Solución de los Problemas del Capítulo 3

1. Seleccione la respuesta correcta y explique por qué. Un electrón que tiene un n=2 y m=0 a) Debe tener un ms=+1/2 b) Puede tener un l=2 c) Puede tener un l=0, ó 1 d) Debe tener un l=1 La respuesta correcta es la c) porque si n= 2, los posibles valores para l son 0 y 1. Cualquiera de los dos es posible, por tanto la respuesta d) es incorrecta porque dice que l debe ser 1 y como m=0 no hay obligatoriedad en el valor de l, siempre que sea 0 ó 1. Tampoco es correcta la respuesta a), ya que el estado de espín podría ser de ms=+1/2 ó ms=-1/2 y por tanto la palabra “debe” hace incorrecta la respuesta.

2. ¿Cuál o cuales de las siguientes proposiciones son correctas para un electrón en un n=3 y m=2? Justifícalo a) El electrón es un orbital d Es correcta, ya que si n = 3, l puede valer 0, 1 y 2. Un valor de m=2, por tanto, sólo puede provenir de un l=2, por tanto de un orbital d.

b) El electrón está en la tercera capa principal Es correcto. n=1 es la primera capa; n=2 es la segunda capa, n=3 es la tercera capa.

c) El electrón puede estar en un orbital p No es correcto. Si estuviera en p, l =1 y m no podría ser nunca 2

d) El electrón puede tener un ms=+1/2 Correcto. El valor de ms puede ser +1/2 ó -1/2

3. En relación con las capas, subcapas y orbitales a) ¿Qué nombre recibe la capa con n=3? Capa M o Capa tercera

b) ¿cuántas subcapas se encuentran en este nivel? 3. Subcapa 3s, subcapa 3p y subcapa 3d

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Solución de los Problemas del Capítulo 3 c) ¿cuántos orbitales pueden tener los números cuánticos n=3 y l=1? 3. 3p1, 3po y 3p-1. Si los expresamos como orbitales reales: 3px, 3py y 3pz.

d) ¿cuántos orbitales pueden tener los números cuánticos n=3 y m=1? Dos. El que tenga l =1 y m =1, y el que tenga l =2 y m=1

e) ¿cuál es el número total de orbitales en el nivel 3? 9= n2 n

l 0

m 0 -1 0 +1 -2 -1 0 -1 -2

1 3 2

4. Para un electrón en un átomo hidrogenoide que está definido por un valor de n=2 y de l=1. ¿Cuánto vale su energía en J? ¿Cuánto vale el módulo de su momento angular orbital? ¿Cuánto puede valer la componente Lz de su momento angular orbital? Nota: utilice la bibliografía para obtener el valor de las constantes que necesite. Para un átomo hidrogenoide la energía de sus estados sólo depende del número cuántico n y no del l. Esta energía, es directamente proporcional a Z2, inversamente proporcional a n2, siendo la constante de proporcionalidad R, la constante de Rydberg. R = 1,096776.

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m-1

E(n) = - R Z2/n2 x 2,9979. 108 m.s-1 x 6,625.10-34 J.s = 21,78.10-19 J

E(n) = - 21,78.10-19 Z2/22 = - Z2.5,445. 10-19 J

Módulo del momento angular orbital del electrón: |L|=

l (l + 1)

h h h = 1(1 + 1) = 2 2π 2π 2π

Componente Lz del momento angular orbital: Son posibles tres posibles valores Lz = 0 Lz = + 1

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h 2π

1

Solución de los Problemas del Capítulo 3 Lz = − 1

h 2π

5. Determine el valor de r, como función de a0, para el que la probabilidad de encontrar al electrón es cero, cuando está en un orbital 3p en un átomo de hidrógeno. Realice la misma operación para el ión Li2+ Puesto que necesitamos el valor de r que hace la función de probabilidad (ψ2) nula. Sólo hemos de tener en cuenta la función radial, ya que en las otras funciones angulares, el radio no está como variable y por tanto, tenga éste el valor que tenga, el armónico esférico no se verá afectado. Puesto que la función que da la probabilidad es la función de onda al cuadrado y lo que necesitamos es saber donde ésta se anula, podemos razonar igualmente sobre cuando la función de onda se anula (donde se anule la función de onda también se anulará la probabilidad) Función radial de un orbital 3p (R3,1):

8 ⎛Z⎞ ⎜ ⎟ R3,1 = 27 6 ⎜⎝ a0 ⎟⎠

3/ 2

⎛ Zr Z 2 r 2 ⎞ − Zr / 3a0 ⎜⎜ − ⎟e 2 ⎟ a a 6 0 ⎠ ⎝ 0

Calculemos los valores que pueden anular esta función

⎛ Z Z 2 r ⎞ − Zr / 3a0 r ⎜⎜ − 2 ⎟⎟e =0 a ⎝ 0 6a 0 ⎠ i. ii.

iii.

Si r=0 la función se anula Si r= ∞ la función también se anula, ya que la exponencial se hace cero Si

⎛ Z Z 2r ⎞ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = 0 , la función también se anula. ⎝ a 0 6a 0 ⎠

Despejando r de esta última expresión: r = 1. 2.

6a 0 Z

En el hidrógeno Z=1, por tanto se anula en 0, 6a0, En el Li2+, Z=3, por tanto se anula en 0, 2a0, ∞

∞

A medida que aumenta la carga del núcleo los orbitales se contraen enormemente.

6. Represente en dos dimensiones la función Y(θ,φ) para un orbital py en el plano xy Si se ha de representar en el plano xy, el valor de θ=π/2 y por tanto senθ=constante=1. Analizaremos la variación del armónico esférico con la variación de φ. Utilizaremos la coordenada r para representar el valor de la función armónico esférico.

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Solución de los Problemas del Capítulo 3 Tabla de valores de la función: a.senφ a = (3/4π)1/2

φ 0 10º 20º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150

senφ 0 0,174 0,324 0.5 0,707 0.866 1 0,866 0,707 0,5

φ 180º 190º 200º 210 225 240 270 300 315 330 360

senφ 0 -0,174 -0,324 -0,5 -0,707 -0,866 -1 -0,866 -0,707 -0,5 0

7. Determine en Å cual es el radio de máxima probabilidad para el electrón en un orbital 1s del átomo de hidrógeno. Para calcular el radio de máxima probabilidad, hemos de calcular el radio de la superficie esférica que proporciona la máxima probabilidad de encontrar al electrón en ella.

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Solución de los Problemas del Capítulo 3 Recordemos lo que significa la función densidad de probabilidad radial.

P = 4πr 2 Ψ12s 4π r2 = área de la esfera de radio r.

P= r2R(r)2

Para un orbital 1s esta función es:

⎛Z P = r 4⎜⎜ ⎝ a0 2

dP d 2 ⎛ Z = (r 4⎜⎜ dr dr ⎝ a0

3

⎞ − 2 Zr / a0 ⎟⎟ e ⎠ 3

⎞ − 2 Zr / a0 ⎟⎟ e )=0 ⎠

Para ver cuando esta función es máxima en función del radio, debemos operar para encontrar donde está ese máximo, es decir aplicar la derivada primera e igualar a cero:

⎛Z 4⎜⎜ ⎝ a0

⎞ ⎟⎟ ⎠

3

⎡ − 2 Zr / a0 2 2 Z − 2 Zr / a0 ⎤ − 2 re r e ⎢ ⎥=0 a 0 ⎣ ⎦

descomponiendo en términos (sacando factores comunes)

⎛Z 4⎜⎜ ⎝ a0

3

⎡ ⎞ Z⎤ ⎟⎟ 2r.e −2 Zr / a0 ⎢1 − r ⎥ = 0 , a0 ⎦ ⎣ ⎠

por tanto la igualdad se cumple si: r=0; r=∞ ; r= a0/Z Si calculamos la derivada segunda de la función y sustituimos los valores anteriores encontrados, obtendremos un valor de la derivada segunda >0 para los dos primeros valores de r y