UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS CON 15 EJERCICIOS RESUELTOS

lng. MARIO RAUL AZOCAR

1969

UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE . FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

;

,~

o¿

CON 75 EJERCICIOS RESUELTOS

lng. MARIO RAUL AZOCAR

1969

PROLOGO

El Algebra Abstracta, con la introducci6n de las Estructuras Algebraicas, ha exigid una actualizaci6n del tratamiento tradicional, de muchos t6picos de Algebra Clásica. Las presentes notas, redactadas en este nuevo esp:íri tu, han si.do especialmente preparadas para los alumnos de la Escuela de Ingenier:ía l.

e•

Este trabajo no tiene pretensi6n ninguna y

~1

habrá cumplido su finalidad fundamental, si

resulta de alguna utilidad a esa juventud capaz, estudiosa y entusiasta 9 con la cual he tenido el privilegio de convivir en las aulas, durante muchos años.

Mario Raa1 Azócar

santiago, Mayo de 1969.

EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

i.

La noci6n de cuerEº·

La idea de campo o cuerpo es un concepto fundamental del algebra, que trataremos de presentar med.iante la introducción de algunas definiciones.

DEF. 1 Se llama operación binaria en un conjunto no vacío: S ={a,

S, y, 6, •••••• }

a todo criterio (*) que asigne a cada par ordenado (a,B) de

* S

elementos de S un único elemento a Veamos un ejemplo.

de S.

Tomemos el conjunto z..i· de los nú-

meros enteros positivos y para cada par ordenado (a,B) de elementos de·~+, asignemos un elemento también de z+, medianj

te el criterio siguiente: o.

* s. = a 2

v

+ B

a e z+

,.,

s

e z+

De acuerdo a esta operación binaria, tenemos 4

*

5

= 16

+ 5

=

21

5

*

4 = 25 + 4 = 29

2.

DEF. 2

Llamaremos grupoide toda pareja (S, *) formada por un conjunto no vacío S y una operaci6n binaria (*) definida en S. DEF. 3

Una operaci6n binaria (*) definida en un conjunto no vacío S se dice conmutativa si

v Veamos un ejemplo. ros y considetemos en a

* e = (Y,.·$ +

~l,

e s

a

A

Tomemos el conjunto

ees z

de los ente-

las dos operaciones siguientes:

1

5

*

4

=

20 + 1

=

21

EntonQesQOmo el producto ordinario es conmutativo

lo

misí:n;··-~r~~· con

la operaci6n (*) y como lf:l resta no es

conmutativa, l.a segunda operaci6n tampoco lo e.s. mos: a

DEF. 4

*

f3 ~

e ·~ 'a

y

As! tene-

3.

vacio S, se dice asociativa si

*

(a

*

B)

*

= a

y

* -, '

CB

Veamos un ejemplo.

c,.es,

V

ries,yes

Tomemos el conjunto

m.

de los nú-

meros reales y definamos en él las operaciones: CI.

a

= CI.

s

*

(3

0

8 = 2a - B

+

+ 5

3

*

4 = 3 + 4 + 5 = 12

3

o

4

=

6 -

Haremos ver que (*) es asociativa, en (a-* B)

*

a·~

B)

o

o

(

B

y

o

y)

o

2

~fecto:

~

= a+S+y+lO

CS +y+ 5) =a+ S + ) + 5 + 5

= a+S+y+lO

1

Contrariamente veamos que

a

=

y = (a + B + 5) *y =a + B + 5 +y +

a* (8 *y)=

(a

4

= (2a

- B)

= a

(

o

o

(o)

no es asociativa

y = 4a - 213 - y ·

2 B - y) = 2a - 2 S + 4y

'1,1

~

DEF. 5 Un grupoide (S, *) tiene elemento

operación (*) si existe un elemento a

*

E '

=E *

a

E

=a

De acuerdo a esta def inici6n es

e

identid~d

para la

S tal que:

V inm~diato

que el gru-

poide ( R, +) admite al cero como elemento identidad, pues:

4.

a + O

=

O+ a

=a

a E;:

IR

Contrariamente el grupoide (z+, +) no tiene elemento identidad o elemento neutro, pues el conjunto 4 Z+, de los ente~os

positivos, no contiene al cero.

También resulta inmediato que el grupoidé (

m.,··•. )

tic.-

ne al µne , (1)., c8tno elemento neutro·~ pués: a

1 ·

=

a. • 1

=a

DEF. 6 Sea (S,

un grupoide con elei:t'lentq id.en'tj.da,d

*)

elemento a de S se dice que tiene inverso bajo·

l~

E:;,

"un

ppetaci6n

(*) si existe en S algún elemento a', tal quet'

a *a.' =a! * a.= El

grupo:i.d.~

E:

( lR, +) tiene como elemento neutro al cero

y cada elementó de" lR, es decir cada número real tiene 1.n-

verso bajo la operación suma (+), pues sabemos que: a +

a) = (- a.) + a. = O

(~

Similarmente el grupoide ( identidad al uno (1) y

cad~

a

e

lR

:m, •,) tiene cdmo elemento

elemento a. # O tiene inverso

naJO la mu!t1p11cac1on, ya que: 1

a • -a.

= -a1

•

Cl

=1

O~a.€

IR

5•

Veamo's ót.;r-o Qj cmplo.

Tomemos arbi trari;mente en el

conjunto JR - {O, 1} un elemento a y consideremos el conjunto

s =

{ak

¡

k

e

Z}

entonces el grupoide (S, ·) es conmutativo, pues:

e s,

~

m

ft

n e z

o

este grupoide (S, •) tiene como elemento neutro, a , ya que a

n

• a

°

0

~

a

• a

n

= an

a e s.' " n e z

V

finalmente todo elemento de S tiene inverso, en efecto: a

-n

= a -n

• a

n

=a~

DEF. 7

Sea (S,

~,

o)

Un sistema algebraico formado por

u~

conjunto no. va~io S y dos operaciones binaria~ (*) y (o). La

a

ca· *

o

y)

=

.(a

º

S)

*

(a

o

y)

v CS

*

y)

o a

=

CS º a)

*

(y

º

a

e s, s e s, y e s.

a)

Es inmediato que en el sistema ( JR, +, ·) la multiplicaci6n (·) es distributiva sobre la suma, (+) pués sabemos que:

6.

(8 + Y) :::: a. • 8 + a. • Y

a. •

v (8 + y)

= 8•

• a.

a. + y

Veamo.s otro ejemplo.

a. e

m, 8 e

m, Y e

m

• a.

z

En el conjunto

de los números

enteros definamos las operaciones: a.

.Mostraremos que la operación

0

8

(o)

= 2a.

8

•

es distributiva sobre

la operación (*),en efecto tenemos: C8

a. o (a.

0

*

8)

ex

o

(8

(á o y)

::::

y) ::::

*

'

+

2y)

::::

(2a. • B)

2a. •

*

(2a. ·y)

Considerando que la operación

=

C8 + 2y)

(o)

::::

2a. . 8

+

4a.. y

2a. .. 8 + 4a.-y

es conmutativa no

es necesario verificar la distributividad por la derecha. •t'' .

-

DEF. 8

Un campo o cuerpo es un sistema algebraico (S, +, •)

por

constitu!do

un conjunto no vac!o

s y

dos operaciones

binarias (+), Y,.· . ~~) tales que: !

••••

·,

(Al) a + S

•

~

=S + '

,'

y c.·~

(A3)

:.iI e:

e· S

ci

·= a

y

-;r··.

tj.al que

a.

+ '•

= a.

a.

e s

7. a

(A4) V

.

(Ml)

a

(M2)

(a,

(M-3)

e s

a

' .,,.-

B

=

(M4) V CI.

e

=

y

S,

.

a

F.,,. ·.t:

e s;"·,f.''i ·:'. '/1;1\ ; ',. '~·; .. ·,. ··~··

,.,¡, ~

=a

~

a

-1

=E

a + a'

V

a

e

S, B

e s

V

a

e

S, B

e

::;::

V

tal que; .

'.

. y)

(6

l.I "Í' e: ,

• (f3 + y)

(Dl) a

tal que

.a

B

. B) .

3: µ

e s

a'

a • lJ

e s

~·

tal q\le

• B + a • y

ex

·~

e s,

S, Of.

•

B

e s

y

es

a -1

~

1..l

e s, y e s.

De acuerdo a esta definici6n, tenemos que en todo cuerpo (S, +, ·) los grupoides (S, +) y (S -

{e:},

•)

son conmu-

tativos, asociativos, con elemento neutro pa~a.cada operaci6n; (E)

para la suma y

(ll)

para la multiplicaci6n.

Además cada

elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las operacienes.

Finalmente la multiplicaci6n es distribuiiva sobre

" ¡a S\UI\a.

',,"

,.,·'¡

Comq ejemplos de campos podemos mencionar los sistemas

((D,

+, · •)

racionales

:i

y

( JR,

+, •) donde

D:2

es el conjunto de los

m· el. conjunto de lQs real~~-t : · ·

Terminaremos estas ideas mq.strando que .e).. sistema .. '

s , +, • ) ,

C

donde : . ..

s ....

{a

+ b

f5

1

a

e

D " b·

e

(D}

8.

es un campo. Comencemos verificando que la suma de dos elementos de S es un elemento de S, en efecto si: y

B = .

~ ,+ ,.

{5

d

..

tenemos:

+ B

a

=

(a

+

c)

+

(b

+

d)

\fs

e

$

Además los axiomas (Al) y (A2) son inmediatos y obvia.1.,

mente el elemento neutro de la operación suma, es Finalmente el inverso de a

=

a + b

\{5

es · (-ex.)

=

E

=O+

-.a - b

O {S.

\fs.

Comprobemo,s· ..ahora los axiomas de multiplicación, ha.

)

ciendo ver préviamente que el producto de dos elementos de S '·

'

es un elemento.de

s.

Para: y

./..

=

=

c.+

,', ~·' i:' '•,I"

tenemos a • S

f3

(a ·+ b

Vs > (c

+ d

Los 4x-ioi~l~$ (Ml) y

\)5 > = (ac

rr

tal que: a · a- 1

·~·

bd > + (ad + be>

=¡ +

O

€,busquemos un elemento a

= µ=·l.

Vs e

(M2) son inm~dia~o~ y el elemento

neutro para la multiplicación es µ a= a+ b\~'F

+

f5.

-1

Ahora dado

,r;:

·- x + YÉ

Afirmamos que dicho elemento es:

s

9.

a

-1

=

1

a+ b

Vs

a

=

s

en efecto, tenemos que a.-l existe, ya que por hipótesis sien-

=

do a y b racionales no debe ocurrir que: a2 - 5b2

O, pues

,'

si así sucediera llegaríamos a la afirmación C'Ohtradictoria: con

a

e :o "' ,b e

ID

que establece igualdad entre un racional y un'irracional. Además: a

• a -1

d-

1

= (a + b v 5) a + b

'J 5

= 1 = 1

\ (;"

+ O V5 =

¡,,t

Finalmente no es difícil verificar el axioma (Dl), con lo cual queda probado que (S, +, ·) es un cuerpo.

2.

El cuerpo de lós Complejos. En este párrafo nos proponemos introducir el campo de los números complejos, cuerpo

q~e

es de fundamental importan-

cia en el estudio de la matemática. DEF. 9 Llamaremos número complejo toda pareja ordenada (x, y) de números reales.

10.

De acuerdo a esta definici6n, son números complejos, cada uno de los elementos del conjunto

. q: = { (x'

y)

x e :JR. . . y e m}

DEF. 10 Dado un complejo (x, y), el número real x se dirá parte real del complejo, el número real y se llamará parte imaginaria del complejo. Llamando z al complejo (x, y), o sea si z

=

(x, y),

es corriente emplear la notaci6n siguiente:

=

y

=

Dados dos complejos z 1 = (x 1 , Y1)

Y

X

R (z)

I

(z)

DEF. 11 z 2 = (x 2 , Y2 >'

diremos que ellos son iguales:

e

si y solo si

Teniendo presente que la igualdad de números reales es refleja, simétrica y transitiva; de acuerdo a la definici6n precedente, resulta inmediato que la igualdad ·de números complejos también posee estas propiedades. DEF. 12 Dado un número complejo z

=

(x, y), llamaremos com-

11.

plejo opuesto de z, al número complejo: -z

=

(-x, - y).

DEF. 13 Llamaremos complejo nulo, al complejo (O, O)

=e

Trataremos ahora de dar al conjunto ~ de los números complejos la estructura de cuerpo._

Para ello es necesario

introducir dos operaciones binarias, suma (+) y producto (·) de tal modo que ellas verifiquen las condiciones (A), (M) y (D) expresadas en la definición de cuerpo. DEF. 14 Dados dos números complejos z 1 = (x 1 , y 1 ) Y z 2 = (x 2 , y 2 ), llamaremos suma de ellos al número complejo:

Teorema 1

(c) • z

+

e =

z

(d).z+~(-z)=8

12.

Dm.

=

+ (O, O)

=

z

+ 0

(d)

z

+ (-z) = (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y)

(x, y)

(x

+ O, y + O)

=

(c)

(x, y)

=

=

(O,

z

O)

=9

Corolario '

El grupoide (~,

+)

es conmutativo (Al), asociativo

(A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z e~ tiene

un inverso (-z)

e

~

(A4).

DEF. 15 Dado un complejo z

=

(x, y)

~

e, llamaremos rec!proco

de él, al complejo:

z -1 X

2

-y

+ y

2>

13.

Continuando con la idea de dar al conjunto ~ de los números complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos ahora la operación producto (·) DEF. 16 Dados dos complejos z 1 •

(x 1 , Y::.>

y

z 2 = (x 2 ,y 2

llamaremos producto de ellos, al complejo:

Teorema 2

Dm.

( c) •

z . u

(d) •

z . z

=z -1

=u

siendo u

z

~

= e

(1, O)

>,

14.

(b) •

(zl

.

z2)

. Z3

=

(xl X2 - Y1 Y2

- y

( X

=

' y

xl Y2 + x2 yl) • (X31Y3)

X

y + X

X

y

y

,

' xl x2 - Y1 Y2 Y3 + 'x 1 Y2+ x2 Y1 X3) ---¡

- Y1 Y2 X3 + x 2 y 3 ,

= {xl x2 X3 - y 2 Y3

::;

(xl, Y1)

.

(x2 X3 - Y2 Y3

.

.

Z3)

= z

( c) •

z • u = (x, y)

(d) •

z .• z -1

=

(x, y)

=

(X

Y2 X3 + Y1 x2 x3- Y2 Y3 )

xl x2 Y3 +

'

1

(z2

(1, O) = (X -

.

o ' o+

X

2

+ y

+ "i. 2 2 X + y2 2

X2Y3+ X3Y2)

y) = (x' y) = z

-"i.

X

(

,

2

-x"i.. + X"i..) 2 X + y2

2> 2 X + y

=

( 1, O)

=u

Corolario El grupoide (~ - {0} ,

· ) es conmutativo (Ml), aso-

ciativo (M2), tiene elemento neutro (M3), y cada elemento z

~

e

tiene un inverso z

e

~

(M4) •

15.

Teorema 3

z

1

,

Dm.

z • 1

(X 1

X3

- y 1 y- 3

f

X1

y• 3 ,,1-

"A

:J Y •l )

Este teorema nos muestra que el producto de complejos es distributivo sobre la suma. 'I'eorerna 4 El conjunto ~ de los nfimeros complejos junto con las operaciones suma (+) y proc3ucto ( . )

(~:>

1•1' cLH~rpo,

Dm. La tesis propuesta es consecuencia inmediata de los tres teoremas anteriores.

16.

DEF. 17 Un subconjunto no vacío S de un cuerpo (K, +, ·) se dice subcuerpo de K si y s6lo si (S, +, •) es cuerpo. Teorema 5 ,•·.'1

complejo~

El conjunto de los números

d.e .la

fo~ma ,,

r'

(x, O) es un subcuerpo de ~. Drn. Mostraremos primero que la suma y el producto.de dos elementos del conjunto z

e ·

Z

=

es también elemento de ~o· (x , 1

0)

+ (x , O) 2

=

0

X

~

X

€

lR}

En efecto, tenernos (x

1

+ x , O+ O) ==··,~ · + x , 'O) 2

1

2

Ahora corno todo número z de ~O es número d~ ~' necesariamente los elementos de ~O verifican todas las propiedades (A),

(M) y (D) contenidas en la definici6n de cuerpo,

de aquí entonces que ~o es un subcuerpo del cuerpo ~ de los números complejos.

17.

Observaci6n Entre el cuerpo

(~

0 , + , •) de los complejos de la

forma (x, O) y el cuerpo ( lR, +, ·) de los números reales,

se puede establecer una correspondencia biunívoca oor~eepon~er i

ca~a

elemento de ~o un elemento de

o1~rQoam~nte a cada elemento de

que haga

my

re-

:R un elemento de ~O' en

efecto, para ello basta asociar al complejo (x, O) el número real x y al número real x, el complejo (x, O). c.ondiciones los cuerpos • (x2, - Y2> = zl • z2

24.

Drn.

de donde tornando la raíz cuadrada positiva se obtiene la

Corolario z

1

•

con z 1 # O , implica implica

En efecto

de donde z 2

=O

Teorema 14

Drn.

lz 1 + z212

=

lz 1 + z212

= zl

lz 1 + z212

=

(zl + z2) • (zl + z2)

. -zl

+ z2

. -z2

=

+ Z¡

2 lz 1 1 + lz212 + (zl

.

(zl + z2>. (zl + z2>

. -z2

+ z2

z2> + (zl

. -Z¡ • y: )

2

25.

Ahora la suma de un complejo y su conjugado es el doble de la componente real del complejo, luego:

o sea

l~

Volviendo a

igualdad anterior resulta

lzl + z2l2 ~ lz112 + lz212 + 2 lz~lz2l 2 lz 1 + z 2 1

~ ( lz 1 1 + lz 2 1> 2

y de aqu! tomando la ra!z positiva, queda:

Teorema 15 z

-1

-

,,,.,..

1 -1z1

:;' iií2

z -:¡

o

om. De inmediato tenemos que: z-1 =

(a) •

(b) '

1

z-11 =

X

=r

sen



-TT

<



~

TT

DEF. 28 Llamaremos argumento del complejo nulo (0,0) al namero

cp

=o Para indicar que

z. usaremos la notaci6n:

~

es el argumento de un complejo ~ra

z

=m

31.

Aprovechando la noción de argumento, el complejo z

=x

+ iy de módulo r

=Jx 2 + y 2 =r

z

(cos

, se expresa por:

+ i sen cp)


fórmula conocida con el nombre de forma trigonométrica del complejo z. ¡

La forma trigonométrica de un compléj·o

z,

que también

se suele llamar forma polar, corrientemente· se· abrevia poniendo: z

=

r

(cos

=

+ i sen cp)

P

r cis' cp

Teorema 24 Para todo complejo no nulo z

=

r(cos

+ i sen

P

et)

se tiene:

z=r [

cos (-cp) + i sen

!.z = r1 [cos (-cp) -

(-P]

+ i sen (-cp)

Dm. En efecto de z ta X = r cos cp,

z

=

(x,

=

(x

y = r sen

-

,

y)

et ,

=

r(cos

P

+ i sen P) , resul-

entonces:

y) = (r cos cp, - r sen cp) = r [cos (-

P

+ i sen (

-

P)

J

32.

-z1 =

z -1

-z

=

lzl2

= -r1

fo os (- /) + i sen (- /)}

Corolario

z arg -z

=

=

r(cos P + i

sen P) ,

implica

1

- arg z

=

arg -z

- arg

z

S,

tiene:

Teorema 25

Si z 1

=

z1 • z2

=a

cis a

y

z2

=b

1

cis

ab (cos a + s'+ i sen'a +

·s~

i = ab

cis (a+ B)

Dm

= (a cos a, a sen a) y z 2 = (b cos S, 1 b sen S) aplicando la definici6n de producto se tiene: Puesto que z

z1 · z2

=

(ab ces a cos

S -

ab sen a sen

, ab cos a sen

S+ 1

S, S)

ab sen a cos 1

ab sen a + 8 ) ces a +

+

l.

sen a +

Cl.S

Cl

+

Corolario 1 =

Corolario 2 Si z

=

r(cos

t

+ i sen /) y k es n6rnero entero:

33.

zk = rk (cos k ~ + i sen k ~) Corolario 3

(Fórmula de Moivre)

(cos a + i sen a)k

=

cos k a + i sen k a

Esta igualdad de uso frecuente se obtiene del corolario anterior· haciendo r =l. Teorema 26 Si zl = a cis a Z¡

a = b z2

j

(cos a

y

a' i+

z2 i sen 1a

=b

cis f3 # O, se tiene:

- a' = ba

cis (a

-

f3 )

Dm. De inmediato se tiene; Z¡ z2

= z1

zl z2

=~

1

• z

2

=a

cis a •

1

b

cis (- f3)

o sea:

cis (a - f3)

'r---.a'+ = bª (cosa

Corolario =

arg z

- arg z

i sen 'a - a~

34.

Teorema 27 Si z

= a(cos

4_/;" = 2Zfi\ (cos con k

= O,

a

a + i sen a)

+

n

1, 2, 3,

2krr

+

n es entero positivo:

y

i

sen

(n -

1)

ª

+ 2k7T) n

Dm. Sea ..::.;.¡z

=w

- r (cos

~

+ i

sen~),

entonces

por

definici6n de raíz n-ésima de un complejo tenemos: rn (cos n~ + i sen n~)

=a

(cos a + i sen a)

de donde: r

=a

donde k es un entero.

n~

=a

Despejando r y

valores correspondientes en w

=r

cis

~ ~,

+ 2kn e introduciendo los tenemos:

El hecho que k sea un entero cualquiera podría inducir a creer que hay tantas raíces n-éximas como se desee. Haremos ver que solamente hay n raíces n-ésimas distintas, que pueden obtenerse, entre otros modos, dando a k los valores : O, 1 , 2 , 3 , •••.•• , ( n - 1) •

35.

Veamos cuando dos raíces n-ésimas de z, correspondientes a valores distintos k

1

y k

2

de k, son iguales.

Pa-

raque tal· cosa ocurra·es necesario y suficiente que:

n

n

donde p es un número entero.

+

2p1T

De esta igualdad se obtiene:

k

- k = pn , o sea que la diferencia entre dos valores 1 2 de k debe ser múltiplo de n. Ahora dando a k los valores: O, 1, 2, 3, •••.••

(n - 1), la diferencia entre dos cuales-

quiera de estos números no es nunca múltiplo de n, por consiguiente cada uno de ellos proporciona una raíz n-ésima de z diferente de las otras.

Para valores de k mayores que

(n - 1) se obtiene raíces ya determinadas, pues entonces las diferencias k

1

- k

2

son múltiplos de n.

En la expresión

..EJ; = ~

(cos a +n 2kn + i sen a +n 2kn)

el factor~, representa la raíz aritmética del número no negativo a= lzl

•

Corolario 1 Entre las raíces de índice par de un número real positivo, siempre hay dos y solamente dos reales y opuestas

36.

En efecto si el n6mero es z - a real positivo, su

=

O y

nv-

(cos

argumento es a

si el índice es par: n = 2p, tene-

..... ._--. ....,. n ¡;;'

-V"'

=-

a

2kTí

2P + i

sen

2k1T 2P)

Ahora esta expresión será real solamente cuando sen k1]' p

Si k

= O el

=O

o sea para:

k

=o

y

=p

k

n6mero es positivo y si k = p el n6mero es ne-

gativo, pues su argumento en este 6ltimo caso, es

~

=

1T

Corolario 2 Entre las raíces de índice impar de un n6mero real siempre hay una y sólo una que es realº Si el n6mero es real positivo, sólo habrá raíz real

= O.

para k

Además ella será positiva.

z es real negativo su argumento es a =

.,

____

- ...,_

-

n

1

....

.L.

~-

...- .....

r; = -V nr¡; (cos

-V-¿,

a.

Contrariamente si 1T

y si el índice es

-···-~.

(2k + 1) 1T

2p + 1

+

. 1

sen

(

2k + 1) 1T

2p + 1

)

y obviamente al dar a k los valores: O, 1, 2,

(n-1=2p)

la expresión precedente será real sólo para k = p.

En es-

te caso el argumento de la raíz es que dicha raíz es un real negativo.

~

=

1T,

lo cual asegura

37.

Corolario 3 Las raíces n•ésimas de un número complejo cualquiera z, pueden obtenerse multiplicando una de ellas, por cada una de las raíces n-ésimas de la unidad. En efecto si w , w , ••••.• , w son las ra!ces n-ési1 2 n mas de la unidad y z

es una ra!z n-ésima de z, los produc0 tos: z w , z w , z w , ••••.• , z wn son tales que: 0 3 0 1 0 2 0

es decir son ra!ces n-ésimas de z, además todas ellas son diferentes. DEF. 29

Una ra!z n-ésima w

de la unidad, se dirá ra!z primi-

tiva si

2 3 n-1 , wn w, w, w, ••••••. , w son todas las ra!ces n-ésimas de la unidad. Refiriéndonos al caso de las ra!ces cúbicas de la unidad:

w2 ocurre que w 1

=1

1

= --2

_,-

Cl - iv 3)

w3 = -~ ( 1 + i

no es ra!z primitiva, pero w

2

y w

3

VJ)

lo son,

38.

pues no es difícil verificar que:

=1

y

Teorema 28 En la expresi6n que da las raíces n-ésimas de uno: 2k7T

= cos

n

+

. 1

sen 2k7T n

k

=

O, 1, 2, 3, •..•

(n-1)

con n. Dm.

Todo consiste en determinar el menor exponente natu-

w q k

= cos

2kq7T n

+

i sen 2kqn n

=1

entonces si q < n, la raíz obviamente no puede ser primitiva, contrariamente si q > n, la raíz será primitiva, pues tendremos que ••••••• wk

n-1

, 1

serán todas raíces de la unidad, siendo además diferentes. Supongamos primero que k y n·no son primos; entonces tendrán un divisor común d, tal que k estas condiciones, tenemos:

= pd

y

n

= qd,

en

39.

55.

La suma de dos complejos variables por la diferencia de ellos da un muestre que los complejos

z1

y

~l

z

y

imag~nario

z2

dividi~a

2 puro.

Pe-

se desplazan sobre

una circunferencia con centro en el origen. Soluci6n

sean los

com~lejos

z1

=

Y z 2

=

Cx 2 , Y2 >,

entonces:

ser:

o sea resultado que nos muestra que

z2

lz 1 1 • lz 2 1, o sea z1

se desplazan sobre una misma circunferencia

con centro

en el origen.

56.

un complejo

z

=x

3x + 4y + 5 =o.

es uno.

+ iy

se mueve s9bre la

Y

r~cta

Demostra~ que el valor m!nimo de

lzl

40.

1

De todas sólo w1 y w5 son raíces primitivas ya que 5 son primos con 6. Además no es difícil verificar

y

que:

w 3 2

=

1

=

=

1

resultado que nos muestra que w , w , w 0

2

=

1

3

y

w

4

1

no son ra!-

ces primitivas. DEF. 30 Dado un complejo z

=a

(cos a + i sen a) y

E un raq

cional irreductible, la potencia de exponente racional de un complejo se definirá por: con

q >

o

De esta definici6n resulta inmediato que i sen pa + 2kn) q

con k =O, 1, 2, 3, •••••• q. La expresi6n precedente nos muestra que z p/q tiene q valores diferentes.

El valor que se obtiene para k

lo llamaremos valor principal.

=O

41.

6.

Representaci6n.gráfica del número complejo El estudio del cuerpo de los complejos ha sido desarrollado aritméticamente sin recurrir a ninguna representaci6n geométrica; sin embargo teniendo presente las aplicaciones de este concepto, indicaremos dos representaciones gráficas del número complejo, que son las que corrientemente más se usan. Consideremos un plano y en él un sistema de ejes cartesiano ortogonal.

Sabernos desde la geornetr!a que todo pun-

to del plano, determina con referencia al sistema de ejes elegido, dos números reales x su ordenada respectivamente. ros reales x

e

y

e

y

que son su abscisa y

Recíprocamente dados dos núme-

se podrá siempre individualizar un pun-

to de este plano y solamente uno, que tenga a x corno abscisa e

y corno ordenada.

Ahora corno todo número cornplejo z

=

(x, y) es una pareja

ordenada de números reales, resulta que todo complejo determina un punto del plano

o

que tenga a x corno abscisa e y corno ordenada y rec!pro-

42.

carnente todo punto (x, y) del plano determina un complejo z

=

(x,

y) •

De acuerdo a estas ideas se acostumbra a tornar corno representación geométrica del complejo to (x, y) del plano.

z

=

(x, y) al pun-

De aquí que trabajando con represen-

taci6n geométrica de complejos serán sin6nirnas las expresiones: número complejo y punto del plano.

Además lo co-

rriente entonces, será expresar el complejo por- una letra mayúscula, notaci6n habitual para designar puntos de un plano. Otra representaci6n gráfica corriente para el complejo z

=

(x, y) es el vector del plano xy cuyas proyeccio-

nes sobre los ejes sean precisamente los números x

e

y.

Obviamente que para un complejo dado hay infinitos vectores que cumplen tales condiciones, entonces en rigor el complejo z

=

(x, y) queda representado, o quizás mejor aún, repre-

senta a la clase de equivalencia de todos los vectores cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son x orden trivial,

y

e

y

en el

con sentido del origen al punto (x, y)

43.

=X

A

=

OA

=

OM

=

MA

= y = 1zl = arg z =

a.

(x,y)

+ iy

=z

= 1zl X

= 1zl

cos

(l

sen a. arg A.

La representación vectorial de un complejo da una natural expresi6n a la igualdad de complejos, en

efec;:to

sabemos que z , = (x 1 , y 1 ) y z 2 = Cx 2 , y 2 ) son iguales 1 si y s6lo si: x 1 = x 2 e y 1 = y 1 , .:es decir si, geométricamente habl.ando, los vectores correspondientes son de igual magnitud, dirección y sentido. Representación gráfica de la suma de dos complejos

A+B

o

A

=

(al, ª2>

=

B

=

(bl' b2)

= bl+ib2

A+B

=

(al+bl

ª1+ia2

' ª2+b2)

44.

Representaci6n gráfica da diferencia de dos complejos

A

A - B = A+ (- B) (1) Para tener el vector BA = A-B A-~

basta tomar el vector que une el punto B con el punto Aº

B

(2) La distancia entre dos pun-

tos dados A

y

B se expresa

por: IA - BI = IB - Al (3)

IAI

-

IBI ~ IA - BI

<

'

A

+

B

Re2resentaci6n gráfica del Eroducto de dos

com2l~jos

A = a (cos ex+ i sen ex) B

= b (cos

p

= A•B = ab cis (a + B>

B + i sen B>



X3

Sabiendo que las rafees de la ecuac;i6n x4 ±

'Íf ci

... i)

y

:t:

'lf

(l

=

= -i

2 (1 + 1 \{j)

= -¡,

son

+ i)

Determinar las ra!ces de las ecuaciones: x 4

x4

1

=i

y

9.

16.

Determinar las raíces de la ecuación x 3 que las raíces de x 3 = 1 son: 1

X 1 --

X

= - ~ (1

.,. i

{3)

la ecuación x 3

=i

2

= i, X

sabiendo

~

3= -

(1 + i

Solución Haciendo x

u~ = 1,

= -iu,

se transforma en:

así las raíces pedidas son:

= -i

X3 =

~

Determinar las raíces de la ecuación: x 3

17.

Si

(-

VJ +

=-

i)

i

es una raíz compleja de la ecuación zn - 1 = O,

a

demuestre que: 1 + a + a 2 + • • • • • + a n-1

=o

Solución Como

a (1

es raíz de zn - 1

+ z + z2 + • º

•••

=

O, la igualdad

+ z n-1 ) (z -

1)

= zn -

1

nos da (1

+ a + a 2 + ••••• + a n-1 ) (a -

y puesto que

a

1) = O

es número complejo, tenemos a

así 1 + a + a

2

+ • • • • • + a n-1

=o

~

1,

VJ)

10.

18.

s =

Calcular:

1 + i + i2

+ i3 +

..... +

i

n-1

Soluci6n F&cilmente se encuentra que

s

=1

02

+ 1 +

1

+

. .... +

.n-1

1-

= 11

•

- iin

-

Designando con 4 la expresi6n "es múltiplo de 4"' debemos considerar los casos siguientes: o

(a) Si n = 4

tenemos

o

= 1

entonces

s

=

o

=

entonces

s =

1

4 + 1

tenemos in

o

tenemos in = -1 entonces

s

tenemos in

s =

(b) Si n

=

(c) Si n

=4

+ 2

o

(d) Si n = 4 + 3

19.

.n

1

=

i

-i entonces

= 1 + i

2i

Calcular la suma

S

=

1 + 2i + 3i 2 + 4i 3 + Si 4 + •.••• + (4n)i 4 n-l

Solución La suma S pue.de descomponerse en las siguientes sumas parciales: sl = 1 + 5 + 9 + ••••• + (4n - 3)

s2

= i

{2 + 6

=

1

+ (~n - 3 > • n

+ 10 + • • • • • + ( 4n-2) } = 2 + ( ~n- 2 ) • ni

11.

S3

=i2

{3 + 7 + 11 + •••• + (4n --1)}

= J+(ªn-l) -

s4

= 13

{4 +a+ 12 + •••• +

= 4 +24n

4n}

ni 2 ni3

luego: - 4n • ni . . ,. S= 4n - 2 - 4n - 2 •n+ 4n - 4 ~ 2

20.

-2n - 2ni

Determinar un complejo z = (x, y) tal que: z2

=p

+ iq

Por hip6tesis tenemos (x + iy) 2

=p

+ iq.

De aqu! igua-

lando partes reales e imaginarias se tiene: X

2

- y

2

=p

2xy

=q

Resolviendo este sistema se encuentra

±/.Jp2

X=

q

SI2 + 2

q ~

Suponiendo y

+

o,

E

= +- A

como

±j·M

y =

2xy = q,

~2

resulta que

deben tener igual signo, entonces las rafees

dradas de (p + iq) son

v

+

p + iq

=

A + i B {

-A - i B

cuando

q

>o

- p (xy) cu~­

12.

-

i

B

-A + i

B

A

F"~-w-

iq = {

o

q <

cuando

Calcular:

y;-_--;;¡ 21.

Calcular

± (3 - 2i)

v3 + 4i

=

±

(2

k

= o,

+

i)

~

Solución De inmediato se tiene:

(cos

TI

x1

= 12

(cos

i

x

2

= 12

(cos n + i

3

= 12

(cos

x

22.

+ 2 k7T

= 12

3

+

• 7T 1 sen

=

+

;

sen

TI)

+ 2k7T) 3

12

\{3

y

o

27.

Sumando estas igualdades se tiene la tesis.

42.

Si x es número real y

n

entero positivo, resolver la e-

.

"" cuacion: =

1

Solución 1 + ix 1 - ix

cos 2 k'IT + i n

k'IT

1 + ix 1 - ix

1 + ix 1 -

ix

cos + n

•

sen 2 k'IT

k'IT

~

....

=

.

1"

1 -

'

l.

.e..

... g

=

cos k'IT +

sen -n = + i sen ( - k'IT ) cos(- k'IT) n n 1

k

n

n

=

cos

k'IT

~

n

0,1,2, ••. , (n-1)

1'

- i

sen k'IT

n

sen

k'IT

~

n

k'IT

-~

n

i ·-~g k'IT

k = O, 1, 2, 3, •••• , (n - 1)

n

Así las raíces de la ecuación propuesta son: X=

43.

kTI tg n

para k = O, 1, 2, 3, •.•. , (n - 1)

Determinar las raíces de la ecuación (x + l)n -

(x - l)n

=

O

28.

Solución La ecuaci6n puede ponerse en la forma:

(K +

1)

X

1

X X

+ 1

-

n

=

=

1

y dando a

44.

X + 1 1

1

X

k

n k'IT i tg n

X

-

~

=

tg kn

1 + i

1

-

k'IT

=-

i cot n

los valores: O, 1, 2, 3,

. ... ,

(n

- 1) •

Si cos a + cos B + cos 1/J = sen a + sen B + sen 1/J = O, usando números complejos demostrar que: cos 3 a + cos 3 B + cos 3 1"

=3

cos (a + B + 1")

+ sen 3 8 + sen 3 1/J

=3

sen (a + B + 1/J)

sen .3

C/.

Solución Aprovechando que: X

= cos

resulta:

a + cos X

+ iy

8 + cos 1/J

= cis

=o

a + cis 8

Entonces elevando al cubo:

-

cis a

y = sen a + sen 8 + sen 1/J

+ cis 1" =

=

o

cis 8 + cis 1/J

queda: 2 2 -cis3a. = cis38 + 3 (cis S) cisl/J + 3cis8 (cis1/J) + cis 31/J

=o

29.

o bien: cis 3a+ cis 3$+ cis

3¡JJ

= -3cis8

cistJ¡ (c.tsB + cis tlJ)

cis 3a+ cis 3(3+ cis 3l/J

= -3cis((3+l/J)• (cisa+cis8+cisl/J-ci$a)

cis 3cx+ cis 3(3+ cis 3l/J

=

3 cis (8 + tjJ) cis a

cis 3a+ cis 38+ cis 31};

=

3 cis (ex + 13 +

"')

Finalmente separando partes reales e i'1laginar:i,as

i:;e

ol;>tie-

nen las igualdades pedidas.

45.

Si z

1

= cis

= 9is

z3

ex,

(z 1 +z 2 ) (z· 2 +z 3 ) (z 3 + zl )

=

8

Z1

•z •z 2

3

l/J,

demostrar que

cos a-l3 cos 13 - l/J, cos tJi-a """".2 """".2 2

Sin dificultad se encuentra: zl

= cos

1

= cos ex

zl

de donde:

sen ex

Vz; =

Cl cos ~+ i sen 2 2

i sen ex

f:=

a ex cos 2 - i sen 2

ex + i

-

30.

2 cos a. _:;; {3

En forma similar se obtiene:

'!...

=2

.. .,

cos

ª - tP

=i

cos

,,, ,.., a. 'I' ')

')

Finalmente multiplicando miembro a miembro estas

igua~da-

des se tiene la expresi6n pedida.

46.

Usando números complejos demostrar que: sen

4

a cos

3

= 641

a.

(cos 7a

- 3cos 3a. + 3 cos a)

- cos Sa

Solución Tomando el complejo z = cos a. + i

z

= cis

a de módulo µno, tenemos:

sen a.

z = cos a. - i sen a.

-n z

=

cos na.

+ i sen na

cos na.

- i

sen na.

entonces: z

+ z = 2 cos a

z ..., z = 21 sen a z

.

z = 1

z n + -n z = 2 cos na Z

n

-n - z

=

2i sen na

31.

y de aquí que:

(2 i sen a) 4 (2 ces a) 3

=

(z -

= { (z

-

z) 4 z)

(z

(z

+ +

z) 3

z: ' 3

(z -

z)

= O sea: 16•8

=

4

(z -

z)

3

128 sen a ces a

128 sen 4a ces 3 a

= 2cos

7a + 6cosa

- 6cos 3a - 2cos Sa

Finalmente dividiendo por 2 se tiene la tesis. Demostrar que: (a) •

32 cos 6 a

= cos

5 3 (b) . 128 sen acos a

47.

6a + 6 cos 4a + 15 ces 2a + 10

= sen

8a - 2 sen 6a - 2 sen 4a - 6 sen 2a

Demostrar que:

e = cos a + cos 2 a + •••• + cos na

=

na sen 2 n+l cos -2a a sen

=

na sen 2 sen Cl sen 2

2

s = sen a + sen

2 a + •••• + sen na

n~l

~a

32.

Solución Multiplicando

e+

is=

e + i s

e

+ i

e +

e +

i

i

S por i,

y sumando queda:

cis a+ cis 2 a+ ..•.• + cis na

= cis

s = cis

a {cis na cis a. . . : 1

-

1)

a. {cos na + i sen na - 1) c os a + i sen a - 1

~~~~~~~~~-,-~~~~-=---

s =

s =

2 cis a.{-2sen Cn a./2)+2i sen(n a/2)cos(~ 2 -2sen (a/2)+2i sen{a./2)co~(a/2) na sen 2 + 1 {cos n · a + i a 2 sen

sen n

2

Finalmente separando partes reales e las igualdades propuestas.

Demostrar que:

e =

s

cos a. + cos (a. + S)

= sen

a. + sen {a. +

a>

*~ .1

a(~)} ·'

a)

imagina~ias r~,u~ta~

33.

48.

Usando números complejos demostrar que: n

E

k=O

(~) cos (a + k8)

= 2n

cosn ~ cos (a + n8) 2

Solución Desarrollando el primer miembro de la suma

propuest~

te-

nemes:

e = (n) o cos

Cl

+

(n)

cos (a

1

a + (n) 1

multiplicando por

8) +

.' .

+

(n)

cc;>s (a + nB)

(n)

sen (a + nfH

n

s que se indica:

Tomando la expresión

s = (n) o sen

+

sen (a + 8) + •••• + i

n

y sumando, se obtiene:

...

n (n) cis (a + 8) + • • •+ (n) cis(q.+n8) 1

e +

i

s

= (n} o

e +

i

s

cis B + •••. + (n) ={(~) + (n) n cis nB} e.is 1

e +

i

s = (1 + cis 8)n cis

e +

i

s = 2n cosn 2B {cos (a

cis

Cl

Cl

=

2n cqsn 2f3 cis . '2ª- cis ex

i sen Ca + -ª->} + -ª-> 2 2 +

De aquí separando partes reales e

igualdad propuesta.

Cl

im~ginaria

se tiene la

34.

49.

DE.'mostrar que en todo triángulo ABC en el cual O < b < e, se tiene: 00

l:

k=l Solución Consideremos las dos series geométricas convergentes:

~ ~

=

e=

sen

N ~

+~sen 2 c

cosa+

b

N ~

+ (~)

2

e

b 2

cos 2 a+ (-)

sen 3 a + ., .•... cos 3 a+ .... ,.,

De aquí se obtiene sin dificultad que:

_a cis cis c ...

a + i sen a) e + i S = c -c b(cos cos ex - ib sen ex

ex (-~)

ya que en todo triángulo se tiene: e - b cos a

=a

cos

B

Finalmente considerando que: a + S

e + i s

=

~ {cos

(TI -

b sen

y

ijJ)

=

1T

-

iJl,

a

=a

sen B

se tiene:

+ i sen (TI - ~)}

y separando partes reales·e imaginarias resulta la tesis.

50.

Si w , w , w , •.•.. , wn son las raíces n-fisimas de la 1 3 2 unidad, demostrar que:

35.

1

1

1

n

=

..... + 1 - W X 1 - w1 x +-i-----+ - w2x n Solución

.

. Si w. es una de las raíces n-es1mas de la un;i.dad la pro.J

xw.

gresión geométrica de razón:

n-1

2

w. n J

+

w.

n-1 + j

n-1

X

+

X

n-1 w2

X

n-1

X

=

{1-xwj)wj

los valores 1, 2, 3,

n-·2

-wlr

wl

n-2 + .•• + w. wj

J

J

Dando a

X

nos dá: 1 - xnw. n

J

n-2

X

+

n-3

-~

+.

o

•••••

+

wl

X

n-3

+ ----"2 + ---"! + •••••••• + w2

w2

n-2

n-3

. . . . n,

1 n = 1 wl 1

1

1

n = 1 w2

+ X -2 + X - 3 + •.•••••• + wn wn

=

-

n

=

1

-

xn

-

xw.

J

obtenemos; xn

-

xw

-

xn

1

xw 2

1 - xn

1 - xwn

Sumando estas igualdades miembro a miembro y

observ~ndo

qne la suma de cada columna del primer miembro es cero, menos la última que es n, resulta: n

=

(1 - xn)

{--1_ _

1 - xw 1

+

1 1 - xw 2 + •••. + 1

1 -~

xw

}

n

36.

51.

Si w es una raíz n-ésima primitiva de la unidad demo$trar

que: 1

1 - X

w2

w

+

W -

+ - - - - + ••••• + X

w2 -

X

wn-1

--....--= n-1

W

-

X

n

n

1 - X

Solución Si w1 , w2 , w3 , •••• , wn son las ra1ces de xn

~

1,

sabemos que:

n Sea w1

= w,

entonces: w2

= w2 ¡

y

la igualdad anterior se expresa por: 1 1 -

1

+ - .......-3- + •••• +

wx

n

1 n

1 - W X

1 - W X

1 -

~

fl

Amplificando la primera fracción por wn-l, la segu~da por wn-2 , la tercera por wn-3 y así·· sucesivamente se tiene: w

-n--o:-1-W - X

52.

w + -n--"""'2.---- + • • • • + - - - + W

-

X

W -

X

= 1 - X

Si w1 , w2 , w3 , •••• , wn son las ra!ces n-~$imas de la nidad y k un entero, calcular la suma:

u~

37.

+ • • • .+ wn

k

Soluci6n Si

k

es maltiplo de

n, será de la forma k

es número entero, entonces.para todo

p

en este caso la suma pedida es

=

S

Consideremos ahora el caso en que

k

Si a es una ra!z primitiva de orden

tenernos:

= 1,2,3, •••• n

j

y

wj

= pn donde

n

no es mGltiplo de n. n

de la unidad; las

demgs ratees ser4n: a 2 , a 3 , •••• a n Entonces tendremos: nk

n

+. • • • • + a 1 - a

Ahora considerando que ank

=

(an)k

en este caso resulta ser:

S

=O

Si a 1 , a 2 , ••••• , ªn

= 1,

k

la suma pedida,

son las ratees de la ecuaci6n xn

calcular la suma:

53.

Determine que curva debe recorrer el complejo que

w

=

(z + 1)/(z - 1)

sea imaginario puro.

z

para

= ~'

3.8 •

Solución Sea z z + l

=X

z - 1 y

=x

+ iy,

entonces:

+ 1 + iy 1 + iy

X -

para que este complejo sea imaginario puro deb•

x 2 + y2 - 1

= o.

ae~:

As! z debe recorrer una circunferencia

con centro en el origen y radio uno.

54.

Sea a

=a

+ ib

un complejo fijo y

plejo que recorra la recta

y

= mx

z

=x

+ iy

un cQm-

+ n.

Determinar que curva recorre el complejo

w • a + z.

Soluci6n

Considerando que

u + iv

z

=x

= w =a

+ iy = x + i(mx + n), resulta quea

+ ib + x + i

(mx + n)

de donde: U

=a

eliminando

v

+ X

x

= mx

+ n + b

entre estas dos igualdades, obtenemos v

= mu

+ (n + b - ma)

Ecuaci n que nos ln ica que ta paralela a la recta

y

w

= mx

=u + n.

...

39.

SS.

La suma de dos complejos variables por la diferencia de ellos da un muestre que los complejos

z1

~l

z

y

imag~nario

dividi~a

2 puro.

Pe-

2 se desplazan sobre una circunferencia con centro en el origen. y

z

Soluci6n sean los

com~lejos

z1

=

y

z2

=

Cx 2 , Y2 >,

entonces:

ser: o sea resultado que nos muestra que

z2

lz 1 1

=

lz 2 1, o sea z1

se desplazan sobre una misma circunferencia con centro

en el origen.

56.

Y

un complejo

z

=x

3x + 4y + 5 =o. es uno.

+ iy

se mueve s9bre la

r~cta

Demostra~ que el valor m!nimo de

lzl

40.

Solución,_

"-

Sabernos que jzj , geométricamente representa lq d;i,stancia de

z

al origen.

Como

z

= O,

recorre 1a recta 3x+4y+5

el n6mero real lzl es la longitud del trazo que une el punto

z

de la recta con el origen.

Obviamente este

tra~

zo lzl tendrá longitud m!nirna cuando él sea la dis~anc!a del origen

(O,O)

a la recta 3x + 4y + 5

mínimo lzl

57.

Un complejo

z

=x

modo que l2z - ll

+ iy

=

=

5

{9

=

+ 16

= O,

as!

~ntonces;

1

se desplaza en el plano

xy

de

lz - 21 , determinar que cu+va re~orre.

Solución La condición impuesta se 1

(2x .,..

1)

+ 2yi 1

expre~a

=

=

1 (x

poX': -

(x -

2)

+ yi 1

2)2 + y2

Efectuando las operaciones indicadas se obtiene:

x2 + y2

=

1, resultado que nos indica que

z

reco~re una

ciX'cunferencia con centro en el origen y radio uno.

41.

58.

Determinar el lugar geométrico de un complejo z que verifica la condición:

1

=x

+ iy

(1 + 3i)j ~ 1.

(1 + i)z -

Solución. El complejo

w

=

+

(1

i) (x

z

es tal que el módulo de:

+

iy) -

(1 + 31)

=

(x -

y - 1) + i (x +

y -

3)

verifica la condición:

(X - y - 1) 2 + (X+ y - 3)

2

~ 1

o sea:

Así el L.G. del complejo

1/\/2.

y radio

59.

Si

w

es un circulo de centro (2,1)

z

es una ratz cübica compleja de la unidad, demostrar

que los puntos:

z1

=1

- w

z2

=w

2

- w

son los vértices de un triángulo equilátero. Solución Sea

w

= cos

21T +

3

21T i sen 3

=

21T cis T , entonces:

42. 2 z2 .... w - w = (1

Z3

= w2 -

1 =

w) w

w2 - w3

= zl

ci.s 321T

(w - w2) w = z2 cis 21T T

=

Así z2 es zl rotado en 120° y

Z3 es z2 rotado en

120~

o sea zl' z2 y Z3 son los vértices de un triángulo equilátero.

60.

Si

w es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar que el triángulo cuyos vértices son: z, zw, zw 2 es eqúiHitero. Soluci6n Como:

1,

w y

son las tres ra!ces cúbicas de la uni-

dad, los complejos: del

compl~:lo

r:i

z, zw

= z3 •

y

Siendo

zw 2

son las ra!ces c(ibicas zw y zw 2 ra!ces ctlbi-

z,

cas de un mismo complejo,el.las tienen todas el mismo m6dulo lzl y zw

2

= lzwl = lzw 2 1

;

de aquí que los puntos

z,

zw,

están en una misma circunferencia con centro en el

origen y radio lzl. Finalmente: arg zw

= arg

z + 120°

Así el triángulo de gulo equilátero.

arg zw 2

v~rtices:

z,

zw

= arg y

z + 240° zw 2

es un trián-

43.

61.

r.os vértices A, B y e de un triángulo se mueven de modo que: C - A C - B

donde

k

=

es constante.

Demostrar que el

t~i4n~ulo

ABC

permanece semejante a si mismo.

De la condici6n dada resulta;

l eC

A¡ =

-

B

le -

!C -

Al =

lkl

Bj

igualdad que nos indica que la razón entre los lados AC y

BC es constante.

'\~:.

la hipótesis también se tiene: arg C e -_ AB

lados ABC

62.

AC

y

= arg

BC

(C - A) - arg (C - B)

z

k

es constante y por lo tanto el triángulo

permanece semejante a si

Los complejos

= arg

=

x + iy

y

m~smo.

w

=

u + iv

pre la igualdad: ª2

w = z + -z

a

e

IR

verifican siem-

44.

Determinar que curva recorre circunf ereneia

2

x" +y

2

cuando

w

z

con r 2 ~

2

= r º

recorre la 2

a •

Soluci6n De la condici6n dada, se obtiene: U

+

a 2X r2

=U

/(1

=X

V

=y

-

a~y

r

entonces: X

Ahora si

z

2

+ ~) r

x2 + y2

-

u¿ (r2 + a2)2

v"'

+

(r

2

resultado que nos indica que semiejes (r 2 + a 2 )

y

Los complejos variables

(r

2

z

La circunferencia

(b)

La recta

X

=y

=1

- a2)2

w recorre una elipse de 2

=x

+ iy w

Determinar el L.G, de

(a)

= r2,

- a ).

rifican siempre la igualdad: un real.

ª2 /(1 - 2> r

recorre la circunferencia

tendremos:

63.

=V

y

x2 + y2

= z2 w,

=1

y

w

=u

+ a, donde cuando

z

+ iv, vea

es

recorre:

45.

Soluci6n La condici6n u

= x2

w

= z2

- y

2

+ ar

- a

V

x2 + y2

Tomando primero

se expresa por:

=l

= 2xy

y eliminando x

e

y

entre

las tres igualdades se obtiene: (u + a) 2 + v

2

=1

resultado que nos indica que en este caso el L.G. de es una circunferencia de radio uno y centro Finalmente si u

=a

y

z v

= 2x 2 •

recorre una semirecta .no

64.

x

recorre la recta

= y,

(-a, O). se obtiene:

Estas ecuaciones muest+an que

= a,

u

paralela al eje

z

y

w verifican siempre la relac16n:

4 + 1) . +. 3 .. 31 w - { z - 1

Determinar el L.G. de

w cuando

lzl = 1

(a)

La circunferencia:

(b)

El eje de ordenadas.

z

recorre

w

u c¡:on v

negativo.

Los·complejos·

w

46.

Solución De la condición dada se obtiene: w =w

z

-·

-

(1

+

4i)

w - A w - B

=

Cf+1T

lzl = 1,

Ahora cuando

con

se obtiene:

lw - Al ¡w - BI =

= w

igualdad que nos indica que trazo

AB,

lw -

pues

Finalmente cuando

Al

z

gumento es (+ rr/2)

65.

w

Los complejos z

2

-

=

w - A arg w _ B

(w - A)

y

luego:

= +- 2TI (w - B)

son ortogonaies

recorre una circunferencia de diámetro AB.

A

y

B

Determinar un complejo ABC

del

= lw - BI

son las raíces de la ecuación:

(8 + Si) z + (8 + 26i)

triángulo

recorre la simetral

(- rr/2),

arg z

y entonces

1

recorre el eje de ordenadas su aro

o sea los complejos

A= 1 + /.L B = 4 + i

e =

=o X

+ iy,. de tal modo que el

sea equilátero.

47.

Solución

=

B

2 + 4i.

IABI =

tenemos

jABj

2

Ahora.como. el. triángul.o._. ABC ... es equilS,tero,

= IB -

Aj

IBCI

2

=

= 1-

!Bcj

=

lcAI

= IA - cj 2 =

y considerando que:

ICAI

4 +

311 2 =

25

Je

Cx - 6) 2 + {y - 1) 2

se obtiene el sistema: (x

-

6)2 + (y

-

1) 2

=

25

(x -

2)

A, B, e

y

2

+ (y - 4) 2

= 25.

que nos dá las soluciones:

8

el """ -

6'6.

't

3 2

{3

+

4{3 i 5 + 2

Los cuatro números complejos Demostrar que el número

(C - A)

(D - B) /

D

son conc!cli9os. (C - B)

(O - A)

es rea •

Soluci6n Como los puntos

A, B, e

y

D son conc!clicos se tiene:

48.

< (ACB)

arg -C-B

=

< (ADB)

=

arg D;..B

C-A

arg -C-B

arg

D-ll.

D-B = o

sea: arg (

e -

D - A ---) D - B

A

C -

B

= o

y esta igualdad es suficiente para afirmar que el número:

C - A C - B

D - A D - B

=

(C (C -

A) B)

(D -

B)

(D - A)

es real, pues su argumento es nulo.

67.

Los vérti0cs o 1Juc:r3tos

A

de un rombo ABCD est n 2 dados por las raíces de la ocuac16n z - 6(1+i)z + 16i =O. y

e

Determinar una ecuaci6n de segundo grado que dé los otros dos vértices. Solución Las raíces de la ecuación dada son

e=

2(2 + 2i),

A

=

de aquí que la diagonal

del primer cuadrante.

Ahora como

AC

2 + 2i AC

y

BD

y

es bisectriz se dimidian,

49.

tenemos:

= 6(1

B + D =A+ C

Por otra parte el to

B • D

+ i)

produ~­

debe ser imagi-

nario puro (ver fiq.) lueo

go él debe ser óe

la

= ai,

a

B • D

donde

un real arbitrario. ue dan

ecuaci6n pedida: z

2

B

+ D

B • D

- 6(1 + i) z + ai

=

forma:

es De

se obtiene la O.

Para que el real (a) quede determinado es necesario dar

68.

alguna condici6n adicional, por ejemplo, que: 2AC

= BO.

En un cuadrado ABCD, los vértices opuestos

C

las raíces de la ecuación:

z

2

A

y

son

(6 + 8i) z + (1 + 301)

-

= O.

Determinar los otros dos vértices. Soluci6n Resolviendo la ecuaci6n se tiene: A

=4

+

i

e =

2 +

7~

De aquí se obtiene para

50.

el punto medio

de la diagonal

M

que M

AC,

=3

+ 4i.

Entonces: MA = A

-

y como

MB = B

M= 1

MB

-

de donde:

69.

--

M =

-

MC =

3i

i MA

MD

V

··'

3 + i

B = 6

+ Si

e -

resulta

= i MC,

MD = D

y

M = -1 + 3i

-

M

=

-3

-

i

D = 3i

Sobre los lados de un cuadrilátero

se construyen

ABCD

hacia el exterior triángulos rectángulos is6sceles: ABP, BCQ, CDR y DAS.

Demostrar que los trazos PR

son

y QS

iguales y perpendiculares. Soluci6n El vector tor

Q.

PB

PA

es el vec-

rotado positiva-

mente en 90°, luego: A -

P

=

(B -

i

P)

de aquí despejando P se . obtiene: P = A - Bi . 1

-

1

esulta:

51.

Q

= B1

- Ci - i

R

=C 1

- Di

S

i

=D 1

- Ai

i

entonces: RP=P-R SQ

o y

70.

sea:

=Q

_

l

s =

= i(Q

(P - R)

(A - C) -

=

(B - D)i

- i

(B - O) - (C - A)i l

- i

IP - RI=

- S), lo cual implica

lo~

PR 1 SQ.

A, B, e, P, Q

y

R

son números complejos tales que;

l

1

l

A

B

C

p

Q

R

o

=

Demostrar que los triángulos

ABC

y

POR

son

seJl\e~antes.

Soluci6n De la condici6n dada se obtiene sin dificultaq que: C -

A

C - B

=

R - p R - Q

Esta igualdad de números complejos implica

IC - Al

¡e - Bf

y

C -

A

argc - B

=

argR ... P R -

Q

si

52.

y estas igualdades muestran que los triángulos

ABC

y

PQR tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual, lo que garantiza su semejanza.

71.

lo equilátero.

e

y

Los complejos A, B

son los vértices de

un

triángq~

Demuestre que:

A2 + B2 +

c2 =

A . B + B .

e

e .

+

A

Solución Como el triángulo

e

ABC

es

equilátero, tenemos: C-A A-B

= =

(B-A)

cis (TI/3)

(C-B)

cis (TI/3)

de donde: C -

A

B - A

=

A - B C -

B

B - C

=

A -

C

=

cis

(TI/3}

Tomando estas igualdades dos a dos y multiplicando mediQs y extremos, resulta:

c2

- e .

A2

-

A

.

B2

-

B

.A

-

A

e -

B

B

- e

. .

e

+ A

A + B B +

e

.B=B .A . e =e .B .A=A . e -

B2

-

A2 + A • B

c2

-

B2 + B

A2

c2 +

e

.e .A

53.

De donde sumando miembro a miembro se obtiene la igual4ad propuesta.

72.

Demostrar que una circunferencia de centro

c

r,

y

;radie>

y

< (ACP)= cf>

se puede expresar por: p

donde

t

=

c

1 it + 1 + it r

-

es una variable real.

Soluci6n Sea ()

CA

siendo

=r p

un punto cual-

quiera de la cia.

A

e

ci~cunfe:i;;'e11-

Entonces: OP OP

= oc + = oc +

CP CA

cis cf>

o sea: p

p

=e

=

+ r cis



=e +

r

i sen 1 cos 1+ 2 2 + i sen (cos (- ) 2

+ i sen 1 cos !. 2 2 r e + cos 1 - i sen 1 2

!>

i tg (p/2) + 11 + - i tg {cf>/2) r

= e

2

Finalmente haciendo propuesta.

tg (cf>/2)

=

t

se tiene la igualdad

54.

73.

Si cp es variable

A

y

B

complejos fijos, demostrar

que la circunferencia de diámetro

AB

se expresa por:

2P = A(l + cis cf>) + B(l - cis cp) Solución Sea

M el punto medio del

diámetro

AB

y

P

un pun-

to cualquiera de la cireunferencia, determinado por el ángulo variable

< (AMP) = Entonces:

o OP = OM + MP p

=

M

OM +

=

+ (A - M)

p = A + B +

2

(A

Dados los complejos

A

cis cp

MA

cis cp A + B) 2

-

2P =·A( 1 + cis cp) + B(l

74.

cf>

y

B

de tal modo que el triángulo

cis cp

-

cis cp)

determinar un complejo ABC

sea equilátero.

e,

55.

Soluci6n El complejo buscado

e

es

tal que:

le - Al ¡e - BI arg

=1

'IT e - A = e - B 3

Es decir el complejo

(C - A)/(C -

B)

tiene m6-

dulo uno y argumento (n/3),

o sea:

~

=~

= cos (n/3) + i

De aquí despejando

e,

sen (n/3) =

a

se tiene la solución buscada:

e =A

-

1 -

aS CI.

Una comprobación simple de este resultado se obtiene tomando

A = -1;

y

e=

75.

B = 1

i{3

ya· que· obviamente· debe

e= -i

o bien

Demostrar que en todo triángulo

ABC

a 3 cos 3S + 3a 2 b cos(a - 2S) + 3ab

3

encontrax-s~

v3

se tiene: 3 3 cos(2a-S)+b cos 3a= c