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1 NÚMEROS RACIONALES
E J E R C I C I O S
P R O P U E S T O S
1.1 Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su nacimiento? 2008 (287) 2295 años 1.2 ¿De qué número es 6 la tercera parte? ¿Y la sexta? x Si x es el número buscado, entonces 6, luego x 18. 3 x Y 6, luego x 36 6 7 1.3 Sergio recorre en bicicleta los —— del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan 18 kilómetros, 9 ¿cuántos kilómetros tiene la carrera? 7 2 Si ha recorrido del trayecto, le quedan por recorrer , que corresponden a 18 km. 9 9 1 18 Por tanto, del trayecto es km 9 km 9 2 9 Luego los equivalen a: 9 9 81 km. 9 Medida del trayecto: 81 km 7 1.4 En un centro de acogida de animales se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan —— del 15 total. Si el número de animales es de 120, ¿cuántos perros y gatos hay? 7 1 Número de perros: 120 7 120 7 8 56 15 15 Número de gatos: 120 56 64 1.5 Una urbanización en la costa recicla 65 000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardi7 nes. Si esta cantidad representa los —— del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar? 10 1 de las toneladas recicladas es: 65 000 10 6500. 10 3 Toneladas sin reciclar, 3 6500 19 500 m3. 10 1 1.6 El agua, al helarse, aumenta aproximadamente —— su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua. 10 Si se tiene un metro cúbico de agua, ¿cuánto aumenta su volumen? 1 metro cúbico 1000 dm3 1 11 Volumen de un dm3 de agua helada: 10 10 10 11 Volumen de un m3 de agua helada: 1000 dm3 1100 dm3 10 Por tanto, aumenta 100 dm3. 7 1.7 Amplifica la fracción —— a una que tenga por numerador 77 y a otra con denominador 99. 11 7 77 a) Se amplifica multiplicando por 11: 11 121 7 63 b) Se amplifica multiplicando por 9: 11 99 4
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1.8 Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes. 8 3 12 4 7 40 a) —— y —— b) —— y —— c) —— y —— 10 5 20 5 20 100
6 21 d) —— y —— 14 49
a) 3 20 5 12 ⇒ No son equivalentes. b) 4 10 5 8 ⇒ Sí son equivalentes. c) 7 100 20 40 ⇒ No son equivalentes. d) 6 49 14 21 ⇒ Sí son equivalentes.
1.9 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones. 80 72 270 150 a) —— b) —— c) —— d) —— 240 360 990 225 270 3 a) m.c.d.(270, 990) 90 ⇒ 990 11 150 2 b) m.c.d.(150, 225) 75 ⇒ 225 3 80 1 c) m.c.d.(80, 240) 80 ⇒ 240 3
1.10 Indica si 14 a) —— 12
39 f) —— 195
111 e) —— 393
72 1 d) m.c.d.(72, 360) 72 ⇒ 360 5 111 37 e) m.c.d.(111, 393) 3 ⇒ 393 131 39 1 f) m.c.d.(39, 195) 39 ⇒ 195 5
son correctas las siguientes desigualdades. 16 20 15 33 45 —— —— b) —— —— —— 10 14 18 39 54
Se calcula el m.c.m. para conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador y poder comparar los numeradores. a) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(12, 10, 14) 420. 14 490 16 672 20 600 12 420 10 420 14 420
14 20 16 ⇒ 12 14 10
b) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(18, 39, 54) 702. 15 585 33 594 45 585 18 702 39 702 54 702
33 15 45 ⇒ 39 18 54
4 5 3 4 2 6 1.11 Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: ——, ——, ——, ——, ——, —— 3 2 5 5 3 10 Para ordenar las fracciones se transforman a otras con igual denominador entre ellas. 4 40 5 75 3 18 4 24 6 18 3 30 2 30 5 30 5 30 10 30 2 3 4 4 5 6 Ordenación: 3 5 5 3 2 10
2 20 3 30
1.12 Escribe tres fracciones, si existen, comprendidas entre: 2 3 —— y —— 5 5 ¿Existen tantas fracciones como queramos? ¿Por qué? 2 20 30 3 Observa el proceso: 5 50 50 5 Entre las fracciones centrales podemos escribir 9 fracciones de denominador 50. Fracciones intermedias: 2 20 21 22 23 30 3 … 5 50 50 50 50 50 5 Hay infinitas fracciones. 5
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1.13 Utiliza el teorema de Tales para representar en una recta estos números racionales. 5 7 5 2 a) —— b) —— c) —— d) —— 2 3 6 5 5 1 a) 2 2 2
5 – 2 0
1
2
3
7 –– 3
7 1 b) 2 3 2
–2
–3
–1 5 – 6
5 c) 6
0
1 2 –– 5
2 d) 5
–1
0
1.14 Escribe el número representado en cada figura. r
3 a) El número representado es . 5
r
2 5 b) El número representado es 1 . 3 3 0
1
0
1
2
1.15 Calcula y simplifica el resultado:
3 2 4 4 1 3 3 a) —— : —— —— —— —— —— : —— 5 3 5 3 3 4 7
2 7 5 1 4 2 1 b) —— —— —— —— : —— —— —— 3 2 6 4 3 3 6
9 3 2 4 4 1 3 3 16 1 21 95 19 54 64 20 105 a) 10 5 3 5 3 3 4 7 15 3 12 60 12 60
492 2 7 5 1 4 2 1 8 4 1 82 5 41 16 84 20 6 b) 129 3 2 6 4 3 3 6 6 24 6 10 24 1.16 Calcula y simplifica el resultado:
3 5 1 4 3 1 a) —— —— —— —— —— —— 8 3 2 11 4 5
2
3 5 1 3 1 3 10 3 21 1155 528 209 4 4 15 4 44 627 a) 8 3 2 4 5 8 6 20 48 2640 880 11 11 220 2640
5 3 1 10 1 1 b) —— —— —— —— —— —— 9 4 2 3 2 5
100 45 54 199 59 14 130 130 59 14 130 180 180
5 3 1 10 1 1 b) 9 4 2 3 2 5
2
2
1.17 Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica qué tipo de número decimal es cada uno y, si existen, la parte entera, el anteperíodo y el período. 10 13 16 19 a) —— b) —— c) —— d) —— 4 27 11 6 10 a) 4 13 b) 27 16 c) 11 19 d) 6 6
2,5 tiene una expresión decimal exacta. w tiene una expresión decimal periódica mixta con período 148 y anteperíodo 48. 0,48148 v tiene una expresión decimal periódica pura con parte entera 1 y período 45. 1,45 3,16v tiene una expresión decimal periódica mixta con período 6 y anteperíodo 1.
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1.18 Indica, sin hacer la división, el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones. 17 17 29 77 a) —— b) —— c) —— d) —— 6 21 14 50 a) Denominador: 6 2 3
c) Denominador: 14 2 7
Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 3
Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 7.
b) Denominador: 21 3 7
d) Denominador: 50 2 5 5
Fracción periódica pura, ya que tiene los factores 3 y 7.
Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.
1.19 Escribe en forma fraccionaria estos números. a) 2,222…
c) 7,1
e) 0,66
g) 0,155…
b) 10,555…
d) 6,2525…
f) 2,15
h) 0,3333…
20 a) 2,222… 9 95 b) 10,555… 9
71 c) 7,1 10 619 d) 6,2525… 99
2 e) 0,66 3 215 f) 2,15 100
7 g) 0,155… 45 1 h) 0,3333… 3
1.20 Suma los números decimales 0,3333… y 0,5555…, pasando previamente a fracciones. ¿Se obtiene el mismo resultado? 3 5 8 0,3333… 0,5555… 0,8888… 9 9 9 Observa que es también la suma de los dos números decimales.
R E S O L U C I Ó N
D E
P R O B L E M A S
1.21 Carlos ha vuelto a ir de compras. Ahora ha gastado dos quintas partes de su dinero en fruta, los tres séptimos de lo que le quedó, en yogures, y 18 euros en leche, gastando todo su dinero. ¿Cuánto gastó en total? Carlos gastó en leche cuatro séptimas partes de lo que tenía después de comprar fruta. Si esa cantidad fueron 18 euros, tras 4 comprar fruta le quedaron 18 31,50 euros. Como en fruta gastó dos quintos de su dinero, esa cantidad es igual a los 7 3 tres quintos del dinero con el que salió de casa. Por tanto, Carlos gastó en total 31,50 52,50 euros. 5
1.22 Los amigos de Carlos salieron a pasear. Después de una hora, la sexta parte del grupo decidió regresar, y los tres quintos de los que quedaban pararon para hacer un descanso. Los otros cuatro amigos siguieron andando hasta llegar a su destino. ¿Cuántos formaban el grupo? Los cuatro amigos son las dos quintas partes de los que no dieron la vuelta. Por tanto, entre estos cuatro y los que pararon a descansar eran 10 personas. Como esa cantidad correspondía a las cinco sextas partes del grupo, inicialmente salieron a pasear 12 personas.
A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S
PA R A
E N T R E N A R S E
Números fraccionarios. Números racionales 1.23 Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones: a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen. b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes. c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba. d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo. 4 a) 5
15 b) 100
96 c) 8
8 d) 10 7
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1.24 Calcula el valor de x para que sean equivalentes las siguientes fracciones: x 8 42 7 x 2 a) —— y —— b) —— y —— c) —— y —— 26 13 54 x 50 x x 8 a) ⇔ 13x 8 26 ⇔ x 16 26 13 42 7 b) ⇔ 42x 7 54 ⇔ x 9 x 54 x 2 c) ⇔ x 2 2 50 ⇔ x 10 50 x 1.25 Halla, mediante amplificación, cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas. 19 12 16 8 b) —— c) —— d) —— a) —— 8 30 11 15 19 38 57 76 95 a) 8 16 24 32 40 12 24 36 96 60 b) 30 60 90 120 150 1.26 Simplifica las siguientes fracciones. 30 28 a) —— b) —— 45 35 30 2 a) 45 3
28 4 b) 35 5
16 32 48 64 80 c) 11 22 33 44 55 8 16 24 32 40 d) 15 30 45 60 75
150 c) —— 200
360 d) —— 300
150 3 c) 200 4
360 6 d) 300 5
1.27 Escribe, para cada apartado, cinco fracciones que representen el mismo número racional dado. 17 25 60 24 a) —— b) —— c) —— d) —— 5 32 75 18 17 34 51 68 85 102 a) 5 10 15 20 25 30 25 50 75 100 125 150 b) 32 64 94 128 160 192
60 120 180 240 300 360 c) 75 150 225 300 375 450 24 48 72 96 120 144 d) 18 36 54 72 90 108
Fracciones y decimales 1.28 Indica cuáles de los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Justifica tu respuesta. a) 3,14
c) 82,7777…
b) 8,010010001…
d) 4,08939393…
Todos menos el del apartado b, porque no tiene período. 1.29 Sin hallar su expresión decimal, indica si los siguientes números son exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Justifica tu respuesta. 13 35 97 8 a) —— b) —— c) —— d) —— 50 27 42 125 a) Exacto, porque el denominador sólo tiene los factores 2 y 5. b) Periódico puro, porque el denominador no tiene los factores 2 y 5. c) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2. d) Periódico mixto, porque el denominador tiene los factores 2 y 3. 8
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1.30 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y di de qué tipo son (exactas, periódicas puras o periódicas mixtas). 48 a) —— 19
25 b) —— 36
50 c) —— 64
48 . Periódica pura a) 2,52631489473684210 19 25 b) 0,594v. Periódica mixta. 36
70 d) —— 9
50 c) 0,78125. Exacta 64 70 d) 7,7v. Periódica pura 9
1.31 Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales. w a) 0,36
c) 3,985
e) 18,45
v g) 10,5 5
v b) 2,983
d) 1,2
w f) 8,0359
v h) 5,34
36 4 w a) 0,36 99 11 2983 298 2685 179 b) 2,9833v 900 900 60 1845 369 c) 18,45 100 20 80 359 803 79 556 19 889 w d) 8,0359 9900 9900 2475
1845 e) 18,45 100 80 359 803 19 889 w f) 8,0359 9900 2475 105 10 95 g) 10,5v 9 9 534 53 481 h) 5,344v 90 90
Ordenación, comparación y representación de números racionales 1.32 Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden. 7 4 b) —— < —— 16 9
8 6 a) —— > —— 5 5
3 5 c) —— > —— 11 11
9 4 d) —— > —— 20 6
a) Sí, porque a igual denominador es mayor la fracción con mayor numerador. 7 63 4 b) y 16 144 9 63 64 ⇒ 144 144
64 144 7 4 . Es correcta. 16 9
c) No es correcta porque a igual denominador, es menor la fracción de menor numerador. 9 27 4 40 d) y 20 60 6 60 27 40 9 4 ⇒ . No es correcta. 60 60 20 6
1.33 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. 19 32 8 24 7 a) ——, ——, ——, ——, —— 36 36 36 36 36
43 43 43 43 43 b) ——, ——, ——, ——, —— 27 18 39 5 40
15 2 1 4 6 c) ——, ——, ——, ——, —— 8 9 5 15 10
19 24 32 7 8 a) 36 36 36 36 36 43 43 43 43 43 b) 40 39 27 18 5 15 675 2 80 1 72 4 96 6 216 c) ; ; ; ; 8 360 9 360 5 360 15 360 10 360 72 80 96 4 6 216 675 1 2 15 ⇒ 360 360 360 15 10 360 360 5 9 8 9
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1.34 Compara estas fracciones: 9 4 a) —— y —— 12 23
6 12 b) —— y —— 25 15
10 10 c) —— y —— 28 16
9 4 a) 12 23
10 10 c) 28 16
6 18 12 60 b) ; 25 75 15 75 18 60 6 12 ⇒ 75 75 25 15
5 80 6 54 d) ; 18 288 32 288 80 54 288 288 5 6 18 32
5 6 d) —— y —— 18 32
1.35 Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara las fracciones. 28 a) 1,318 y —— 25
17 v b) —— y 2,5 9
1318 659 a) 1,318 ; 1000 500 659 28 ⇒ 1,318 y 500 25
7 w c) —— y 0,16 18
28 560 25 500 28 25
111 d) 5,36 y —— 20
16 128 7 693 w ; c) 0,16 99 792 18 792 7 693 128 w ⇒ 0,16 18 792 792
25 2 23 b) 2,5v 9 9 17 23 17 ⇒ 2,5v 9 9 9
536 111 555 d) 5,36 ; 100 20 100 536 555 111 ⇒ 5,36 100 100 20
1.36 Descompón las fracciones en suma de un entero más una fracción propia (el valor de una fracción propia es siempre menor que la unidad) e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas sobre la recta. 29 a) —— 8
13 b) —— 4
37 c) —— 5
11 d) —— 3
29 5 a) 3 8 8
13 1 b) 3 4 4
37 2 c) 7 5 5
11 2 d) 3 3 3
1.37 Representa en la recta numérica: 2 a) —— 7 a)
3 b) —— 5
4 c) —— 9
2 – 7 0
b)
1 3 – 5
0
c)
1 4 –– 9
–1
0
8 2 d) 2 3 3
8 –– 3 –3
–2
11 5 e) 1 6 6
–1 11 – 6
0 10
8 d) —— 3
1
2
0
11 e) —— 6
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1.38 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. 10 8 13 24 37 a) ——, ——, ——, ——, —— 29 29 29 29 29 19 19 19 19 19 b) ——, ——, ——, ——, —— 8 12 6 5 18 2 4 8 9 7 c) ——, ——, ——, ——, —— 3 15 25 10 6 1 5 9 1 15 d) ——, ——, ——, ——, —— 12 8 16 4 36 24 8 10 13 37 a) 29 29 29 29 29 19 19 19 19 19 b) 6 8 18 12 5 2 100 4 40 8 48 9 135 7 185 c) ; ; ; ; 3 150 15 150 25 150 10 150 6 150 135 48 40 100 185 150 150 150 150 150 9 8 4 2 7 10 25 15 3 6 1 12 5 135 9 81 1 36 15 60 d) ; ; ; ; 12 144 8 144 16 144 4 144 36 144 81 12 36 60 135 144 144 144 144 144 9 1 1 15 5 16 12 4 36 8
Operaciones con números racionales 1.39 Realiza las siguientes sumas y restas. 5 3 10 11 a) —— —— —— —— 4 8 6 2
8 7 2 d) —— —— —— 4 5 30 45
5 1 3 e) —— 2 —— —— 24 4 9
19 1 4 8 b) —— —— —— —— 16 3 9 3
7 1 3 5 c) —— —— —— —— 12 18 4 9
10 8 9 13 f) —— —— —— —— 3 9 6 4
9 5 3 10 11 30 40 132 123 a) 24 4 8 6 2 24 24 24 24
19 1 4 8 19 3 4 8 19 1 8 171 16 384 197 b) 16 3 9 3 16 9 9 3 16 9 3 144 144 144 144
73 1 3 5 7 1 27 20 7 1 7 21 2 7 12 1 c) 12 18 4 9 12 18 36 36 12 18 36 36 36 36 36 3 7 2 8 21 4 144 360 191 d) 4 30 45 5 90 90 90 90 90
5 1 3 5 72 9 12 5 75 15 150 135 15 e) 2 24 4 9 24 36 36 36 24 36 72 72 72 8 f)
130 89 96 143 390 89 96 143 292 96 143 8386 5346 13167 13561 11
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1.40 Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones. 9 5 14 a) —— —— —— 6 4 35
6 4 8 c) —— : —— : —— 9 3 12
2 3 10 b) —— —— —— 15 8 9
2 21 4 d) —— : —— : —— 7 6 9
9 5 14 9 5 14 3 a) 6 4 35 6 4 35 2
3 2 10 3 2 10 1 b) 8 15 9 8 15 9 18
8 8 6 4 18 216 3 c) 12 12 9 3 36 288 4 2 21 4 12 4 108 9 d) 7 6 9 147 9 588 49
1.41 Calcula las siguientes potencias.
9 c) —— 5
8 d) —— 9
4
3 a) —— 5
3
7 b) —— 6
2 e) —— 3
1 f) —— 2
59 1
2 e) 3
f)
35 68215
c)
8 d) 9
3 a) 5 7 b) 6
4
3
73 343 3 6 216
2
5
2
0
4 4
0
82 64 2 9 81
1
23 23423 5
5 5
12 1 2
1
1.42 Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas. 6 a) 0,45 1,2 —— 5 1 v b) 18,4 —— 2,58 4 7 v 1,29 w c) —— 0,3 3 9 2 w 1,15 v —— d) 3,18 9 45 45 45 9 6 12 6 120 120 a) 0,45 1,2 100 100 100 20 5 10 5 100 100 45 1 184 1 258 25 184 1 233 3312 466 3733 b) 18,4 2,58v 180 4 10 4 90 10 4 90 180 180 180 7 7 3 129 1 7 3 128 77 33 128 172 w c) 0,3v 1,29 9 9 9 99 9 9 99 99 99 99 99 2 318 3 115 11 2 315 104 2 3150 1144 220 893 w 1,15v d) 3,18 9 99 90 9 99 90 9 990 990 990 990 12
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Operaciones combinadas 1.43 Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales. 4 6 8 5 3 a) —— —— —— —— : —— 7 7 3 4 2
2
1 2 4 b) —— —— —— 6 6 5
2 1 9 8 c) —— : —— —— —— : (5) 3 2 12 3
5 11 7 d) 2 3 : —— —— —— 6 4 2
3 1 —— —— 5 2
3
4 6 8 5 3 4 48 10 48 192 70 137 a) 7 7 3 4 2 7 21 12 84 84 84 84
35 12 16 26 1265 130 16 13520 130 12550 13520 14550 11520 225
1 2 4 b) 6 6 5
2
8 9 6 2 1 4 72 4 2 20 26 c) (5) (5) 12 3 15 3 2 3 36 3 5 15 15 5 11 7 d) 2 3 6 4 2
73 320 576 18 865 19 121 2 158 141 3483 2 158 373 2 160 160 160 160 3
1.44 Realiza las siguientes operaciones.
7 1 2 6 3 a) —— —— —— —— : —— 9 9 3 4 7
: —151— —45— —34— 3
1 b) 3 —— 2
8 2 4 7 c) 4 2 —— —— —— : —— 9 3 5 2
4 3 2 3 6 d) —— 1 —— —— —— —— 10 4 5 2 5
: —34— —98— 2 —17—6 2
15 e) 8 —— 2
34 7 1 2 6 3 7 1 2 42 7 1 8 42 7 1 34 7 a) 108 9 9 3 4 7 9 9 3 12 9 9 12 12 9 9 12 9 84 34 118 59 108 108 108 54
151 35 1285 85 61265
3
11 4 3 5 5 5 4 2
1 b) 3 2
3
8 8 2 4 7 8 7 40 24 7 16 7 c) 4 2 4 2 4 2 4 2 15 9 3 5 2 9 2 45 45 2 45 2 32 7 64 1260 64 1324 4 4 45 2 315 315 315 315
140 1 34 25 1180 140 1 34 1140 140 1 4420
4 3 2 3 6 d) 1 10 4 5 2 5
4 2 8 1 10 40 400 50
15 e) 8 2
2
34 78 176 18 2312 176 18 2312 1342
3 9 7 1 2 4 8 16 2
2
32 8 1 35 140 35 8 32 13
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1.45 Expresa los números decimales en forma de fracción y luego haz los cálculos. v 1,52 w v 13,2 4,5 8,16 w a) 0,42 3,1 10,8 8 c) 19,85 v 3,8 7,2 v) v (0,503 w 4,96 w) b) 7,16 (1,17 2 d) 2,84 5,1 108 10 152 1 1302 98 151 42 31 w a) 0,42 3,1 10,8v 1,52 9 99 1000 9 99 100 10 128 898 1 078 000 15 100 934 002 167 001 99 000 99 000 99 000 99 000 49 500
716 17 1 38 72 7 716 16 38 65 716 16 2470 b) 7,16 (1,17v 3,8 7,2v) 100 9 10 9 100 9 10 9 100 9 10
716 160 22 230 716 22 390 6444 223 900 217 456 54 364 100 90 90 100 90 900 900 900 225 1985 198 132 45 816 8 1787 5940 808 w c) 19,85v 13,2 4,5 8,16 90 10 10 99 90 100 99 196 570 588 060 80 800 310 690 31 069 9900 9900 9900 9900 990 284 51 5 503 496 4 284 46 503 492 w 4,96 w) d) 2,84 5,1v (0,503 100 9 999 99 100 9 999 99
5533 13 064 54 612 13 064 49 079 1 306 415 951 144 4 907 900 20 659 044 5 164 761 10 989 900 10 989 900 10 989 1 098 900 1 098 900 1 098 900 274 725
C U E S T I O N E S
PA R A
A C L A R A R S E
1.46 Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, ¿cuántos puntos se dibujan sobre ella? Como conclusión al resultado anterior, y teniendo en cuenta que un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí, ¿cuántos puntos de la recta se necesitan para representar un número racional? Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, solo se dibuja un punto sobre ella. Para representar un número racional, solo es necesario un punto de la recta. 1.47 Para decir la hora que es cuando han pasado 15 minutos de la hora en punto se utiliza un valor fraccionario. Por ejemplo, se dice “las ocho y cuarto” en lugar de “las 8 y 15”. Explica si es correcta la fracción utilizada. 15 1 Sí, porque 15 minutos de una hora equivalen a la fracción . 60 4 1.48 Escribe: a) Un número racional que no sea entero.
c) Un número entero que no sea racional.
b) Un número racional que sea entero.
d) Un número decimal que no sea racional.
8 a) 7 36 b) 4
c) Es imposible: todos los números enteros son racionales. d) 1,320332033320…
1.49 Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad. b) Un número racional es una fracción. c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria. d) Los números enteros también son racionales. 9 a) Falso: representa una cantidad mayor que 1. 5 14
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18 b) Falso: los números racionales también son enteros. Por ejemplo, . 9 c) Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar en forma fraccionaria. Por ejemplo, 0,12349873412… d) Verdadero.
1.50 ¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia? Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción. w. El primero es exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es periódico puro, 3,14
1.51 Al operar con números racionales, ¿se obtiene siempre otro número racional? En caso contrario, pon un ejemplo. Sí, porque al operar con números racionales o se obtiene una fracción o un entero que son números racionales.
1.52 Utiliza ejemplos para estudiar si el resultado de la multiplicación o la división de dos fracciones es distinto si se realiza en la forma habitual o reduciendo previamente las fracciones a denominador común. ¿Qué conclusión obtienes? 6 8 48 16 . Es el resultado de la multiplicación sin reducirlas a denominador común. 9 3 27 9 6 8 6 24 144 16 . Es el resultado reduciéndolas previamente a denominador común. 9 3 9 9 81 9 7 1 21 . Es el resultado de la división sin reducirlas a denominador común. 16 3 16 7 1 21 16 1008 63 21 . Es el resultado de la división reduciéndolas a denominador común. 16 3 48 48 768 48 16 El resultado es el mismo, pero al reducirlas a denominador común, el numerador y el denominador de las fracciones son números más grandes que hay que simplificar, y el ejercicio resulta más laborioso.
P R O B L E M A S
PA R A
A P L I C A R
1.53 En un grupo de 3.o de ESO de 28 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no ha nacido en España. ¿Qué fracción del total representan? Hay 28 7 21 chicos. 1 21 3 de de los chicos no han nacido en España. 8 28 32
1 3 1.54 Javier ha cortado —— de una baguette para hacer un bocadillo y con los —— del resto ha preparado unas 3 4 rebanadas. Ha sobrado un trozo de 4 centímetros. ¿Cuánto medía la baguette? 1 2 1 de la barra quedan después de hacer el bocadillo. 3 3 3 2 1 utiliza para las rebanadas. 4 3 2 1 1 6 2 3 1 Queda: 1 , que equivale a 4 cm. 3 2 6 6 6 6 Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 4 24 cm 15
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1.55 En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción. La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.o de ESO en cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente. Matemáticas A
Matemáticas B
Instituto antiguo
120
60
Instituto nuevo
90
30
¿En cuál de los centros, el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de alumnos matriculados en 4.o de ESO es mayor? 120 12 4 En el instituto antiguo: es la fracción de alumnos matriculados en la opción A. 180 18 6 90 9 3 En el instituto nuevo: 120 12 4 Hay que comparar las fracciones obtenidas. 4 16 3 18 18 16 3 4 ; ⇒ ⇒ 6 24 4 24 24 24 4 6 Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo. 1.56 Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas y se ha comprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. Aunque los efectos secundarios deberían ser nulos, este tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se manifiestan es inferior a un 0,01%. Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado? 15 Produce dolor de cabeza en , que equivale a un porcentaje del 0,0487%. 320 Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado. 1.57 El consumo de un televisor encendido es de 45 vatios a la hora. Si se apaga con el mando a distancia, su consumo se reduce a 15. Si a lo largo de un día, el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando: a) ¿Qué gasto total de energía se produce? b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente? c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se produciría en ese caso? a) 4 45 20 15 400 W se gastan en un día. b) 20 15 300 W se podrían ahorrar. 300 3 c) La fracción: 400 4 El porcentaje: 75% 1.58 En un invernadero se han sembrado 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines. Se sabe que se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientos y 6 de cada 11 de calabacines. a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente? b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan? c) Si en este invernadero se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de calabacines, ¿en cuál de ellas se ha dado un aumento de producción superior a la media? ¿En qué porcentaje ha aumentado? 1 2 6 a) Hay que comparar las fracciones , y . 60 25 11 1800 1 55 2 264 6 ; ; 3300 60 3300 25 3300 11 Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más 16
1800 55 264 1 2 6 ⇒ 3300 3300 3300 60 25 11 resistentes.
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59 b) 500 491,67 491 plantas de tomates 60 23 400 368 de pimientos 25 5 350 159,09 159 de calabacines 11 c) En los calabacines. El número de plantas que ha aumentado la producción es: 359 159 200. Se ha producido un aumento del 100%. 3 1.59 De los habitantes de una población, la cuarta parte son personas mayores de 60 años; las —— partes del 5 resto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años. a) ¿Qué fracción de la población tiene entre 8 y 25 años? b) ¿Qué porcentaje de la población representan los mayores de 60 años? c) Si el total de habitantes es 8640, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo poblacional?
1 3 3 1 1 9 1 60 15 27 10 8 2 a) 1 1 1 es la fracción de población 4 5 4 6 4 20 6 60 60 60 60 60 15 que tiene entre 8 y 25 años. 1 b) 100 25% 4 1 c) 8640 2160 son mayores de 60 años. 4 3 8640 5184 tienen entre 25 y 60 años. 5 2 8640 3456 tienen entre 8 y 25 años. 15 1 8640 1080 son niños menores de 8 años. 8 El mayor grupo poblacional es el de las personas entre 25 y 60 años.
R E F U E R Z O
Números fraccionarios. Números racionales 18 1.60 Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a ——? 24 90 a) —— 120
3 b) —— 4
72 c) —— 98
6 d) —— 9
9 e) —— 12
18 90 a) ⇔ 18 120 24 90 ⇔ 2160 2160. Es equivalente. 24 120 18 3 b) ⇔ 18 4 24 3 ⇔ 72 72. Es equivalente. 24 4 18 72 c) ⇔ 18 98 24 72 ⇔ 1764 1728. No es equivalente. 24 98 18 6 d) ⇔ 18 9 24 6 ⇔ 162 144. No es equivalente. 24 9 9 18 e) ⇔ 18 12 24 9 ⇔ 216 216. Es equivalente. 12 24 17
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1.61 Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación. 5 13 9 a) —— b) —— c) —— 12 18 4 10 15 20 5 a) 24 36 48 12
13 26 39 52 b) 18 36 54 72
1.62 Calcula la fracción irreducible de: 280 63 a) —— b) —— 490 42 280 28 4 a) 490 49 7
9 18 27 36 c) 4 8 12 16
360 c) —— 135
63 9 3 b) 42 6 2
360 72 8 c) 136 27 3
1.63 Indica cuáles de los siguientes números son racionales. a) 82,45364635…
b) 6
c) 2,1919…
Los números de los apartados b y c, porque el primero de ellos es entero y el segundo es decimal periódico puro, y los dos se pueden expresar en forma de fracción.
Fracciones y decimales 1.64 Calcula el valor decimal de las siguientes fracciones indicando, cuando existan, el período y el anteperíodo. 25 17 28 16 a) —— b) —— c) —— d) —— 9 8 13 25 25 a) 2,7v7. Período: 7 9 17 b) 2,125 8
28 w. Período: 153846 c) 2,153846 13 16 d) 0,64 25
1.65 Sin realizar la división, indica el tipo de expresión decimal al que equivale cada fracción. 37 37 12 48 a) —— b) —— c) —— d) —— 20 35 27 64 a) Exacto, porque los factores del denominador son 2 y 5. b) Periódico mixto, porque los factores del denominador son 5 y 7. c) Periódico puro, porque el denominador no tiene ni el factor 2 ni el 5. d) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2. 1.66 Halla la fracción a la que equivalen las siguientes expresiones decimales. v v b) 8,49 c) 30,805 a) 12,160 12 160 12 12 148 a) 12,160 999 999 849 84 765 153 17 b) 8,49 90 90 18 2
v d) 17,89
30 805 6161 c) 30,805 1000 200 1789 17 1772 v d) 17,89 99 99
Comparación, ordenación y representación de números racionales 1.67 Compara los siguientes números racionales. 9 9 3 1 a) —— y —— b) —— y —— 8 4 40 56 9 9 a) 8 4
18
3 1 b) 40 56
16 8 c) —— y —— 27 27
13 16 d) —— y —— 21 49
16 8 c) 27 27
13 91 16 48 d) y 21 147 49 147 91 48 13 16 ⇒ 147 147 21 49
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1.68 Ordena de forma creciente los siguientes números racionales. 29 29 29 29 18 3 12 7 a) ——, ——, ——, —— b) ——, ——, ——, —— 5 36 15 43 45 45 45 45
9 7 5 11 c) ——, ——, ——, —— 16 12 8 36
29 29 29 29 a) 36 43 15 5 3 12 7 18 b) 45 45 45 45 9 81 7 84 5 44 44 81 84 90 11 90 c) , , , ⇒ 16 144 12 144 144 144 144 144 8 144 36 144 11 5 9 7 36 8 16 12 2 9 15 7 1.69 Representa en la recta numérica los números: ——, ——, ——, —— . 5 10 8 3 15 –– 8 –2
2 –– 5 –1
0
–1
0
9 – 10
7 – 3 0
1
0
1
2
3
Operaciones con números racionales 1.70 Calcula las siguientes potencias.
5 b) —— 8
811
5 b) 8
1 a) —— 9 1 a) 9
2
2
3 c) —— 4
152454
c)
3
3
6 d) —— 7
43 28516
6 d) 7
2
4
2
4
4396
7 6
2
1.71 Opera y simplifica.
18 3 6 a) —— 1 —— —— 5 4 25 11 b) —— 10
—16—5 —95— —14—
7 1 3 5 c) —— —— —— —— 8 8 2 3
8 5 1 f) —— —— : —— 1 3 3 4
5 7 d) 1 —— : 2 —— 6 9
7 4 1 5 e) —— —— —— : —— 2 6 3 9
6 75 24 49 49 18 3 18 100 18 360 409 a) 1 25 100 100 100 100 5 4 5 100 5 100 100 11 b) 10
165 95 14 1110 165 2175 14 1110 2115 14 1110 75 14
11 28 11 33 22 33 55 11 5 10 20 10 20 20 20 20 4 20 3 9 7 1 3 5 7 5 42 80 29 c) 16 48 8 8 2 3 8 3 48 48 48
5 7 5 18 7 5 11 45 66 45 21 7 d) 1 2 1 1 1 6 9 6 9 9 6 9 66 66 66 66 11
7 4 1 5 7 4 9 7 2 3 7 10 9 7 1 105 2 103 e) 2 6 3 9 2 6 15 2 3 5 2 15 15 2 15 30 30 30 8 5 1 8 5 5 8 20 60 f) 1 4 3 3 4 3 3 4 3 15 15
19
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A M P L I A C I Ó N
1.72 Representa en la recta real los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma fraccionaria, y luego ordénalos de menor a mayor. 17 20 v, 2,35 v, —— ——, 3,16 5 9 17 – 5 0
1
0
1
2
3
–1
0
4 3,16 3
2
–2,35 –2
–3
20 –– 9
4
–3
–2
0
–1
1.73 Expresa como una única potencia:
7 a) —— 8
4
3 2
7 —— 8
7 a) 8
4
7 8
2
b) c)
3 2
8 : —— 7
b)
6
4
2
5
1
6
7 8
1
7 8
7 8
4 —— 9
4 : —— 9
5
2 c) —— 3
4
1
:
3 —— 2
6
2 —— 3
11
6
5
18
49 49 49 49 2
6
4
8 7 7 8
94 49 49 2 3
9 —— 4
5
13
49
4 9
3
6
3 2
2 3
4
3 2
3 2
6
2 3
3 2
4
3 2
7
3 2
1.74 Realiza las siguientes operaciones con números racionales y simplifica el resultado.
3
2 a) —— 1 3
8 4 1 —— —— —— : 5 6 6
7 —— 2
2
: —32— 2
5 1 2 b) —— —— —— 4 3 6
2
11 3 c) —— —— 2 6 4
3
2 a) 1 3
3
2
1 9 —— 2 —— 4 5
9 1 —— —— 12 2
1 3 1 : —— —— —— 3 5 12
8 4 1 5 6 6
7 2
2
3
1 9 2 4 5
1 3
32 1 49 1 1 30 6 4 4 5
1 32 1 49 1 1 32 1 246 1 16 5 205 5904 75 27 30 6 4 20 27 30 6 20 27 15 369 5535 5535 5535 5624 5535
2
32 2 112 92 54 13 346 12 294 54 217 18 294
5 1 2 b) 4 3 6
3
135 4 39 131 1 131 108 24 108 2 108
36 5 11 6 1 29 25 1 29 161 34 2 13 35 112 161 32 13 60 6 3 60 36 3 60 2
c)
3
2
25 1 29 75 29 375 288 8 87 36 3 60 36 60 180 180 5 180 20
2
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9 x 25 1.75 Las fracciones ——, —— y —— representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la fracción irreducix 36 y ble que lo representa. 9 x Han de ser equivalentes: ⇔ x 2 9 36 ⇔ x 12 x 36 9 25 100 ⇔ 9y 12 25 ⇔ y 12 y 3
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
1.76 El tiempo libre Eugenia quiere saber cuánto tiempo diario debe reservar para sus aficiones. Para ello, ha fijado los siguientes criterios y prioridades: 1.o La tercera parte del tiempo la quiere dedicar a escuchar música. 2.o Las dos quintas partes del tiempo libre que le quede desea emplearlas en entrenarse en natación. 3.o La mitad de lo que le falte piensa destinarla a navegar por internet. 4.o Por último, lo que le reste desea aprovecharlo en la lectura, que, por otra parte, piensa que debe ser exactamente una hora. a) Calcula el tiempo total que debe dedicar a las actividades indicadas. b) Halla el tiempo empleado en cada actividad. c) ¿Qué parte del tiempo libre aprovechará para la lectura? Se pueden representar las actividades en diferentes zonas de un rectángulo: Los tres últimos rectángulos pequeños se corresponden con una hora. M Ú S I C A
Por tanto, cada rectángulo representa 20 minutos.
NATACIÓN
a) 20 15 300 minutos 5 horas
INTERNET
b) Música: 100 minutos Natación: 80 minutos Internet: 60 minutos 3 1 c) Dedica a la lectura: de su tiempo libre. 15 5
LECTURA
1.77 Situación de números racionales a) Indica, mediante fracciones irreducibles, los valores de A, B y C.
r
b) Mediante una fracción irreducible, indica un número racional que esté entre A y B. c) Indica el número racional que se encuentra exactamente a medio camino entre los números A y 1. d) ¿Es B el valor correspondiente al punto intermedio entre A y C? 3 1 a) A 9 3
7 B 9
12 4 C 9 3
4 b) Por ejemplo, 9 1 4 1 2 3 3 c) 2 2 3 1 4 5 5 7 3 3 3 d) 2 2 6 9 B no es el punto intermedio entre A y C.
0
A
B
1
C
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A U T O E VA L U A C I Ó N
1.A1 Para cada apartado, calcula cinco fracciones que representen el mismo número racional dado. 75 a) —— 40
56 b) —— 64
150 c) —— 324
610 d) —— 425
75 15 30 45 60 150 a) 40 8 16 24 48 80
150 75 25 50 100 300 c) 324 162 54 108 216 648
56 28 14 7 21 35 b) 64 32 16 4 12 20
610 122 244 366 488 1220 d) 425 85 170 255 340 850
1.A2 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. 37 37 37 37 a) ——, ——, ——, —— 15 3 16 8 14 9 13 16 b) ——, ——, ——, —— 23 23 23 23 8 3 5 12 c) ——, ——, ——, —— 10 20 16 8 37 37 37 37 a) 3 16 15 8 9 14 13 16 b) 23 23 23 23 8 32 3 6 5 50 12 86 c) ; ; ; 20 80 16 80 8 80 10 80 6 3 8 86 50 32 12 5 ⇒ 80 16 20 80 80 80 10 8 1.A3 Indica, sin hallarlo, el tipo de número decimal al que equivalen las siguientes fracciones. 35 a) —— 24
15 c) —— 27
1 b) —— 25
7 d) —— 40
a) Periódico mixto porque el denominador tiene el factor 3 además del 2. b) Exacto porque el denominador sólo tiene el factor 5. c) Periódico puro porque el denominador sólo tiene el factor 3. d) Exacto porque el denominador tiene los factores 2 y 5.
1.A4 Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes. v b) 8,340
a) 5,72
v c) 16,09
572 143 a) 5,72 100 25 8340 8 8332 v b) 8,340 999 999 1609 160 1449 161 c) 16,09v 90 90 10 1.A5 Halla el resultado de las siguientes potencias.
3 a) 4 22
6 b) —— 7
5
3 a) —— 4
5
243 1024
6 b) 7
2
2
36 49
c)
9 8
3
4
3
9 c) —— 8
4 d) —— 5 729 512
4
4 d) 5
5 4 625 4 256
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1.A6 Opera y simplifica. 1 17 5 a) —— —— —— 1 49 2 49
3 7 2 2 b) —— 1 —— —— —— 2 5 5 15
13 3 1 c) —— —— 1 —— 16 2 16
2
2
: —13— —34— —12— 1
5 d) —— 4
2
1 1 e) —— —— 4 2
4 7 —— —— 3 4
5 1 7 1 2 f) —— —— —— —— : —— 9 8 2 3 5
4 1 g) —— —— 3 3
2
5 3 1 —— 2 —— : —— 6 2 9
17 1 5 17 5 34 5 98 127 a) 1 1 49 49 2 49 98 98 98 98 98
125 1 2110 25 125 1 2110 140 125 1 1170
2 3 7 2 b) 1 15 2 5 5
2 7 4 21 25 5 15 10 30 30 30 6
136 116 245 136 2654 1624 2654 1634
13 1 3 c) 1 16 16 2
2
2
13 34 12 1 1265 152 12 1265 254 318245
5 d) 4
1 1 e) 4 2
2
73 116 73 14185
4 7 1 3 4 4
2
5 1 7 1 2 5 1 7 5 5 1 16 5 1 2 f) 9 8 2 3 5 9 8 2 6 9 8 6 9 3 9
56 2 32 19 43 19 56 2 227 43 19 56 223 43 19 11125
4 1 g) 3 3
2
48 4 345 397 36 36 36 36
M AT E T I E M P O S
Acercarse a un número Elige dos números de dos y tres cifras decimales respectivamente. Multiplica, en tu calculadora, el primero de ellos por un número, de tal forma, que el resultado se aproxime al segundo. Si no lo consigues, no borres el resultado y vuelve a intentarlo partiendo ahora de ese nuevo número. Solución: La actividad tiene por finalidad trabajar el concepto de multiplicación por números mayores y menores que uno. El primer obstáculo que se presenta es que quieren borrar el resultado porque se pasaron del número, y es difícil que comprendan que existe un número (menor que uno) que con la multiplicación se obtiene un valor menor. Otro concepto importante es que al multiplicar por 1,1, el número se incrementa un 10%, y si, por el contrario, se multiplica por 0,9, el número disminuye un 10%. Se puede ampliar la actividad acercándose a un número con la división. 23