´ olo aparecer´ an como par´ ametros: Re , Kce , Kp , Jmotor , Bmotor , D, d, Jtambor , Btambor y Jropa ). con b) C´alculo Jtambor y Jropa . Funci´on de transferencia num´erica G(s) = ωtambor V ωtambor [rad/s] y V [V ]. Indique el valor de la ganancia est´atica Kest y la constante de tiempo τ . c) Suponiendo que la funci´on de transferencia es G(s) = y V [V ].

ωtambor V

=

1 7·s+1 ;

con ωtambor [rad/s]

d) Si se considera que el sistema es lineal en todo el rango de funcionamiento (V > 0), dibuje: • La caracter´ıstica est´atica del sistema.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

21

• La evoluci´on de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haber estado aplicando 100V (y estabilizarse la salida) se aplican (en el instante t = 0s) 220V al motor.(D´e un valor num´erico al punto inicial, punto final y un punto intermedio) • ¿Qu´e par debe suministrar el motor en el eje de giro de tambor en r´egimen permanente si V = 220V ?. • ¿Qu´e tensi´on hay que aplicar al motor para centrifugar a 1000 r.p.m. en r´egimen permanente?. • Si el sistema tuviese la caracter´ıstica est´atica mostrada en la figura, dibuje la evoluci´on de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haber estado aplicando 100V y estabilizarse la salida, se aplican (en el instante t = 0s) 220V al motor. (D´e un valor num´erico al punto inicial, punto final y un punto intermedio) e) ¿C´omo quedar´ıan las ecuaciones b´asicas del sistema si nos informan que en la transmisi´ on se pierde un 5% de la potencia u ´til en el eje del motor? (potencia u ´til ser´a la disponible en el eje para mover las cargas externas al motor)

Problema 3.24 vista posterior

Tambor

tambor

D=40 cm

Motor d=4 cm

ropa y agua

Ffriccion comportamiento de la ropa y agua en ciclo de lavado

Interesa estudiar el giro del tambor de una lavadora en el ciclo de lavado (velocidad baja). Para ello se realizan las siguientes consideraciones: 1- Se supone que la lavadora dispone de un motor de corriente continua. 2- En el ciclo de lavado la velocidad de giro del tambor es baja, por lo que la ropa es volteada junto con el agua en la parte baja del tambor (figura superior derecha). Datos de los par´ ametros del motor: resistencia el´ectrica, Re = 5 Ohmios, con·s stante de fuerza contraelectromotriz, Kce = 0.095 Vrad , constante de par, Kp = 0.095 NA·m , momento de inercia del rotor del motor Jmotor = 6.1 · 10−4 kg · m2 , fricci´on viscosa de los ·m·s . Autoinducci´ on La = 0 Henrios. cojinetes del rotor y escobillas, Bmotor = 9 · 10−5 Nrad Datos dimensionales de la transmisi´ on : di´ ametro de la rueda mayor D = 40cm, di´ ametro de la rueda menor d = 4cm, (observe la figura superior izquierda). Simplificaci´on: las poleas no presentan p´erdidas por fricci´on con la correa y sus momentos de inercia son despreciables. A nivel de modelado, la transmisi´on con poleas y correas puede

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

22

ser tratada como engranajes. Datos del tambor: radio del tambor R = 28cm; momento de inercia del tambor ·m·s (cojinete del Jtambor = 1kg · m2 ; constante de fricci´on viscosa Btambor = 50 · 10−5 Nrad tambor y otras fricciones). Datos de la ropa y agua: se considera que la ropa y agua presentan una fuerza tangencial Ff riccion que es proporcional al cuadrado de la velocidad angular del tambor y ·s2 contraria al movimiento del mismo: Ff riccion = Kf · ω 2 , con Kf = 0.6786 N . rad2 Se pide: a) Modelo param´etrico en forma de ecuaci´ on diferencial del sistema en ciclo de lavado, considerando como entrada la tensi´on aplicada al motor V y como salida la velocidad de giro del tambor ω. (nota en la ec. dif. s´ olo aparecer´ an como par´ ametros: Re , Kce , Kp , Jmotor , Bmotor , D, d, Jtambor , Btambor , R y Kf ). b) Suponiendo condiciones iniciales nulas y que la ecuaci´ on diferencial se cumple el todo el rango de funcionamiento V > 0, dibuje la caracter´ıstica est´atica del sistema. c) Linealice el sistema en el punto de trabajo Vo = 12V . Obtenga la funci´on de transtambor . ferencia G(s) = ∆ω∆V d) Suponiendo que la funci´on de transferencia del apartado anterior es G(s) = 0.14 0.8·s+1 ; con ωtambor [rad/s] y V [V ].

∆ωtambor ∆V

=

• d.1) dibuje:

– La evoluci´on de la velocidad en r.p.m. del tambor cuando tras haber estado aplicando 12V (y estabilizarse la salida) se aplican (en el instante t = 0s) 9V al motor.(D´e un valor num´erico al punto inicial, punto final y un punto intermedio)

• d.2) ¿Qu´e par debe suministrar el motor en el eje de giro del tambor en r´egimen permanente si V = 12V ?. • d.3)¿Qu´e tensi´on hay que aplicar al motor para lavar a 60 r.p.m. en r´egimen permanente?. nota: El par sobre un eje de una fuerza tangencial F es el producto vectorial de r por el vector F, siendo r el vector director (o radio vector: origen el centro del eje y destino el punto de aplicaci´on de la fuerza).

Problema 3.25 Las siguientes ecuaciones modelan la din´ amica de altitud de un avi´on: d2 a da + 4 + 4a = 3E dt2 dt d2 h = 6a − E dt2

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

23

a E h Altura de crucero

siendo E el ´ angulo del elevador (entrada al sistema), a el ´angulo de elevaci´ on sobre la horizontal y h la altitud del avi´ on (salida del sistema), medida respecto a la altitud de crucero. Se desea analizar la influencia de E sobre h. Para ello, se pide:

a) Dibuje el diagrama de bloques del sistema, siendo E la entrada y h la salida, en funci´on exclusivamente de bloques integradores y ganancias. b) Calcule, mediante ´ algebra de bloques, la funci´on de transferencia equivalente del sistema. c) Obtenga una descripci´ on interna del sistema en forma matricial. d) Calcule los polos (x) y ceros (0) y sit´ uelos en el plano adjunto. ¿Es estable el sistema? e) Dibuje de forma cualitativa (sin calcular la antitransformada) la respuesta del sistema ante un escal´on en la entrada E, partiendo de condiciones iniciales nulas (correspondientes a las condiciones de crucero). ¿Puede tomar la salida valores negativos ante escalones positivos de E? Justifique la respuesta.

Problema 3.26 Un veh´ıculo de masa m se mueve en l´ınea recta sobre un plano horizontal propulsado por una fuerza F (t) proporcionada por el motor (entrada al sistema). Se considera el efecto de la fricci´on aerodin´ amica como una fuerza Fa (t) = 21 Cx v 2 (t) siendo Cx un par´ ametro y v(t) la velocidad (salida del sistema). Sobre el veh´ıculo act´ uan la fricci´on aerodin´ amica Fa , que se opone al movimiento, y la fuerza de tracci´on F , por tanto: m

dv(t) 1 + Cx v 2 (t) − F (t) = 0 dt 2

Se pide: a) Modelo linealizado en torno a una velocidad de equilibrio v0 , siendo α(t) = v(t) − v0 y β(t) = F (t) − F0 . b) Obtener la expresi´ on de α(t) cuando la entrada β(t) tiene la forma representada en la figura.

24

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US. 60

50

b

40

30

20

10

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Tiempo

c) Se instala en el veh´ıculo un control de crucero para que la salida del sistema siga una referencia r(t), de manera que β(t) = Kc (r(t) − α(t)). Determinar la gama de valores de Kc que consiguen que la salida del sistema sea igual a la referencia en r´egimen permanente.

Problema 3.27 Un sistema din´ amico se representa por el siguiente conjunto de ecuaciones: dy +y+z = u dt dz dy − − 2y = −z dt dt

Siendo u(t) las se˜ nal de entrada del sistema. Se pide

a) Calcular la funci´on de transferencia

Y (s) U (s) .

b) Calcular la funci´on de transferencia

Z(s) U (s) .

c) Calcular las funciones de transferencia T (s) y H(s) para que el sistema se pueda representar por el siguiente diagrama de bloques

Fundamentos de Control Autom´ atico,

U(s)

2o

25

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Y(s) H(s)

Z(s)

T(s)

d) Determinar una posible descripci´ on interna del sistema.

Problema 3.28

Calcule mediante el algebra de bloques la funci´on de transferencia H(s) = como un cociente entre polinomios en G(s).

Y (s) U (s)

expresado

G(s)

G(s) G(s)/2

+

U(s) _

_

_ +

G(s)

+

+

Y(s)

G(s)/2 + G(s)

Problema 3.29

Un soldador de esta˜ no es una herramienta que sirve para transmitir calor y fundir el “esta˜ no comercial” usado en aplicaciones electr´onicas. Su pieza principal, llamada punta, es de cobre y puede aproximarse a un cilindro macizo de 4mm de di´ ametro por 80mm de longitud. La punta es calentada por una resistencia el´ectrica que la envuelve parcialmente, (convenientemente aislada dentro de una carcasa de metal), tal como muestran las figuras adjuntas. El extremo libre de la punta es el usado para fundir el material por contacto.

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

26

Soldador mango

carcasa

punta

220V 40W

interior del soldador carcasa 230V 40W

punta

La placa de caracter´ısticas del soldador indica una potencia el´ectrica de 40W cuando se conecta a la red de 220V . Partiendo de una temperatura ambiente de 25 o C y estando el soldador en equilibrio a esta temperatura, se conecta en el instante t = 0 a la red. Se desea conocer:

a) ¿cu´ al es la temperatura que alcanza la punta a los 35 segundos de conectar el soldador? b) ¿cu´ al ser´a la temperatura m´ axima que podr´a alcanzar la punta? c) ¿cu´ ando se alcanzar´ a el 95% del incremento m´ aximo de la temperatura de la punta? d) ¿Podr´a fundir un peque˜ no trozo de ”esta˜ no comercial” al minuto de conectar el soldador? e) Si se aisla t´ermicamente el soldador conectado ¿cu´ anto tiempo tardar´ a en fundirse la punta? (se supone que la resistencia est´a fabricada en un material con un punto de fusi´ on m´ as alto que el del cobre).

Datos: • Calor espec´ıfico del cobre 385J/kg o C • Densidad del cobre 8920kg/m3 • Constante de transmisi´on de calor por convecci´ on entre la punta y el aire Kconv = 0, 1W/o C • Temperatura de fusi´ on del ”esta˜ no comercial” (60% esta˜ no 40% plomo) 190 o C • Temperatura de fusi´ on del cobre 1085 o C NOTA: Se supone despreciable el calor absorbido por la carcasa, la resistencia y el mango, y que toda la energ´ıa el´ectrica absorbida de la red se transforma en calor. Dada la alta conductividad t´ermica del cobre se supone que la punta presenta una distribuci´ on homog´enea de temperatura.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

27

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

Para la pieza llamada punta se pueden plantear las ecuaciones de balance de energ´ıa d(Tp −Tamb ) = Q˙a − Q˙ c , siendo Q˙a el calor absorbido por la punta por unidad de Cr · mp · dt tiempo, Q˙ c el calor cedido por la punta al ambiente por unidad de tiempo, que es igual a Kconv por la diferencia de temperaturas entre la punta y el aire, mp la masa de la punta y Cr el calor espec´ıfico del cobre. d(T −T ) De modo que se tiene Cr · mp · p dt amb = Q˙a − Kconv · (Tp − Tamb )

Problema 3.30

Calcule mediante el algebra de bloques la funci´on de transferencia G(s) =

U +

1/D(s)

A(s)

_

1/C(s) + + 1/A(s) + 2

Y (s) U (s) .

Y

+ _

+ _

C(s)

D(s)

+ +

Problema 3.31

La figura adjunta muestra una instalaci´ on hidr´ aulica formada por un tanque unido a un embalse por una v´alvula con constante fricci´on global Ke (t) que podr´a variarse a voluntad 5/2 entre 0 y 0.02 ms . El tanque tiene una superficie A = 10 m2 y descarga a trav´es de una tuber´ıa que presenta una constante de fricci´on Ks = 0.001 del embalse constante y de valor H = 1, 25m.

m5/2 s .

Se considera el nivel

En este sistema el nivel de agua en el dep´ osito h(t) ser´a considerado como la variable de salida y Ke (t) como la variable de entrada.

28

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

Embalse

Tanque A

H=1.25 m

h(t)

Ke(t)

Ks

Se pide:

• a) calcule la altura de equilibrio del dep´ osito ho cuando la v´alvula presente una m5/2 e indique cu´ al es el caudal de salida Qso . constante de fricci´on Keo = 0.002 s

• b) considerando que el sistema est´an trabajando cerca del punto de equilibrio el apartado a), obtenga la funci´on de transferencia.

• c) indique la altura m´ımina y m´ axima que podr´a alcanzar el dep´ osito. • d)¿qu´e punto de equilibrio presenta mayor rapidez de respuesta ante un cambio en la v´alvula, el correspondiente a ho = 1m o el correspondiente a ho1 = 0.1m? Justifique la respuesta.

Problema 3.32

Las figuras adjuntas muestran una instalaci´ on hidr´ aulica en dos instantes distintos. La instalaci´ on est´a constituida por un tanque unido a un embalse por una v´alvula (situada a 0.5 m del fondo) con una constante fricci´on global Ke (t) que podr´a variarse a voluntad 5/2 entre 0 y 0.002 ms . El tanque tiene una superficie A = 10 m2 y descarga a trav´es de una tuber´ıa que presenta una constante de fricci´on Ks = 0.001 del embalse constante y de valor H = 1, 25 m.

m5/2 s .

Se considera el nivel

En este sistema el nivel de agua en el tanque h(t) ser´a considerado como la variable de salida y Ke (t) como la variable de entrada.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Tanque

Embalse

Tanque

Embalse

29

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

A

A

H=1.25 m

H=1.25 m 0.5m

Ke(t)

0.5m

h(t) Ks

Fig.1: Válvula poco abierta

Ke(t)

Fig.2: Válvula muy abierta

h(t) Ks

El comportamiento del sistema se modela con las siguientes ecuaciones:

A dh(t) dt = Ke (t) H − h(t) − Ks h(t), p

p

√ p A dh(t) = K (t) H − 0.5 − K h(t), e s dt

si h(t) ≥ 0.5 si h(t) < 0.5

Se pide:

a) Calcule la caracter´ıstica est´atica del sistema. b) Calcule el nivel m´ aximo hmax que podr´a alcanzar el tanque en r´egimen permanente. c) Calcule la constante de fricci´on de equilibrio para que la altura de equilibrio del tanque sea de 0.25m, indique cu´ al es el caudal de salida y obtenga la funci´on de transferencia del sistema linealizado en este punto. d) Calcule la constante de fricci´on de equilibrio para que la altura de equilibrio del tanque sea de 1m, indique cu´ al es el caudal de salida y obtenga la funci´on de transferencia del sistema linealizado en este punto. e) ¿Qu´e punto de equilibrio presenta mayor rapidez de respuesta ante un cambio en la v´alvula, el correspondiente a ho = 0.25m o el correspondiente a ho1 = 1m? Justifique la respuesta.

Problema 3.33 En una planta qu´ımica se desea controlar el nivel de uno de los dep´ ositos de almacenamiento de productos. Los productos se extraen del reactor mediante una bomba que impulsa un caudal volum´etrico q(t) = Cb w2 (t) [m3 /min], siendo w(t) [r.p.s] la velocidad del motor. Este motor incorpora un variador de velocidad tipo PI que controla la misma para que alcance una velocidad de consigna wr (t) que es manipulable. La din´ amica del motor controlado por el variador responde como un sistema de primer orden con ganancia unidad y constante de tiempo τ .

30

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

Este caudal se acumula en un primer dep´ osito c´onico tal que el volumen acumulado √ osito 1 desagua por gravedad con un caudal q1 = k1 h1 es v1 (h1 ) = αh31 [m3 ]. El dep´ [m3 /min] sobre un dep´ osito de secci´ on√constante A [m2 ] y cuya altura es h2 (t). Este dep´ osito se vac´ıa con un caudal q2 = k2 h2 [m3 /min]. El comportamiento din´ amico del sistema se puede modelar con el siguiente conjunto de ecuaciones: q(t) = Cb w2 (t) τ dw(t) dt = wr (t) − w(t) v1 (t) = αh1 (t)3 √ dv1 (t) dt = q(t) − k1 h1 v2 (t) = Ah2 (t) √ √ dv2 (t) dt = k1 h1 − k2 h2

Los par´ a√ metros del sistema (en las unidades adecuadas) son: k1 = √ 0.0283, α = 2/2, A = 3 2, τ = 1.

√

2, k2 = 2, Cb =

Se desea controlar la altura h2 en torno al punto de dise˜ no ho2 = 2 m. Se pide:

a) Determinar la caracter´ıstica est´atica. b) Determinar la consigna wro y las altura ho1 correspondientes al punto de funcionamiento. c) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funci´on de transferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.34 Se desea controlar la posici´on de un cuerpo mediante un sistema de levitaci´ on magn´etica. Este consiste en una bobina que al excitarse con una intensidad i(t) (variable manipulable), crea un campo magn´etico que produce una fuerza de sustentaci´ on sobre un cuerpo met´alico que permite contrarrestar el peso. La posici´on del objeto x(t) (distancia de la bobina al objeto) se mide con un dispositivo ´optico que provee una medida de tensi´on Vs = Ks x. La ecuaci´ on que rige el movimiento del objeto es:

m

d2 x(t) i(t)2 = mg − k dt2 x(t)2

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

31

Se sabe adem´ as que el objeto pesa 100 gramos y que cuando se excita la bobina con una intensidad de 1 amperio, el objeto permanece en equilibrio a 10 cm de la bobina y la tensi´on Vs medida es de 1 voltio. Se pide: a) Determinar la caracter´ıstica est´atica del sistema. b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su funci´on de transferencia correspondiente para controlar el objeto en torno a 20 cm.

Problema 3.35 En una planta de aguas residuales se desea controlar el nivel de uno de los dep´ ositos de decantaci´ on de agua tratada. Como se muestra en la figura adjunta, la entrada de agua tratada se regula mediante una v´alvula de control y llena el dep´ osito 1. Este dep´ osito est´a conectado a un segundo dep´ osito (dep´ osito 2). Qe

h1 h2 Qi

Qs

Se desea controlar la altura del dep´ osito 2 en torno a 4 metros de altura, manipulando la apertura de la v´alvula x ∈ [0, 1]. La caracter´ıstica de la v´alvula es isoporcentual (Qe = Kvs Rx−1 ) y se sabe que completamente abierta el caudal es de 15 m3 /h y que R = 25. Adem´ as se sabe que la din´ amica de la planta responde a las siguientes ecuaciones dh1 dt dh1 A2 dt A1

p

= Qe − k1 h1 − h2 p

p

= k1 h1 − h2 − k2 h2

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

32

√ √ siendo A1 = A2 = 20m2 , k1 = 4m3 /(h m) y k2 = 5m3 /(h m). Se pide:

a) Determinar la apertura y la altura del dep´ osito 1 correspondientes al punto de funcionamiento deseado. b) Determinar la caracter´ıstica est´atica del sistema. c) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funci´on de transferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.36 Una empresa de dispositivos electr´ onicos ha desarrollado un sistema de posicionamiento utilizando como actuador un electroim´ an. El sistema en cuesti´ on se puede modelar como un cuerpo de masa m de 100 gramos unido al bastidor mediante un muelle de constante el´ astica K = 0.1 N/m y elongaci´on natural ln 5 cm y un amortiguador de constante de fricci´on B = 0.2 N/(m/s). Situado verticalmente sobre el cuerpo a una distancia L de 20 cm se sit´ ua el electroim´ an que se excita con una intensidad i(t) que se puede manipular. El modelo del sistema responde a la siguiente ecuaci´ on diferencial m

d2 x(t) dx(t) i(t)2 + B + K(x(t) − l ) + mg − A n dt2 dt (L − x(t))2

siendo x(t) la posici´on del cuerpo respecto al bastidor. Se sabe adem´ as que el objeto pesa 100 gramos y que cuando se excita la bobina con una intensidad de 1 amperio, el objeto permanece en equilibrio en la elongaci´on natural del muelle. El sistema de control debe regular la posici´on entorno a 10 cm. Se pide:

a) La ecuaci´ on que define la caracter´ıstica est´atica y calcular el punto de funcionamiento. b) Determinar el modelo linealizado del sistema.

Problema 3.37 Se dispone de un brazo rob´ otico de un grado de libertad como el de la figura accionado mediante un motor de corriente continua de excitaci´ on independiente (variable manipulable V) con el que se desea controlar el a´ngulo del brazo con respecto a la vertical.

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

33

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

θ

m l

τ

g

La variable de salida θ es el ´ angulo del p´endulo medido desde la posici´on superior; Ja es la inercia del sistema; m es la masa del brazo y g es la gravedad. Adem´ as de la gravedad existen dos fuerzas no potenciales que son el par motor τ y la fricci´on del sistema ρθ˙ (se supone que s´ olo existe fricci´on viscosa), donde ρ es el coeficiente de rozamiento asociado a la fricci´on. De esta forma la ecuaci´ on que describe el movimiento del brazo en funci´on del par τ generado por motor es la siguiente: Ja θ¨ + ρθ˙ − mgl sin θ = τ Por otro lado las ecuaciones que rigen el el comportamiento del motor son las siguientes: V

= Ri + Kce ω

τ

= Cp i ω = θ˙

Los par´ ametros del sistema son: resistencia de la armadura R = 100Ω, constante de par Cp = 12.5 Nm/A, constante contraelectromotriz Kce = 0.3 V/rad/s, momento de inercia del brazo Ja = 0.1 kg/m2, coeficiente de fricci´on del brazo ρ = 0.5 Nm/rad/s, masa del brazo m = 100 gr, aceleraci´on de la gravedad g = 9.81 m/s. Se pide:

a) Calcular la longitud del brazo sabiendo que el sistema permanece en reposo para una tensi´on de entrada al motor de -5V en un ´angulo de θ = π/2. b) Linealizar el sistema y calcular la funci´on de transferencia en torno al punto de funcionamiento θ = π/2.

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

34

Problema 3.38 Se dispone de un sistema electromec´anico que ha sido modelado atendiendo a sus caracter´ısticas f´ısicas obteni´endose el siguiente modelo: y¨(t) + ay(t) ˙ − cy 2 (t) = 12.5z(t) u(t) − dz(t) y(t) ˙ = α d´onde a = 5, c, d = 100, α = 0.3 son par´ ametros f´ısicos del sistema y siendo u(t) e y(t) la entrada y salida del sistema respectivamente. Se pide: a) Calcular el valor del par´ ametro c de forma que el sistema presente una salida en r´egimen permanente unitaria ante una entrada u = −1. b) Linealizar el sistema y calcular la funci´on de transferencia en torno al punto de funcionamiento y = 1.

Problema 3.39 En una planta de productos alimenticios se dispone de un sistema de calentamiento de agua de servicio basada en una caldera de combustible l´ıquido, cuyo esquema se muestra en la siguiente figura:

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

35

El sistema consiste en un motor de corriente continua que acciona una bomba de impulsi´on de combustible cuyo caudal de salida qc (t) se quema en una caldera produciendo una potencia calor´ıfica P (t) = ηCc qc (t), siendo η = 0.7 el rendimiento de la caldera y Cc = 4.8 1010 J/m3 la capacidad calor´ıfica del combustible. Esta calienta el dep´ osito aislado t´ermicamente de secci´ on A = 1 m2 en el que entra un caudal q(t) de agua de servicio a Tc = 20o C y sale caudal a la temperatura T (t). El dep´ osito se descarga por el efecto de la gravedad y el coeficiente de descarga es k = 1.6 10−4 (m3 /s)/m1/2 . Se asume adem´ as que se pueden despreciar las p´erdidas con el ambiente y que la temperatura en el dep´ osito es homog´enea e igual a la temperatura del agua de salida T (t). Teniendo en cuenta esto, se determina el siguiente modelo del sistema:

Ca Ah(t)

d(T (t)) dt dh(t) A dt

= ηCc qc (t) + Ca q(t)(Tc − T (t)) = q(t) − qs (t) q

qs (t) = k h(t) Se desea controlar la temperatura del agua de servicio en torno a los T0 = 60 o C, manipulando el caudal de agua de entrada al dep´ osito q(t). Se sabe que en el punto de funcionamiento del sistema q0 = 1.8 10−4 m3 /s y que la capacidad calor´ıfica del agua Ca = 4.185·106 J/(m3 o C). Se pide: a) Determinar la caracter´ıstica est´atica del sistema. b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funci´on de transferencia en torno al punto de operaci´on.

Problema 3.40 Se desea controlar la reacci´ on qu´ımica que se desarrolla en un reactor en tanque continuamente agitado (CSTR). Este sistema est´a formado por un tanque en el que tiene lugar una reacci´ on exot´ermica irreversible de descomposici´on A → B. El car´acter exot´ermico de la reacci´ on provoca una continua generaci´on de calor en el seno del tanque que se evacua por medio de una camisa de refrigeraci´on por la que circula el l´ıquido refrigerante, cuya temperatura es Tc y se considera uniforme en toda la camisa. El l´ıquido refrigerante se enfr´ıa mediante un sistema de refrigeraci´on dotado de un sistema de control de temperatura que incorpora acci´on integral. La referencia de temperatura de este sistema Tr se puede manipular. El objetivo de control es regular la concentraci´ on de reactivo del producto CA actuando sobre la referencia temperatura de refrigerante Tr . Variando Tr se var´ıa la temperatura del

36

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´ atica. ESI. US.

refrigerante Tc , modificando as´ı la temperatura del tanque y, por lo tanto, la temperatura a la que se realiza la reacci´ on. En consecuencia se acelera o decelera la reacci´ on, variando la concentraci´ on de reactivo. El departamento de ingenier´ıa de la planta ha desarrollado el siguiente modelo del reactor:

d CA (t) dt d T (t) dt

9000 ·CA (t) = (1 − CA (t)) − 6 · 10 · exp − T (t)   9000 10 ·CA (t) + 2·(Tc (t) − T (t)) = (370 − T (t)) + 2 · 10 · exp − T (t) 10





donde CA es la concentraci´ on del reactivo A en el tanque, T es la temperatura en el mismo y Tc es la temperatura del refrigerante. Adem´ as el sistema de refrigeraci´on responde a un sistema de primer orden de constante de tiempo de 2 minutos. Se desea dise˜ nar un sistema de control para regular la concentraci´ on de reactivo en la corriente de salida CA (t) en torno a un punto de funcionamiento CA0 = 0.5 mol/l. Se pide: a) Determinar la caracter´ıstica est´atica del sistema. b) Determinar el modelo linealizado del sistema y su correspondiente funci´on de transferencia en torno al punto de funcionamiento.

Problema 3.41 Muchas Universidades del mundo poseen un p´endulo invertido para demostrar resultados de control. La raz´on por la cual este problema es interesante desde el punto de vista de control es porque ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real. El p´endulo invertido rotante, conocido tambi´en como P´endulo de Furuta, consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee en su extremo una barra vertical la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo. Se desea controlar la posici´on angular de la barra vertical actuando sobre su base a trav´es de un servomecanismo. Se ha desarrollado un modelo (muy) simplificado de la din´ amica de la varilla teniendo en cuenta la fuerza aplicada, el peso y el rozamiento del eje. La acci´on de control es la fuerza aplicada sobre la barra (F) y la se˜ nal de salida es la posici´on angular de la varilla (theta). La ecuaci´ on diferencial que describe el comportamiento aproximado del sistema es:

I

d2 θ dθ − mgl sin θ − F l cos θ + b =0 dt2 dt

Fundamentos de Control Autom´ atico,

2o

Grd. Ing. Tecn. Industrial.

37

Los valores de los par´ ametros del modelo son m=0.2, b=0.03, I=0.006, g=9.8 y l=0.5. Se pide: a) Obtener un modelo lineal del sistema en el punto de equilibrio determinado por theta0 = 0 y F0 = 0. Calcular su funci´on de transferencia G1(s). b) Obtener un modelo lineal G2(s) del sistema en el punto de equilibrio determinado por theta0 = pi y F0 = 0. Calcular su funci´on de transferencia G2(s).