Ejercicios Tema 4 Inferencia estadística 1. Sea X el incremento de los ingresos salariales mensuales producidos en el sector de la industria agroalimentaria en Navarra. Si

X ~ N (100, 5) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor de 101 € si n = 25 y si n = 100?

2. De una población N(10,4) se toman muestras aleatorias de tamaño 100. Calcúlese la probabilidad que la media muestral sea mayor que 10,1.

3. Se cree que la distribución de ingresos es

X ~ N (8, 2) en miles de euros. Se toma una muestra y se calcula la media X . a) Si la muestra es n = 100 y X = 8,3 , teniendo en cuenta la distribución muestral, ¿confirma este resultado la creencia inicial? b) Si la muestra es n = 100 y X = 8,4 , teniendo en cuenta la distribución muestral, ¿confirma este resultado la creencia inicial? c) Si la muestra es n = 10 y X = 8,4 , teniendo en cuenta la distribución muestral, ¿confirma este resultado la creencia inicial?

4. Una fábrica de bebidas utiliza botellas de 33 cl. La cantidad de bebida de cada botella es importante, pero varía de una botella a otra. No se quiere llenar las botellas con menos líquido del debido, porque tendría problemas en cuanto a la veracidad de lo que especifica la etiqueta. Tampoco puede llenar en exceso las botellas debido a que regalaría bebida y así reduciría sus beneficios. Sus registros indican que la cantidad de bebida sigue una distribución de probabilidad normal. La cantidad media es 33 cl., y la desviación típica de la población es 1 cl. Un técnico de calidad selecciona al azar 25 botellas de la línea de llenado. La cantidad media que contienen las botellas es 33,4 cl. ¿Es éste un resultado poco probable? Si se obtiene una muestra aleatoria de 100 botellas y su media es 33,2 ¿es este suceso más o menos probable que el anterior?

5. Se está probando una nueva dieta para aumentar la producción de leche en vacas para ordeño. Una muestra aleatoria de 10 vacas había experimentado las siguientes ganancias en litros semanales: 18 25 6 11 15 20 16 19 12 17. Suponiendo normalidad: a) Halle un intervalo de confianza de la media poblacional al 99%. b) Explique sin realizar los cálculos si el intervalo de confianza de la media poblacional al 90% sería mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado a). 1

6. De una distribución N(5,2) se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 20, con media X y de una distribución N(−4,10) otra muestra aleatoria simple de tamaño 25 e independiente de la primera con media Y . Calcúlese .P (X − Y ≤ 15) 7. Supongamos que se ha realizado recientemente un estudio con camioneros que tenían más o menos el mismo número de años de experiencia para comprobar el comportamiento de 24 camiones de un determinado modelo en la misma autopista. Estima la media poblacional del consumo de combustible de este modelo de camión con una confianza del 90% suponiendo normalidad y que el consumo de combustibles, en l/100km de estos 24 camiones es: 15.5, 21.0, 18.5, 19.3, 19.7, 16.9, 20.2, 14.5, 16.5, 19.2, 18.7, 18.2, 18.0, 17.5, 18.5, 20.5, 18.6, 19.1, 19.8, 18.0, 19.8, 18.2, 20.3, 21.8.

8. Se ha extraído una muestra aleatoria de 250 viviendas de una gran población de viviendas antiguas para estimar la proporción cuya instalación eléctrica es peligrosa. Si el 30% de las viviendas tiene realmente una instalación peligrosa, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra que tienen una instalación eléctrica peligrosa está comprendida entre el 25 y el 35%?

9. Se ha estimado que el 43% de los estudiantes de ITA cree que las asignaturas de estadística son muy importantes en sus estudios. Halle la probabilidad de que más de la mitad de una muestra aleatoria de 80 estudiantes crea eso.

10.El director de la oficina de colocación de una Escuela de Agrónomos quiere estimar los sueldos anuales medios que perciben los licenciados cinco años después. Una muestra aleatoria de 25 licenciados tenía una media muestral de 52.740€ y una cuasidesviación típica muestral de 3.870€. Halle el intervalo de confianza de la media poblacional al 90% suponiendo que la población sigue una distribución normal.

11.Se pide a muestras aleatorias independientes de profesores de producción agraria y de profesores de estadística que indiquen el número de horas que dedican a preparar cada clase. La muestra de 321 profesores de estadística tiene un tiempo medio de 3,01 horas de preparación y la muestra de 94 profesores de producción agraria tiene un tiempo medio de 2,88 horas. Basándose en estudios similares anteriores, se supone que la desviación típica poblacional de los profesores de estadística es 1,09 y que la desviación típica poblacional de los profesores de producción agraria es 1,01. Halle el intervalo de confianza al 95% de la diferencia de medias.

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12.Un proceso produce paquetes de café. El peso contenido en estos paquetes sigue una distribución normal que tiene una desviación típica de 12 gramos. El contenido de una muestra aleatoria de 25 paquetes tiene un peso medio de 198 gramos. Halle los límites superior e inferior del intervalo de confianza al 99% del verdadero peso medio de todos los paquetes de café producidos en el proceso.

13.En dos ciudades se llevó a cabo una encuesta sobre el coste de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por cuatro personas. De cada ciudad se seleccionó aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentación. Las medias muestrales fueron 135 y 122. Si se supone que las muestras son independientes y proceden de poblaciones con distribución normal y desviaciones típicas σx = 15 y σy = 10, obtenga el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias.

14.En dos ciudades se llevó a cabo una encuesta sobre el coste de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por cuatro personas. De la ciudad 1 se seleccionó aleatoriamente una muestra de 17 familias, y de la ciudad 2 una muestra aleatoria de 20 familias, observándose sus gastos semanales en alimentación. Las medias y las cuasidesviaciones típicas muestrales fueron las siguientes: x = 135 y = 122 S1 x = 15 S1y = 10 Si se supone que las poblaciones muestrales son independientes y proceden de poblaciones con distribución normal, obtenga el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias.

15.El gasto en ocio (Xi) y en viajes (Yi) obtenidos en una muestra aleatoria de 8 personas son los siguientes: i 1 2 3 4 5 6 7 8

Xi 19,4 18,8 20,6 17,6 19,2 20,9 18,3 20,4

Yi 19,6 17,5 18,4 17,5 18,0 20,0 18,8 19,2

Calcula el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias suponiendo distribuciones normales. 3

16.Suponemos que el tiempo que permanecen los clientes en una tienda local de alimentación sigue una distribución normal. Una muestra aleatoria de 16 clientes tenía un tiempo medio de 25 minutos. Supongamos que σ = 6 minutos. Halle la desviación típica del estimador, el margen de error y la amplitud del intervalo de confianza de la media poblacional µ al 95%.

17.La facturación de una cadena de ropa con 10 tiendas durante 2007 y 2008 fue la siguiente: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi 132,1 128,7 196,1 251,2 172,7 168,3 147,5 192,5 201,7 151,6

Yi 133,5 126,2 215,4 222,2 161,5 162,2 153,7 199,1 198,2 148,8

Suponiendo que la facturación se distribuye como una distribución normal, calcula el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias.

18.Una compañía aérea necesita estimar el número medio de pasajeros en un vuelo de reciente apertura. Para ello considera una muestra aleatoria de 40 días hábiles, obteniendo una media muestral de 112. Suponiendo que la desviación típica es semejante a la de otros vuelos, 25, obtenga el intervalo de confianza al 95% para el número medio de pasajeros del vuelo.

19.En una nueva urbanización de Pamplona hay 250 familias. Una encuesta entre 40 familias revela que la hipoteca media mensual es de 750€. Sabiendo por estudios similares que la desviación típica es de 175€, elabore un intervalo de confianza del 90% para la hipoteca media mensual.

20.Los sindicatos de una empresa agroalimentaria de Navarra consideran la propuesta de un ERE temporal. Para llegar a un acuerdo, al menos la mitad de los trabajadores deben aprobar el ERE temporal. Una muestra aleatoria de 200 trabajadores revela que 120 planea votar a favor. ¿Cuál es el estimador de la proporción de la población? Desarrolle un intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población. Basando su decisión en la información de la muestra, ¿se puede llegar a la conclusión de que la proporción necesaria de trabajadores están a favor del ERE temporal? ¿Por qué?

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21.La Cámara de Comercio de una región quiere tener información sobre el sueldo neto medio de los gerentes de industrias agroalimentarias. Una muestra aleatoria de 256 gerentes revela una media de la muestra de 45.420€. La cuasidesviación típica de esta muestra es 2.050€. a) ¿Cuál es la media de la población? b) ¿Cuál es un rango de valores para la media poblacional con un nivel de confianza del 95%?

22.Un periodista quiere determinar la cantidad media que ganan los concejales como remuneración. El error al estimar la media debe ser menor de 100€, con una confianza del 95%. El periodista encontró un informe del Departamento de Trabajo en el que la desviación típica se estimaba en 1.000€. ¿Cuál es el tamaño de muestra requerido? En el estudio anterior también calcula la proporción de los municipios que tienen recolectores de basura privados. El periodista quiere que el error sea como mucho 0,10, que la confianza sea del 90% y no tomar ninguna estimación disponible para la proporción de la población. ¿Cuál es el tamaño de muestra que se requiere?

23.Preocupa la velocidad a la que se conduce en un determinado tramo de una autopista. El radar indica la siguiente velocidad de una muestra aleatoria de siete automóviles en km/hora: 79 73 68 77 86 71 69. Suponiendo que la población sigue una distribución normal, halle el margen de error del intervalo de confianza al 95% de la velocidad media de todos los automóviles que circulan por este tramo de la autopista.

24.Se sabe que el peso de las verduras congeladas que produce una fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,12 kg. Una muestra aleatoria de 16 bolsas de verduras de la producción de hoy tenía un peso medio de 4,07 kg. a) Halle el intervalo de confianza al 99% del peso medio de todas las bolsas de verduras congeladas producidas hoy. b) Explique sin realizar los cálculos si el intervalo de confianza al 95% de la media poblacional tendría más amplitud, menos o igual que la obtenida en el apartado a). c) Se decide que mañana se tomará una muestra de 20 bolsas de verduras congeladas. Explique sin realizar los cálculos si el intervalo de confianza al 99% del peso medio de la producción de mañana calculado correctamente tendría más amplitud, menos o igual que la obtenida en el apartado a). d) Suponga que la desviación típica poblacional de la producción de hoy es de 0,15 kg (no 0,12 kg). Explique sin realizar los cálculos si el intervalo de confianza al 99% del peso medio de la producción de hoy calculado correctamente tendría más amplitud, menos o igual que la obtenida en el apartado a).

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25.Se sabe que la desviación típica de los volúmenes de las botellas de 500 ml de agua mineral embotellada por una empresa es de 6 ml. Se ha tomado una muestra aleatoria de 90 botellas y se han medido. Si los volúmenes de las botellas siguen una distribución normal, halle el intervalo de confianza al 92% de la media poblacional de los volúmenes.

26.Una tienda de ropa tiene interés en saber cuánto gastan los estudiantes universitarios en ropa durante el primer mes del año escolar. El gasto medio de una muestra aleatoria de 9 estudiantes es de 157,82€ y la cuasidesviación típica muestral es de 38,89€. Suponiendo que la población sigue una distribución normal, halle el margen de error y el intervalo de confianza al 95% de la media poblacional.

27.En una muestra aleatoria de 95 empresas del sector agroalimentario, 67 han indicado que su empresa ha obtenido la certificación ISO de calidad en los dos últimos años. Halle el intervalo de confianza al 99% de la proporción poblacional de empresas que han recibido la certificación en los dos últimos años.

28.Se desea comprobar si la producción diaria media de tomates en cultivo hidropónico en un invernadero es de 55 kilogramos. Para ello se consideran los siguientes datos correspondientes a los kilogramos de tomates producidos en 15 invernaderos de la misma superficie durante un día: 55 56 60 55 69 67 59 55 58 53 63 46 67 64 61 Suponiendo que la variable “producción” sigue una distribución normal: a) Calcula el intervalo de confianza del 95% para la producción media. Interprétalo. b) Realiza el correspondiente contraste de hipótesis al nivel de significación α = 0,05. Interprétalo. c) Contrasta si la producción media supera los 55 kg. al nivel de significación α = 0,10. Interprétalo.

29.Todo el mundo sabe que el ejercicio físico es importante. Recientemente, se han encuestado y se ha preguntado a los estudiantes de la universidad cuántos minutos dedican diariamente a hacer algún tipo de ejercicio riguroso. En una muestra aleatoria de 50 estudiantes, el tiempo medio dedicado diariamente a hacer algún tipo de ejercicio riguroso era de media hora. Se observó que la cuasidesviación típica era de 4,2 minutos. Suponiendo normalidad, halle una estimación del intervalo al 90% del tiempo que dedican diariamente los estudiantes a hacer algún tipo de ejercicio riguroso.

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30.En una muestra aleatoria de 198 estudiantes de ITA, 98 consideraban que no se arrepentían de los estudios elegidos. Basándose en esta información, un estadístico calculó el intervalo de confianza de la proporción poblacional que iba de 0,445 a 0,545. ¿Cuál es el nivel de confianza del intervalo?

31.Ante la epidemia de Gripe A, el gobierno ha recomendado vacunarse a los grupos de riesgo. Si sólo se han vacunado 40 personas de una muestra de 246 personas de riesgo, estime con una confianza del 98% la proporción de todas las personas incluidas en el grupo de riesgo que se han vacunado contra la Gripe A.

32.Se desea analizar si la utilización de dos fertilizantes diferentes, A y B, afecta al grosor de los espárragos. Para ello, se seleccionaron 20 parcelas y se asignaron aleatoriamente e independientemente los fertilizantes A y B, obteniéndose los siguientes resultados en mm. A: 29.2 20.9 30.4 33.6 21.4 12.9 26.4 26.3 20.2 18.9 B: 19.3 16.2 22.4 16.1 31.2 25.6 23.1 18.1 30.0 15.1 Suponiendo que el grosor de los espárragos se distribuye normalmente en ambos grupos y que las varianzas poblacionales son iguales: a) Calcula el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias. b) Contrasta con un nivel de significación del 5% si existe diferencia en el grosor medio de los espárragos según el fertilizante utilizado.

33.Se desea comprobar si un suplemento alimenticio rico en carbohidratos no estructurales es capaz de aumentar la producción diaria de leche. Para ello se tomó un grupo de 20 vacas lecheras y se midió la producción diaria (en litros). A continuación, tras suministrarles el suplemento alimenticio durante un mes, se volvió a cuantificar la producción de leche. Los datos obtenidos fueron: Vaca Antes Después

1 18.1 26.2

2 19.3 26.4

3 19.2 28.5

4 20.4 33.1

5 21.5 32.2

6 20.2 30.2

7 18.8 30.4

8 18.9 29.3

9 17.9 28.5

10 21.1 29.2

Vaca Antes Después

11 16.7 32.4

12 18.0 31.0

13 19.0 30.3

14 22.1 29.6

15 20.0 29.5

16 21.1 34.0

17 21.0 30.7

18 20.2 32.0

19 18.5 30.0

20 19.5 26.7

Suponiendo que la “producción diaria de leche” se distribuye normalmente: a) Calcula el intervalo de confianza al 98% para la diferencia de medias. Interprétalo. b) Contrasta con un nivel de significación del 5% si el suplemento alimenticio aumenta la producción diaria de leche.

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34.El Departamento de Desarrollo Rural y Medio Ambiente está preocupado por el envejecimiento de la población dedicada al sector primario. Además, se tiene la sospecha que el envejecimiento no se da por igual en toda Navarra, sino que en la Ribera es menos acusado que en el norte. Se tomaron dos muestras aleatorias de agricultores de la zona norte y de la Ribera, y se preguntó por su edad: Norte Ribera

86 23

74 67

42 55

47 57

61 39

33 62

39 56

41 44

60 52

Suponiendo normalidad y varianzas poblacionales iguales: a) Estima un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de edades medias. b) Contrasta si la edad media de los agricultores del norte es superior a la edad media de los agricultores de la Ribera. Utiliza un nivel de significación del 5%.

35.Una compañía del sector agroalimentario desea introducir sus yogures en un nuevo mercado, por lo que encarga a su centro de investigación analizar cuáles deberían ser el aspecto y la textura de éstos para que tuvieran una mejor aceptación. Uno de los investigadores cree que deberían ser más líquidos que de costumbre. Para estimar la proporción de personas que, en el nuevo mercado, aceptaría estos yogures más líquidos, se decidió realizar una degustación con una muestra aleatoria de 500 potenciales clientes; de ellos, 280 opinaron favorablemente sobre estos yogures más líquidos. a) Calcula un intervalo de confianza para la proporción poblacional con una confianza del 95%. b) A la vista de estos datos y con un 1% de significación, ¿puede afirmarse que el porcentaje de aceptación de estos yogures no superaría el 50% del nuevo mercado?

36.Se ha preguntado a una muestra aleatoria de 174 estudiantes universitarios por el número de horas semanales que navegan por Internet en busca de información personal o de material para realizar los trabajos de curso. La media muestral de las respuestas es de 6,06 horas y la cuasidesviación típica muestral es de 1,43 horas. Basándose en estos resultados y suponiendo normalidad, se ha calculado el intervalo de confianza de la media poblacional que va de 5,96 a 6,16. Halle el nivel de confianza de este intervalo.

37.Suponga que en una muestra de 350 agricultores navarros se observó que 250 de ellos tenían asegurados sus cultivos. a) ¿Cuál es el margen de error de una estimación de la proporción poblacional de agricultores navarros asegurados considerando un intervalo de confianza al 99%? b) Indique sin realizar los cálculos si el margen de error de una estimación similar a la anterior pero con un nivel de confianza del 95% es mayor, menor o igual que el obtenido en el apartado anterior en el que el niel de confianza era del 99%. 8

38.Se desea hallar el intervalo de confianza de la diferencia entre las medias de dos poblaciones que siguen una distribución normal basándose en las siguientes muestras dependientes: antes después

6 8

12 14

8 9

10 13

6 7

a) Halle el margen de error a un nivel de confianza del 90%. b) Halle el LSC y el LIC a un nivel de confianza del 90%. c) Halle la amplitud del intervalo de confianza al 95%.

39.El muestreo aleatorio independiente de dos poblaciones que siguen una distribución normal da los siguientes resultados:

nx = 64 x = 400 σ x = 20 ny = 36 y = 360 σ y = 25 Halle una estimación del intervalo de confianza al 90% de la diferencia entre las medias de las dos poblaciones.

40.Una empresa pastelera artesana sabe que el número de roscos de reyes producidos por hora por la máquina A y por la máquina B siguen una distribución normal con una desviación típica de 8,4 piezas en el caso de la máquina A y una desviación típica de 11,3 piezas en el de la máquina B. La cantidad media por hora producida por la máquina A en una muestra aleatoria de 40 horas es de 130 unidades; la cantidad media por hora producida por la máquina B en una muestra aleatoria de 36 horas es de 120 unidades. Halle el intervalo de confianza al 95% de la diferencia entre los números medios de roscos de reyes producidos por hora por estas dos máquinas.

41.El supervisor de una empresa embotelladora de zumo de naranja está considerando la posibilidad de comprar una nueva máquina para embotellar botellas de medio litro de zumo de naranja puro del 100% y quiere una estimación de la diferencia entre los pesos medios de las botellas que se llenan con la nueva máquina y los de las botellas que se llenan con la antigua. Se han tomado muestras aleatorias de botellas de zumo de naranja embotelladas por las dos máquinas. ¿Indican los datos siguientes que existe una diferencia entre el peso medio de las botellas llenadas con la nueva máquina y el de las botellas llenadas con la antigua? Analice los supuestos. Media Cuasidesviación típica Tamaño de la muestra

nueva 470 ml 5 ml 15

antigua 460 ml 7 ml 12

42.Las muestras aleatorias independientes procedentes de dos poblaciones que siguen una distribución normal dan los siguientes resultados: 9

nx = 10 x = 480 s1x = 30 ny = 12 y = 520 s1y = 25 a) Si suponemos que las varianzas poblacionales son iguales, ¿cuál es el intervalo de confianza al ferencia entre las medias poblacionales? b) Si suponemos que las varianzas poblacionales son iguales, ¿cuál es el intervalo de confianza al ferencia entre las medias poblacionales?

desconocidas 90% de la didesconocidas 95% de la di-

43.Un ganadero sin escrúpulos quiere estimar el efecto que produce un medicamento ilegal sobre el engorde del ganado. Administra el medicamento a 9 animales, obteniéndose una ganancia de peso media de 27,3kg y una cuasivarianza muestral de 7,2kg. Utiliza una muestra de control de 10 animales a los que no administra el medicamento. Su ganancia de peso media fue de 19,1kg, con una cuasivarianza muestral de 8,7kg. Suponiendo que las distribuciones poblacionales son normales y tienen varianzas iguales, halle el intervalo de confianza al 90% de la diferencia entre las medias poblacionales de las ganancias de peso.

44.Las muestras aleatorias independientes procedentes de dos poblaciones que siguen una distribución normal dan los siguientes resultados:

nx = 15 x = 400 s1 x = 20 ny = 13 y = 360 s1y = 25 Suponga que las varianzas poblacionales desconocidas son iguales y halle el intervalo de confianza al 90% de la diferencia entre las medias poblacionales.

45.Los estudiantes de ITA matriculados de la asignatura de estadística fueron asignados a dos profesores distintos de prácticas. Los 21 estudiantes de la clase de uno de los profesores obtuvieron una clasificación media de 72,1 en el examen final, con una cuasidesviación típica de 11,3. Los 18 del segundo obtuvieron una calificación media en el examen final de 73,8 y una cuasidesviación típica de 10,6. Suponga que estos datos pueden considerarse muestras aleatorias independientes procedentes de poblaciones que siguen una distribución normal y tienen varianza común. Halle el intervalo de confianza al 90% de la diferencia entre las medias poblacionales.

46.Durante 2000 y 2001, muchos europeos se negaron a comprar alimentos modificados genéticamente y producidos por agricultores estadounidenses. Los agricultores estadounidenses sostenían que no existía ninguna prueba científica que llevara a concluir que estos productos no eran saludables. Los europeos sostenían que, aun así, po10

drían plantear problemas. Se quiere contrastar la seguridad de los alimentos modificados genéticamente: a) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa desde el punto de vista de los europeos. b) Formule la hipótesis nula y la hipótesis alternativa desde el punto de vista de los agricultores estadounidenses.

47.Una empresa que recibe envíos de pilas comprueba una muestra aleatoria de 9 antes de aceptar un envío. Quiere que la verdadera duración media de todas las pilas del envío sea al menos de 50 horas. Sabe por experiencia que la distribución poblacional de la duración es normal y tiene una desviación típica de 3 horas. La duración media de una muestra de 9 pilas de un envío es de 48,2 horas. Contraste al nivel del 10% la hipótesis nula de que la media poblacional de la duración es al menos de 50 horas.

48.Un centro de investigación de ingeniería sostiene que, utilizando un nuevo sistema de control informático, los tractores deben lograr, en promedio, 3 kilómetros más por litro de gasoil. Se ha utilizado una muestra aleatoria de 100 tractores para evaluar este producto. La media muestral del aumento de los kilómetros por litro logrados es de 2,4 y la cuasidesviación típica muestral es de 1,8 km/l. Suponiendo normalidad contraste la hipótesis de que la media poblacional es al menos de 3 km/l.

49.Un proceso que produce garrafas de aceite para el sector de la hostelería, cuando funciona correctamente, produce garrafas cuyo contenido es, en promedio, 20 litros. Una muestra aleatoria de 9 garrafas procedentes de un lote tiene el siguiente volumen: 21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9. Suponiendo que la distribución poblacional es normal, contraste al nivel del 5% la hipótesis de que el proceso funciona correctamente frente a una hipótesis alternativa bilateral.

50.Una bodega de vino sostiene que una nueva presentación, que consiste en una foto de tamaño real de un conocido ex−ciclista, aumentará las ventas del producto en los supermercados en una media de 50 cajas en una semana. En una muestra aleatoria de 20 supermercados, las ventas medias aumentaron en 41,3 cajas y la cuasidesviación típica muestral fue de 12,2 cajas. Contraste al nivel del 5% la hipótesis nula de que la media poblacional del aumento de las ventas es al menos de 50 cajas, indicando los supuestos que postule.

51.Se ha preguntado a una muestra aleatoria de 202 alumnos de la universidad si están a favor de que la biblioteca permanezca abierta las 24 horas del día, los 7 días de la semana (excepto festivos señalados). En esta muestra, 140 alumnos piensan que sí. Contraste al ni11

vel de significación del 5% la hipótesis de que al menos el 75% de todos los alumnos de la universidad defiende esta idea.

52.En una muestra aleatoria de 802 compradores en supermercados había 378 que preferían las marcas blancas si su precio era más bajo. Contraste al nivel de significación del 10% la hipótesis nula de que al menos la mitad de todos los compradores prefería las marcas blancas.

53.Se sabe que en las industrias agroalimentarias el personal debe trabajar horas extras en ciertos momentos del año. Se cree que los hombres y las mujeres no se ven afectados del mismo modo. Se han tomado muestras aleatorias independientes de 151 hombres y 108 mujeres. En el primer grupo, la media de horas extras al mes fue 85,8 y la cuasidesviación típica muestral 19,13. En el segundo, 71,5 y 12,2, respectivamente. Suponiendo normalidad, contraste la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la hipótesis alternativa de que la media de horas extra es mayor en el caso de los hombres que en el de las mujeres.

54.El dueño de una frutería de tamaño grande, para planificar el volumen de personal, quiere averiguar si existen pruebas contundentes de que las ventas son mayores los lunes que los sábados. Se recogen muestras aleatorias de 25 sábados y 25 lunes de una población de varios años de datos. Las muestras se extraen independientemente. Los datos obtenidos son los siguientes:

n L = 25

x L = 1.078

s1L = 633

n S = 25

y S = 908,2 s1S = 469,8

Contraste la hipótesis de que la venta los lunes es mayor que los sábados con un nivel de significación del 5% suponiendo normalidad y varianzas iguales.

55.Se quiere compara el uso de estiércol de vaca con el de pavo como fertilizante. Históricamente, los agricultores han utilizado estiércol de vaca en los maizales. Recientemente, un importante criador de pavos vende el estiércol a un precio favorable. Los agricultores han decidido que sólo utilizarán este nuevo fertilizante si existen pruebas contundentes de que la productividad es mayor que cuando se utiliza estiércol de vaca. Para contrastar la hipótesis se utiliza estiércol de vaca en un conjunto de 25 explotaciones agrícolas seleccionadas aleatoriamente. La media muestral de la productividad es 100. Basándose en la experiencia, supone que la varianza de la productividad de estas explotaciones es 400. Se utiliza estiércol de pavo en una segunda muestra aleatoria de 25 explotaciones y la media muestral de la productividad es 115. Basándose en algunos estudios publicados, se supone que la varianza de estas explotaciones es 625. Los dos conjun12

tos de muestras aleatorias son independientes. Utiliza un nivel de significación de 0.05 y supón normalidad.

56.Una empresa congeladora de Navarra desea averiguar si las ventas semanales de las bolsas de bróculi congelado de 250 gr. han aumentado. En los últimos seis meses se ha vendido una media semanal de 2.400 bolsas. Se ha obtenido una muestra aleatoria de datos de ventas de 134 tiendas y los resultados han sido los siguientes: x = 3.593 S1 = 4.919 Realiza el contraste suponiendo normalidad y utilizando un nivel de significación α = 0.05.

57.Una empresa del sector agroalimentario nos pide ayuda para analizar un proceso de producción. Este proceso consiste en hacer galletas cuyo diámetro sigue una distribución normal de media poblacional 2 cm y desviación típica poblacional 0,06 cm. Una muestra aleatoria de 9 mediciones tenía una media muestral de 1,95 cm. Utiliza el nivel de significación α = 0.05 para averiguar si la media muestral observada es excepcional y sugiere que debe ajustarse la máquina.

58.Una organización de consumidores quiere contrastar si un tratamiento de adelgazamiento ofertado por un establecimiento de dietética es efectivo. Para ello se toma una muestra aleatoria de 10 personas que se han sometido al tratamiento y recoge su peso antes y después. individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi: peso antes 96 81 77 92 78 67 106 88 76 69

Yi: peso después 92 77 81 90 76 61 103 91 77 63

Utilice un nivel de significación del 5% y suponga normalidad.

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