´ a los numeros Introduccion ´ complejos

´ 1.1. ¿Como y por que´ aparecen los numeros ´ complejos? Los n´umeros complejos no han entrado en la matem´atica del mismo modo en que lo han hecho los n´umeros naturales, los racionales o incluso los reales, es decir, como construcciones abstractas buscadas ex profeso par resolver un problema: los n´umeros complejos se han colado “por la puerta de atr´as”. Los matem´aticos se toparon de frente con ellos sin saber muy bien qu´e hacer, y fueron considerados ´ una anomal´ıa, algo embarazoso que “ensuciaba” el Algebra, hasta que primero Argand y despu´es, sobre todo, Gauss, les dieron el estatus que les correspond´ıa al dar una interpretaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos. A partir de ah´ı revelan todo su potencial pr´actico y entran por la puerta grande en la f´ısica y en la ingenier´ıa, de modo que actualmente, la teor´ıa m´as moderna sobre la Naturaleza, la mec´anica cu´antica, no se puede formular sin emplear n´umeros complejos; el dise˜no de circuitos de corriente alterna se basa en los complejos; la teor´ıa de control de sitemas tiene su expresi´on m´as simple en n´umeros complejos. . . y los n´umeros complejos pueblan la matem´atica con la naturalidad con que antes lo hac´ıan los n´umeros reales. Si uno busca en la Wikipedia, la primera menci´on de la ra´ız cuadrada de un

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´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

n´umero negativo se atribuye a Her´on de Alejandr´ıa, en el siglo I de nuestra era. No est´a muy claro en qu´e consiste tal menci´on, pero s´ı parece claro que la primera manipulaci´on de n´umeros complejos se debe a Girolamo Cardano (1501–1576), a quien debemos las f´ormulas para la soluci´on de las ecuaciones de grado 3 y 4. Cardano era, adem´as de matem´atico, un afamado m´edico de Mil´an. Las f´ormulas de la soluci´on de la ecuaci´on c´ubica no son suyas, sino que se deben a Tartaglia, otro matem´atico contempor´aneo suyo, a quien persuadi´o de que se las revelara, en 1539, bajo el juramento de no divulgarlas hasta que e´ ste las publicara. Cardano no cumpli´o su promesa y en 1545 las f´ormulas aparecieron en su Ars magna, obra considerada hoy como el germen del a´ lgebra. Para ilustrar las f´ormulas, Cardano resuelve una serie de ejemplos. En el cap´ıtulo 37 se plantea el siguiente problema: dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rect´angulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga a´ rea 40. Si los dos trozos miden x y 10 − x, la ecuaci´on que plantea el problema es x(10 − x) = 40. El propio Cardano admite que el problema no tiene soluci´on, ya que el rect´angulo de mayor a´ rea que se puede construir, un cuadrado, corresponder´ıa a la divisi´on del segmento en dos iguales de longitud 5, y tendr´ıa, por tanto, a´ rea 25. Aplicando √las f´ormulas√de las ra´ıces de las ecuaciones cuadr´aticas, Cardano obtiene 5 + −15 y 5 − −15 como longitudes de los segmentos. Desde luego, afirma que tales soluciones son “imposibles”, porque involucran la ra´ız cuadrada de n´umeros negativos; sin embargo, si uno las multiplica, √ √ √ (5 + −15)(5 − −15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40, que es, efectivamente, el a´ rea buscada. As´ı que concluye que, de alguna manera “sutil” ambas expresiones son soluci´on de la ecuaci´on, pero se apresura a denominar “quantitas sophistica”, es decir, algo as´ı como “n´umero formal”, a la expresi´on √ −15. El a´ lgebra de Cardano fue ampliada y desarrollada posteriormente por Bombelli (1526–1572), cuyos trabajos se recogen en su obra L’algebra, publicada en Bolonia en 1572. En dicha obra Bombelli vuelve a manipular n´umeros complejos, y lo hace correctamente. El ejemplo m´as destacable es la manipulaci´on que hace de las f´ormulas de Cardano para resolver la ecuaci´on c´ubica x3 = 15x + 4,

´ complejos? 1.1 ¿C´omo y por qu´e aparecen los numeros

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una de cuyas soluciones es, claramente, x = 4. Las f´ormulas de Cardano aplicadas a la ecuaci´on c´ubica x3 = px + q, dan como una soluci´on la expresi´on q q √ √ 3 3 x = q/2 + d + q/2 − d,

d = (q/2)2 − (p/3)3 .

Aplicadas al ejemplo anterior producen como resultado q q √ √ 3 3 x = 2 + −121 + 2 − −121.

El propio Cardano hab´ıa concluido de este resultado que sus f´ormulas no eran aplicables a este caso; sin embargo, Bombelli razona de la siguiente manera: √ √ √ √ (2 ± −1)3 = 23 ± 3 · 22 −1 + 3 · 2( −1)2 ± ( −1)3 √ √ √ √ = 8 ± 12 −1 − 6 ± (− −1) = 2 ± 11 −1 = 2 ± −121, de donde concluye que

Entonces

q √ √ 3 2 ± −121 = 2 ± −1.

q q √ √ √ √ 3 3 x = 2 + −121 + 2 − −121 = 2 + −1 + 2 − −1 = 4,

que es, en efecto, la una soluci´on de la ecuaci´on. Con esta manipulaci´on Bombelli salva el a´ lgebra de Cardano y aporta la primera manipulaci´on algebraica de n´umeros complejos para resolver un problema de la historia. En 1637, Descartes, en el ap´endice La geometrie de su obra Discourse de la m´ethode, afirma Ni las ra´ıces verdaderas ni las falsas son siempre reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar tantas ra´ıces de cada ecuaci´on como grado haya asignado, no siempre hay una cantidad definida que corresponda a cada ra´ız imaginada. Y con esta frase bautiza como imaginarias las expresiones que contienen ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos. Pero a pesar de que los algebristas parecen dispuestos a admitir la existencia ´ de estos “engendros” para salvar el Algebra, los n´umeros “imaginarios” tienen

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´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

muchos detractores. Y no les falta raz´on, dado que la manipulaci´on de las ra´ıces de n´umeros negativos no es consistente; v´ease, si no, este sencillo ejemplo: p √ √ −1 = ( −1)2 = (−1)2 = 1 = 1. Newton, por ejemplo, afirma que la existencia de estas ra´ıces no es m´as que la expresi´on de la insolubilidad de un problema. Al mismo tiempo, Leibnitz hace una nueva aportaci´on al a´ lgebra de los complejos descubriendo la identidad q q √ √ √ 1 + −3 + 1 − −3 = 6,

muy f´acil de demostrar sin m´as que elevar los dos miembros al cuadrado. Adem´as, afirma que expresiones como log(−1) son n´umeros imaginarios. El primer gran paso hacia la instalaci´on definitiva de los n´umeros complejos en ´ la matem´atica se debe a Euler (1707–1783). Este hizo una cosa muy sencilla, y al mismo tiempo de un enorme alcance: defini´o un nuevo n´umero, al que llam´o √ i = −1, y le dio el mismo estatus de existencia que a los n´umeros reales. De e´ l afirm´o que no era ni mayor, ni menor, ni igual a ning´un n´umero real, y defini´o las reglas de suma y multiplicaci´on de este n´umero que hoy conocemos. En particular la conocida i2 = −1. Con esta aportaci´on aparecen de lleno los n´umeros complejos como el conjunto de todas las expresiones algebraicas construibles con los reales y este nuevo n´umero, y desaparece el problema de la ambig¨uedad de las ra´ıces de n´umeros negativos. Con estas herramientas Euler empieza a manipular expresiones complejas con una maestr´ıa sin precedentes, y nos aporta muchas de las mayores contribuciones al an´alisis. Entre sus mayores aportaciones est´a la denominada f´ormula de Euler, eiθ = cos θ + i sen θ, que define la exponencial de un n´umero complejo y la relaciona con las funciones trigonom´etricas. La manera en que la demuestra es la siguiente. La serie de Taylor de la exponencial es ∞ X zn z e = . n! n=0 Si sustituimos z = iθ y separamos los t´erminos pares de los impares en la serie, ∞ ∞ 2n X X θ2n+1 iθ 2n θ + . i2n+1 e = i (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0

´ complejos 1.2 Los numeros

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Como i2 = −1, i2n = (−1)n y i2n+1 = i(−1)n , as´ı que

∞ 2n+1 X θ2n n θ +i . (−1) e = (−1) (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 iθ

∞ X

n

Basta identificar las series del coseno y del seno, ∞ X

θ2n cos θ = (−1) , (2n)! n=0 n

∞ X

θ2n+1 sen θ = (−1) (2n + 1)! n=0 n

y ya tenemos la f´ormula de Euler, de la que, como caso particular, Euler obtiene su famosa ecuaci´on eiπ + 1 = 0, que relaciona cinco de los n´umeros m´as importantes de la matem´atica: 0, 1, e, i y π. El u´ ltimo paso en este proceso lo dieron Argand (1768–1822) y Gauss (1777– 1855), quienes introdujeron el plano complejo, es decir, una representaci´on de los n´umeros complejos x + iy en la que x es la coordenada sobre un eje cartesiano e y la coordenada sobre el eje perpendicular. Todas las operaciones con complejos tienen su contrapartida geom´etrica en el plano. De este modo, por fin, los matem´aticos pudieron “ver” los n´umeros complejos, pese a que Descartes afirmaba que eran imposibles de visualizar. Asimismo, definir, por ejemplo, funciones de una variable compleja no es m´as que otra manera de tratar con funciones de dos variables, si bien, como veremos, las funciones de variable compleja revelan unas estructuras muy ricas que abren posibilidades insospechadas al an´alisis matem´atico.

1.2. Los numeros ´ complejos 1.2.1.

´ Definiciones basicas

El conjunto de los n´umeros complejos se define como C = {x + iy : x, y ∈ R}, donde i es la unidad imaginaria y verifica i2 = −1. Si z = x + iy, diremos que x es la parte real de z, que denotaremos x = Re z, y que y es la parte imaginaria de z, que denotaremos y = Im z. Evidentemente, Re z, Im z ∈ R. Los n´umeros reales son complejos con parte imaginaria 0, de modo que R ⊂ C.

´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

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Los complejos con parte real 0 se denominan imaginarios puros. El u´ nico n´umero real imaginario puro es el 0. Dado un complejo, pz = x + iy, se define su conjugado como z = x − iy, y su m´odulo como |z| = x2 + y 2 . Dos complejos son iguales si y s´olo si lo son sus partes reales e imaginarias; es decir, si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 , ( x1 = x2 , z1 = z2 ⇐⇒ y1 = y2 . La suma de dos complejos se define como z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), y el producto como z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ). N´otese que el producto de un n´umero complejo por su conjugado es zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2 = |z|2 . Asimismo, las partes real e imaginaria se pueden expresar como Re z =

z+z , 2

Im z =

z−z . 2i

Suma y producto tienen elementos neutros, 0 y 1 respectivamente, e inversos. El inverso de z = x + iy respecto de la suma es −z = −x − iy, y respecto del producto, 1 x − iy z z z −1 = = . = 2= 2 z zz |z| x + y2

Como los n´umeros reales tiene estructura de cuerpo, los complejos, con las operaciones suma y producto que hemos definido y sus respectivos neutros e inversos, tienen tambi´en estructura de cuerpo. Eso significa, en particular, que todas las manipulaciones algebraicas que se pueden hacer con los n´umeros reales son igualmente v´alidas para los complejos. Sin embargo, los n´umeros complejos carecen de la estructura de orden que tienen los reales, de modo que, dados dos complejos, no se puede decir que uno sea mayor o menor que el otro. Esto se

´ complejos 1.2 Los numeros

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ver´a claro cuando hagamos la identificaci´on entre C y R2 , conjunto este u´ ltimo que carece de la ordenaci´on de R. Algunas propiedades, bastante obvias, de la conjugaci´on son: z = z,

z1 + z2 = z1 + z2 ,

z1 z2 = z1 z2 ,

z1 z1 = , z2 z2

(z n ) = z n .

Otras, no menos evidentes, relacionadas con el m´odulo, son: | Re z| ≤ |z|,

| Im z| ≤ |z|, |z| = |z|, z1 |z1 | = |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, z2 |z2 | .

Para demostrar la pen´ultima basta hacer

|z1 z2 |2 = (z1 z2 )(z1 z2 ) = z1 z2 z1 z2 = z1 z1 z2 z2 = |z1 |2 |z2 |2 . Para la u´ ltima s´olo hay que tener en cuenta que 1/z = z/|z|2 . Menos obvia es la desigualdad triangular, |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, que se prueba de la siguiente manera: |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + |z2 |2 = |z1 |2 + z1 z2 + z1 z2 + |z2 |2 = |z1 |2 + 2 Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ≤ |z1 |2 + 2|z1 z2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 . De esta desigualdad se deduce f´acilmente |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |,

pues

|z1 | = |(z1 − z2 ) + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |, de donde |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |. Por otro lado, |z2 | = |(z2 − z1 ) + z1 | ≤ |z1 − z2 | + |z1 |, de donde −(|z1 | − |z2 |) ≤ |z1 − z2 |. Las dos desigualdades juntas demuestran el resultado.

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1.2.2.

´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

´ geometrica: ´ ´ polar Interpretacion representacion

El n´umero complejo x + iy se puede identificar con el par ordenado (x, y), lo que permite representar C en el plano R2 . El eje de las abscisas se denomina eje real, el de las ordenadas eje imaginario y el plano R2 se denomina plano complejo. Esta identificaci´on permite representar z = x + iy no s´olo en coordenadas cartesianas, sino mediante sus coordenadas polares. Si la distancia del punto (x, y) 6= (0, 0) al origen es r y el a´ ngulo que forma el vector con el eje real es θ, el n´umero complejo z = x + iy tiene m´odulo |z| = r y argumento arg z = θ. M´odulo y argumento se obtienen de z = x + iy mediante p y tan θ = , r = x2 + y 2 , x y proporcionan la siguiente representaci´on polar de z z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ , empleando la f´ormula de Euler que fue introducida en 1.1 y sobre la que volveremos a tratar m´as adelante. Es evidente que si un complejo z 6= 0 queda determinado, en forma polar, por un a´ ngulo θ, quedar´a igualmente determinado por un a´ ngulo θ + 2kπ, con k ∈ Z. As´ı pues, arg z no es una expresi´on bien definida. En realidad, hay dos maneras de entender arg z: como funci´on o como conjunto. Como funci´on, es necesario especificar un intervalo de a´ ngulos de manera que est´e un´ıvocamente definida. T´ıpicamente se eligen [0, 2π) o (−π, π] como intevalos, aunque cualquier otro de longitud 2π es igualmente v´alido. Elegir el intervalo implica adoptar una determinaci´on de la funci´on arg z. La determinaci´on hace que la funci´on no sea continua en todo el plano complejo. Si S es la semirrecta que comienza en el origen que marca la determinaci´on elegida, arg z ser´a continua en C − S. La elecci´on de (−π, π] como intervalo de arg z se denomina determinaci´on principal. Si no se especifica otra cosa, esta es la determinaci´on que se adopta para las representaciones polares. Ejemplo 1.1. H´allese la representaci´on polar de −1 − i. M´odulo y argumento se hallan mediante p √ r = (−1)2 + (−1)2 = 2, −1 = 1. tan θ = −1 De la segunda ecuaci´on, el signo de parte real e imaginaria, y dado que tenemos que usar la determinaci´on principal, se sigue que θ = −3π/4, as´ı que √ −1 − i = 2e−3πi/4 .

´ complejos 1.2 Los numeros

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La otra forma de entender arg z es como conjunto, es decir, arg z = {θ + 2kπ : k ∈ Z}. Representa la clase de equivalencia de todos los a´ ngulos que dan lugar a la misma representaci´on polar de z. Este es el sentido en el que se expresan las siguientes identidades que involucran la funci´on arg z:   1 arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 , arg = arg z = − arg z, z   z1 = arg z1 − arg z2 , arg z2 Para poder justificar estas identidades tenemos que estudiar el significado geom´etrico del producto de dos n´umeros complejos (la suma de n´umeros complejos es simplemente la suma de vectores de R2 ). Antes de ello, vamos a comprobar que la exponencial compleja introducida en la f´ormula de Euler cumple las propiedades b´asicas de la exponencial, a saber, (1) eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) , (2) 1/eiθ = e−iθ . La propiedad (1) se prueba mediante las identidades trigonom´etricas para la suma de a´ ngulos: eiθ1 eiθ2 = (cos θ1 + i sen θ1 )(cos θ2 + i sen θ2 ) = (cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 ) + i(sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2 ) = cos(θ1 + θ2 ) + i sen(θ1 + θ2 ) = ei(θ1 +θ2 ) .

En cuanto a la propiedad (2), en primer lugar eiθ = (cos θ + i sen θ) = cos θ − i sen θ = cos(−θ) + i sen(−θ) = e−iθ ; en segundo lugar, iθ 2 e = eiθ e−iθ = e0 = 1,

usando la propiedad (1), luego

e−iθ 1 −iθ . = 2 =e iθ iθ e |e |

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´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

Gracias a estas propiedades en adelante emplearemos la forma polar con la exponencial, lo que simplificar´a considerablemente los c´alculos. Retomando el problema del producto de complejos, si z1 = r1 eiθ1 y z2 = r2 eiθ2 , z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) El vector de R2 que representa el producto z1 z2 tiene de m´odulo r1 r2 (es otra manera de obtener la propiedad |z1 z2 | = |z1 ||z2 |) y de a´ ngulo θ1 + θ2 . As´ı, por ejemplo, multiplicar un complejo por otro de m´odulo 1 es lo mismo que rotar el vector que lo representa un a´ ngulo igual al a´ ngulo de este u´ ltimo. Esto prueba la identidad arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 . N´otese que esta identidad, por ser una relaci´on entre conjuntos, tiene en cuenta el hecho de que θ1 + θ2 puede ser un a´ ngulo que no est´a en la determinaci´on fijada para la funci´on arg. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1.2. Determina arg (−1 + i)i . √ Evidentemente, (−1 + i)i = −1 − i = 2e−3πi/4 , pero π 3π π 5π 3π , arg i = , =⇒ arg(−1 + i) + arg i = + = , arg(−1 + i) = 4 2 4 2 4 que se sale de la determinaci´on. Ahora bien, como conjuntos, π 3π + 2k1 π, arg i = + 2k2 π, arg(−1 + i) = 4 2 siendo k1 , k2 ∈ Z, lo que implica 3π π 5π arg(−1 + i) + arg i = + + 2kπ = + 2kπ, 4 2 4 con k = k1 + k2 ∈ Z. El argumento en la determinaci´on principal corresponde a k = −1.

Del mismo modo que el producto, el inverso de z = reiθ ser´a 1 1 1 = iθ = e−iθ , z re r y el conjugado z = reiθ = re−iθ .

La conjugaci´on, pues, corresponde a una reflexi´on sobre el eje real. Con estas dos relaciones se demuestran las identidades   1 arg = arg z = − arg z. z A partir de las dos identidades que hemos probado se obtiene la tercera,       1 1 z1 = arg z1 = arg z1 + arg = arg z1 − arg z2 . arg z2 z2 z2

´ complejos 1.2 Los numeros

1.2.3.

13

Potencias y ra´ıces

De nuevo la representaci´on polar permite estudiar potencias y ra´ıces de n´umeros complejos. La potencia se obtiene de una forma muy sencilla. Si z = reiθ y n ∈ Z,
n z n = reiθ = rn einθ , de donde se siguen dos identidades m´as entre m´odulos y argumentos: |z n | = |z|n ,

n arg z ⊂ arg(z n ),

esta u´ ltima, de nuevo, entendiendo arg como conjunto. La raz´on de esta relaci´on es que arg(z n ) = nθ + 2kπ, con k ∈ Z, mientras que n arg z = n(θ + 2lπ), con l ∈ Z, o lo que es lo mismo, n arg z = nθ + 2k ′ π pero con k ′ m´ultiplo de n. Cuando |z| = 1, obtenemos la identidad
n eiθ = einθ ,

que se reescribe como una identidad trigonom´etrica que recibe el nombre de f´ormula de De Moivre: (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ. Ejemplo 1.3. Empleando la f´ormula de De Moivre obt´en las identidades de seno y coseno de a´ ngulos m´ultiplos. Para n = 2 la f´ormula de De Moivre da cos 2θ + i sen 2θ = cos2 θ − sen2 θ + i2 sen θ cos θ, de donde cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ,

sen 2θ = 2 sen θ cos θ,

las conocidas f´ormulas del a´ ngulo doble. Pero la f´ormula es igualmente aplicable a n = 3, cos 3θ + i sen 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ + i(3 cos2 θ sen θ − sen3 θ), de donde cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sen2 θ,

sen 3θ = 3 cos2 θ sen θ − sen3 θ.

En general, empleando la regla del binomio, obtendremos las siguientes f´ormulas: X n (−1)k cosn−2k θ sen2k θ, cos nθ = 2k k : 0≤2k≤n   X n (−1)k cosn−2k−1 θ sen2k+1 θ. sen nθ = 2k + 1 k : 0≤2k≤n−1

´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

14

cω c

c

cω θ

θ cω

2

cω4 cω2

cω3

(a)

(b)

Figura 1.1: Si c es una r´aiz n-´esima de z, las figuras representan los puntos correspondientes a las n ra´ıces para n = 3 (a) y n = 5 (b). Los puntos forman sendos pol´ıgonos de n lados.

Las ra´ıces de n´umeros complejos son m´as sutiles. Sea z = reiθ y supongamos que queremos hallar la ra´ız n-´esima de z. Teniendo en cuenta que z = rei(θ+2kπ) para todo k ∈ Z, 1/n √  √ i(θ+2kπ) n = n rei(θ+2kπ)/n , z = re k ∈ Z.

Ahora bien, seg´un vamos dando valores a k, empezando por k = 0, obtenemos √ distintos argumentos para n z hasta que llegamos a k = n − 1. A partir de ah´ı, si k = n, 2kπ/n = 2π y se obtiene el mismo argumento que para k = 0; si k = n + 1, 2kπ/n = 2π + 2π/n, y se obtiene el mismo argumento que para k = 1; etc., y lo mismo ocurre si k < 0. Resumiendo, el n´umero complejo z = reiθ tiene n ra´ıces n-´esimas, a saber, √ √ √ √ n n reiθ/n , n reiθ/n+2πi/n , n reiθ/n+4πi/n , · · · reiθ/n+2π(n−1)i/n , todas las cuales son soluciones w ∈ C de la ecuaci´on wn = z. Esta propiedad se plasma en las dos identidades √ p n z = n |z|,

arg


1 √ n z = arg z, n

la segunda, de nuevo, entendida como relaci´on entre conjuntos. Un hecho importante es que la ecuaci´on wn = 1 tiene n ra´ıces distintas. Cada una de ellas recibe el nombre de ra´ız n-´esima de la unidad. Si denotamos ωn ≡ e2πi/n , e´ stas son, 1, ωn , ωn2 , · · · , ωnn−1 .

´ complejos 1.2 Los numeros

15

Si n = 2, las dos ra´ıces son 1 y eiπ = −1, como ya sab´ıamos. Retornando al caso general, si c representa cualquiera de las ra´ıces n-´esimas de z, las n ra´ıces se obtienen mediante las f´ormulas c,

cωn ,

cωn2 ,

cωnn−1 .

··· ,

Geom´etricamente, la acci´on de ωn es la de rotar el vector correspondiente a c un a´ ngulo 2π/n. En consecuencia, y como las n ra´ıces de z tienen el mismo m´odulo y est´an, por tanto, sobre una circunferencia, los puntos correspondientes a las n ra´ıces formar´an los v´ertices de un pol´ıgono de lado n (v´ease la figura 1.1). 1.2.4.

Conjuntos de C y puntos notables

El conjunto b´asico es el entorno de un punto, tambi´en denominado disco. Est´a dado por D(z0 , ǫ) = {z ∈ C : |z − z0 | < ǫ},

y representa un c´ırculo en el plano complejo, de radio ǫ y centro z0 (excluyendo la circunferencia l´ımite. Dado un conjunto Ω ⊂ C, diremos que es abierto si para todo z ∈ Ω existe un entorno D(z, ǫ) ⊂ Ω. Diremos que Ω es cerrado si su complementario Ωc = C−Ω es abierto. Un conjunto dado no tiene por qu´e ser ni abierto ni cerrado. El conjunto C es, a la vez, abierto y cerrado. Un punto z es punto interior de Ω si existe D(z, ǫ) ⊂ Ω, y es punto exterior si existe D(z, ǫ) ⊂ Ωc . Si un punto no es ni exterior ni interior es un punto frontera. Un conjunto abierto no contiene ning´un punto frontera y uno cerrado los contiene todos. Se denomina cierre o clausura de Ω a la uni´on de Ω y todos sus puntos frontera (y se denota Ω). Ejemplo 1.4. El conjunto D(z0 , ǫ) es abierto. Para probarlo, tomemos un punto z ∈ D(z0 , ǫ). Por definici´on, |z − z0 | < ǫ. Sea δ = ǫ − |z − z0 | > 0 y consideremos el disco D(z, δ). Vamos a demostrar que D(z, δ) ⊂ D(z0 , ǫ), lo que probar´a que D(z0 , ǫ) es abierto. Para ello bastar´a probar que todo punto de D(z, δ) est´a tambi´en en D(z0 , ǫ). Sea y ∈ D(z, δ); por definici´on |y − z| < δ = ǫ − |z − z0 |

⇐⇒

|y − z| + |z − z0 | < ǫ,

pero por la desigualdad triangular, entonces, |y − z0 | ≤ |y − z| + |z − z0 | < ǫ, lo que prueba que y ∈ D(z0 , ǫ). La circunferencia |z − z0 | = ǫ es la frontera de D(z0 , ǫ) y, por tanto, el cierre de este conjunto ser´a D(z0 , ǫ) = {z ∈ C ; |z − z0 | ≤ ǫ}.

16

´ complejos 1 Introducci´on a los numeros

Un punto z ∈ C es punto de acumulaci´on de Ω si todo entorno D(z, ǫ) tiene intersecci´on no vac´ıa con Ω − {z}. Un conjunto abierto Ω es conexo si cada par de puntos z1 , z2 ∈ Ω se puede unir por una curva continua γ : [a, b] → Ω, es decir, γ(a) = z1 y γ(b) = z2 . Llamaremos dominio a cualquier conjunto abierto conexo. Cuando el conjunto pueda contener alg´un punto frontera lo llamaremos regi´on. Un conjunto Ω es simplemente conexo si “no tiene agujeros”. M´as formalmente, si es conexo y ninguna curva cerrada contenida en Ω rodea puntos que no per´ tenecen a Ω. En caso contrario se denomina multiplemente conexo. Por ejemplo, el anillo Ω = {z ∈ C : 1 < |z − z0 | < 2} es m´ultiplemente conexo. Finalmente, un conjunto Ω es acotado si est´a contenido en alg´un disco.