EL AZAR Y LA PROBABILIDAD Prof. José Luis Pittamiglio Los experimentos cuya realización depende del azar, se llaman sucesos aleatorios. La teoría de las probabilidades se ocupa de medir hasta qué punto se puede esperar que ocurra un suceso. A esa medida se le llama probabilidad. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. A un suceso imposible se le asigna la probabilidad 0 y si la probabilidad es 1 se le llama suceso seguro. Cuando el instrumento aleatorio presenta ciertas condiciones de regularidad, se puede estimar la probabilidad de cada suceso antes de realizar la experiencia. Se llama frecuencia absoluta o simplemente frecuencia de un suceso S al número de veces que ocurre ese suceso. La frecuencia relativa de un suceso S es la proporción de veces que ocurre ese suceso; es decir frec relat = frec absoluta / nº de veces que se ha hecho la experiencia o de otro modo

Prob (S) = casos favorables / casos posibles

esta última se conoce como LEY DE LAPLACE Por ejemplo si al tirar un dado 120 veces, el 3 ha salido 18 veces, entonces Prob (3) = 18 / 120 = 0,15 es decir 15 %

• EXPERIENCIAS ALEATORIAS Vamos a lanzar un dado 120 veces. Antes de hacerlo razonamos así: el dado tiene 6 caras y no hay motivo para pensar que alguna de ellas deba salir más veces que las demás; lo esperado es que cada cara salga la sexta parte del total de lanzamientos, es decir en 20 ocasiones. Esta será pues la distribución teórica o esperada. Una vez efectuados los lanzamientos, obtenemos unos resultados que dan lugar a la siguiente distribución empírica (es la que se obtiene por medio de la experiencia): X Frec

1 14

2 16

3 18

4 29

5 20

6 23

Esta ha sido una experiencia concreta, pero podemos preguntarnos si los resultados de una experiencia aleatoria se parecen mucho o poco a la distribución esperada. Para responder a esta pregunta hay que lanzar el dado muchas más veces y de ese modo podremos observar cómo, al aumentar el número de lanzamientos, la distribución empírica se parece cada vez más a la teórica. 1

• LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa de un suceso se va acercando cada vez más a un cierto valor esperado, que se llama probabilidad de un suceso.

• SUCESOS ELEMENTALES Al lanzar un dado pueden darse seis casos. Los designamos en un conjunto, así: E = { 1,2,3,4,5,6 } Cada uno de esos casos se llama suceso elemental. El conjunto E de todos ellos se llama espacio muestral. Dos sucesos se llaman incompatibles cuando no tienen ningún suceso elemental en común; es decir cuando es imposible que ocurran simultáneamente. Un suceso se dice que es contrario del suceso S cuando entre ambos se reparten los sucesos elementales del espacio muestral E. Es decir que debe ocurrir uno u otro, pero no ambos. Por ejemplo en el caso del dado son sucesos contrarios { 1,2,3,4 } y {5,6 }

EJERCICIOS

3. 4. 5. 6.

1. Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) que sea una figura, b) que sea basto o espada, c) que sea oro o rey 2. En el lanzamiento de un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 3 o mayor que 4? De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) sea impar, b) sea mayor que 5, c) no sea el 7. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? ¿Y la probabilidad de que no sea blanca? Se lanzan dos monedas. Hallar la probabilidad de obtener: a) dos caras, b) una cara y un número, c) dos resultados iguales, d) ninguna cara, e) por lo menos una cara. Lanzamos dos dados y sumamos los puntos obtenidos. Completa este cuadro en el que aparecen todas las sumas posibles

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3

2 3 4

3 4

4 5

5 6

8

6 7

Calcula la probabilidad de que la suma de puntos sea: a) igual a 9, b) igual a 3, c) igual a 12, d) menor que 7, e) 5 o 6, f) ¿cuál es la suma que tiene mayor probabilidad?

11 2

7. Lanzamos dos dados y anotamos la diferencia entre la mayor y la menor puntuación. Haz un cuadro como el del ejercicio anterior en el que figuren las diferencias posibles. Calcula la probabilidad de que la diferencia sea: a) 0, b) 5, c) 2 como máximo 8. Lanzamos tres dados y anotamos cuál es la mayor puntuación que aparece en ellos. Los resultados de 800 tiradas fueron los de la tabla mayor puntuación nº de veces

1 3

2 24

3 67

4 5 6 152 221 333

Estima la probabilidad de los sucesos: a) la mayor puntuación es un 5, b) no sacar 6 9. Los 100 socios del Club de Pesca “La boga feliz” se distribuyen de la siguiente forma: 48 hombres juegan pool y 16 no lo hacen, 12 mujeres juegan pool y 24 no lo hacen. Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) sea un hombre, b) sea una mujer, c) juegue al pool, d) sea una mujer que juegue al pool, e) sea un hombre que no juegue al pool. 10. Si tiramos dos dados, hallar la probabilidad de que: a) obtengamos en los dos la misma puntuación, b) obtengamos un 6 en alguno de ellos, c) obtengamos en uno de ellos mayor puntuación que en el otro

• EXPERIENCIAS COMPUESTAS Pensemos en el siguiente problema: extraemos una tras otra, tres cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean ASES? Si pretendemos resolverlo con los conocimientos que tenemos hasta ahora, tendríamos que empezar considerando cuál es el espacio muestral: todas las posibles ternas de cartas distintas. El número total de ternas (o casos posibles) es una cantidad enorme. Y de ellos deberíamos contar cuántos grupos de tres ases hay (número de casos favorables). En definitiva, un problema muy complicado. Veamos algún problema parecido, pero más sencillo y luego volveremos a nuestros ases. Problema: Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener PAR en el primero y PUNTUACIÓN MAYOR QUE 2 en el segundo? DADO 1

P (par) = 3/6

DADO 2

P (mayor que 2) = 4/6

La proporción de individuos que superan las dos pruebas a la vez es 3/6 x 4/6 = 12/36 = 1/3 o sea P(par en la 1ª y mayor que 2 en la 2ª) = 1/3 3

Siguiendo el ejemplo que acabamos de ver, resuelve los siguientes problemas: 1. Hallar la probabilidad de obtener un 5 en el primer dado y una puntuación menor que 5 en el segundo. 2. Obtener un 6 en los dos dados 3. Si lanzas dos monedas ¿cuál es la probabilidad de obtener dos CARAS? 4. Extraes una carta de una baraja española. La miras, la devuelves al montón y haces otra extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean REYES?

5. Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Extraemos dos bolas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? b) ¿Y la probabilidad de que las dos sean negras? c) Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra.

6. Extraemos dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que: a) la primera sea un REY y la segunda sea un AS, b) ambas sean oros impares, c) no salgan COPAS.

• EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás. Por ejemplo: arrojar dos dados, arrojar un dado y una moneda, extraer una bola de una urna y, tras introducirla de nuevo, volver a sacar una bola. Cuando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra x en la primera, y en la segunda y z en la tercera, será: P [x,y,z] = P [ x ] . P [ y ] . P [ z ] Veamos estos tres problemas: 1. Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener CARA en ambas monedas y SEIS en el dado? ¿Cuál la de obtener NÚMERO en las monedas y PAR en el dado?. 2. Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de obtener a) las 5 veces CARA, b) alguna vez NÚMERO. 3. Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja española con reemplazamiento. Hallar la probabilidad de obtener las tres veces BASTOS.

4

• EXPERIENCIAS DEPENDIENTES Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado de una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes. Por ejemplo, veamos qué ocurre cuando extraemos 3 cartas de una baraja y queremos saber la probabilidad de obtener 3 ases. Prob [ 3 ases ] = 4/40 . 3/39 . 2/38 = 1/2470 PROBLEMA: Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos 3 bolas. Hallar la probabilidad de que sean: a) las tres blancas, b) las tres negras, c) al menos una blanca

• EJERCICIOS 1. Un jugador de basketball suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamientos personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que haga 2 puntos, de que haga 1 punto y la de que no haga ningún punto. 2. En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles sucesivos. La probabilidad de que pase el primero es 0,89; la de que pase el segundo es 0,93 y la de superar el tercer control es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto supere las tres pruebas?. 3. Para el próximo examen de Matemáticas hay que estudiar 10 temas, de los cuales solo sabes 6. En el examen tendrás que contestar sobre 2 temas. Calcula la probabilidad de que: a) te sepas los dos temas, b) no te sepas ninguno de los dos, c) te sepas solo uno. 4. En una empresa hay un 65% de hombres y un 35% de mujeres. La dirección evalúa que un 20% de sus empleados está capacitado para desempeñar un puesto de gran responsabilidad. Finalmente deciden que sea una mujer. ¿Qué proporción de sus empleados cumplen ambas condiciones, es decir, ser mujer y apto para el puesto?. 5. ¿Cuál será la probabilidad de que al lanzar 10 monedas se obtenga CARA en todas ellas? ¿Y la de obtener alguna CARA? 6. Calcula la probabilidad de obtener cinco veces un 6 si lanzamos un dado cinco veces 5

7. Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 en los tres? ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún 5? 8. En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) los dos sean chicos, b) sean dos chicas, c) sean un chico y una chica.

9. Después de tirar muchas veces un modelo de chinches, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es de 0,38. Si tiramos dos chinches, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? 10. Extraemos 3 cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que: a) las tres sean figuras, b) dos reyes y un as en cualquier orden. 11. Una chica tiene en su monedero 4 monedas de cinco pesos, 3 de diez pesos y 2 de un peso. Saca dos monedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos: a) que las dos sean de cinco pesos, b) que ninguna sea de diez pesos, c) que saque 15 pesos. 12. Anoche estaba mirando en la tele una película de aventuras. El protagonista caía prisionero de los alemanes, que lo sentaban frente a una mesa en la cual había 7 vasos con agua y le decían que 2 de esos vasos con agua, contenían un veneno absolutamente mortal. Los alemanes lo obligan a tomar 3 vasos de agua. ¿Qué probabilidad tiene de sobrevivir? 13. En un programa de entretenimientos, cada equipo que gana un juego recibe una llave con un número del 1 al 10. Al final del programa, los 10 ganadores van a pasar a probar la llave en un cofre que contiene el premio mayor. Deben intentarlo en orden, según el número que les tocó en suerte. ¿Qué será más conveniente: ir con la llave 1, con la 10 o con la 5?. 14. Carmen y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces consecutivas y si salen dos veces cara o dos veces número, gana Carmen. Si salen tres veces cara o tres veces número, gana Elena. ¿Cuál de las dos tiene ventaja?

Prof. José Luis Pittamiglio

6

• EJERCICIOS DE TODO EL TEMA

1. En un juego tenemos que elegir una tarjeta de cada una de las dos cajas que hay sobre la mesa. En una de ellas hay tres tarjetas con las letras S S N y en la otra tres con las letras O O I ¿Cuál es la probabilidad de formar la palabra SI? ¿Y la palabra NO? Averigua también la probabilidad de no formar ninguna de esas dos palabras. 2. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. a) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume. b) Ahora elegimos tres empleados al azar. Hallar la probabilidad de sean tres fumadores. 3. En una bolsa hay cuatro bolas, dos marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones. Calcula la probabilidad de que el número formado por las tres sea el 121, suponiendo que: a) se repone la bola dentro de la caja y b) no se repone. 4. Tienes una caja de dominó completo. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar al azar una ficha, ésta sea el SEIS DOBLE? ¿Y de que sea una ficha que no tenga SEIS? 5. Supongamos ahora que tienes sobre la mesa la ficha con el SEIS DOBLE, ¿cuál es la probabilidad de que al tomar otra ficha encaje con la que tienes? 6. Lanzamos 3 monedas a la mesa. Calcula la probabilidad de obtener 0 caras y alguna cara. 7. Dejamos caer una pelota en el borde de cemento que rodea una piscina y observamos que, al rebotar, a veces cae al agua (86 veces), otras al césped (27 veces) y otras vuelve a dar en el borde (12 veces). Si tiramos tres veces la pelota, hallar la probabilidad de que: a) caiga al agua las tres veces; b) dos al césped y una al agua; c) ninguna vez vuelva a dar en el borde 8. Tiramos dos dados sobre la mesa. Calcula la probabilidad de: a) obtener UNO en ambos; b) no obtener ningún SEIS; c) obtener algún SEIS 9. Un jugador de básket acierta el 78% de sus tiros. Si tira en tres ocasiones, calcular la probabilidad de que acierte al menos dos tiros.

JLP

7