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Trigonometría Ejercicios resueltos PSU INTRODUCCIÓN

El presente trabajo es una recopilación en su muy amplia mayoría, de ejercicios PSU (Prueba de Selección Universitaria) propuestos –de los cuáles muchas veces el alumno se desazona por el hecho de no saber resolverlos. Es por ello que nace la idea de comentar por escrito el desarrollo y solución de los ejercicios. De este modo se pretende ayudar a internalizar los contenidos que van participando en cada solución. Este trabajo no tiene la altura para reemplazar clases presenciales de esta materia. Por lo tanto, será más útil para aquel alumno que sí haya asistido, visto y prestado atención en aula, de nociones de trigonometría para la educación media – secundaria. Al igual que otros trabajos similares, este puede ser consultado por profesores, dado que, en mi experiencia, “la formación universitaria como docente ha sido más orientada a contenidos de educación superior en lugar de las necesidades prácticas de la educación básica y media. Como son estas el de trabajar directamente en sus contenidos, elaborando guías e instrumentos de evaluación, que podría haber sucedido desde los primeros semestres de la carrera, de manera conjunta y graduada con los estudios superiores”. Para su presentación, he subdividido los ejercicios según su solución, en los siguientes ítems:

I. Introducción………………………………………………………………………pág. 2. II. Razones o funciones trigonométricas. ii.1) La razón seno……………………………………………………………pág. 4. ii.2) La razón coseno…………………………………………………::….…pág. 6. ii.3) La razón tangente……………………………………….……………..pág. 8. ii.4) Doble tangentes………………………………………………………..pág. 15. ii.5) Combinación de razones trigonométricas…………………….pág. 18. ii.5.1) con teorema de Pitágoras…………..……………….…pág. 23. ii.5.2) con tríos Pitagóricos……………………………………..pág. 27. III. Identidades trigonométricas………………………………………………..pág. 33. IV. Ecuaciones trigonométricas…………………………………………………pág. 41. V. Cálculo de áreas………………………………………………………………….pág. 44. VI. Insuficiencia de datos…………………………………………….……………pág.48.

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Trigonometría I. Introducción. 1. Definición Rama de la geometría que estudia en triángulos, las relaciones entre sus lados y ángulos. Aunque se estudia comúnmente en triángulos rectángulos, hay relaciones válidas para triángulos no rectángulos, como las que verán en el último problema resuelto y en el primer ejercicio propuesto de la guía de ejercicios.

2. Razones trigonométricas en el ∆ (triángulo) rectángulo Las relaciones entre los lados del ∆ rectángulo (catetos e hipotenusa) y los ángulos se denominan razones trigonométricas. Por ejemplo: Sea el ∆ ABC, rectángulo en C. Las relaciones mas importantes que hallamos entre los lados del ∆ se definen como:

cateto opuesto a  hipotenusa c cateto adyacente b cos    hipotenusa c cateto opuesto a tg   cateto adyacente b sen 

Así, en el ∆ rectángulo ABC de la segunda figura, tenemos: 3 4 sen   0.6, sen   0.8, 5 5 4 3 cos    0.8, cos    0.6, 5 5 3 4 tg   0.75 , tg   1.33 4 3

3. Tabla de valores, de las principales funciones trigonométricas en ángulos notables ángulo 

sen 

0º

0

30º

1 1  2 2

2 2 3 2

45º 60º 90º

4 2  1 2 2

cos 

tg 

4 2  1 2 2 3 2

1 3  3 3

2 2

1

1 1  2 2 0

0

3  3 1 no existe

Es importante que noten como aumenta la cantidad subradical en el numerador de la razón sen α y como los valores de cosα se obtienen invirtiendo el orden de los valores en la tabla de sen α. Para ángulos complementarios, los valores de seno y coseno son iguales. cos 0º = sen 90º; cos 30º = sen 60º, cos 45º = sen 45º, cos 60º = sen 30º, cos 90º = sen 0º.

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] Es importante hacer notar que tg  

sen  para cualquier medida de  . cos 

Otras funciones trigonométricas, aunque menos usadas, son las funciones inversas de las mencionadas: hipotenusa c 1 cosec     cateto opuesto a sen  hipotenusa c 1 sec     cateto adyacente b cos  cateto adyacente b 1 cotg     cateto opuesto a tg  Las funciones inversas entre sí para un mismo ángulo dado, al multiplicarse entre sí resultan igual al valor número 1.

cosec   sen  = 1 Ejemplos: cosec 30º  sen 30º = 1

sec   cos  = 1

cotg   tg  = 1

sec 60º  cos 60º = 1

cotg 10º  tg 10º = 1

Pasemos ahora a ver ejercicios y problemas de aplicación. Que es lo que más interesa al fin y al cabo…

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II.1. La función Seno. 1) En un triángulo ABC, calcular la base AB si BC = A) 6 m B) 2 6 m

2m

C) 2 2 m D) 6 3 m E)

6m

Solución: Notemos que la suma de los ángulos que nos proporcionan en la base es 90º, por lo que necesariamente debe haber un ángulo recto en el vértice C para que sumados con los ángulos agudos, resulte 180. Por lo tanto estamos en presencia de un triángulo rectángulo en C.

La razón trigonométrica que relaciona el valor que nos dan –en el cateto opuesto a – y la base que nos solicitan –hipotenusa– es seno. Así que aplicamos seno de 30º. cateto opuesto a 30º sen 30º = hipotenusa (lado más grande del triángulo rectángulo)

1 2m = 2 AB Haciendo producto cruzado: AB = 2 2 m. 2) El ABC es rectángulo en C, A) B) C) D) E)

Alternativa C).

c =10 cm., sen  =

2 . Entonces a = 5

4 4 2 2 21 9 116

Solución: Formando con la medida de seno de alfa un triángulo semejante al que nos dan, con la medida: sen  =

2 5

cateto opuesto 2 = hipotenusa 5

La gracia de los s semejantes es que podemos comparar dos lados homólogos – semejantes– entre sí y concluir la misma relación existente para el resto de lados homólogos –semejantes del . Así, al comparar notamos que: Lados A’B’C’ Lados  ABC A’B’ = 5 AB = 10  Lados A’B’C’ = mitad lados ABC B’C’ = 2

 BC = 4

Alternativa A). Parinacota, Quilicura.2013

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 3) El perímetro del rombo ABCD mide 40 cm. Si BD = 12, entonces sen  = A) B) C) D) E)

0,6 0,8 0,75 0,5 0,66

Solución: Primero recordemos que en un rombo, todos sus lados son iguales, por lo tanto: AB = BC = CD = DA = 10 cm. y las diagonales se dimidian perpendicularmente en la mitad. Esto es: si BD = 12 cm., entonces BO = OD = 6 cm., como muestra la figura: Donde O es el punto medio de la diagonal BD. cateto opuesto a  BO 6 cm y sen      0,6 hipotenusa DA 10 cm Recordemos que la división por 10 corre la coma decimal del número a dividir en un espacio. Alternativa A).

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II.2. La razón Coseno 4) Una escalera se encuentra apoyada contra un muro. La distancia entre el pie de la escalera y el muro es de 1,2 metros. ¿Cuánto mide la escalera si forma un ángulo de 60º con el suelo? 6 A) 3 [m] 5 B) 2 [m] C) 2,4 [m] D) 2,4 3 [m] E) 6 3 [m]

Solución: El ejercicio relaciona:  cateto adyacente a los 60º -pues hay un dato conocido ahí;  con la hipotenusa –donde está la incognita. La razón trigonométrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es la razón coseno. Pues bien, aplicamos su definición entonces: cateto adyacente (junto) a los 60º cos 60º = hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) Y por la tabla de valores para razones trigonométricas, cos 60º = ½ . Mientras que el cateto adyacente mide 1,2 [m] y la hipotenusa mide x. Estos valores simplemente, los reemplazamos en la igualdad de la definición de coseno. 1 1,2 [m] = 2 x Y despejamos el valor x por producto cruzado: x = 2,4 [m] Alternativa D).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 5) El triángulo equilátero ABC tiene un perímetro de 30 cm. Si el CD =  A) 5 3

ACD  30º , entonces

B) 10 3 C) 5 2 D) 10 2 E) 2 3

Solución: En todo triángulo equilátero:  Cada ángulo del vértice mide 60º.  su bisectriz coincide con la altura y dimidia al lado opuesto. CD es bisectriz y altura, pues ADC  90º y el triángulo ADC es rectángulo. Además, si su perímetro es de 30 cm.  AB = BC = CA = 10 cm y AD = 5 cm. Nos preguntan por CD , el cual es el cateto adyacente al ángulo de 30º, por lo que la razón trigonométrica apropiada para usar, por su definición es: cateto adyacente coseno = hipotenusa Ahora bien, coseno de un ángulo agudo, (esto es, menor de 90º) es igual al seno de su complemento. Señalo esto porque es conveniente aprenderse entre ambos, solo los de seno. Veamos numéricamente que significa. El complemento de 30º es 60º  cos 30º = seno 60º y por la tabla para senos: Grados 0º 30º 45º 60º 90º sen  0 0 1 1 2 3 4 2 = =0 = = =1 2 2 2 2 3 2 2 2 y esta a su vez se puede recordar fácilmente para que los ángulos notables. Notemos que los numeradores tienen el patrón de ir aumentando en uno la cantidad subradical –dentro de la raíz-, partiendo de 0: 0,

1,

2,

3,

4

mientras que todos los denominadores son un medio. Así que se puede hacer en cualquier momento esta tabla, sin aprenderse propiamente de memoria sus valores, solo el patrón en su construcción. Así,

cos 30º = sen 60º =

3 2

Y ahora usamos el dato de la medida del lado AB en el triángulo rectángulo ADC: cateto adyacente cos 30 = hipotenusa

3 CD = 2 AB 3 CD = 2 10 3 10 = CD 2 Alternativa A)

y ahora despejamos CD (simplificando a 10 y 2, por 2)

5 3 = CD Este ejercicio se puede resolver también por Pitágoras.

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II.3. La razón o función  trigonométrica tangente 6) En el triángulo ABC rectángulo en C, AC = 9 y tg  = 0,75. ¿Cuánto mide BC ? A) 9 B) 12 C) 15 D) 6,75 E) 11,25

Solución: Haremos la diferencia entre catetos e hipotenusa. Al primero lo señalaré como sinónimos de lados respecto al ángulo dado, mientras que a la hipotenusa, que siendo un lado más del triángulo, es uno muy particular, de tal modo que nunca me referiré a el como “lado” simplemente. Así que por lados me referiré casi exclusivamente a los catetos, no así a la hipotenusa –que como sabemos, es el lado opuesto al ángulo recto. Pero por “lado” no me referiré a ella. A la hipotenusa, aquel lado opuesto al ángulo recto, la excluyo en principio de ejercicios que incluyen a la tangente. Ahora, comencemos por la información que nos da el enunciado que nos sugiere recordar la definición de tangente y ver porque vale la pena olvidarse de la hipotenusa: cateto opuesto a  (lado opuesto a  ) tg  = cateto adyacente a  (lado cercano a  ) BC tg  = AC Reemplazando en la última igualdad los datos del enunciado BC 0,75 = 9 y despejando BC: BC = 9  0,75 = 6,75 Alternativa D). 7) La base de una torre a un punto de observación es de 50 m y el ángulo de elevación al extremo superior es de 30º. Hallar la altura h de la torre. A) 50 3 m

2 m 2 3 m C) 25 3 D) 50 2 m 3 m E) 50 3 B) 50

Solución: Tenemos datos en el cateto opuesto y el cateto adyacente. La función que relaciona a ambos catetos, respectivamente, es la función tangente. Así que empleamos tal razón trigonométrica. cateto opuesto a 30º tg 30º= cateto adyacente (cercano) a 30º

3 h = 3 50 m Efectuando producto cruzado en la última igualdad: 50 3 m = 3 h y despejando la altura h. 50 3 m=h Alternativa E). 3 Parinacota, Quilicura.2013

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 8) ¿Cuál es la altura de un árbol que proyecta una sombra de 5 m con un ángulo de inclinación de 60 m? A) 2 2 m B) 2 3 m C) 3 5 m D) 5 3 m E) 3 2 m

Solución: El ángulo dado ES LA REFERENCIA con la cual se llama a los lados (catetos) opuesto o adyacente según como se ubiquen tales lados, distintos a la hipotenusa, en respecto al ángulo. Aquí tenemos que solo hay datos en el lado opuesto y en el lado adyacente (cercano) al ángulo dado. La función o razón trigonométrica que relaciona al lado opuesto con el lado adyacente (cercano) al ángulo, es, por definición. la razón tangente. Así que usamos la razón tangente del ángulo de 60º. lado (cateto) opuesto al ángulo de 60º tg 60º= lado (cateto) adyacente al ángulo de 60º h tg 60º= 5m Y despejando h la altura, obtenemos: (*) tg 60º•5 m  h Y consultando en la tabla de valores para las principales funciones o razones trigonométricas, en particular, para la tangente: Grados tg 

0º 0

30º 3 3

45º 1

60º 3

90º No existe.

Se observa que tg 60º= 3 . Así que reemplazando este valor en la igualdad (*), nos queda: 3•5 m = h 5 3m= h Alternativa D).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 9) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuándo el ángulo de elevación del sol es de 45º? A) 10 m. B) 20 m. 20 C) 3 m. 3 D) 20 m E) 20 3 m

Solución: En relación al ángulo de 45º, los otros dos datos que hay son:  lado (cateto) opuesto al ángulo –que es la altura h del árbol;  y el lado (cateto) adyacente o cercano al ángulo, la sombra de 20 m. Por lo tanto hay que buscar aquella función o razón que relacione los lados opuesto y adyacente respectivamente. Y por definición, es la función tangente. Así, h tg 45º = Y despejando la altura h pedida. 20 m tg 45º• 20 m = h Y consultando la tabla de valores para tag 45º, su valor es uno. Así, la igualdad anterior nos queda: 1•20 m = h 20 m = h Alternativa B). Es decir, la misma distancia que la sombra del árbol. Hint.: En general en un triángulo rectángulo, si observamos un ángulo de 45º en él, ambos lados catetos serán SIEMPRE de igual medida entre sí. Si recuerda este dato: EN UN SEGUNDO OBTIENE LA RESPUESTA. 10) Determina el mínimo ángulo de inclinación  al partir del cuál el avión pueda despegar y sobrevolar el cerro. A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) Ninguna de las anteriores.

Solución: Tenemos datos en el lado o cateto opuesto y en el lado o cateto adyacente (cercano) a . Y la razón trigonométrica que relaciona a ambos lados es la tangente. cateto opuesto 1 20 3 m 3 donde hemos simplificado  20 m. tg = = = cateto adyacente 3 60 3 m De la tabla de ángulos notables para la razón trigonométrica tangente: Grados tg 

0º 0

30º 3 3

45º 1

El ángulo para el cuál la tangente toma el valor

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60º 3

90º No existe.

3 es 30º. Alternativa B). 3

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 11) El triángulo equilátero tiene 20 cm de lado. Entonces el radio r de la circunferencia inscrita en el es: A) 5 3 cm

5 3 cm 2 C) 10 cm. 10 3 D) cm 3 E) 10 3 cm B)

Solución: Lo que debemos saber de un triángulo equilátero:  En un triángulo equilátero, todos sus ángulos del vértice son iguales a 60º.  Cada una de las bisectrices, además de bisectar –dividir en dos ángulos iguales a cada ángulo del vértice– pasan por el centro de la circunferencia inscrita en el.  Las bisectrices también coinciden con las transversales de gravedad – dimidian al lado opuesto que interceptan.  Por otra parte, los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia. Esto es, los puntos de intercepción entre el triángulo y la circunferencia define ángulos rectos con el radio de la circunferencia.  El radio dimidia cada lado del triángulo. Esto es, intercepta cada lado en su punto medio. Con objeto de esclarecer toda esta información, se presenta la figura de la derecha, en relación al triángulo del enunciado. Nos piden el radio r de la circunferencia. El cual se halla sobre el ADo, rectángulo en D. Donde o es el radio de la circunferencia inscrita y D punto medio del lado AB. En tal , ADo rectángulo en D, hay señalados datos en el cateto opuesto y en el cateto adyacente al ángulo de 30º. Y la razón trigonométrica que relaciona a ambos catetos, conforme revisamos las definiciones de las razones trigonométricas, es la razón tangente. Así que aplicamos su definición aquí: cateto opuesto tg 30º= cateto adyacente r tg 30º= 10 cm Y despejando el valor del radio r, obtenemos: r =10 tg 30º cm Tenemos una expresión para el radio. El valor de la tangente de 30º lo podemos encontrar en la tabla de razones trigonométricas para ángulos notables. Su valor 3 es . Reemplazando este valor en la igualdad anterior: 3 10 3 r= cm Alternativa D). 3

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 12) En la siguiente figura se tiene que tag   0,3 . Entonces x = A) 8 B) 8 2 C) 12 D) 4 10 E) Otro valor.

Solución: Del enunciado:

tg  = 0.3 Y reemplazando tg  por su definición: cateto opuesto a  = 0.3 cateto adyacente (cercano) a  El lado opuesto a  mide 4:

4 = 0.3 CA Además, 0.3 es un número infinito periódico muy conocido e igual a

1 . 3

Reemplazando en la igualdad anterior, esta nos queda: 4 1 = CA 3 y resolviendo CA por medio del producto cruzado, CA = 12. El triángulo nos queda como se muestra en la derecha. Y para conocer la medida del tercer lado, x aplicamos Pitágoras: 42 +122 = x2 16 +144 = x2 160 = x2 

160  x

Es lo más común y usual reducir la cantidad subradical: x  160  16•10  4 10

pues 16  4

Alternativa D).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 13) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo? A) 181º B) 335º C) 85º D) 0,52º E) 258º

Solución: La función tangente, en el plano cartesiano, viene dada por tg  

y x

Es decir, se rige por la regla de los signos de la multiplicación y división. Para que la tangente sea negativa, x e y deben tener signos distintos en cada uno de los cuadrantes en los cuales se divide el plano cartesiano. Recordemos además, que cada cuadrante contiene 90º, como muestra la figura:

Los cuadrantes donde x e y son de distintos signos, son el II y el IV. Contándose en sentido contrario a las agujas del reloj. Los ángulos que contiene tales cuadrantes son, respectivamente: (90º, 180º] y (270º, 360º] Ahora veamos cuáles de los ángulos de las alternativas se halla en uno de estos intervalos. El ángulo es 335º, que se halla en el IV cuadrante. Alternativa B).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 14) El ángulo de inclinación de la recta: 3y – 3x – 5 = 0 es: A) 1º B) 30° C) 45° D) 60° E) 135º

Solución: El ángulo de inclinación  de una recta o pendiente en el plano cartesiano es fácil reconocerlo por la función tangente, viene dada por tag  

y x

Lo que debemos formar es el cuociente de los coeficientes de la recta que contienen a y e x respectivamente. En la recta dada, ambas variables, x e y, tienen coeficiente numérico –valor que los acompaña– igual a 3. Así que reemplazamos en la fórmula tg  

y los valores x

de x e y por 3: Así: tg  

y 3  1 x 3

Ahora buscamos en la tabla de valores para razones trigonométricas, dado en la introducción, para que valor de la tangente, esta vale 1. En este caso, solo he resumido la tabla para los valores de la tangente. Grados tg 

0º 0

30º 3 3

45º 1

60º 3

90º No existe.

Y observamos que la tangente de un ángulo mide 1 si el ángulo es 45º. Por lo tanto, el ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano es de 45º. Alternativa C). Para el ejercicio no es necesario graficar la recta 3y – 3x – 5 = 0. Solo porque me encanta ver que todo calza, veremos a continuación su gráfica.

En ella se puede observar los 45º grados de inclinación que forma la recta con respecto al eje X, que es el con el cual se relaciona la función tangente.

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II.4. Doble tangentes 15) Los ángulos de depresión desde un punto A ubicado sobre el techo de un edificio y un punto B situado en una ventana, 15 metros directamente bajo A, son 30 y 60º respectivamente. ¿Cuál es la altura h del edificio? A) B) C) D) E)

17,5 m 30 m 22,5 m No se puede determinar. Ninguna de las anteriores.

Solución: El mecanismo o procedimiento a utilizar en este ejercicio de doble tangente es extraer una igualdad en cada una de las tangentes y luego dividirlas entre sí, como se muestra a continuación: De la tabla de valores para la tangente: Grados 0º 30º 45º 60º tg  0 1 3 3

90º No existe.

3

tg 30º =

3 cateto opuesto a 30º 3  = 3 cateto adyacente a 30º 3 

BC 3 = BA 3



BC 3 = h 3

 3BC = h 3

cateto opuesto a 60º = 3 cateto adyacente a 60º BC BC  = 3  = 3  BC =  h  15 3 BD h  15

(*)

tg 60º = 3 

(**)

(Note en la figura que BD + 15 m = h  BD = h – 15 m) De cada una de las tangentes hemos obtenido una expresión de igualdad (*) y (**). Dividiéndolas entre sí lado, nos queda: (*) 3BC h 3  = (**) BC  h 15 3 Simplificando en el lado izquierdo por BC y en el lado derecho por queda: 3 h = 1  h 15 Haciendo producto cruzado:

3 nos

3  h  15 = h

y resolviendo la ecuación para h: 3h  45 = h  3h  h = 45 m  2 h = 45 m  h = 22,5 m Parinacota, Quilicura.2013

Alternativa C). 15

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 16) Al situarse a cierta distancia de la base de un árbol se ve la cima de éste con un ángulo de elevación de 60º. ¿Con qué ángulo de elevación se verá la cima del árbol a una distancia igual al triple que la inicial? A) B) C) D) E)

15º 20º 30º 45º 60º

Solución: Como tenemos dos ángulos, al igual que en el ejercicio anterior, es conveniente considerar la función tangente para cada uno. h d h  3= d d 3=h tg 60º=

h 3d x = h

tg  x  =  3d tg 

(**)

(*)

Notemos que tenemos tres incógnitas d, h y x y dos igualdades o ecuaciones. En problemas con dos tangentes suele ser común que las incógnitas superen el número de ecuaciones. Un procedimiento típico y muy conveniente es dividir lado a lado las expresiones (ecuaciones) obtenidas entre sí. Esto hará desaparecer un par incógnitas d y h.

*  d 3 = h ** 3d tg  x  h Simplificando por d en el lado izquierdo y dividiendo por h en el lado derecho:



3

3 tg  x 

=1

3 = tg  x  3 De la tabla: Grados tg 

Y despejando tg  x al lado derecho :



0º 0

30º 3 3

45º 1

60º 3

90º No existe.

3 . El ángulo que tiene tal 3 tangente es 30º. Por lo tanto, el ángulo buscado es 30º.

El valor del ángulo para el cual tangente es igual a

Alternativa C).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 17) Un joven quiere medir la altura de un árbol desde su casa. Al medir desde el pie de su casa encuentra que él ángulo de elevación del árbol es 45º. Se sube luego al techo, que está a seis metros del suelo y halla que el ángulo de elevación ahora es 30º. ¿Cuál es la altura del árbol? A) 18  3 m B) 3  3 m





C) 3 3  3 m D) 3  3 m





E) 3 3  3 m

Solución:  Sea h la altura del árbol.  Sea d la distancia de la base del árbol a la casa. Datos que nos dan:  Desde el pie de la casa, el ángulo de elevación son 45º.  La altura de donde se registran los 30º desde el techo es 6 metros menos que la altura h del árbol. Esto es: (h – 6) [m] Apliquemos ahora tangentes para ambos ángulos de elevación: cateto opuesto a los 45º tg45º= cateto adyacente (cercano) a los 45º h 1= d h Donde aplicamos tg 45º = 1 (*) d Concluimos que la distancia desde el pie de la casa al árbol es la misma que la altura del árbol. Por otra parte: cateto opuesto a los 30º tg30º= cateto adyacente (cercano) a los 30º 3 h 6 = 3 d

3 3

Donde aplicando tg 30º =

Hacemos producto cruzado: 3 d = 3 h  6

(**)

De (*) se obtuvo que d = h. Reemplazando en la igualdad de arriba: 3 h = 3 h  6 

3 h = 3h  18 18 = 3h  3h 18 =h 3 3 Racionalizando el denominador:









3 18 3+ 3 18 3+ 3 18 3+ 3 h= • = =  3 3+ 3 m 61 3  3 3+ 3 32  3 2 9

 





3 6

Alternativa E)

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II.5. Combinación de razones trigonométricas 18) ¿Cuál es el valor de sen 30º + cos 60º? A) 0 1 B) 2 C) 1 2 D) 2 E) 1

Solución: Para ángulos complementarios entre sí: coseno de un ángulo = seno del complemento de tal ángulo. Así, como 30º y 60º son ángulos complementarios entre sí:  cos 60º = sen 30º y la suma del enunciado se modifica y es igual a: sen 30º + cos 60º = sen 30º + sen 30º y sen 30º = ½

= 2 sen 30º = 2½ =

2 =1 2

Alternativa E) 19) El valor de sen 2 45º  cos2 30º es: 2 2 3 A)



B)

5 4 5 4

C)

D)





2 3



2

4

E) N.A.

Solución: Consultando la tabla dada en la introducción de este trabajo, de valores para funciones - o razones- trigonométricas para ángulos notables, se observará que: sen 45º =

2 2

y

cos 30º =

3 2

Por lo tanto,

2 2  2  3 2 2 sen 45º + cos 30º=   +    2   2  2 3 5 = + = 4 4 4 Alternativa B).

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18

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 19) Si x = 30º, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? 1 3 I. sen 2x  II. cos 2x  III. sen 2x = 2 sen x 2 2 A) Solo I. B) Solo II. C) Solo III. D) Solo I y II. E) I, II y III.

Solución: Si x = 30º  sen 2x = 60º Observando la tabla de valores para razones trigonométricas: ángulo 

sen 

cos 

0º

0

30º

1 1 = 2 2

45º

2 2

60º

3 2

4 2 = =1 2 2 3 2 2 2 1 1 = 2 2

90º

4 2 = =1 2 2

0

tg 

0

1 3 = 3 3 1

3 = 3 1 no existe

Y observando cada una de las aseveraciones I, II y III, tenemos: 3 I. sen 2x = sen 60º = I. Es verdadera. 2 1 II. cos 2x = cos 60º = II. Es verdadera. 2 3 III. como vimos en I: sen 2x = 2 En cambio: 1 2 sen x = 2 sen 30º = 2 = 1 por lo tanto, III. Es falsa. 2 Luego, solo I y II son verdaderas. Alternativa D).

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19

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 20) En el triángulo ABC, rectángulo en C, tg  = 1. Entonces sen  = A) 1 1 B) 2 3 C) 2 D) 2 2 E) 2

Solución: El valor tg  = 1 es un valor muy conocido. ¿Para que ángulo ? La tabla de valores para razones trigonométricas ángulo 

sen 

cos 

0º

0

30º

1 1 = 2 2

4 2 = =1 2 2 3 2

60º

2 2 3 2

2 2 1 1 = 2 2

90º

4 2 = =1 2 2

0

45º

tg  0

1 3 = 3 3 1

3 = 3 1 no existe

Nos muestra que tg  = 1 cuando  = 45º  sen  = sen 45º =

2 2

Alternativa E). Nota: también se puede resolver este ejercicio usando teo. de Pitágoras. 21) De la figura se desprende que cotg   tg  = A) 1 1 B) 2 7 C) 12 21 D) 11 25 E) 12

Solución: cotg   tg cateto adyacente (cercano) a  cateto opuesto a  =  cateto opuesto a  cateto adyacente (cercano) a  8 cm 6 cm 4 3 4•4  3•3 16  9 7 =  =  = = = Alternativa C). 6 cm 8 cm 3 4 4•3 12 12

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

sen 22)

tg

 cos 30º

3



4



 cotg 45º

A) 1 B) 3

3 2 3 D) 4 3 E) 4 C)

Solución:



180º  cos 30º sen  cos 30º sen 60º  cos 30º 3 3 = =  180º tg 45º  cotg 45º tg  cotg 45º tg  cotg 45º 4 4 Como 30º y 60º son ángulos complementarios entre sí: cos 30º = sen 60º. sen2 60º = = sen2 60º tg 45º cotg 45º razones inversas entre sí 1 3 y sen 60º = . Con lo que la igualdad del enunciado se transforma en: 2 2  3 3 =   = 4  2  sen

Alternativa E).

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



23) ABCD es un cuadrado de lado 3 cm. Entonces, 2 sen 2  2 cos2  sen 2     A) B) C) D) E)

0 1 2 4 16

Solución: La única diferencia, por definición, entre seno y coseno radica en la medida de los catetos del triángulo rectángulo. cateto opuesto a  cateto adyacente (cercano) a  Pues sen  = y cos  = hipotenusa hipotenusa Pero en el triángulo rectángulo ABC, los catetos tienen igual medida entre sí, por lo tanto: sen  = cos 

 sen2  = cos2   0

trasladando sen2

= cos2   sen2 

formamos el paréntesis más interno igual a cero.

Reemplazando esta igualdad en el paréntesis más interno, la expresión del enunciado equivale a:          2 sen2 • 2  cos2  sen2   = 2•0 = 0    0    0     0

Donde se ha usado sucesivas multiplicaciones por cero al interior de los paréntesis, resultando finalmente igual a cero (propiedad absorbente del cero). Alternativa A) Note que en este ejercicio, el valor –propiamente tal– del lado del cuadrado es irrelevante. Lo único que fue relevante es que los catetos tienen igual medida al formar parte de un cuadrado. Lo que hacen que la diferencia entre ellos sea nula.

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II.5.1. Razones trigonométricas combinadas con teorema de Pitágoras 24) En el triángulo rectángulo de la figura, sen  = 13 A) 5 5 B) 13 13 C) 12 12 D) 13 119 E) 12

Solución: cateto opuesto a  x sen    hipotenusa 12 Donde por la figura, la hipotenusa –el lado que se opone al ángulo recto– y se observa que mide 12 unidades. En cambio se desconoce el valor del lado o (cateto) opuesto al ángulo . En la figura, sea x la medida desconocida del lado del triángulo. Por la definición de seno –que es lo que nos piden– es importante hallar su valor y reemplazarlo en la definición de arriba. Pues bien, si se tiene la medida de dos de los tres lados de un triángulo rectángulo, podemos aplicar Pitágoras, que dice: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos” Así que: 122 = 52 + x 2

144 = 25+ x 2 144  25  x 2

(despejamos x)

119 = x 2

(ahora sacamos raíz cuadrada)

 119 = x Luego, el cateto opuesto a , que inicialmente llamamos x, mide 119 . Ahora podemos completar la definición de seno dada inicialmente, conocido los valores que lo componen: cateto opuesto a  119 sen  = = hipotenusa

12

Alternativa E).

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23

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 25) En el triángulo rectángulo de la figura, cos  =

3 . Entonces tg  = 4

5 4 5 B) 3 3 C) 5 A)

7 3 E) Ninguna de las anteriores. D)

Solución: 3 cos  = 4 cateto adyacente  cercano al ángulo   3 = hipotenusa 4 De la figura se observa que el cateto adyacente b es exactamente 3. Por lo que la hipotenusa c ha de ser exacatamente igual a 4. Ahora bien, como tenemos dos de tres lados de un triángulo rectángulo, el tercero se puede hallar por teo. de Pitágoras. ¿Para qué? para que conocidas las medidas de todos los lados, hallar de entre las distintas razones trigonométricas que existen entre los lados, la solicitada tg . Así que, hallemos la medida del lado faltante a por teo. de Pitágoras: c2 = a2 + b2

 42 = a2 + 32 16 = a2 + 9 De donde:

16  9 = a2 7 = a2 7=a

y finalmente, aplicamos la definición de tangente: cateto opuesto a  a 7 tg  = = = cateto adyacente b 3 Alternativa D).

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24

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 26) El ABC es rectángulo en C, A) B) C) D) E)

c =10 cm., sen  =

2 . Entonces b = 5

4 4 2 2 21 9 116

Solución: Formando un triángulo semejante al que nos dan, con la medida: sen  =

2 5

cateto opuesto 2 = hipotenusa 5

La gracia de los s semejantes es que podemos comparar dos lados homólogos – semejantes- entre sí y concluir la misma relación existente para todos los lados semejantes. Así, al comparar los lados A’B’ y AB notamos que: Lados A’B’C’ Lados  ABC A’B’ = 5 AB = 10  Lados A’B’C’ = mitad lados ABC O bien Lados ABC = doble lados A’B’C’ B’C’ = a’ = 2  BC = a = 4 Ahora tenemos dos medidas del triángulo ABC. Para hallar el tercer lado, aplicamos Pitágoras: c2 = a2 + b2

 102 = 42 + b2 100 =16 + b2  b2 =100 16 = 84  b = 84 = 4•21 = 2 21 Alternativa C)

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25

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 27) Si  es un ángulo agudo y sen  

5 entonces, cuál de las siguientes afirmaciones es 7

verdadera: I. A) B) C) D) E)

cos  

2 3 7

II.

sec  

3 6

III.

cosec  

7 5

Solo I. Solo II. Solo III. I y III. I, II y III.

Solución: Por definición de la razón trigonométrica seno, esta relaciona la medida del cateto opuesto al ángulo dado y lo sitúa en el antecedente o “numerador” de una razón o fracción y en el consecuente de la razón o denominador de la fracción, sitúa la medida de la hipotenusa. De acuerdo a esto y debido al dato del enunciado: sen  

5 7

5 estará en el cateto opuesto; y 7 en la hipotenusa. y formamos un triángulo rectángulo semejante al de la figura con estos datos:

El valor para el cateto b, adjunto al ángulo  se obtendría por teo. de Pitágoras: c2 = a2 + b2

72 = 52 + b2 49 = 25+ b2  49  25 = b2  b = 24 = 4•6 = 2 6 En este triángulo, al ser semejante, se DEBEN verificar I, II y III y veremos que expresiones son verdaderas o falsas. Así, en nuestro triángulo rectángulo semejante-con los valores de a, b y c dados, 2 3 I. ¿ cos  = ? Veamos: 7 cateto adyacente (al lado) de  2 6 cos  = = I. Es Falsa. hipotenusa 7 3 II. ¿ sec  = ? sec  es el recíproco de cos . 6 7 7 6 = Es decir, sec  = II. Es falsa. 2 6 12 7 III. ¿ cosec  = ? Se debe saber que cosec  es el recíproco de seno. 5 7 Es decir, cosec  = . III. Es verdadera. 5 Alternativa C).

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II.5.2. Razones trigonométricas combinadas con tríos Pitagóricos. 28) En la figura, ABC rectángulo en C, AC = 3 cm y AB = 5 cm. Entonces, representado por la fracción: 4 A) 3 5 B) 4 4 C) 5

D) E)

sen  está cos 

3 4 3 5

Solución: EL TRÍO PITAGÓRICO PRIMITIVO DE MAYOR FAMA está formado por los valores 3, 4 y 5.

Este trío de números se denomina pitagórico porque satisfacen el teo. de Pitágoras c 2  a 2  b2

y cada trío de números pitagóricos nos dice que si se conoce la medida de dos lados, entonces necesariamente la medida faltante corresponde al otro valor del trío, sin necesidad de usar teo. de Pitágoras. En nuestra figura, tenemos las medidas de dos lados: 3 y 5. que forman parte del trío pitagórico más famoso. Entonces, necesariamente, son 4 unidades. BC = 4 cm. Así, el triángulo dado nos queda con las medidas de todos sus lados:

Ahora bien, es primordial aprender y tener siempre la definición de tangente: sen  = tg  cos  cateto opuesto = cateto adyacente 4 = 3 Alternativa A).

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27

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 29) La figura nos muestra un poste de 4 m de alto, que proyecta en cierto instante una sombra de 3m. Si  es el ángulo de inclinación de los rayos del en dicho instante, entonces sen  = 5 A) 3 3 B) 4 4 C) 3 4 D) 5 3 E) 5

Solución: Se debe notar que la figura forma un triángulo rectángulo, dado que los postes se construyen perpendicularmente a la base del suelo. Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo 3, 4 y 5 SIEMPRE estarán en el. Forman el trío pitagórico primitivo más famoso –más usado. Se llama primitivo porque a partir de el se forman otros tríos pitagóricos: amplificandolos por dos: 6, 8 y 10. Amplificándolos por tres: 9, 12 y 15. Amplificándolos por cuatro: 12, 16 y 20, etc. Así que 5 m es la medida faltante. La medida de la hipotenusa, el mayor de los lados. Ahora bién, recordando la definición de seno de un ángulo: cateto (lado) opuesto a  4 sen    hipotenusa

5

Alternativa D).

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28

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 30) Si cos  = 0,6 y  es un ángulo agudo entonces tg  = 3 5 A) C) 5 4 4 4 B) D) 5 3

E)

5 3

Solución: cos  = 0,6 cateto adyacente (cercano) a  6  = hipotenusa 10 Con este dato podemos formar un triángulo rectángulo cuyas medidas no serán iguales, pero sí serán semejantes, todas las relaciones entre los lados. En particular, las razones trigonométricas y muy particularmente, tg . Los valores 6 y 10 son múltiplos de 3 y 5 que pertenecen al trío pitagórico primitivo más conocido: 3 6

4

5 10

El valor por el cual multiplicar al trío primitivo para obtener la medida de los tres lados se puede observar que es 2. Pues basta con observar aquella regularidad en los dos lados conocidos. Por lo tanto, la medida del tercer lado, se obtiene de: 4  2 = 8, como la medida del lado faltante. Ahora podemos hallar la razón entre los lados del  que definen la tangente.

tg  =

cateto opuesto a  cateto adyacente (cercano) a 

8 y podemos simplificar por dos 10 4 = 5 =

Alternativa B).

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29

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 31) Sabiendo que sen   A) B) C) D) E)

3 , entonces el valor de cos   tag   sen es igual a: 5

1,55 0,95 1,45 1,95 0,77

Solución: 3 cateto opuesto al ángulo  sen  = = 5 hipotenusa Obtendremos las medidas de un triángulo rectángulo, como muestra la figura, con:  3 igual al cateto opuesto al ángulo ;  5 igual a la hipotenusa –lado mayor- de un triángulo rectángulo. Vamos a obtener la medida del lado, cateto b. Pero ¡Oh! en lugar de usar teo. de Pitágoras, recordemos el trío primitivo 3, 4, 5 Los dos primeros valores son los catetos y el último es la hipotenusa. Como dos de los tres valores están en la figura, se deduce que necesariamente por ser ABC un  rectángulo, 4 y nada más que el, ha de ser el valor faltante y correspondiente al cateto (o lado) b. (3,4 y 5 trío pitagórico primitivo) Así que las medidas del triángulo rectángulo sobre el cual verificaremos el enunciado tiene las siguientes medidas:

Ahora veamos: cos   tag   sen Aplicamos las definiciones de coseno, tangente y seno respectivamente, para obtener: cateto adyacente a  cateto opuesto a  cateto opuesto a  cos  + tag   sen = +  hipotenusa cateto adyacente a  hipotenusa Donde según la figura, el cateto adyecente (cercano) a  mide 4 unidades, el opuesto 3 y la hipotenusa 5. Reemplazamos y nos queda: 4 3 3 43 3 = +  = + 5 4 5 5 4 Como hay dos denominadores iguales -correspondientes a la primera y tercera fracción, ambos se pueden unir en una sola fracción, conservando el denominador común y manteniendo sus numeradores. Resolviendo: 1 3 = + = 0,2 + 0,75 = 0,95 donde 0,2 = 0,20. 5 4 No olvide respetar el orden de las décimas y centésimas, etc. en la suma de números decimales. Alternativa B).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 32) El ABC es rectángulo en C. Entonces cos 5 A) 3 3 B) 4 4 C) 3 4 D) 5 3 E) 5

CAB 

Solución: Identifiquemos elementos: La hipotenusa siempre se opone al vértice en donde se halla el ángulo recto. En este caso, opuesto al vértice C. Es decir, la hipotenusa es AB . Por lo tanto, AC y CB son los catetos. Recordemos además, que en una denominación de un ángulo con tres letras, el ángulo en mención se halla en el vértice de la letra de al medio. En este caso, el CAB del enunciado se halla en el vértice A del triángulo. Aplicando para tal ángulo, la definición de coseno:

cateto adyacente al vértice A AC 3 = = hipotenusa AB 5 ¿Cómo sabemos que la hipotenusa AB mide 5? Fácil. De la figura se desprende que los catetos AC y CB miden 3 y 4 unidades respectivamente. Y como 3 y 4 son dos números que integran el trío pitagórico primitivo 3, 4 y 5, se deduce que la medida “desconocida” del lado AB , que es la hipotenusa, pues se opone al ángulo recto, necesariamente ha debe medir 5 si el triángulo ABC es rectángulo. cos CAB =

Alternativa E).

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31

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 33) Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Si sen  =

3 5

y

BC  6 cm , entonces el

perímetro del triángulo es: A) 12 cm. B) 14 cm. C) 16 cm. D) 18 cm. E) 24 cm.

Solución: Aplicamos la definición de seno ¡a ver que resulta!: cateto opuesto sen  = hipotenusa 3 6 [cm] = 5 hipotenusa Aplicamos ahora producto cruzado para hallar la hipotenusa. 3 hipotenusa = 30 [cm]  hipotenusa = 10 [cm] Ahora poseemos las unidades –en cm.– de dos de los tres lados. Las medidas conocidas son: 6 y 10. Pues bien, ambos valores son la amplificación por dos del trío pitagórico primitivo 3, 4 y 5, como muestra la siguiente tabla: 3 6

4

5 10

El único valor faltante, se obtiene de amplificar el trío pitagórico primitivo por el mismo valor con el cual calzan los otros dos. Esa es la importancia de tener siempre presente los tríos primitivos pitagóricos en triángulos rectángulos. La medida del lado faltante es, tras amplificar el valor cuatro del trío nos da (en cm): 42=8 Así que las medidas de los tres lados del triángulo rectángulo son: 6, 8 y 10 cm. Y su suma o perímetro nos da 24 cm. Alternativa D).

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III. Identidades trigonométricas. sen 2 x 34) Si tg x = 3, entonces  cos2 x A) B) C) D) E)

1 3 6

3 9

Solución: La identidad de la tangente respecto a seno y coseno es: sen x tg x = cos x Reemplazamos el valor de la tg x dado en el enunciado a la igualdad anterior queda: sen x 3= cos x y si comparamos con lo pedido, notamos que solo falta elevar al cuadrado. Al hacerlo, debemos respetar la igualdad, por lo que debemos elevar al cuadrado a ambos miembros de ella: sen2 x 9= Alternativa E). cos2 x 35) sen2(2) + cos2(2) = A) 1 B) 2 C) 4 D) 4 sen2  cos2  E) 8 sen2  cos2 

Solución: sen2 (algo) +cos2 (algo) = 1 Independientemente de si el argumento de las funciones trigonométricas sean , 2, etc. Halla lo que halla en el argumento –en nuestro caso, entre paréntesis– de las funciones seno y coseno, ambas elevadas al cuadrado y sumadas dan 1. Solo debe haber tres requisitos para reconocer tal identidad fundamental en trigonometría:  que los argumentos de ambas funciones, los “algo” sean iguales en ambas funciones;  que ambas funciones sean seno y coseno respectivamente, no importa el orden;  y que ambas funciones estén elevadas al cuadrado. Así, identificamos la alternativa correcta en segundos. Alternativa A).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 36) La expresión sen  (cotg  + csc ) es equivalente a: A) sen  + 1 B) tg  + 1 C) cos  + 1 D) cos2  sen 2 E) ctg   tg 

Solución: El mecanismo principal a seguir al reducir o trabajar identidades trigonométricas, es dejar todo expresado en términos de seno y coseno. Para esto, hemos de saber que: cos  cotg  = al inverso de la tangente = sen  1 csc  = al inverso de seno = y sen  Notemos como “regla nemotécnica” que:  cosecante (csc) y coseno (cos) se parecen en la forma de escribirlos. Ambas comienzan con c.  Así como también secante (sec) y seno (sen). Ambas comienzan con s. Sin embargo,  csc es la función inversa de sen y sec es la función inversa de cos. La regla nemotécnica es “traicionar el parecido de las funciones inversas csc y sec en cuanto a la inicial con la que se inicia al escribirlas, con las funciones cos y sen”. Volviendo al enunciado: 1   cos  sen   cotg   csc   = sen      sen  sen   Y sumando las fracciones con denominador común, nos queda :  cos   1  = sen     sen   y simplificando por sen  : = cos   1 Alternativa C).

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34

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 37) En el ABC se verifica(n): I. c sen 30º  b A) B) C) D) E)

II. c cos 60º  b

III. sen2 30º  sen2 60º 

a 2 b2  2 c c2

Sólo I. Sólo II. Sólo III. I, II y III. Ninguna de las anteriores.

Solución: Analicemos cada una de las alternativas: I. Si c sen 30º= b b  sen 30º= c cateto opuesto a 30º a b Lo cual es Falso, pues sen 30º= =  hipotenusa c c

II. Si c cos 60º= b b  cos 60º= c Lo cual es Falso, pues cos 60º=

cateto adyacente (cercano) a 60º a b =  hipotenusa c c

II. sen2 30º+ sen2 60º

 cateto opuesto a 30º 2   cateto opuesto a 60º 2  hipotenusa 2  hipotenusa 2 =

a2  c2

b2 c2

III Es Verdadera. Luego, sólo III es correcta. Alternativa C)

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35

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 38)  x sen x  y cos x 2   x cos x  y sen x 2  A) x  y B) sen x  cos x C) sen 2 x  cos2 x D) 1 E) x 2  y 2

Solución: Aplicando la fórmula del binomio al cuadrado:  a  b 2  a2  2ab  b2 el primer binomio se transforma en: con a = x sen x y b = y cos x (*)  x sen x  y cos x 2  x2sen2 x  2 xy sen x • cos x  y2 cos2 x Para el segundo binomio, a = x cos x y b = y sen x :  x cos x + y sen x 2 = x2cos2 x + 2xy cos x • sen x + y2 sen2 x

(**)

Sumando a ambos lados de la igualdad (*) y (**) los términos centrales del lado derecho se cancelan entre sí.  x sen x  y cos x 2   x cos x  y sen x 2  = x2sen2 x + x2cos2 x +  y2 cos2 x + y2 sen2 x Factorizando x2 e y2 : 





 

 



= x2  sen2 x  cos2 x   y2  cos2 x  sen2 x   

1

1

 

(Usando la identidad fundamental sen2 x  cos2 x =1 ) la igualdad de arriba se convierten en: = x2  y2 Alternativa E).

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36

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 39) ¿Cuál de las siguientes expresiones es o son verdadera(s)? 1 1 1 I.   2 2 2 sen  cos  sen  cos2  II. sec  

A) B) C) D) E)

cosec  cotg 

III. cos   1  tg 2 cos2 Sólo I. Sólo II. Sólo I y II. Sólo I y III. I, II y III.

Solución: Analicemos cada una de las alternativas. Para ello veamos si partiendo de un lado de cada igualdad, podemos llegar al otro lado en cada una de ellas. 1 I.

1 1 cos2   sen2 1    sen2 cos2  sen2 cos2  sen2 cos2 

Es Verdadera.

En donde hemos tenido en cuenta: a c ad  bc   y la identidad fundamental: sen2  cos2   1 b d bd

1 1 1• 1 sen  = sen  = cosec  II. sec = = cos  cotg  cos  cos  • 1 sen  sen 

Es Verdadera.

En donde hemos tenido en cuenta identidades básicas y hemos amplificado la fracción por

1 . sen 

III. Partamos del lado derecho de esta igualdad –porque hay más información que trabajar- y veamos si llegamos al lado izquierdo.

sen2 2 2 1  tg  cos   1   cos2  cos2 

Así que

simplificando por cos2

 1  sen2 1  tg 2 cos2  1  sen2

Ahora bien, sen2 + cos2 =1  cos2 =1  sen2

cos  = 1  sen2

(*)

/ (**)

Reemplazando (**) en el lado derecho de la igualdad:

1  tg2 cos2 = cos  Luego, se cumplen I, II y III. Alternativa E).

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III. Es Verdadera.

37

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40) 5 tg  + 2 sec  = A)  tg   2  2 tg   1 B) 5 cos  C)  tg   1  2 tg   1 D) A y B E) Ninguna de las anteriores.

Solución: Expresaremos todo en términos de seno y coseno, teniendo presente que: sen  1 y sec   tg   cos  cos 

5sen  2 + amplificando la primera fracción por cos  cos  cos2  5 sen  cos  2 5 sen  •cos  + 2 = • + = 2 cos  cos  cos  cos2 

5 tg  + 2 sec2  =

Y no se saca nada en limpio, pues nos ha quedado una expresión más compleja. Para casos como este existe la importante identidad que podemos trabajar: sen2 +cos2 =1

sen2 + cos2 =1 sen2 1 +1 = cos2 cos2 tg2 +1 = sec2

/ : cos2

(*)

Reemplazando el valor de sec2  que resultó de (*) en el enunciado: 5 tg  + 2 sec2  = 5 tg  + 2 (tg2 + 1) = 5 tg  + 2 tg2 + 2 = 2 tg2 + 5 tg  + 2

(**)

Analicemos cada una de las alternativas, a ver si llegamos a (**): A)  tg +2 2 tg + 1 = tg 2 tg +1 +2 2 tg +1

= 2 tg 2 + tg + 4 tg + 2 = 2 tg 2 + 5 tg +2 Que es idéntico a (**) y a su vez, al enunciado. Por lo tanto, La alternativa A) es la correcta.

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 41) La expresión

2 sec2 45º + 3 cosec2 45º sen 30º cos 60º



A) 1 10 B) 4 C) 16 D) 20 E) 40

Solución:

1 cos 45º 1  sec2 45º= = 2 cos 45º sec 45º=

1 2

=

1 4 = =2 2 2 4

(*)

 2    2  a a b a c ac Donde = : = • = b 1 c 1 b b c 1 a =1; b = 2; c = 4 . En nuestro ejercicio en 2 4

A su vez cosec 45º =

1 1 = = sec 45º sen 45º cos 45º

(**)

 cosec2 45º= sec2 45º= 2 En el denominador del enunciado, notamos que 30º y 60º son ángulos complementarios, por lo tanto cos 60º = sen 30º 2

 sen 30º cos 60º = sen 30º 1 1 1 1 2 y sen 30º=  sen 30º = • = (***) 2 2 2 4 Reemplazando (*), (**) y (***) en el enunciado: 10 4

6

2 sec2 45º + 3 cosec2 45º 2•2 + 3•2 4 10  = = = 40 1 sen 30º cos 60º 1 4

Alternativa E).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 42) La expresión A) 1

1  cos x 1  cos x   1  sen x 1  sen x

B) sec2 x C) tg 2 x D) 1 E) cotg 2 x

Solución: Aplicamos la propiedad distributiva:

 a  b  c  d   a  c  d   b  c  d  = ac  ad  bc  bd y regla de los signos en: 0

1  cos x 1+ cos x 1 1+ cos x   cos x 1+ cos x  1+cos x  cos x  cos2 x • = = 1  sen x 1+ sen x 1 1+ sen x   sen x 1+ sen x  1+sen x  sen x  sen2 x 0 =

1  cos2 x 1  sen2 x

Ahora sería bueno echar mano de la principal identidad trigonométrica: 1= sen2 x +cos2 x  1  cos2 x = sen2 x 1= sen2 x +cos2 x  1  sen2 x = cos2 x

(*)

(**)

(* * *)

Reemplazando las igualdades (**) y (***) en el numerador y denominador respectivamente de (*), esta nos queda: sen2 x = = tg 2 x 2 cos x Alternativa C)

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40

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IV. Ecuaciones Trigonométricas 43) El valor de x en la siguiente expresión A) B) C) D) E)

tg 45º  tg x  3tg x  2 es: 1  tg 45º  tg x

1 3 1 3 30º 60º 3 3

Solución: De la tabla: Grados tg 

0º 0

30º 3 3

45º 1

60º 3

90º No existe.

Se puede ver que tg 45º = 1 por lo que reemplazamos este valor en la expresión del enunciado y nos queda: 1  tg x  3 tg x  2 / 1  tg x  amplificando por el denominador 1  tg x 1  tg x  3 tg x 1  tg x   2 1  tg x  1  tg x  3 tg x  3tg 2 x  2 2tg x cancelando  2tg x

2tg x 1  3 tg 2 x  2 3 tg 2 x  2  1 3 tg 2 x  1 1 tg 2 x  3 1 tg x  3 3 tg x  3

1 3 = y 3 3 3 y buscando para que valor de la tangente, esta toma el valor , observamos que 3 lo si el ángulo es de 30º. Alternativa C).

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Pues si racionalizando el denominador :

41

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 44) Si sec x + cosec (90º  x) = y. Si x = 60º, entonces y = A) 1 B) 2 2 36 C) 3 D) 4 E) 6 3

Solución: Si x = 60º sec x + cosec (90º  x) = y sec 60º + cosec (90º  60º) = y sec 60º + cosec 30º = y Como 60º y 30º son ángulos complementarios entre sí, sec 60º = cosec 30º. Reemplazando en la igualdad anterior: 2 cosec 30º = y (*) 1 1 1 Como cosec 30º= = =1 : =1•2 = 2 1 sen30º 2 2 Reemplazando este valor en el lado izquierdo de (*) 22=y 4 =y Alternativa D). 45) Calcule el valor de x. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

Solución: Se tienen expresiones algebraicas en el cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo alfa. Por lo tanto, la razón trigonométrica que corresponde ver es la que asocia a ambos catetos, esta es, la función tangente.

tg 30º=

6 3 x+4

3 6 3 = 3 x+4

Donde tg 30º =

3 3

Haciendo producto cruzado, nos queda:



3  x + 4 = 3 6 3



3x + 4 3 = 18 3 3x = 18 3  4 3 3x = 14 3

Cancelando 3 a ambos lados: x = 14 Alternativa B).

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42

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 46) tg x + cotg x = 2. Si x es un ángulo agudo, x = A) B) C) D) E)

30º 45º 60º 75º Ninguna de las anteriores.

Solución: El primer procedimiento es reducir a senos y cosenos, sabiendo que: sen x cos x tg x = y cotg x = cos x sen x El lado izquierdo de la igualdad se modifica a: sen x cos x + =2 cos x sen x Haciendo producto cruzado:

sen2 x + cos2 x =2 cos x • sen x sen2 x + cos2 x = 1 Recordando la identidad fundamental: y reemplazándola en la igualdad anterior, esta nos queda: 1

cos x•sen x

=2

Invirtiendo lado a lado la igualdad, esta nos queda: 1 cos x • sen x = 2 De la tabla de valores para razones trigonométricas:

ángulo 

cos 

sen 

0º

0

4 2 = =1 2 2

30º

1 1 = 2 2

3 2

45º 60º 90º

2 2 3 2 4 2 = =1 2 2

2 2 1 1 = 2 2

0

tg  0

1 3 = 3 3

1

3 = 3 1 no existe

De la tabla se puede calcular y verificar mentalmente para los distintos ángulos de la tabla, multiplicando las columnas sucesivas de seno y coseno, y encontrar que para 45º:

cos 45º •sen 45º =

2 2 4 2 1 • = = = 2 2 4 4 2

Entonces 45º satisface sucesivamente las igualdades que se derivan a partir del

enunciado. Por lo tanto: x = 45º

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Alternativa B).

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V. Cálculo de áreas de triángulos 47) Sea un  ABC rectángulo en C con AB = A) B) C) D) E)

3 . ¿Cuál es el área del triángulo?

2 3 3 3 3 8 7 3 8 9 3 8 No se puede calcular.

Solución: En todo triángulo, su área viene dada por el semiproducto de la base por la altura, sin embargo, en el caso de un triángulo rectángulo, su área también puede obtenerse por el semiproducto de los catetos. Esto implica que si conocemos las medidas de los catetos, obtendremos su área. Pues bien, para hallar la medida del cateto opuesto BC , conocido el valor de su hipotenusa AB , usaremos la razón seno –que es la que compara ambos lados. BC AB 1 BC haciendo producto cruzado 3 =   3 = 2BC  BC = 2 2 3

sen 30º=

Para hallar la medida del cateto adyacente AC , conocido el valor de su hipotenusa AB , usaremos la razón coseno –que es la que compara ambos lados.

cos 30º=

AC AB

Y por ser 30º complementario con 60º, cos 30º = sen 60º, el cual es igual a

3 2

3 AC = 2 AB 3 AC haciendo producto cruzado 3 =   3 = 2AC  AC = 2 2 3

Y el semiproducto de los catetos BC y AC es: a 3 3 3 3  BC•AC 2 2 a = = 4 y como b = 2 2 2 c bc 3 3 = 8

obtenemos :

Alternativa B). Nota: también se puede usar teo. de Pitágoras tras hallar uno de los catetos para hallar la medida del tercer lado del .

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44

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 48) El área de un triángulo equilátero de 8 cm por lado es: 2 A) 4 3 cm B) 16 cm

2

2 16 3 cm 3 2 D) 16 3 cm

C)

E) 48 cm

2

Solución: El área de todo triángulo rectángulo viene dado por el semiproducto de la base por la altura. Hemos de recordar que en un triángulo equilátero, la altura y transversal de gravedad bajada desde un mismo vértice coinciden entre sí, así como con la bisectriz de éste. Así, si dibujamos un triángulo equilátero y la altura bajada desde uno de sus vértices y llamanos A al área del  tendríamos: base•altura A= 2 Particularmente, en la figura dibujada: A= AB•CD 2 Ahora bien. La altura define dos triángulos rectángulos. Usaremos uno de ellos para calcular la altura, único valor desconocido. AD tg 30º= (*) h AB 8 cm 3 = = 4 cm tg 30º = y AD = 2 2 3 Reemplazando los valores de tg 30º y AD en (*) 3 4 cm = 3 h Haciendo producto cruzado: 12 cm 3 h =12 cm  h = 3 Si racionalizamos h, esta nos queda: 12 cm 12 cm 3 12 3 h= = • = cm = 4 3 cm 3 3 3 3 Reemplazando el valor de la altura y el lado o base igual a 8 cm en la fórmula del área: base•altura 4 8•4 3 2 A= = cm = 16 3 cm2 2 2 Alternativa D).

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45

Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 49) Si AB = 8 cm, el área del  ABC rectángulo en C es: 2 A) 16 sen 40º cm B) 32 cos 50º cm

2

2

C) 16 tg 50º cm 32 cos 40º D) cm2 sen 50º 2 E) 32 sen 50º cos 50º cm

Solución: El área A de un triángulo rectángulo se puede calcular también como el semiproducto de sus catetos. En nuestra figura: AC•BC A= 2 Se tiene la medida de la hipotenusa. Esto implicará que tendremos valores de seno y coseno en la expresión del área. Dado que la hipotenusa aparece en ambas definiciones. Veamos: cateto opuesto a los 50º cateto cercano a los 50º sen 50º = cos 50º = hipotenusa hipotenusa BC AC sen 50º = cos 50º = 8 8  BC = 8 sen 50º (*)  AC = 8 cos 50º (**) Reemplazando las expresiones halladas para BC y AC de (*) y (**) en la expresión del área A. 8 cos 50º•8 sen 50º 64 sen 50 cos 50º A= = = 32 sen 50º cos 50º 2 2 Alternativa E). 50) Si AB = 12 cm, el área del ABC rectángulo en A es: 2 A) 144 sen 40º cm B) 72 cos 20º cm

2

2

C) 72 tg 20º cm 36 cos 20º cm2 D) sen 70º 2 E) 12 sen 70º cos 20º cm

Solución: Observemos que no hay ningún valor en la hipotenusa por lo que a diferencia del ejercicio anterior, los catetos no se podrán relacionar con ella, sino que solo entre sí. Es decir, no habrá senos ni cosenos en la expresión del área. La razón trigonométrica que relaciona solo a los catetos entre sí es la tangente. Así que esta será la razón trigonométrica a usar. El área, como semiproducto de los catetos es, en la figura del enunciado, con los catetos CA y AB= 12 cm2. Solo falta hallar la medida del cateto CA. CA•AB CA Así: A = con tg 20º= 2 AB CA tg 20º=  CA =12 tg 20º 12

A=

12 tg 20º•12 144 tg 20º = = 72 tg 20º 2

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2

Alternativa C).

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Prof.: Guillermo Corbacho C. [email protected] 51) El área del  escaleno ABC es: 25 A) 3  1 cm2 2 25 B) 2  1 cm2 2 25 C) 3  1 cm2 2 2 D) 10 sen 45º cos 30º cm

  

  

E) 10 sen 30º cos 45º cm

2

Solución: Un triángulo escaleno cuyos ángulos de la base suman 75º. Esto implica que el ángulo del vértice C es igual a: 180º  75º = 105º. Es decir, aparentemente no tenemos recursos trigonométricos. Pero si bajamos la altura hc = CD . El área A del triángulo ABC se puede calcular como la suma de las áreas de los s ACD y BCD ambos rectángulos en D. A = A1 + A2 Usando el semiproducto de los catetos en cada uno de los s rectángulos: AD•DC A1 = 2 cateto opuesto a los 30º cateto cercano a los 30º sen 30º = cos 30º = hipotenusa hipotenusa DC AD sen 30º = cos 30º = 10 cm 10 cm  DC =10 cm sen 30º  AD =10 cos 30º = 5 cm (**) 3 = 10 cm 2 = 5 3 cm (*) (*) y (**) en A1:

A1 =

5 3•5 2 25 cm = 3 cm2 2 2

DC•DB (**) 5 cm •DB   A2 = 2 2 e hicimos notar anteriormente que si visualizamos uno de los ángulos agudos iguales a 45º en un  rectángulo, entonces los catetos son iguales  DB = 5 cm 25 cm2  A2 = 2 Finalmente: 25 25 25 3 cm2 + cm2 = 3 +1 cm2 A = A1 + A2 = 2 2 2 Alternativa A). Mientras: A2 =



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

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VI. Evaluación de insuficiencia de datos En las preguntas de este ítem no se pide la solución del problema, sino que indicar si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y/o (2) son suficientes para llegar a la solución.

Las instrucciones son: Marcar la letra: A) (1) por sí sola. Si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola. Si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2). Si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). Si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional. Si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 52) En el ABC, rectángulo en C se puede determinar su perímetro si: 1 (1) cos   2 (2) AB = 24 cm. A) B) C) D) E)

(1 por sí sola). (2 por sí sola). Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola (1) y (2) Se requiere información adicional.

Solución: Usando sólo (1): Por definición de coseno:

1 cateto adyacente a  1 cos  =  = 2 hipotenusa 2 Esto nos dice que la hipotenusa mide el doble que el cateto adyacente. Sea x = AC  AB = 2x y la medida de AB se puede expresar en función de x por teo. de Pitágoras: AB 2 = BC 2 + AC 2













2 x 2 =  BC 2 +  x 2 4 x 2 =  BC 2 + x 2  Necesariamente  BC 2 = 3x 2  BC = 3 x Luego, la medida de los lados, en función de x son: AC = x AB = 2x BC = 3x

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(*)

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Pero, aunque podemos expresar los lados en función de un valor x sus medidas, por lo que conocer el perímetro del triángulo. Ahora… si tan solo pudiésemos conocer el valor de x… (2) por sí sola tampoco resuelve nada. Pues con el valor de un solo lado del triángulo no se puede determinar los otros dos. Combinando (1) y (2): De (2) AB = 24 cm. De (1) en (*) 2x = 24 cm  x =12 cm. Reemplazando el valor de x en (*) y sumando los lados se halla el perímetro: 36 + 12 3 cm. –que no es necesario calcular, pues no lo piden, solo nos consultan por los datos que es(son) necesarios para calcularlo. Luego, son necesarias ambas (1) y (2) para conocer el perímetro del triángulo. Alternativa C).

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