Ejercicios de Microondas (segundo parcial) Eugenio Jim´enez Ygu´acel Laboratorio de Electr´onica de Comunicaciones

Ejercicio 1 Sea un cuadripolo cargado a su entrada y salida con impedancias Zg y Zl (figura 1). Calcule los coeficientes de reflexi´ on ρin y ρout Suponga ahora que las impedancias de generador y carga son iguales y del mismo valor que la impedancia caracter´ıstica Z0 . Calcule de nuevo los coeficientes de reflexi´on ρin y ρout . Razone sobre el resultado obtenido. Calcule la ganancia de potencia definida como potencia ?

|b2 |2 −|a2 |2 |a1 |2 −|b1 |2

¿ Es m´axima la transferencia de

Considere ahora el caso unilateral (s12 = 0) ¿ Qu´e condiciones tienen que cumplir los par´ametros s11 y s22 para que el dispositivo sea incondicionalmente estable y adaptable mediante dos redes de entrada y salida pasivas, lineales y sin p´erdidas ? ¿ Cu´anto vale la ganancia de potencia anteriormente definida si adaptamos entrada y salida simult´aneamente ?

ρout Zg

[S] Z0

Vg

Zl

ρin Figura 1: Circuito del ejercicio 1.

Ejercicio 2 Un dispositivo ampliamente utilizado como conmutador en microondas es el diodo PIN. En un modelo muy simplificado y cuando utilizamos la configuraci´on paralelo, el diodo puede actuar como una peque˜ na resistencia conectada a masa de valor Rf cuando se polariza en directa o como una peque˜ na capacidad Cj cuando se polariza en inversa. De esta manera, el circuito equivalente del diodo es el cuadripolo mostrado en la figura 2 donde la admitancia Y toma el valor 1/Rf con el diodo en directa y jωCj con el diodo en inversa. Definimos las p´erdidas de transmisi´on como |s21 |2 . Cuando el diodo conduce estas p´erdidas deben ser altas, refleja la se˜ nal, y cuando est´a en inversa deben ser bajas, deja pasar la se˜ nal. El diodo PIN modelo MMP7069 de la casa MicroMetrics tiene las siguientes caracteristicas: Cj =.5 pF (V=-10V) Rf =0.7Ω (Id =100 mA). Calcule el aislamiento, en decibelios, de dicho diodo para los estados de conducci´on y corte. La impedancia de referencia, Z0 , es de 50Ω y la frecuencia de funcionamiento 10 GHz. Una posible aplicaci´on de un conmutador de este tipo es la realizaci´on de duplexores. Dichos dispositivos permiten que una misma antena pueda servir para recibir y transmitir manteniendo

Y

Figura 2: Modelo simple del diodo en configuraci´on paralelo.

aisladas las etapas de emision y recepci´on. En la figura 3 se muestra un modelo simple de un dispositivo de este tipo. Los acopladores son de tipo branch line ideales; 3dB y 90 grados. Los conmutadores son diodos del mismo tipo que hemos estudiado antes (MMP7069) Calcule la potencia que llega a la antena y al receptor procedente del transmisor cuando los diodos conducen y cuando est´an en inversa. Calcule la potencia que llega de la antena al transmisor y al receptor en las mismas circustancias (conducci´on y corte). Calcule tambien la potencia que se disipa en la carga adaptada en cada uno de los casos anteriores.

Tx

Rx

Ant

3 dB 90o

3 dB 90o

Figura 3: Modelo de duplexor.

Ejercicio 3 Sea un cuadripolo cargado a su entrada y salida con impedancias Zg y Zl (figura 4). Calcule 2 2 2 | −|a2 | la ganancia de potencia definida como |b Considere ahora el caso unilateral (s12 = 0) |a1 |2 −|b1 |2 ¿Cu´anto vale, en funci´on de los par´ametros S, la ganancia de potencia anteriormente definida si adaptamos entrada y salida simult´aneamente?

ρout Zg

[S] Z0

Vg

Zl

ρin Figura 4: Circuito del ejercicio 3.

Ejercicio 4 Sea un cuadripolo del que se conocen sus par´ametros S medidos respecto a 50Ω. s11 = 0,2+0,1j, s12 = 0, s21 = 4,0 y s22 = 0,1 Calcule la estabilidad y la posibilidad de adaptar simult´aneamente ambas puertas. Si fuera posible la adaptaci´on, calcule las impedancias de m´axima transferencia |b2 |2 −|a2 |2 de potencia y la ganancia definida como |a 2 2 1 | −|b1 | Ejercicio 5. Obtenga los par´ametros S de un cuadripolo constituido por una l´ınea ideal en λ/4 que adapta dos l´ıneas de impedancias caracter´ısticas Z01 y Z02 . Tenga en cuenta que en este caso las impedancias de referencia en cada puerto son distintas. Ejercicio 6 Se quiere transmitir una se˜ nal de 10 GHz usando una gu´ıa circular rellena de aire. Calcule qu´e di´ametro deber´ıa tener de modo que la frecuencia de corte m´as baja sea un 20 % inferior a la se˜ nal a transmitir. Si la gu´ıa tuviera que operar a 15 GHz ¿Qu´e modos se propagar´ıan? 2

Las frecuencias de corte de los modos TMnl son fc (T Mnl ) = son fc (T Enl ) =

p0nl √

2πa µ

pnl √ 2πa µ

y las de los modos TEnl

tomando pnl y p0nl los valores de la siguiente tabla

n 0 1 2

pn1 2.405 3.832 5.315

pn2 5.520 7.016 8.417

p0n1 3.832 1.841 3.054

pn3 8.654 10.174 11.620

p0n2 7.016 5.331 6.706

p0n3 10.174 8.536 9.970

Ejercicio 7 Sea un cuadripolo formado por un transformador ideal de relaci´on de espiras entre primario y secundario de n : 1 Con las corrientes y tensiones definidas tal y como muestra la figura 5 las realciones entre ellas son: V1 = nV2 e I2 = nI1 Calcule los par´ametros S de dicho cuadripolo respecto a una impedancia caracter´ıstica Z0

I1

I2

V1

V2 n:1

Figura 5: Transformador. Ejercicio 8 Un circuito muy utilizado en la pr´actica es el acoplador branch line cuya implementaci´on en tecnolog´ıa microstrip se muestra en la figura 6. Este h´ıbrido consta de cuatro tramos de l´ınea de longitud λ/4 con los valores de impedancia caracter´ıstica indicados. Su funcionamiento es el siguiente. La se˜ nal que entra por la puerta 1 se divide a partes iguales entre las puertas 2 y 3 no llegando nada a la puerta 4. Las se˜ nales en las puertas 2 y 3 tienen una diferencia de fase entre ellas de 90 grados; esto es si tomamos como origen de fases (0 grados) la puerta 2, la fase de la se˜ nal en la puerta 3 es de 90 grados. Suponga que las puertas 1 y 2 no tienen desfase entre s´ı. A partir de estos razonamientos y sabiendo que todas las puertas est´an adaptadas calcule los par´ametros s11 , s21 , s31 y s41 .

λ/4 Z0

1

2 Z0

Z0 λ/4 4

2

Z0

2

3

Figura 6: H´ıbrido branch line. Para fabricar un h´ıbrido de este tipo disponemos del substrato MC5 de la casa Glasteel Industrial Laminates. La altura del substrato, h, es de 30 mils (1mil=0.0254mm) y su constante diel´ectrica, r , es de 3.26. Las ecuaciones de dise˜ no que pueden utilizarse son. L´ınea estrecha: Z0 > (44 − 2r )Ω w = h



eH 1 − H 8 4e

ef f

−1

p

   2(r + 1) 1 r − 1 π 1 4 + ln + ln H= 119, 9 2 r + 1 2 r π (  1/2   )2 29, 98 1 4 r + 1 2 r − 1 π = 1+ ln + ln 2 Z0 r + 1 r + 1 2 r π Z0

3

L´ınea ancha Z0 < (44 − 2r )Ω  0, 517 ln(d − 1) + 0, 293 − r r = 0, 96 + r (0, 109 − 0, 004r ){log10 (10 + Z0 ) − 1}

w 2 r − 1 = {(d − 1) − ln(2d − 1)} + h π πr ef f



d =

59, 95π 2 √ Z0 r

Calcule las longitudes y anchuras de las l´ıneas si la frecuencia de trabajo es de 10 GHz y √ Z0 = 50Ω. Recuerde que λg = λ0 / ef f Ejercicio 9 En una gu´ıa circular de radio a=3cm trabajando en el modo dominante TE11 a una frecuencia de 3 GHz, se coloca un iris circular de di´ametro d=1cm (figura 7). Dicho iris est´a centrado en la gu´ıa y tiene un espesor que puede considerarse despreciable. A todos los efectos, el iris puede considerarse como una admitancia en paralelo de valor jB, que, normalizada respecto a la admitancia del modo dominante Y0T E11 tiene un valor   λg (2a)3 B d3 = − 2, 344 M = 4a 8, 4M 6 Y0T E11

L

L

d

2a

d 2a

Figura 7: Guia circular con iris inductivo.

Calcule la matriz de par´ametros S referida a la impedancia del modo dominante situando los puertos de referencia en el punto donde est´a localizado el iris. A partir de la matriz obtenida, determinar los nuevos par´ametros referidos a planos situados sim´etricamente a una distancia L del iris. s  2 fc λ η 1,84 √ β = ω µ 1 − λg = r ZT E = r fc (T E11 ) = √     2 2 f 2πa µ fc fc 1− f 1− f Ejercicio 10 Sea el atenuador mostrado en la figura 8. El par´ametro s21 calculado respecto a una impedancia 2Z Z Z0 vale s21 = Z 2 +2Z Z +2Z0 Zp+2Z Z +Z 2 La atenuaci´on de potencia que introduce el circuito es 0

p

s

0

s

0

p

s

α2 = |s21 |2 Calcule el valor de las impedancias Zp y Zs en funci´on de α y Z0 si el circuito debe tener la entrada y la salida adaptadas a Z0 (s11 = s22 = 0)

Zs

Zs Zp

Figura 8: Atenuador en T.

4

Ejercicio 11 Un circuito muy utilizado cuando se necesitan grandes atenuaciones controlables de una manera muy precisa es el atenuador de pist´on (figura 9). El funcionamiento es como sigue: por medio de un conector coaxial se inyecta se˜ nal en una cavidad. Dicha cavidad est´a acoplada a una gu´ıa cil´ındrica mediante un iris y tiene un poste diel´ectrico variable que permite adaptar la transici´ on cavidad-gu´ıa. La gu´ıa, para el rango de frecuencias de funcionamiento, est´a siempre al corte siendo la constante de propagaci´on real y negativa. En estas condiciones, los campos sufren una atenuaci´on exponencial con la distancia. La gu´ıa est´a situada sobre una junta deslizante y se mueve mediante un tornillo microm´etrico. Por tanto, al variar la longitud del tramo de gu´ıa, var´ıa la atenuaci´ on.

Junta deslizante

Salida

Entrada

Guia cilindrica al corte

Cavidad

Figura 9: Atenuador de pist´on. 1,84 √ Sabiendo que la frecuencia de corte del modo dominante en la gu´ıa es fc (T E11 ) = 2πa µ obtenga la f´ormula de la atenuaci´on introducida (dB/m) en funci´on de la frecuencia y el radio de la gu´ıa (1 Nep/m=8.686 dB/m) Puede utlizar las f´ormulas del ejercicio 9. Ejercicio 12 Se ha medido un transistor a la frecuencia de 4 GHz montado sobre un circuito microstrip como se muestra en la figura 10. Las l´ıneas de entrada y salida tienen una longitud de 20 y 16 mm respectivamente, una impedancia de 50Ω y una constante diel´ectrica efectiva, ef f , de 1,5. Los valores medidos sobre los planos de referencia de los conectores son para 50Ω los siguientes:

|S11 | = −4dB Arg(S11 ) = 80o |S12 | = −16dB Arg(S12 ) = −60o |S21 | = +12dB Arg(S21 ) = 25o |S22 | = −10dB Arg(S22 ) = −10o Determine los valores de los par´ametros S medidos en los planos de referencia del transistor.

Planos de referencia originales

20 mm

16 mm

Nuevos planos de referencia Figura 10: Amplificador en tecnolog´ıa microstrip.

Ejercicio 13 El circuito mostrado en la figura 11 es un dispositivo del que se quiere conocer su funcionamiento. La matriz de los acopladores teniendo en cuenta la numeraci´on de los puertos indicada es   0 1 j 0 1  1 0 0 j   [S] = √  2 j 0 0 1  0 j 1 0 5

ρl Zl

Entrada

Salida

1

2

4

3

Acop. ρ

l

Zl

Figura 11: Circuito del ejercicio 13.

Calcule la matriz S del conjunto. ¿Qu´e tipo de impedancias deber´ıamos utilizar para convertir este dispositivo en un amplificador? Ejercicio 14 El circuito mostrado en la figura 12 es un amplificador balanceado. Los amplificadores son id´enticos, no est´an adaptados y conocemos sus par´ametros S. La matriz de los acopladores teniendo en cuenta la numeraci´on de los puertos indicada es   0 1 j 0 1  1 0 0 j   [S] = √  2 j 0 0 1  0 j 1 0

Carga Entrada

Amp. Salida Acop.

1

2

4

3

Acop.

Carga

Amp. Figura 12: Amplificador balanceado.

Calcule la matriz S del conjunto, comp´arela con la matriz S de uno de los amplificadores y comente los resultados Ejercicio 15 Sea un conjunto de cuadripolos conectados en cascada tal y como muestra la figura 13 y de los que conocemos su matriz de par´ametros S

bk+n+1

ak k

k+1

k+n

bk

a k+n+1

Figura 13: Cuadripolos en cascada.

Para calcular la matriz S del conjunto se utiliza un nuevo conjunto de par´ametros, los T. 6

Dichos par´ametros se definen a partir de los S. s22 t11 = s21 − s11 s12 s11 = − tt21 22

t12 = ss22 12

t21 = − ss11 12

s12 = t 1 22

t21 s21 = t11 − t12 t22

t22 = s112 s22 = tt12 22

La ventaja de estos nuevos par´ametros es que la matriz del conjunto se puede escribir como el producto de las matrices de cada uno de los cuadripolos.     bk+n+1 ak   = Tk+n Tk+n−1 · · · Tk   ak+n+1 bk Utilizando estos par´ametros, queremos calcular la matriz de par´ametros S del circuito mostrado en la figura 14

L

L

L

Figura 14: Circuito del tercer ejercicio.

Calcule primero los par´ametros S de un tramo de l´ınea de transmisi´on de longitud L y los del stub en abierto (consid´erelo como una admitancia en paralelo). Una vez que tenga dichos par´ametros, calcule los parametros T de cada uno de los tres cuadripolos, la matriz T del conjunto y la matriz S del conjunto. Compare los resultados con los obtenidos utilizando las matrices de desplazamiento de puertos. Calcule directamente (a partir de su definici´on) el par´ametro s11 del conjunto. Ejercicio 16 En el dibujo de la figura 15 se muestra un desfasador construido mediante diodos PIN usando tecnolog´ıa microtira. Los diodos funcionan como conmutadores pudiendo poner en paralelo con el tramo de l´ınea las dos admitancias cuyo valor normalizado es B. Cuando est´en polarizados en directa supondremos que los diodos actuan como un corto y cuando est´en en inversa como un abierto.

DC λg/4

λg/4

Polarización

λg/4 Y=jB

Y=jB

Figura 15: Desfasador con diodos PIN.

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Calcule los par´ametros S del circuito con los diodos polarizados en directa y en inversa. Utilice como impedancia de normalizaci´on la de la l´ınea en la que est´an conectados los diodos. ¿ Qu´e desfase introduce el circuito ? Nota: El circuito de polarizaci´on no afecta a la hora de calcular los par´ametros S Ejercicio 17 Sea un cuadripolo pasivo y sin p´erdidas cuya matriz de par´ametros S medidos respecto a Z0 es   a exp(jφ1 ) b exp(jφ2 )   c exp(jφ3 ) d exp(jφ4 ) donde a, b, c y d son n´ umeros reales cuyo valor absoluto es menor o igual que uno. Teniendo en cuenta que la matriz de un dispositivo de ese tipo es unitaria, [S]h [S] = [I] y [S][S]h = [I] siendo [S]h la traspuesta conjugada e [I] la matriz unidad, demuestre que la matriz del cuadripolo se puede escribir como   cos τ exp(jφ1 ) sin τ exp(jφ2 )   sin τ exp(jφ3 ) − cos τ exp(j(φ2 − φ1 + φ3 )) siendo a = cos τ y b = sin τ . Si el cuadripolo adem´as es rec´ıproco, s12 = s21 , justifique por qu´e la matriz se puede escribir como   cos τ sin τ exp(jφ2 )   sin τ exp(jφ2 ) − cos τ exp(2jφ2 ) Haciendo uso de la propiedad anterior, demuestre que si cargamos el cuadripolo a la salida de manera que haya m´axima transferencia de potencia en la salida, el coeficiente de reflexi´on a la entrada es nulo, ρin = 0 si la impedancia del generador es Z0

ρout Z0

[S] Z0

Vg

Zl

ρin Figura 16: Cuadripolo del ejercicio 17.

Ejercicio 18 La figura 17 es un conmmutador realizado con tecnolog´ıa micrstrip y diodos PIN. El diodo PIN, cuando est´a polarizado en directa, se comporta como una peque˜ na resistencia de valor Rf . Cuando se polariza en inversa, se comporta como un condensador de valor Cj . Definimos el aislamiento como −10 log |s21 |2 cuando el diodo est´a en directa; conmutador en OFF y definimos las p´erdidas de inserci´on de la misma manera pero cuendo el diodo est´a en inversa; conmutador en ON. La impedancia de normalizaci´on Z0 es la misma en los dos puertos e igual a la de la l´ınea de longitud λ/4. Calcule el aislamiento y las p´erdidas de inserci´on del conmutador.

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DC λg/4

λg/4

Polarización

In

Out λg/4

Figura 17: Conmutador con diodo PIN paralelo.

Ejercicio 19 Una posible t´ecnica de estabilizaci´on es el padding. Dicha t´ecnica consiste en a˜ nadir una resistencia en serie o en paralelo en alguno de los puertos (o en los dos) del dispositivo que se quiere estabilizar (figura 18)

R

[S]

1

2

Z0

Figura 18: Estabilizaci´on mediante padding Calcule los nuevos valores de los par´ametros s11 y s22 del conjunto. Ejercicio 20 Sea el circuito mostrado en la figura 19

L

C

C

Figura 19: Transformador el λ/4 discreto

Dicho circuito se suele usar para sustituir un tramo de l´ınea de longitud el´ectrica λ/4 a la frecuencia f0 e impedancia caracter´ıstica Z0 . Demuestre que esto es as´ı cuando los valores de Z0 la bobina y el condensador son L = 2πf y C = 2πf10 Z0 . Esto es; demuestre que una impedancia 0 cualquiera Z puesta en uno de los dos puertos, aparece en el otro reflejada como Z02 /Z y calcule los par´ametros S respecto a Z0

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Ejercicio 21 Un dispositivo ampliamente utilizado como atenuador en microondas es el diodo PIN. En un modelo muy simplificado y utilizando la configuraci´on serie, el diodo puede funciona como una resistencia de valor Rf cuando se polariza en directa. El valor de esta resistencia se puede variar modificando el punto de polarizaci´on del diodo; la corriente que lo atraviesa. En la figura 20 se muestra un modelo simple de un atenuador de este tipo. El acoplador es un branch line ideal; 3dB y 90 grados. Los diodos son PIN y la matriz S del h´ıbrido definida respecto a la impedancia Z0 es   0 1 j 0     1 0 0 j  1    [S] = √  2 j 0 0 1     0 j 1 0 Entrada

Z0 1

2

4

3

Polarización Salida

Z0

Figura 20: Atenuador a diodos PIN

Calcule la matriz de par´ametros S del diodo PIN consider´andolo como un cuadripolo formado por una impedancia serie (0.5 pt.) Calcule la relaci´on entre la potencia de entrada y la de salida en funci´on de la Rf del diodo y la impedancia de carga Z0 . Los condensadores son bloqueos de cont´ınua o desacoplos de alimentaci´on y las bobinas son bloqueos de RF. No influyen en el modelo simplificado; las bobinas se comportan como abiertos y los condensadores como cortos (2.0 pt.) Ejercicio 22 En la figura 21 se puede ver un modelo muy simplificado de un amplificador con FET y realimentaci´on de fuente. Calcule la matriz de par´ametros S del amplificador respecto a la impedancia de referencia Z0 (1 pt.) D

1 G

1

2

2

Vg

S

Z0

gmVg Z0

Figura 21: Amplificador con FET Consideremos ahora el transistor como un multipolo de tres puertos tal y como muestra la figura 22. En esas condiciones, la correspondencia entre los par´ametros S del transistor y los del amplificador con realimentaci´on de fuente es la siguiente: Los restantes par´ametros del transistor se pueden calcular sabiendo que la suma de culaquier columna y de cualquier fila es la unidad. Esto es: i=3 X i=1 i=3 X

sij = 1 j = 1 . . . 3

sji = 1 j = 1 . . . 3

i=1

10

Amplificador

Transistor

s11

s11

s12

s13

s21

s31

s22

s33

D

G

S 1

2

Z0

3

Z0

Z0

Figura 22: FET como multipolo de tres puertos Calcule la matriz de par´ametros S del transistor respecto a la impedancia de referencia Z0 . Si no hubiera resulto el primer apartado del ejercicio, exprese el resultado en funci´on de los par´ametros S del amplificador de forma gen´erica (sa11 ,sa12 ,sa21 ,sa22 ) (1.5 pt.) Sea ahora un multipolo al que en su puerto k se le ha conectado un dipolo que introduce un coeficiente de reflexi´on ρk (figura 23). En esas condiciones, los par´ametros S del nuevo multipolo, que tiene un puerto menos que el original, son sTij = sij +

1 2

sik skj ρk 1 − skk ρk

j

3

ρk

D

S

2

G 1

k i

Figura 23: Conexi´on multipolo con dipolo Calcule los par´ametros S de un amplificador en configuraci´on de puerta com´ un (figura 23) utilizando la propiedad enunciada. Si no hubiera resuelto el segundo apartado del ejercicio, exprese el resultado en funci´on de los par´ametros S del transistor de forma gen´erica (stij i = 1 . . . 3 j = 1 . . . 3) (1.5 pt.)

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