El lenguaje matemático de la belleza según el número de oro – Maite Orellana Pereira – ISSN : 1989-9041, Autodidacta ©

EL LENGUAJE MATEMÁTICO DE LA BELLEZA SEGÚN EL NÚMERO DE ORO Maite Orellana Pereira Licenciada en Matemáticas

1. INTRODUCCIÓN Si miramos alrededor de nosotros las matemáticas están en todos lados, es omnipresente. El mundo en el que vivimos se eleva sobre los números, algunos de los cuales conocemos como el numero PI, el numero e, pero la gente desconoce el numero que para mi es el mas importante 1,6180339887… el numero phi, conocido como el numero de oro con unas relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también la conexión entre la naturaleza y las creaciones humanas. Si miramos atrás la teoría de las proporciones es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y su importancia ha sido fundamental para el desarrollo de la misma. El libro V de Los Elementos de Euclides esta dedicado íntegramente a esta teoría y es uno de los más admirados. Los Griegos de la Grecia Clásica confiaban en una proporción numérica fija para su ideal de belleza estética. Esta proporción se denomina con varios nombres: razona urea, media áurea, proporción divina. Su origen geométrico y sus propiedades matemáticas fueron estudiadas por Euclides que lo definió como: Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor. En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: 1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. 3. La inconmensurabilidad; para Pacioli inconmensurabilidad del número áureo, y inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.

la la Luca Pacioli

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4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. 2. ¿PORQUE ES DIVINA ESTA PROPORCIÓN? Veamos porque es divina esta proporción: El número de oro como hemos dicho antes es

1+ 5 = 1,6180339887… 2

Es un número irracional que representamos con la letra griega phi (Ф). Vamos a calcular el número phi:

1

x-1

x Si tenemos el segmento y en él tomamos dos partes, la partición que hemos hecho lo será en media proporción, es decir será una partición Áurea cuando

x 1 = , esta igualdad nos lleva por las igualdades de fracciones a la ecuación de 1 x −1 segundo grado interesa es:

x2- x-1 =0 que tiene dos soluciones, y la positiva, que es la que nos

x=

1+ 5 = 1,6180339887… El número áureo. 2

Los mil primeros decimales para los curiosos:

1.618033988749894848204586834365638117 72030917980576286213544862270526462818 90244970720720418939113748475408807538 68917521266338622235369317931800607667 26354433389086595939582905638322661319 92829026788067520876689250171169620703 22210432162695486262963136144381497587 01220340805887954454749246185695364864 44924104432077134494704956584678850987 43394422125448770664780915884607499887

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124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780 531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521 948435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170025 046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186 385133162038400522216579128667529465490681131715993432359734949850904 094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279 974717534277759277862561943208275051312181562855122248093947123414517 022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321 96819861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936 ………

Veamos algunas propiedades elementales de ese número tan divino: 1. Para empezar recordemos que Ф es solución de la ecuación x2- x-1 = 0 por ello Ф2 – Ф -1 = 0

Ф2 = Ф + 1

2. Si multiplicamos varias veces los dos primeros miembros por Ф llegamos a:

Ф3= Ф2 + Ф Ф4= Ф3 + Ф2 Ф5= Ф4 + Ф3 ……………………..

Esto hace que la sucesión Ф, Ф2, Ф3, Ф4, Ф5,……. Sea interesante ya que conjuga tanto propiedades geométricas, es una progresión geométrica de razón Ф y primer elemento es Ф, como propiedades aritméticas, cada elemento es suma de las dos anteriores. 3. Sabemos que Ф2 = Ф + 1 por lo que dividiendo por Ф obtenemos Ф = 1 +

1

φ

, así

pues Ф se puede definir de modo recurrente como una fracción continua Ф = 1+

1 1

1+ 1+

1 1+

1 1+

1 ......... 40

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4. Como ya hemos visto Ф2 = Ф + 1, por lo que haciendo la raíz cuadrada de ambos miembros podemos obtener Ф =

1 + φ por lo que Ф queda definido de modo

recurrente como

Ф=

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...........

5. Otra curiosidad sobre este numero, su inverso es el mismo menos uno.

1

φ

=Ф-1

6. La relación con la serie Fibonacci, tan famosa en Matemáticas.

Ф2 = Ф + 1 Ф3 = (Ф + 1) Ф = 2Ф + 1 Ф4 = (2Ф + 1) Ф = 3Ф + 2 Ф5= (3Ф + 2) Ф = 5Ф + 3 ………………………..

Después de ver las propiedades divinas que tiene este número, veamos la relación con lo más cercano a nosotros y que vemos diariamente:

3. ¿DONDE LA PODEMOS VER? • Lo primero que me viene a la mente es la belleza en el arte: Por ejemplo, La Alambra fue el palacio de la dinastía nazarí, que reinó en Granada hasta su conquista por los Reyes Católicos en 1492. Es un impresionante monumento de arte geométrico y uno de los más visitados por viajeros de todo el mundo. En ella los mosaicos están por todas partes. Analizándolos con atención, se puede ver que la base es sencilla, pero con figuras que se transforman con translaciones y el patrón se repite.

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Algunos ejemplos más los tenemos en el Partenón de Atenas, en el cual se inscribe el rectángulo de oro.

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También en otros muchos edificios actuales y de la antigüedad como la catedral de Notre Dame en Paris, las Torres de las Naciones Unidas de Nueva York, incluso en monumentos megalíticos como el Cromlech de Chartres (Francia). Muchos pintores han utilizado en sus cuadros la proporción Áurea: La Sagrada Familia de Miguel Ángel, La Gioconda de Leonardo da Vinci, y Salvador Dali, en su cuadro Leda Atómica. Incluso los escultores egipcios ya lo concibieron al dividir en partes iguales el cuerpo humano para repartirse el trabajo entre varios. Tomaron como unidad modular el dedo corazón, que equivalía a la decimonovena parte de la altura. (La altura del cuerpo es siete veces la de la cabeza). Un ejemplo digno de nombrar El Hombre De Vitruvio de Leonardo.

• Las proporciones en la música:

Leda Atómica, Dali

Si como decimos las proporciones también desempeñan un importante papel en la música. La superposición de dos sonidos se llama intervalo, los intervalos utilizados en la música son tales que el número de vibraciones de los dos sonidos están en una razón sencilla. Un ejemplo se puede escuchar, mejor dicho, en la quinta sinfonía de Beethoven. • Las proporciones en la naturaleza: También aparece la secciona urea allá donde queramos buscarla. Por ejemplo, en la forma y crecimiento de las plantas, en organismos marinos como la estrella de mar, en conchas de moluscos, piñas, etc.…

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Por último algunas curiosidades: La “armonía del Universo”, en el Sistema Solar, si se colocan todos los planetas en línea recta y se ve como cada uno divide a la distancia entre los dos vecinos, se llega a que sólo la Tierra lo hace en razón Áurea, por ello se ha especulado con que esto tuviera que ver con el hecho de que nuestro planeta sea el único del Sistema Solar donde hay vida.

También recientemente, en el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como la sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas más. Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro. Tom Cruise es uno de los actores más famosos del mundo que casualmente posee unas proporciones áureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza, están distribuidos de forma que la proporción de oro aparece constantemente.

BIBLIOGRAFÍA A.M. González. (1987). Pacioli, L: La divina proporción, Introducción. Madrid, Akal. F. Corbalan. (2010).La proporción áurea. RBA. Mariano Domínguez Muro. El número de Oro. Editorial Proyecto Sur.

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