El azar y sus modelos Rolando Rebolledo

Plan

1. Los nombres del azar. 2. La larga historia del azar. 3. La determinaci´ on m´ ultiple de los fen´ omenos naturales. 4. Interdependencia e interacci´ on. 5. Las leyes del azar. 6. El papel de las probabilidades. 7. Del debate filos´ ofico.

Los nombres del azar

• De su etimolog´ıa en Espa˜ nol zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados, Espa˜ na 1283)

Los nombres del azar

• De su etimolog´ıa en Espa˜ nol zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados, Espa˜ na 1283) • Un sin´ onimo importante alea −→ aleatorio (la suerte, tambi´en asociado con el juego de dados)

Los nombres del azar

• De su etimolog´ıa en Espa˜ nol zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados, Espa˜ na 1283) • Un sin´ onimo importante alea −→ aleatorio (la suerte, tambi´en asociado con el juego de dados) • Otro sin´ onimo de importancia stokhos (objetivo, blanco en el juego de los dardos) −→ stokhastikos (que apunta bien, h´abil para conjeturar) −→ estoc´astico (adjetivo puesto en uso en Matem´aticas en 1953)

La larga historia del azar

Algunos hitos: • Carneades

La larga historia del azar

Algunos hitos: • Carneades Ya en la antig¨ uedad griega hay antecedentes sobre la aparici´ on de una escuela llamada “probabilista”. Se trata de un momento del desarrollo de la Academia, dirigida en el siglo II A.C. por un sucesor de Plat´ on, su disc´ıpulo Carneades. Carneades buscaba un criterio para decidir sobre opiniones inciertas. Es decir, ´el distingu´ıa el valor objetivo de la opini´ on (todas las opiniones son inciertas), del valor subjetivo de la misma que mide la seguridad del sujeto acerca de su veracidad.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

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Lo probable parece menos seguro que lo probado, a pesar que las dos palabras tienen la misma etimolog´ıa.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1 • Pascal y la noci´ on de sistema Pascal plantea el problema de la enumeraci´ on y da nacimiento al c´alculo combinatorio, acu˜ nando para ello la noci´ on de sistema.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1 • Pascal y la noci´ on de sistema Pascal plantea el problema de la enumeraci´ on y da nacimiento al c´alculo combinatorio, acu˜ nando para ello la noci´ on de sistema. • Leibniz, Newton y el c´alculo.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1 • Pascal y la noci´ on de sistema Pascal plantea el problema de la enumeraci´ on y da nacimiento al c´alculo combinatorio, acu˜ nando para ello la noci´ on de sistema. • Leibniz, Newton y el c´alculo. • Bernoulli, Poisson

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1 • Pascal y la noci´ on de sistema Pascal plantea el problema de la enumeraci´ on y da nacimiento al c´alculo combinatorio, acu˜ nando para ello la noci´ on de sistema. • Leibniz, Newton y el c´alculo. • Bernoulli, Poisson • Laplace y Gauss

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que var´ıa entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1 • Pascal y la noci´ on de sistema Pascal plantea el problema de la enumeraci´ on y da nacimiento al c´alculo combinatorio, acu˜ nando para ello la noci´ on de sistema. • Leibniz, Newton y el c´alculo. • Bernoulli, Poisson • Laplace y Gauss • Brown y la primera paradoja de la Mec´anica Cl´asica

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos.

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos. • Norbert Wiener, Paul L´evy y la construcci´ on de un modelo matem´atico para el movimiento Browniano.

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos. • Norbert Wiener, Paul L´evy y la construcci´ on de un modelo matem´atico para el movimiento Browniano. • von Neumann y la Mec´anica Cu´antica.

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos. • Norbert Wiener, Paul L´evy y la construcci´ on de un modelo matem´atico para el movimiento Browniano. • von Neumann y la Mec´anica Cu´antica. • Kiyosi Itˆ o y las ecuaciones diferenciales estoc´asticas

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos. • Norbert Wiener, Paul L´evy y la construcci´ on de un modelo matem´atico para el movimiento Browniano. • von Neumann y la Mec´anica Cu´antica. • Kiyosi Itˆ o y las ecuaciones diferenciales estoc´asticas • La Teor´ıa de Capacidades.

• Boltzmann y la Teor´ıa Cin´etico-Molecular de la materia • Markov y la noci´ on de proceso • La Teor´ıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov • Discusiones sobre los fundamentos de la Teor´ıa de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos l´ ogicos. • Norbert Wiener, Paul L´evy y la construcci´ on de un modelo matem´atico para el movimiento Browniano. • von Neumann y la Mec´anica Cu´antica. • Kiyosi Itˆ o y las ecuaciones diferenciales estoc´asticas

• La Teor´ıa de Capacidades. • El desarrollo de la Teor´ıa de Procesos Estoc´asticos (Escuela de Strasbourg).

• La Teor´ıa de Capacidades. • El desarrollo de la Teor´ıa de Procesos Estoc´asticos (Escuela de Strasbourg). • Nacimiento del An´alisis Estoc´astico

• La Teor´ıa de Capacidades. • El desarrollo de la Teor´ıa de Procesos Estoc´asticos (Escuela de Strasbourg). • Nacimiento del An´alisis Estoc´astico • Las teor´ıas no conmutativas (Probabilidades Cu´anticas).

• La Teor´ıa de Capacidades. • El desarrollo de la Teor´ıa de Procesos Estoc´asticos (Escuela de Strasbourg). • Nacimiento del An´alisis Estoc´astico • Las teor´ıas no conmutativas (Probabilidades Cu´anticas). • Los sistemas cu´anticos abiertos. Semigrupos Markovianos Cu´anticos.

La m´ ultiple determinaci´ on de los fen´ omenos naturales

La m´ ultiple determinaci´ on de los fen´ omenos naturales

El uso m´as familiar del t´ermino azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia.

La m´ ultiple determinaci´ on de los fen´ omenos naturales

El uso m´as familiar del t´ermino azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco m´as flexible, se puede tambi´en aplicar la denominaci´ on a un hecho que aparece en la intersecci´ on de dos cadenas causales independientes.

La m´ ultiple determinaci´ on de los fen´ omenos naturales

El uso m´as familiar del t´ermino azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco m´as flexible, se puede tambi´en aplicar la denominaci´ on a un hecho que aparece en la intersecci´ on de dos cadenas causales independientes. As´ı, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o contingente relativamente a un contexto dado de investigaci´ on, si el enunciado que afirma su aparici´ on no deriva de ning´ un otro.

La m´ ultiple determinaci´ on de los fen´ omenos naturales

El uso m´as familiar del t´ermino azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco m´as flexible, se puede tambi´en aplicar la denominaci´ on a un hecho que aparece en la intersecci´ on de dos cadenas causales independientes. As´ı, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o contingente relativamente a un contexto dado de investigaci´ on, si el enunciado que afirma su aparici´ on no deriva de ning´ un otro. Todas estas acepciones ya estaban presentes a principios del siglo XX cuando Poincar´e expresaba en Ciencia y M´etodo la idea de una causalidad

probabilitaria. Seg´ un ´el, la noci´ on de azar no es tanto debida a nuestra ignorancia, sino que m´as bien a una falta de apoyo emp´ırico o experimental que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.

probabilitaria. Seg´ un ´el, la noci´ on de azar no es tanto debida a nuestra ignorancia, sino que m´as bien a una falta de apoyo emp´ırico o experimental que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles. Es decir, los fen´ omenos naturales gozan de una determinaci´ on m´ ultiple que extiende la relaci´ on causa-efecto expresada, por ejemplo, en la Mec´anica Newtoniana.

Interdependencia e interacci´ on

Pero adem´as, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada parte depende del todo y las partes interact´ uan entre s´ı. La interdependencia y la conexi´ on universal dan su base natural al azar.

Interdependencia e interacci´ on

Pero adem´as, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada parte depende del todo y las partes interact´ uan entre s´ı. La interdependencia y la conexi´ on universal dan su base natural al azar. Este aparece entonces como una construcci´ on cultural continua que evoluciona junto con el conocimiento que el hombre desarrolla de la Naturaleza, y en relaci´ on con ella. En esta construcci´ on, las Matem´aticas y el conjunto de las ciencias juegan un rol preponderante. El azar expresa la interdependencia y la interacci´ on de los fen´ omenos naturales entre s´ı y como tal involucra los objetos de estudio de las diferentes ciencias.

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes N´ umeros • Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un l´ımite (la probabilidad de un determinado suceso). • Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matem´atica. • L´ımite hidrodin´amico. • L´ımite erg´ odico.

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes N´ umeros • Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un l´ımite (la probabilidad de un determinado suceso). • Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matem´atica. • L´ımite hidrodin´amico. • L´ımite erg´ odico. 2. Las leyes sobre las fluctuaciones

Las leyes del azar Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes N´ umeros • Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un l´ımite (la probabilidad de un determinado suceso). • Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matem´atica. • L´ımite hidrodin´amico. • L´ımite erg´ odico. 2. Las leyes sobre las fluctuaciones (a) Comportamiento de las peque˜ nas fluctuaciones (Teorema del L´ımite Central).

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De Moivre-Laplace. Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. Convergencia hacia el Movimiento Browniano. Convergencia hacia la ley del semic´ırculo (ley de Wigner)

• De Moivre-Laplace. • Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. • Convergencia hacia el Movimiento Browniano. • Convergencia hacia la ley del semic´ırculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desv´ıos). • Chernof. • Informaci´ on (Entrop´ıa).

• De Moivre-Laplace. • Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. • Convergencia hacia el Movimiento Browniano. • Convergencia hacia la ley del semic´ırculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desv´ıos). • Chernof. • Informaci´ on (Entrop´ıa). 3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evoluci´ on • Entrop´ıa. Convergencia hacia el equilibrio. • Propagaci´ on del caos (Boltzmann y los modelos cin´eticos).

• De Moivre-Laplace. • Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. • Convergencia hacia el Movimiento Browniano. • Convergencia hacia la ley del semic´ırculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desv´ıos). • Chernof. • Informaci´ on (Entrop´ıa). 3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evoluci´ on • Entrop´ıa. Convergencia hacia el equilibrio. • Propagaci´ on del caos (Boltzmann y los modelos cin´eticos). 4. El Principio de Incertidumbre.

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filos´ ofico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en d´ıa?

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filos´ ofico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en d´ıa? Si la Teor´ıa de Probabilidades se interpreta como la modelaci´ on matem´atica del azar, ella est´a en evoluci´ on constante y toda nueva versi´ on debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los fen´ omenos del azar en su ´epoca. La noci´ on de probabilidad est´a subordinada a una determinada aproximaci´ on a los fen´ omenos del azar.

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filos´ ofico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en d´ıa? Si la Teor´ıa de Probabilidades se interpreta como la modelaci´ on matem´atica del azar, ella est´a en evoluci´ on constante y toda nueva versi´ on debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los fen´ omenos del azar en su ´epoca. La noci´ on de probabilidad est´a subordinada a una determinada aproximaci´ on a los fen´ omenos del azar. Durante el siglo XX se comenz´ o por elaborar una primera teor´ıa basada en el concepto matem´atico de medida. La contribuci´ on fundacional de Kolmogorov a este respecto permiti´ o dar expresi´ on matem´atica al menos a

las tres primeras leyes del azar en diferentes contextos. Pero esta teor´ıa se revel´ o insuficiente para dar cuenta del principio de incertidumbre y tratar adecuadamente la F´ısica Cu´antica. En la actualidad existen diversas extensiones no conmutativas del modelo de Kolmogorov que permiten dar cuenta de la totalidad de las leyes del azar discutidas anteriormente.

Modelos algebraicos de probabilidades

Sea A un ´algebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos, dotado de un producto) provista de una operaci´ on involutiva y una unidad 1.

∗

Un estado ϕ sobre A es una aplicaci´ on lineal ϕ : A → C tal que ϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1. El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye a la vez las estructuras b´asicas de la teor´ıa cl´asica de probabilidades y de la Mec´anica Cu´antica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.

Modelos algebraicos de probabilidades

Sea A un ´algebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos, dotado de un producto) provista de una operaci´ on involutiva y una unidad 1.

∗

Un estado ϕ sobre A es una aplicaci´ on lineal ϕ : A → C tal que ϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1. El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye a la vez las estructuras b´asicas de la teor´ıa cl´asica de probabilidades y de la Mec´anica Cu´antica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen. 1. Consid´erese un espacio de probabilidad cl´asico (Ω, F, P). El ´algebra A apropiada es en este caso la de las funciones con valores complejos,

medibles, esencialmente acotadas. La operaci´ on conjugaci´ on y Z XdP, ϕ(X) = Ω

para todo elemento X ∈ A.

∗

corresponde a la

medibles, esencialmente acotadas. La operaci´ on conjugaci´ on y Z ϕ(X) = XdP,

∗

corresponde a la

Ω

para todo elemento X ∈ A. 2. Dado un espacio de Hilbert h, consideramos el ´algebra A de todos los operadores lineales acotados, la operaci´ on ∗ corresponde a la adjunci´ on y dado un operador ρ que tenga traza unitaria ϕ(A) = tr(ρA), para todo A ∈ A, donde tr(·) representa la traza de operadores.Un caso particular corresponde a un operador ρ que sea la proyecci´ on |ψihψ| sobre el espacio generado por un vector unitario ψ ∈ h (funci´ on de onda).

En este contexto se puede analizar la evoluci´ on de sistemas din´amicos cu´anticos que incluyen los llamados sistemas abiertos.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador. ? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes b´asicos est´an en nuestras c´elulas.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador. ? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes b´asicos est´an en nuestras c´elulas. ? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor” en vez de “el observable est´a en el estado tal en un determinado instante”.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador. ? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes b´asicos est´an en nuestras c´elulas. ? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor” en vez de “el observable est´a en el estado tal en un determinado instante”. ? La causalidad es una forma primaria de interrelaci´ on: establece, por ejemplo, una relaci´ on entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleraci´ on. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia m´ ultiples.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador. ? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes b´asicos est´an en nuestras c´elulas. ? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor” en vez de “el observable est´a en el estado tal en un determinado instante”. ? La causalidad es una forma primaria de interrelaci´ on: establece, por ejemplo, una relaci´ on entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleraci´ on. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia m´ ultiples. • Los l´ımites de validez de los diferentes modelos matem´aticos del azar.

Del debate filos´ ofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelaci´ on con el observador. ? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes b´asicos est´an en nuestras c´elulas. ? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor” en vez de “el observable est´a en el estado tal en un determinado instante”. ? La causalidad es una forma primaria de interrelaci´ on: establece, por ejemplo, una relaci´ on entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleraci´ on. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia m´ ultiples. • Los l´ımites de validez de los diferentes modelos matem´aticos del azar.

? ¿Es posible dise˜ nar un procedimiento de selecci´ on para el uso de una determinada teor´ıa de probabilidades? • De la relaci´ on entre diferentes ciencias a la luz de los fen´ omenos del azar. El progreso de las diferentes ciencias aumenta nuestro conocimiento de las leyes del azar y determina nuevas relaciones entre ellas. Se abren nuevos campos para la investigaci´ on multidisciplinaria.