El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones

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Sistema de coordenadas rectangulares • En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y puntos sobre una recta.

• Identifica el punto de la recta numérica de arriba asociado al valor real que se da: a • _____ - ½ b • _____ 𝜋 c d • _____ 1.4 e

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Sistema de coordenadas rectangulares • En el sistema de coordenadas rectangulares se usan dos rectas numéricas que intersecan a 90 grados, en el cero de cada recta. • La recta horizontal se llama eje de x y la recta vertical, eje de y. • La intersección de los dos ejes se llama el origen. • Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, I-IV.

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Cuadrantes y puntos • A cada punto P en el plano le corresponden dos coordenadas:  La abscisa es la distancia horizontal desde el punto hasta el eje vertical.  La ordenada es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal. • Estas coordenadas se representan mediante un par ordenado (a, b)

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Cuadrantes y puntos • El par ordenado (3, 1) corresponde al un punto localizado a 3 unidades a la derecha del origen y 1 unidad hacia arriba. • El par ordenado (-2, 4) corresponde al un punto localizado a 2 unidades a la izquierda del origen y 4 unidades hacia arriba. • En general los signos en los cuadrantes se distribuyen como se muestra. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Sistema de coordenadas rectangulares

Notar los puntos P y Q. ¿Cuál punto tiene coordenadas 2, − 2 ? P

Q

P G

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Ecuaciones en dos variables • Una ecuación en dos variables describe la relación entre dos cantidades. • Ejemplos  2x – 5 = 20 es una ecuación en una variable  y = 2x – 5

es una ecuación en dos variables

 3x – 4y = 8 es una ecuación en dos variables que no esta despejada para y.

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Gráfica de una Ecuación • La gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados, (a,b), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. • Si un par ordenado satisface una ecuación se dice que es una solución de la ecuación.

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Solución de una Ecuación La solución de una ecuación en dos variables, x y y, es un par ordenado de números reales, (a,b) que tiene la propiedad que al sustituir el valor de a por x, y el valor de b por y, se produce un enunciado cierto. Ejemplo: ¿Es (2,7) una solución de y = 3x + 1? Solución: Al sustituir x por 2 y y por 7 tenemos 7 = 3(2) + 1 7=7 Esto es un enunciado cierto, por lo tanto (2,7) es una solución de y = 3x + 1. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Ejemplo Ejemplo: ¿Es (1,-4) una solución de y = 2x – 5? Solución: Al sustituir x por 1 y y por -4 tenemos -4 = 2(1) – 5 -4 = -3 Esto es un enunciado FALSO, por lo tanto (1,-4) NO es una solución de y = 2x – 5.

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Localización de puntos • Una forma de bosquejar (“sketch”) la gráfica de una ecuación es localizar suficientes puntos (soluciones), hasta obtener una imagen clara de la forma de la gráfica. Ejemplo: Gráfique : y = 3x + 1 .  Elegimos algunos valores para sustituir por x: 1 x = -2, 0, , 1, 2 3  Construimos una tabla de valores. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Graficar y = 3x + 1 Evaluamos la ecuación en los valores de x para determinar los valores correspondientes de y.

x

y

-2

-5

0

1

1/3 1

2 4

2

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Cont. Ejemplo x

y

-2

-5

0

1

(-2, -5) (0, 1)

1/3 1

2 4

(1/3, 2) (1, 4)

2

7

(2, 7)

• Con cada par de valores, (x, y) construimos un par ordenado. • Luego los graficamos en el plano.

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(2, 7)

Cont. Ejemplo

(-2, -5) (1, 4) (1/3, 2)

(0, 1) Una gráfica con esta forma se conoce como una recta.

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Intervalo de crecimiento Si observamos el comportamiento de los puntos en la gráfica, notamos que a medida que los valores de x se hacen más grandes, los valores de la y también se hacen más grandes.

Decimos que la recta sube en el plano. Decimos que la recta es creciente. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Ejercicios

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Cont. Ejemplo

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Cont. Ejemplo

a medida que los valores de x se hacen más grandes, los valores de la y se hacen más pequeños. Decimos que la recta baja en el plano. Decimos que la recta es decreciente. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Dibujar la grafica de 3x – 4y = -8 Primeramente nos conviene despejar la ecuación para y. 3x – 4y = -8

x 3x + 8 = 4y

3𝑥 + 8 =y 4 3 8 𝑦= 𝑥+ 4 4 3 𝑦 = 𝑥+2 4

y

-8

𝟑 𝟒

−𝟖 + 𝟐 =

−𝟒

-4

𝟑 𝟒

−𝟒 + 𝟐 =

−𝟏

0

𝟑 𝟒

𝟎 +𝟐=

𝟐

4

𝟑 𝟒

𝟒 +𝟐=

𝟓

8

𝟑 𝟒

𝟖 +𝟐=

𝟖

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Cont. Ejemplo −8, −4 −4, −1 0, 2

4,5 8,8

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Cont. Ejemplo Los interceptos de una gráfica son los puntos donde la gráfica corta los ejes.

El intercepto en y

El intercepto en y tiene coordenadas (0,b), donde b es cualquier número real.

El intercepto en x tiene coordenadas (a,0), donde a es cualquier número real.

El intercepto en x

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Ejemplo Dado 2x – 5y = 8 , bosqueje la gráfica de la ecuación. SOLUCION: La ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1. Método de los interceptos: • int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8 𝟖 • 𝒚=− •

𝟖 𝟎, − 𝟓

𝟓

• • int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8 • x=4 • (4, 0) Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Ecuaciones lineales (ecuaciones de rectas.) • Cualquier ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma y=mx+b • Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1 Nota: Una recta tiene tres características distintivas: su inclinación intercepto – y intercepto - x

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Noción de pendiente 

Se describe la inclinación de una recta con una medida llamada pendiente.



A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 está más inclinada que L2.)



Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos que pertenecen a la recta, 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , y calculamos: Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7). Solución: Utilizando la fórmula: 𝟕−𝟑 𝒎= 𝟑−𝟏 𝟒 𝒎= =𝟐 𝟐 

Observemos la figura 4.2



Nota: La pendiente es positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha

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Hallar la pendiente •

Haz un bosquejo de la recta que pasa por los dos puntos dados y halla la pendiente. a) A(-1, 4) and B(3, 2)

b) A(2, 5) and B(-2, -1) c) A(4, 3) and B(-2, 3) d) A(4, -1) and B(4, 4)

•

Ilustramos:

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Hallar la pendiente (continuación) 24 2 1 (a) m    3   1 4 2

5   1 6 3 (b) m    2   2  4 2

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Slope of Line (cont’d) 33 0 (c) m   0 2  4 6

(d) La pendiente no está definida.

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Pendiente Positiva y Negativa • Ilustramos ambos casos:

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Sec. 8.4 pag. 339 Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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Forma Pendiente-Intercepto • y = mx + b .  El número b es el intercepto en y de la gráfica.

• La gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (0, b) . • Ilustramos:

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Slope-Intercept (cont’d)

recta con pendiente (inclinación igual a m

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Ejemplo Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto. SOLUCION: 2x – 5y = 8 - 5y = -2x + 8 −𝟐 𝒚= 𝒙+ 𝒚=

−𝟓 𝟐 𝒙 𝟓

−

𝟖 𝟓

𝟖 −𝟓

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Interpretar gráficas • Cuando un médico inyecta un medicamento en el músculo de un paciente, la concentración del fármaco en el cuerpo, depende del tiempo transcurrido después de la inyección. • La siguiente figura muestra la gráfica de la concentración del fármaco sobre el tiempo. a. ¿Durante que periodo está la concentración de medicamento aumentando? Solución: La concentración del fármaco está aumentando de 0 a 3 horas.

Como intervalo: (0, 3) Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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b. ¿Durante que periodo está la concentración de medicamento disminuyendo? Solución: La concentración del fármaco está disminuyendo desde las 3 hasta las 13 horas. Como intervalo: (3, 13) c. ¿Cuál es la concentración máxima de la droga? ¿Cuándo ocurre? Solución: Concentración máxima es de 0.05 mg por 100 ml, que se produce después de 3 horas. Copyright © 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc.

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d. ¿Qué ocurre al final de 13 horas? Solución: Ya no queda medicamento en el cuerpo.

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Sistema de coordenadas rectangulares

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