Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES

3.1.1

1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 1 Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 1. Lanzar una moneda. 2. Lanzar un dado. 3. Lanzar una moneda y un dado simultaneamente. 4. Lanzar tres monedas. 5. Sexo de los tres hijos de una familia.

Solución.1. Si llamamos C a la posibilidad ”salir cara” y llamamos X a ”salir cruz” entonces el espacio muestral será: = fC; Xg 2. En este caso cada uno de los posibles resultados al lanzar un dado serían: Salir 1, salir 2, ....,salir 6. Resultando: = f1; 2; 3; 4; 5; 6g 3. En esta sitación tendremos que describir los sucesos elementales de modo bidimensional, donde la primera componente indicará el posible resultado de la moneda y la segunda componente el posible resultado del dado. El espacio muestral será el siguiente: = f(C; 1) ; (C; 2) ; (C; 3) ; (C; 4) ; (C; 5) ; (C; 6) ; (X; 1) ; (X; 2) ; (X; 3) ; (X; 4) ; (X; 5) ; (X; 6); g 4. Con las consideraciones anteriores: = f(C; C; C) ; (C; C; X) ; (C; X; C) ; (X; C; C) ; (C; X; X) ; (X; C; X) ; (X; X; C) ; (X; X; X)g 5. Llamando V a ser varón y H a ser hembra tenemos que: = f(V; V; V ) ; (V; V; H) ; (V; H; V ) ; (H; V; V ) ; (V; H; H) ; (H; V; H) ; (H; H; V ) ; (H; H; H)g Ejercicio 2 Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado dos veces seguidas, y llamemos A al suceso salir par en el primer lanzamiento e impar en el segundo, asimismo llamemos B al suceso salir número primo en los dos lanzamientos. En esta situación: 1. Describe el espacio muestral, el suceso A y el suceso B. 2. Describe los conjuntos: (a) A [ B (b) A \ B (c) A0

(d) A0 [ B (e) A

B

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2

3. Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.

Solución.1. El espacio muestral

estará constituido por 36 sucesos elementales: (1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1) (5; 1) (6; 1)

(1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2)

(1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3) (5; 3) (6; 3)

(1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4)

(1; 5) (2; 5) (3; 5) (4; 5) (5; 5) (6; 5)

(1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

donde la primera componente de cada suceso elemental representa el posible resultado del primer lanzamiento y la segunda componente el valor obtenido en el segundo lanzamiento del dado. A continuación describamos los sucesos A y B. A= B=

(2; 1) ;

(2; 3) ;

(2; 5) ;

(4; 1) ;

(4; 3) ;

(4; 5);

(6; 1) ;

(6; 3) ;

(6; 5)

(2; 2) ;

(2; 3) ;

(2; 5) ;

(3; 2) ;

(3; 3) ;

(3; 5) ;

(5; 2) ;

(5; 3) ;

(5; 5)

(a) Sucede A [ B cuando ocurre A o bien sucede B: A[B =

(4; 1) ; (4; 3) ; (4; 5); (6; 1) ; (6; 3) ; (6; 5) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (2; 3) ; (2; 5) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 5) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 5)

(b) El suceso A \ B estará formado por todos los sucesos elementales comunes de A y B. A \ B = f(2; 1) ; (2; 3) ; (2; 5)g (c) A0 se de…ne como A, por tanto que no son elementos de A. 8 (1; 1) > > > > > > < (3; 1) 0 A = > > > > > (5; 1) > :

(d)

estará formado por todos los elementos del espacio muestral

8 (1; 1) > > > > > > < (3; 1) 0 A [B = > > > > > (5; 1) > :

(1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2)

(1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2) (5; 2) (6; 2)

(1; 3)

(1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4)

(3; 3) (5; 3)

(1; 3) (2; 3) (3; 3) (5; 3)

(1; 5) (3; 5) (5; 5)

(1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4) (5; 4) (6; 4)

(1; 5) (2; 5) (3; 5) (5; 5)

(1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

9 > > > > > > = > > > > > > ;

(1; 6) (2; 6) (3; 6) (4; 6) (5; 6) (6; 6)

9 > > > > > > = > > > > > > ;

(e) Se de…ne A B como el suceso formado por todos los sucesos elementales de A menos los sucesos elementales de A \ B: A CURSO EIR-2003

B=

(2; 1) ;

(4; 1) ;

(4; 3) ;

(4; 5);

(6; 1) ;

(6; 3) ;

(6; 5)

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3

2. Para calcular las probabilidades utilizaremos la regla de Laplace. (a) p(A [ B) = Ejercicio 3

Card(A[B) Card( )

=

16 36

1. (a) p(A \ B) =

(b) p(A0 ) =

Card(A0 ) Card( )

=

=

3 36

27 36

(c) p(A0 [ B) =

Card(A0 [B) Card( )

(d) p(A

Card(A B) Card( )

B) =

Card(A\B) Card( )

= =

29 36 7 36

Ejercicio 4 Tenemos una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10. Realizando extracciones con reemplazamiento, consideramos los siguientes sucesos: A = {salir un número primo} y

B = {Salir un cuadrado perfecto}

Veri…ca las leyes de Morgan para los sucesos A y B. (A [ B)0 = A0 \ B 0

(3.1)

(A \ B)0 = A0 [ B 0

(3.2)

Solución.Describamos los siguientes sucesos: A = f2; 3; 5; 7g

B = f1; 4; 9g

A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g ) (A [ B)0 = f6; 8; 10g ) (A \ B)0 =

A\B =

A0 = f1; 4; 6; 8; 9; 10g

B 0 = f2; 3; 5; 6; 7; 8; 10g A0 \B0 = f6; 8; 10g

A0 [B0 = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g = se veri…ca trivialmente que: (A [ B)0 = A0 \ B 0

y

(A \ B)0 = A0 [ B 0

Ejercicio 5 La probabilidad de un suceso A es 13 , la de B es

2 4

y la de la intersección 38 . Calcule:

1. La probabilidad de que se veri…que alguno de los dos sucesos. 2. La probabilidad de que no suceda A. CURSO EIR-2003

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4

3. La probabilidad de que no ocurra ni A ni B. 4. La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B.

Solución.1. La probabilidad de que ocurra el suceso A o bien ocurra el suceso B viene dada por: p(A [ B) = p(A) + p(B)

p(A \ B)

(3.3)

resultando, p(A [ B) = 2. La probabilidad del contrario de A sería 1

1 2 + 3 4

3 11 = 8 24

p(A): Por tanto:

p(A0 ) = 1 p(A0 ) = 1

p(A) 1 2 = 3 3

(3.4)

3. Se nos está pidiendo que calculemos p(A0 \B 0 ) , utilizando las leyes de Morgan será equivalente calcular p((AU B)0 ): Por tanto, p(A0 \ B 0 ) = p((AU B)0 ) = 1 p(A [ B) p(A0 \ B 0 ) = 1

p(A [ B) = 1

11 13 = 24 24

4. Teniendo en cuenta que A0 [ B 0 = ”No ocurrir A , o no suceder B ”, aplicando las Leyes de Morgan y calculando la probabilidad del suceso contrario tenemos: p(A0 [ B 0 ) = p((A \ B)0 ) = 1

p(A \ B) = 1

5 3 = 8 8

Ejercicio 6 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. En cada uno de los lanzamientos denominamos C al suceso ”obtener cara” y X al suceso ”obtener cruz”. Sea: A = f(CCC) , (CCX) , (CXX) , (XXX)g

B = f(CCC) ; (CXC) ; (XCX) ; (XXX)g C = f(CCC) ; (XCC) ; (XXC) ; (XXX)g

1. ¿Son Independientes A,B y C? 2. Calcule p(A [ B [ C)

Solución.-

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5

1. Observese que : A \ B = A \ C = B \ C = A \ B \ C = f(CCC) ; (XXX)g

Al ser

1 2 = = p(A) p(B) 8 4 1 2 p(A \ C) = = = p(A) p(C) 8 4 1 2 p(B \ C) = = = p(B) p(C) 8 4

) A y B son Independientes

p(A \ B) =

) A y C son Independientes ) B y C son Independientes

Sin embargo p(A \ B \ C) =

2 1 6= = p(A) p(B) p(C) 8 8

) A, B, C no son Independientes

En este ejercico podemos observar como tres sucesos que son independientes dos a dos no lo son los tres a la vez. 2. La expresión que nos permite calcular p(A [ B [ C) es la extensión natural de la fórmula tradicional de la probabilidad de la unión de dos conjuntos no disjuntos, calculémosla. Aplicando la propiedad Asociativa de conjuntos tenemos p(A [ B [ C) = p(A [ (B [ C)) Utilizando la expresión 3.3 tenemos: p(A [ (B [ C)) = p(A) + p(B [ C)

p(A \ (B [ C))

aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión de sucesos resulta p(A [ (B [ C)) = p(A) + p(B [ C)

p((A \ B) [ (A \ C))

bastará, utilizando la fórmula 3.3 , desarrollar las expresiones: p(B [ C) y p(B [ C) = p(B) + p(C)

p(B \ C)

p((A \ B) [ (A \ C)) = p (A \ B) + p (A \ C)

(3.5)

p((A \ B) [ (A \ C))

p (A \ B \ C)

Sustituimos ambas expresiones en 3.5 y obtenemos …nalmente: p(A [ B [ C) = p(A) + p(B) + p(C)

p(B \ C)

p (A \ B)

p (A \ C) + p (A \ B \ C)

(3.6)

Por tanto, basándonos en esta última expresión tenemos: p(A [ B [ C) =

4 4 4 + + 8 8 8

2 8

2 8

2 2 + =1 8 8

como cabía esperar puesto que A [ B [ C = : Ejercicio 7 En una urna hay tres bolas blancas , dos rojas y una negra. Construya el espacio muestral del experimento ”extraer una bola”, y calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos elementles.

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6

Solución.El espacio muestral sería = fB; N; Rg donde cada uno de los sucesos elementales corresponden a sacar una bola blanca, una bola roja y una bola negra. Utilizando la regla de Laplace: p(B) =

3 6

p(R) =

2 6

p(N ) =

1 6

Ejercicio 8 Calcular la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 veces un dado.

Solución.Sea A el suceso ”obtener al menos un seis al lanzar 4 veces un dado”, se veri…ca que: p(A) = 1 P (A0 ); siendo A0 el suceso contrario de A, es decir, A0 representaría ”no sacar ningun seis en los cuatro lanzamientos”. Por tanto: p(A) = 1 p(A0 ) siendo p(A0 ) = pfno salir 6 en los cinco lanzamientos} = p({no salir 6 en 1o lanz} \ fno salir 6 en 2o lanzg \ fno salir 6 en 3o lanzg \ fno salir 6 en 4o lanzg) al ser independientes entre sí losdistintos lanzamientos de dado, la probabilidad de la intersección es igual a la probabilidad del producto, p(A0 ) = p ({no salir 6 en 1o lanz}) p ({no salir 6 en 2o lanz}) p ({no salir 6 en 3o lanz}) p ({no salir 6 en 4o lanz}) p(A0 ) =

5 5 5 5 = 6 6 6 6

5 6

4

Por tanto, la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar cuatro veces un dado sería: Ejercicio 9 Dados dos sucesos A y B , tales que p(A) = 0:6 , p(A \ B) = 0:3

y

1

5 4 6

p(A0 \ B 0 ) = 0:2 ,

1. Calcula la probabilidad de que ocurra B. 2. ¿Son A y B independientes?

Solución.1. Utilizando la expresión p(A [ B) = p(A) + p(B)

p(A \ B) , tenemos que :

p(B) = p(A \ B) + p(A [ B)

p(A)

utilizando la probabilidad del suceso contrario de A [ B, resulta: p (A [ B)0

p(B) = p(A \ B) + 1

p(A)

y aplicando las leyes de Morgan : p(B) = p(A \ B) + 1

p(A0 \ B 0 )

p(A)

resultando p(B) = 0:3 + 1 CURSO EIR-2003

0:2

0:6 = 0:5

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7

2. Para comprobar si A y B son independientes bastará veri…car la igualdad: p(A \ B) = p(A) p(B) p(A \ B) = 0:3

p(A) p(B) = 0:6 0:5 = 0:3 Concluimos diciendo que los sucesos A y B son independientes.

Ejercicio 10 Un comerciante recibe mensulmente artículos de dos empresas distribuidoras A y B, de acuerdo con la siguiente tabla: Defectuoso No defectuoso A 20 130 B 10 110 Si elegimos un artículo al azar, obténgase: 1. La probabilidad de que dicho artículo provenga de la empresa A. 2. La probabilidad de que sea defectuoso. 3. La probabilidad de que resulte defectuoso y sea de la empresa B. 4. La probabilidad de ser defectuoso si sabemos que es de la empresa B. 5. La probabilidad de ser de A supuesto que es defectuoso. 6. La probabilidad de ser de A o bien ser de B. 7. La probabilidad de ser de B o ser no defectuoso.

Solución.Describamos la tabla de contingencia con sus correspondientes distribuciones marginales: A B TOTAL

Def. 20 10 30

No def. 130 110 240

TOTAL 150 120 270

y de…namos los siguientes sucesos: E

:

Elegir artículo no defectuoso

F

:

Elegir artículo defectuoso

A :

Artículo de la empresa A

B :

Artículo de la empresa A

1. Utilizando la Regla de Laplace Casos Favorables Casos Posibles 150 p(A) = 270

p(A) =

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(3.7)

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2. p(F ) =

30 270

3. p(F \ B) =

10 270

4. p(F=B) =

8

10 270 120 270

p(F \ B) = p(B)

=

10 120

Esta probabilidad condicionada podría haberse calculado directamente a partir de la tabal de contingencia con el siguiente razonamiento: Si sabemos que el artículo es de B, habrá como máximo 120 casos posibles, por tanto unicamente podremos considerar como casos favorables los 10 elementos defectuosos que envía la empresa B. 5. Al igual que en el apartado anterior, p(A=F ) =

20 30

6. Trivialmente la probabilidad es 1, puesto que cualquier artículo es de A o bien de B 7. Podremos realizar este cálculo de dos formas: 120+130 Casos Fav. (a) p(B [ E) = Casos = 250 Pos. = 270 270 (b) p(B [ E) = p(B) + p(E) p(B \ E) =

120 270

+

240 270

110 270

=

250 270

Ejercicio 11 En una familia de cuatro hermanos parece más probable que haya tres hermanos del mismo sexo a que haya dos varones y dos hembras, pero ¿realmente es así?. Responda a esta cuestión.

Solución.Para resolver el problema podríamos dibujar un diagrama de árbol o bien representar un diagrama cartesiano. Diagrama de Árbol

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9

Diagrama Cartesiano VV HV VH HH

VV VVVV HVVV VHVV HHVV

HV VVHV HVHV VHHV HHHV

VH VVVH HVVH VHVH HHVH

HH VVHH HVHH VHHH HHHH

La probabilidad de que haya dos varones y dos hembras en una familia de cuatro hermanos sería: mientras que la probabilidad de que haya tres individuos del mismo sexo sería: diciendo que la a…rmación es correcta.

8 16 :

6 16

Por tanto concluiremos

Ejercicio 12 (MODELOS DE URNAS) Consideremos una urna U que contiene n bolas y de la cual se realizan m extraciones. Poner un ejemplo práctico en cada una de estas situaciones y obtener el cardinal de : 1. Sin reemplazamiento, es decir, una vez que se extrae una bola de la urna , ésta se queda fuera de la misma. (a) Muestra ordenada, importará el orden de extracción de las bolas. (b) Muestra no ordenada, no importará el orden de extracción de las bolas. 2. Con reemplazamiento, es decir, una vez que se extrae una bola de la urna , ésta se devuelve a la urna. En cada extracción siempre habrá n bolas. (a) Muestra ordenada. (b) Muestra no ordenada.

Solución.1.a. Realizamos m extracciones sin reemplazamiento teniendo presente que importa el orden de extracción de las bolas. En este caso: n! Card( ) = V n; m = (3.8) (n m)! Ejemplo 1 Se pretende conocer el número total de podiúms que pueden darse en una carrera de 8 caballos.

Solución.Nuestra urna …cticia estará formada por 8 bolas numeradas, una bola por cada caballo, si realizamos 3 extracciones sin reemplazamiento tendremos un posible podiums de la carrera. El número total de casos vendrá dado por: Card( ) = V8;3 =

8! = 336 podiums posibles. 5!

Por tanto la probabilidad de que acertásemos los tres primeros puestos en una carrera de 8 caballos 1 sería: 336 CURSO EIR-2003

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10

1.b. Si no importase el orden de extracción de las bolas el número de casos posibles vendrá dado por la combinación de n elementos tomados en grupos de m, es decir: Card( ) = Cn; m =

n m

=

n! m! (n m)!

(3.9)

Ejemplo 2 Calcular el número de posibles resultados que se pueden generar en el sorteo de la lotería primitiva.

Solución.Como todos sabemos la lotería primitiva, es un juego de azar consistente en acertar los 6 números extraidos al azar de una urna con 49 bolas numeradas del 1 al 49, dicha extracción se realiza sin reemplazamiento y obviamente no importa el orden de extracción. El número de casos vendrá dado por las distintas forms en que podamos combinar estos 49 números en grupos de 6. Card( ) = C49;6 =

49! = 13 983 816 casos posibles 6! (49 6)!

Si realizasemos una apuesta en este juego de azar, acertaríamos con una probabilidad de

1 13 983 816

2.a. En las extraciones con reemplazamiento es importante tener en cuenta que se pueden repetir las bolas o elementos que extremos de la urna; por tanto, si tiene importancia el orden, el cardinal de vendrá dado por: Card( ) = V Rn;m = nm (3.10) Ejemplo 3 Calcular todos los posibles resultados en una quiniela de futbol.

Solución.En este caso tendremos una urna con tres bolas U = f1; X; 2g; y realizaremos 15 extracciones con reemplzamiento, por supuesto consideraremos la muestra ordenada, ya que no sería lo mismo el suceso elemental (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; X) que (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; X; 2) : Por tanto: Card( ) = V R3;15 = 315 = 14 348 907 Si realizamos una apuesta, la probabilidad de acertar los quince resultados de la quiniela de la 1 semana sería: 14 348 907 : 2.b. En este caso, puesto que se pueden repetir los elementos y no importa el orden de extración, tendremos que: n+m 1 Card( ) = CRn;m = (3.11) m Ejemplo 4 Calcular el número de sucesos elementles en el experimento aleatorio ”elegir al azar una pieza del dómino”.

Solución.En este caso tendremos una urna con siete bolas numeradas U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g;el suceso elemental resultante al realizar dos extracciones con reemplazamiento y sin importar el orden de la extracción sería una pieza de dominó. Por tanto: Card( ) = CR7;2 =

7+2 2

1

= 28 casos posibles

que como todos sabemos coincide con el número de piezas de un juego de dominó. CURSO EIR-2003

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11

Ejercicio 13 De un bombo con 10 bolas numeradas del 0 al 9 se realizan 4 extracciones con reposición, formando un número de 4 dígitos (que puede comenzar por cero). 1. ¿Cual es la probabilidad de que salga un número con cuatro cifras repetidas? 2. ¿Cual es la probabilidad de que salga un número con tres cifras repetidas y una distinta? 3. ¿cuál es la probabilidad de que el número sea capicua?

Solución.1. En virtud del ejercicio anterior y a partir de la expresión 3.10, tenemos que: Card( ) = V R10;4 = 104 = 10000 Los casos favorables de este suceso serán 10, es decir: (0000) ; (1111) ; (2222) ; ::::::; (9999) Por tanto, la probabilidad de que salga un número con cuatro cifras iguales será: p=

10 Casos Fav. = = 0:001 Casos Pos. 10000

2. Para calcular los casos favorables tendremos en cuenta que la cifra que se repite tres veces puede ser cualquiera de las diez, y una vez elegida ésta se pueden seleccionar otras nueve para combinarlas entre las tres cifras iguales (habiendo 4 posibles posiciones), por ejemplo: (a; a; a; _) ; (a; a; _; a) ; (a; _; a; a) ; (_; a; a; a) , por ello el número de casos favorables será: 10 9 4 . Siendo la probabilidad pedida: p=

Casos Fav. 360 = Casos Pos. 10000

3. Para calcular los casos favorables, tendremos en cuenta que la primera y cuarta cifra serán siempre iguales y las dos restantes serán cualesquiera, siendo la situación similar a ésta: (a; _; _; a) por tanto el número de casos favorables será: 10 V R10;2 = 10 102 = 1000: La probabilidad de obtener un número capicua es: 1000 p= = 0:1 10000 Ejercicio 14 Calcular la probabilidad de extraer tres …guras en una baraja de cartas española

Solución.-

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12

CASO1.- Consideremos las extraciones con reemplazamiento. En tal caso sean los sucesos: Ai : Obtener …gura en la i-ésima extracción al ser las extracciones con reemplazamiento, éstas son independientes unas de otras, por tanto: p(A1 \ A2 \ A3 ) = p(A1 ) p(A2 ) p(A3 ) =

12 12 12 = 40 40 40

12 40

3

CASO2.- Consideremos las extracciones sin reemplazamiento. En tal caso las extracciones no son independientes unas de otras, utilizando uno de los criterios de la probabilidad de la intersección en el tema de probabilidad condicionada, tenemos: p(A1 \ A2 \ A3 ) = p(A1 ) p(A2 =A1 ) p(A3 =(A1 \ A2 )) =

12 11 10 40 39 38

Ejercicio 15 En el juego del mus, que se juega con baraja española, hay ocho cartas que valen como reyes (los cuatro tres y los cuatro reyes) y otras ocho cartas que valen como unos (los cuatro doses y los cuatro ases). Calcule la probabilidad de que al repartir 4 cartas: 1. Se tenga plena certeza de ganar o empatar un órdago a la grande, es decir , recibir cuatro reyes. 2. Obtener tres Reyes y un uno.

Solución.El número de casos posibles al extraer 4 cartas de una baraja de 40 serían: V40;4 = 2193360 1. Los casos favorables vendrían dados por V8;4 = 1680 , habría 1680 formas de repartir esas 8 cartas en grupos de 4. La probabilidad pedida sería: p=

V8;4 = 0:0008 V40;4

2. Teniendo en cuenta que al repartir nos podemos encontrar con alguna de estas siuaciones: (R; R; R; 1) ; (R; R; 1; R) ; (R; 1; R; R) ; (1; R; R; R) el número de casos posibles sería: 4 V8;3 V8;1 : Cuatro son las disposiciones posibles entre reyes y unos , a su vez los reyes pueden ser repartidos de V8;3 formas y los unos de V8;1 formas. Por tanto la probabilidad pedida es: 4 V8;3 V8;1 10752 = V40;4 2193360 Ejercicio 16 ¿Cual es la probabilidad de elegir un número al azar del intervalo [0; 10] menor que 6?

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13

Solución.Para calcular esta probabilidad nos encontramos con un pequeño problema, el espacio muestral es continuo , por ello utilizaremos la regla de Laplace con matices, es decir : Consideraremos como casos posibles cualquier número del segmento [0,10], osea la longitud del segmento, y como caso favorable cualquier número del segmento [0,6] es decir la longitud de dicho segmento. Por tanto: p (elegir un número al azar del intervalo [0; 10] menor que 6 ) =

l ([0; 6]) 6 Casos Fav. = = Casos Pos. l ([0; 10]) 10

Ejercicio 17 Si elegimos al azar dos números reales comprendidos entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea menor que 12 ?

Solución.El planteamiento es similar al del ejercicio anterior, pero en dos dimensiones. Es decir los casos posibles vendrán dados por el área del rectángulo [0; 1] x [0; 1] ; ya que en dicho rectángulo se encuentran todos las elecciones posibles de pares de puntos comprendidos entre 0 y 1.8 < x y 12 0 x 1 son : El conjunto de puntos de dicho rectángulo que veri…can que : 0 y 1

Cuya área representará los casos favrables. Por tanto la probabilidad de que el producto de dos números comprendidos entre 0 y 1 sea menor que 1/2 será: Casos Fav. Area coloreada p= = Casos Pos. Area ([0; 1] x [0; 1])

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Observando los puntos de corte de las curvas:

tenemos: p=

Z

0:5

dx + 0

Z

1 0:5

1 2x dx

= 0: 846 57

1

Ejercicio 18 Sea X una v.a. que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente tabla: xi p(xi )

0 0.05

1 0.10

2 0.10

3 0.10

4 0.20

5 0.25

6 0.15

7 0.05

1. Veri…car que p(x) es función de probabilidad. 2. Obtener E[X] y var[X] 3. Calcular la probabilidad de que en una hora no lleguen menos de 4 clientes. 4. Representar grá…camente F (X):

Solución.1. Para comprobar que p(x) es función de probabilidad bastará veri…car que: (a) p(xi ) (b)

7 X

0 ;

8i

p(xi ) = 1

i=0

Observese que efectivamente p(xi )

0 ;

8i y 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05 = 1

2. Para obtener el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X, tendremos en cuenta que: E[X] = var[X] =

n X i=1 n X

xi p[X = xi ] = (xi

)2 p[X = xi ] =

(3.12) 2

(3.13)

i=1

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15

en el caso de la varianza será más cómodo utilizar la fórmula reducida: var[X] = E X 2

(E[X])2

(3.14)

Por tanto, realizando los cálculos oportunos resulta: E[X] = 0 0:05 + 1 0:1 + 2 0:1 + 3 0:1 + 4 0:2 + 5 0:25 + 6 0:15 + 7 0:05 = 3:9 clientes

E X 2 = 02 0:05 + 12 0:1 + 22 0:1 + 32 0:1 + 42 0:2 + 52 0:25 + 62 0:15 + 72 0:05 = 18:7 var[X] = E X 2 3. Se nos pide calcular p[X

(E[X])2 = 18:7

(3:9)2 = 3:49

4]; es decir: p[X = 4] + p[X = 5] + p[X = 6] + p[X = 7]

Por tanto: p[X

4] = p(4) + p(5) + p(6) + p(7)

p[X

4] = 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05 = 0:65

Calculemos la función de distribución (F.d.D.) de esta variable aleatoria de tipo discreto; sabemos que: X F (x) = p[X x] = p[X = xi ] 8x2< (3.15) xi x

Por ello:

F (x) =

resultando:

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8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > :

0 0:05 0:05 + 0:1 0:05 + 0:1 + 0:1 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05 8 0 si > > > > 0:05 si > > > > 0:15 si > > > > < 0:25 si 0:35 si F (x) = > > 0:55 si > > > > > 0:8 si > > > > 0:95 si > : 1 si

si si si si si si si si si

x > > > = > > > > > > ;

Si X representa la suma de las caras en el lanzamiento de dos dados , los posibles valores xi que podrá tomar la variable serán: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 cuyas probabilidades asociadas, utilizando la regla de laplace, serían: xi p[X = xi ]

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2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

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17

2. Para calcular la esperanza matemática de la v.a. X utilizaremos la expresión 3.12, resultando: E[X] = 2

2 +4 36

1 +3 36

3 + ::::: + 10 36

3 + 11 36

2 + 12 36

1 =7 36

En cuanto al cálculo de la varianza utilizaremos la fórmula reducida 3.14 , siendo: E[X 2 ] = 22

1 + 32 36

2 + 42 36

3 + ::::: + 102 36

3 + 112 36

2 + 122 36

1 36

y resultando (E[X])2 = 51:4

var[X] = E[X 2 ]

72 = 2:4

Para el cálculo de la F.d. D. , utilizaremos la expresión 3.15, y actuando del mismo modo que en el ejercicio anterior obtendremos:

F (x) =

3. Calculemos las siguientes probabilidades:

8 > 0 > > 1 > > > 36 > > 3 > > 36 > > 6 > > 36 > > 10 > > > < 36 15

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

36

21 > > 36 > 26 > > > 36 > 30 > > > 36 > > 33 > > 36 > > 35 > > > : 36 1

x = > > ;

Observamos que en una familia de cuatro hermanos puede haber cero, una, dos, tres o cuatro niñas . Por ello los posibles valores que puede tomar la variable X serían: X

0; 1; 2; 3; 4

Para obtener la función de probabilidad de X utilizaremos la regla de Laplace: p[X = 0] = p[X = 1] = p[X = 2] = p[X = 3] = p[X = 4] =

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1 16 4 16 6 16 4 16 1 16

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2. Para calcular la esperanza, varianza y desviación típica de X, utilizaremos en este caso una tabla: xi p[X = xi ] xi p[X = xi ] x2i p[X = xi ]

0

1

2

3

4

1 16

4 16 4 16 4 16

6 16 12 16 24 16

4 16 12 16 36 16

1 16 4 16 16 16

0 0

TOTAL 1 2 5

utilizando las expresiones 3.12 y 3.14 obtenemos: E[X] = 2 niñas 2

= 5

p = +

22 = 1 2

= 1 niñas.

3. No Obstante, podríamos calcular la función de probabilidad de dicha variable de otro modo: Consideremos Xi la variable aleatoria Bernoulli siguiente: Xi =

1 si el i-ésimo hermano de la familia es NIÑA 0 si el i-ésimo hermano de la familia es NIÑO

i = 1; 2; 3; 4

siendo : p = p[Exito] = p[Xi = 1] =

1 2

q = p[F racaso] = p[Xi = 0] =

1 2

Como los nacimientos se consideran independientes unos de otros, implica que estas variables Bernoulli son independientes entre sí, por tanto: X1 ; X2 ; X3; X4 v.a. Be( 12 ) Xi son independientes

=) X =

4 X

Xi

i=1

1 B(4; ) 2

es decir, la variable X , que representa el número de éxitos del experimento aleatorio de tipo Bernoulli “NACER CHICA”, se distribuye según una Binomial B(4; 12 ): Como todos sabemos en una v.a. X

B(4; 21 ), se veri…ca: p[X = k] =

n k

pk q n

k

(3.16)

y 1 = 2 niñas 2 1 1 var[X] = n p q = 4 =1 2 2 p p = n p q = 1 = 1 niña E[X] = n p = 4

Ejercicio 21 Consideremos la siguiente función: f (x) =

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K x2 si 0 0 en

x 10 c:c:

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1. Calcula el valor de K para que f (x) sea función de densidad de una v.a. X. 2. Calcula y representa la función de distribución. 3. Si X representa el número de unidades vendidas de cierto producto en un día, ¿cuál es el número medio de ventas realizadas cada día?

Solución.1. f (x) será función de densidad si:

8 8x 2 < > < Zf (x) 0 f (x)dx = 1 > :

(3.17)

<

por tanto imponiendo la segunda condición: +1 Z

f (x)dx = 1 =)

1

Z10

K x2 dx = 1 =) K =

0

1 Z10

=

3 1000

x2 dx

0

resultando: f (x) =

0:003 x2 si 0 0 en

x 10 c:c:

Siendo su representación grá…ca:

2. La F.d.D. de una variable aleatoria continua viene dada por : F (x) = p[X

x] =

Zx

1

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f (s) ds

8x2<

(3.18)

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Por tanto tendremos que: F (x) =

F (x) =

8 > > < Z > > :

x

0

8 > > < Z > > :

0

x

si

x