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EJERCICIOS Nº 10: GEOMETRIA ANALITICA

1) Determine x si el punto A(x,3) equidista de B(3,−2) y de C(7,4) Respuesta 2

2) Determine los puntos de trisección del segmento de recta AB donde A( −6,−9) , B(6,9) 3) El segmento de recta que une A(2,−3) y B (−3,5) se extiende hacia cada extremo en una longitud igual a su longitud original. Halle las coordenadas de los nuevos extremos. Respuesta (−8,13) , (7,−11) 4) Los puntos medios de los lados de un triángulo están en los puntos (2,0) , ( 4,1) , (3,4) . Halle las coordenadas de los vértices. Respuesta (1,3), (3,−3), (5,5) 5) Encuentre la ecuación de la recta determinada por los puntos A y B a) A(3,−1) , B (−4,5) Respuesta 6 x + 7 y − 11 = 0 b) A(0,2) , B( 4,−6) Respuesta 2 x + y − 2 = 0 6) Halle la ecuación de dos rectas a través de A, una paralela y la otra perpendicular a la recta que corresponda a la ecuación dada A( 4,1), 2 x − 3y + 5 = 0 Respuesta 2 x − 3y − 5 = 0 ; 3 x − 2y − 14 = 0 7) Calcule la distancia la distancia entre la recta y el punto dados 99 Respuesta 5 x + 12 y + 60 = 0 ; A(3,2) 13 8) Determine la distancia entre el par de rectas paralelas dadas Respuesta 3 4 x − 3 y − 9 = 0 ; 4 x − 3 y − 24 = 0 9) Los vértices de un triángulo son A(2,3), B (−1,1), C (7,−2) calcule la longitud de la altura bajada desde A y la longitud del lado BC. Después calcule el área del 25 triángulo Respuesta , 73 , 12.5 73 10) Encuentre la ecuación de la línea recta que pasa por la intersección de las rectas de ecuación 3 x + y − 2 = 0 y x + 5 y − 4 = 0 , y por el punto A(5,2) Respuesta 9 x − 32y + 19 = 0 11) Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en C (2,−6) y radio 5

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Respuesta ( x − 2) 2 + ( y + 6) 2 = 5 2 12) Determine la ecuación de la circunferencia tal que A(0,0) y B(−8,6) son los extremos de uno de sus diámetros. Respuesta x 2 + y 2 + 8 x − 6 y = 0 13) Determine la ecuación de la circunferencia tal que su centro es el punto C( 4,2) y pasa por el punto A( −1,−1) Respuesta x 2 + y 2 − 8 x − 4y − 14 = 0 14) Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 x − 4 y − 32 = 0 y el centro está en el punto C (0,7 ) Respuesta x 2 + y 2 − 14 y − 95 = 0 15) Identifique: a) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 Respuesta ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 25 b) x 2 + y 2 + 8 x + 2y + 1 = 0 Respuesta ( x + 4) 2 + ( y + 1) 2 = 16 c) x 2 + y 2 + 2 x + 1 = 0 Respuesta el punto (−1,0) d) x 2 + y 2 − 3 x − 3y + 10 = 0 Respuesta ningún lugar geométrico 16) Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta de ecuación 2 x − y − 3 = 0 en el punto A(2,1) y el centro está en el eje Y. Respuesta x 2 + y 2 − 4 y − 1 = 0 17) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,0 ), B(3,−1), C ( −2,4) Respuesta ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25 18) Esboce el gráfico de las siguientes cónicas a) y 2 = 4 x

b) x 2 + 10 y = 0

c) y = 12 x

d) y =

1 2 x 8

19) Encuentre la ecuación de la parábola tal que: a) V (0,3 ), F ( 4,3) Respuesta ( y − 3) 2 = 16 x b) V (2,3 ), F (6,3) Respuesta ( y − 3) 2 = 16( x − 2) 20) Identifique las siguientes cónicas: a) y 2 − 8 x + 8 = 0 Respuesta y 2 = 8( x − 1) , V (1,0), F (3,0) b) x 2 + 4 x − 16 y + 4 = 0 Respuesta ( x + 2) 2 = 16 y V ( −2,0), F ( −2,4) 21) Dibuje, en un único sistema coordenado las curvas de ecuación

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x 2 + y 2 − 25 = 0 y 2 = 4 x . Determine además los puntos de intersección entre ellas 22) Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el vértice de la cónica de ecuación y 2 − 4 y − 4 x + 8 = 0 y que tiene radio 10 23) Un punto se mueve de tal manera que su distancia desde el eje Y es siempre igual a su distancia desde el punto (4, 0). Determine la ecuación que satisface estas condiciones e identifique Respuesta Parábola, V (2,0) , p =2, eje focal el eje X 28) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto que está dos veces más alejado del punto (4,4) que del punto (1,1) Respuesta Circunferencia centro (0,0) y radio 2 2 29) Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto tal que la distancia al punto (5,0) es igual a la abscisa del punto Respuesta y 2 − 10 x + 25 = 0 30) La suma de los cuadrados de las distancias desde el punto P ( x, y ) a los puntos (4,2) y (-3,1) tiene valor 50. Determine la ecuación e identifique Respuesta Circunferencia centro ( 21 , 32 ) y radio 5 2 2 31) El punto P está tres veces más alejado de (1,1) que de (-3,4). Determine la ecuación e identifique Respuesta 8 x 2 + 8 y 2 + 56 x − 70 y + 223 = 0 32) Determine la ecuación que satisfacen los puntos cuya distancia a la recta de ecuación x = −3 es dos unidades mayor que su distancia al punto (3,2), Identifique Respuesta ( y − 2) 2 = 8( x − 1)

33) El punto P ( x, y ) es el vértice de un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento de recta que une los puntos (-2,-1) y (3,5). Determine la ecuación e identifique Respuesta x 2 + y 2 − x − 4 y − 11 = 0

34) Considere los puntos A( −2,4 ) , B( 4,6) , C(2,−2) a) Determine la ecuación de la altura ha b) Calcule la longitud de dicha altura c) Determine el área del triángulo ABC 35) Identifique la cónica de ecuación x 2 + y 2 + 4 x − 9 y − 3 = 0 , considerando UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA - DMCC

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las intersecciones con los ejes coordenados 36) Identifique la cónica de ecuación x 2 − 8 x − 8 y + 32 = 0 , considerando las intersecciones con los ejes coordenados 37) Encuentre la ecuación de la circunferencia tangente a la recta de ecuación 3 x − 4 y − 32 = 0 y cuyo centro está en el punto C(0,-7) 38) Si los puntos A( −2,4) , B(6,6) , C ( 4,−3) son los vértices de un triángulo d) determine la ecuación de la altura bajada desde el vértice A e) calcule la longitud de tal altura f) Si el segmento AB se prolonga, más halla de B, dos veces su longitud original, ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo extremo?

39) Grafique, en un único sistema coordenado las siguientes relaciones x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 6 = 0 y x − y − 4 = 0 , considerando: intersección con los ejes coordenados e intersección entre ellas

40) Identifique la cónica de ecuación x 2 − 8 x − 8 y + 32 = 0 , determinando la intersección con los ejes coordenados. Considere además la recta de ecuación x − y − 1 = 0 y encuentre la intersección con la cónica anterior. Grafique ambas en un único sistema

41) Determine los valores de c ∈ R para que 3x 2 + 6 x + 3 y 2 + 22 y + c = 0 represente una circunferencia y para esos c determine el centro y el radio c Respuesta ( x + 1) 2 + ( y + 7) 2 = 50 − , c > 150 3 42) P(7,5) ∈ L : 3 x + 4 y − 41 = 0 . Determine otro punto Q ∈ L que diste 5 unidades de P Respuesta (11,2) y (3,8) 43) Determine k ∈ R para que la recta de ecuación 2 x + 3 y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triangulo de área 12, en el primer cuadrante Resp. -12 44) Determine la ecuación de la circunferencia que circunscribe al triangulo cuyos lados están en las rectas de ecuación L1 : x − 2 y + 9 = 0 ,

L2 : 7 x + y − 42 = 0 , L31 : x + 3 y − 6 = 0 Resp. ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 25

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45) Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisectan recíprocamente 46) Demuestre que las diagonales del rectángulo tiene igual longitud 47) Demuestre que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es equidistante de los tres vértices 48) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto que esta dos veces mas alejado de (4,4) que del punto (1,1) Respuesta. x 2 + y 2 = 8 49) Traslade los ejes coordenados de modo que la nueva ecuación de la circunferencia de ecuación x 2 − 6 x + y 2 + 10 y + 11 = 0 no tenga términos de primer grado Respuesta x ′ 2 + y ′ 2 = 23 50) Determine la ecuación de la elipse con focos (4,-2) y (10,-2) y un vértice ( x − 7 ) 2 ( y + 2) 2 en el punto (12,-2) Respuesta + =1 25 16 51) Identifique 4 y 2 + 9 x 2 − 24 y − 72 x + 144 = 0 considerando todos sus elementos 52) Determine el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de modo que su distancia desde (5,0) es la mitad de su distancia a la recta x = 20 x2 y2 Respuesta + =1 100 75 53) Un punto se mueve de modo que la suma de sus distancias desde (-4,3) y x 2 ( y − 3) 2 (4,3) es 12. Determine la ecuación de la trayectoria Resp. + =1 36 20 54) Bosqueje la grafica de

x2 y2 − =1 64 36

55) Identifique 12 y 2 − 4 x 2 + 72 y + 16 x + 44 = 0 Resp.

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( y + 3) 2 ( x − 2) 2 − =1 4 12

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