El problema de la cabra

EL PROBLEMA DE LA CABRA Alberto Bagazgoitia (*)

La Resolución de Problemas (R.P) puede ser considerada como el tema estrella en el actual currículum de Matemáticas. Cuando se analizan, desde un punto de vista teórico o de reflexión, cuáles son los aspectos fundamentales que habría que trabajar en la enseñanza Secundaria, la R.P., en el sentido amplio de la expresión, alcanza un muy importante grado de consenso entre el profesorado. Y es que la Resolución de Problemas, además de trabajar y desarrollar estrategias más generales y de más alto nivel que la mera resolución de ejercicios de aplicación directa de fórmulas conocidas o recién estudiadas, permite un mejor tratamiento y una más fácil adecuación a las diferentes capacidades de los alumnos. Sin embargo, en la práctica, en el aula, y sin entrar a valorar las razones por las que esto ocurre, la realidad no concuerda con la importancia que se le da en el plano teórico. Es evidente que la disponibilidad por parte del profesorado, de material adecuado e interesante es condición indispensable para que se vayan introduciendo actividades en esta línea. El Problema de la Cabra que aquí se plantea ha sido objeto ya de varios artículos a lo largo de estos últimos años. Es un buen problema por varias razones: • Permite trabajar estrategias propias de la Resolución de Problemas: Descomponer un problema en partes más simples, • El procedimiento de abordar el problema no es único. • Permite diferentes niveles de dificultad según las capacidades de los alumnos: la situación más elemental se puede ir complicando con sencillos cambios en el enunciado.. • Permite incorporar contenidos “tradicionales” : Trigonometría, Integrales. Es un problema con el que se puede trabajar desde los primeros años de la Secundaria hasta el último de Bachillerato. Mientras algunos alumnos se quedarán en las primeras fases del problema, otros podrán llegar hasta el final, profundizando en el uso de las herramientas y conocimientos matemáticos necesarios para su resolución. No se trata de que todos los alumnos aborden todas las variantes que aquí se proponen, sino que cada uno o cada grupo las desarrolle hasta donde pueda con la colaboración del profesor, dentro de la metodología de la resolución de problemas.

(*) Asesor del Berritzegune de Vitoria-Gasteiz

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ENUNCIADO 1: UN REDIL CUADRADO A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un redil de forma cuadrada, de 5 metros de lado. El redil está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? La Solución es muy sencilla : Las 3 cuartas partes del círculo de radio 3m.: S = 3/4 p 32 = 27p/4 m2

B) ¿Y si la longitud de la cuerda es de 7 metros? El alumno descompondrá la región en zonas. Por ej.: S1: Los 3/4 del círculo de radio 7. S2: 2 regiones de 1/4 de círculo de radio 2. A = S1 + S2 = 3/4 p 72 + 2(1/4 p 22) C) ¿Y si la longitud de la cuerda fuese mayor? Se puede continuar con un proceso análogo al apartado anterior.

ENUNCIADO 2: UN REDIL TRIANGULAR A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un redil en forma de triángulo equilátero, de 5 metros de lado. El redil está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? El área de la región donde puede pastar la cabra es la del círculo menos la de un sector circular de 60º. S = p 32 – (1/6)p 32 = (15/2)p m2

B) ¿Y si la cuerda mide 6 m.? El alumno deberá descomponer la región en subzonas. Por ej: S1 = Las 5/6 del círculo de 6 m. de radio S2 = Cada una de las pequeñas regiones de 120º de un círculo de radio 1.

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Con lo que el área total sería : S = S1 + 2 S2 = (5/6) p 62 + 2(1/3) p = (30+2/3) p m2 C) ¿Y si la cuerda midiese 9 m? Hacer una figura adecuada es imprescindible. A la vista de la figura, la región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse de más de una forma. Cada alumno o grupo de alumnos podrá encontrar la suya. Aquí se analizan tres descomposiciones diferentes, utilizando diferentes métodos de resolución. (Además de las estrategias generales de resolución de problemas que se pueden trabajar, como hacer representaciones y dividir el problema en subproblemas, es claro que el conocimiento de diferentes herramientas matemáticas —trigonometría, integrales— dota de mayores recursos para la resolución).

SOLUCIÓN La región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse como la suma de las regiones S1, S2, S3 y S4. La región S1 es muy sencilla de ver y de calcular como un sector circular de 300º ( los 5/6 del círculo ) de radio 9m. Así pues: S1 = (5/6) p 92 m2 = 67’5 p m2 Para obtener la suma de las regiones S2 + S3 + S4 analicemos diferentes descomposiciones:

DESCOMPOSICIÓN I para el Cálculo de S2 + S3 + S4. S2 = DGEC

S3 = BEFA

S4 = CEB

La Región S2 + S3 + S4 puede ser vista como la suma de las siguientes : Sector circular de centro A : FEC Sector circular de centro D : GEA

(S3 + S4) (S2 + S4) A los que habrá que restar el área de la región S4 que hemos contado dos veces. Cada uno de los dos sectores circulares anteriores (FEC y GEA) son sectores de 120º de un círculo de radio 4m. Por tanto su área será : Sector FEC + Sector GEA = (1/3) p 42 + (1/3) p 42 = (32/3)p = 33’5103 m2 Calculemos ahora el área de S4.

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Observando la figura vemos que la mitad de esta área, concretamente la región CEH, puede verse como la diferencia entre el sector circular (de centro A) CAE y el triángulo rectángulo HEA. 1/2 S4 = Sector CAE – Triángulo HEA El ángulo en A del triángulo HAE, que es el mismo que el del sector CAE, se puede deducir a partir de las longitudes de los lados del triángulo que lo determinan. AE = 4

AH = 2’5.

Por tanto, llamando a al ángulo (en A) HAE obtenemos : Cos a = 2’5/4 = 0’625 ˛ a = 0’895665 rad = 51’3178º Así pues, el área del Sector CAE es la de un sector de 0’855665 rad. correspondiente a un círculo de radio 4m.: Sector CAE = (0’895665 / 2p) p 42 = 7’1653 m2 Y el área del triángulo HAE, será AH*EH / 2 , donde AH = 2’5 ,, EH = AE sen a Area Triángulo HAE = (2’5 * 4 * sen 0’895665 ) / 2 = 3’9031 m2 Por tanto : 1/2 S4 = 7’1653 – 3’9031 = 3’2622 ˛ S4 = 6’5244 m2 AREA TOTAL : S2 + S3 + S4 = 33’5103 – 6’5244 = 26’9859 m2

DESCOMPOSICIÓN II PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4 Utilizando la misma figura anterior, se puede ver otra sencilla descomposición. La región S4 se puede dividir en dos mitades : BEH y HEC y por tanto nos podemos limitar a calcular la mitad de la región total (S3 + 1/2 S4) de vértices HEFA. Y esta región HEFA se puede descomponer como suma de un sector circular EAF y un triángulo rectángulo HEA (el mismo cuya área hemos calculado en el apartado anterior). Es decir: S3 + 1/2 S4 = Sector EAF + Area Triáng. HEA = Sector EAF + 3’9031 Calculemos el área del Sector EAF : Es un sector de b = 120º - a grados (2p/3 - a radianes) de un círculo de radio 4. Como a lo hemos calculado en el apartado anterior, a = 0’895665 rad. ˛ b = 2p/3 – 0’895665 = 1’198730 rad. Sector EAF = [b/(2p)] p 42 = 9’5898 m2 Por tanto: S3 + 1/2 S4 = 9’5898 + 3’9031 = 13’4929 ˛ S2 + S3 + S4 = 26’9858 m2

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DESCOMPOSICIÓN III PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4 La Geometría Analítica y el Cálculo Integral nos abren otras posibilidades diferentes. Imaginemos la figura anterior, en la que hemos fijado unos ejes de referencia. Tomaremos el eje vertical como Eje X y el horizontal como Eje Y. La mitad del área que queremos calcular es la región limitada por los vértices: AFEH Esta región la podemos descomponer en otras dos : AFI y AIEH. La primera, AFI, es un sector circular de 30º correspondiente a un círculo de radio 4 m. Por tanto su área será : Area AFI = 42p /12 = 4’1888 m2 La segunda, AIEH, la podemos calcular mediante el cálculo integral, como el área encerrada por la circunferencia x2 + y2 = 16, entre las abscisas 0 y 2’5. 2,5

Area AIEH = *=16 - x2 dx 0

Y haciendo el cambio x = 4 sen t 2,5

0’675

0

0

Area AIEH = *=16 - x2 dx = 16 *cos2 t dt = 9’3041 m2 Con lo que el área buscada será : S2 + S3 + S4 = 2 ( 4’1888 + 9’3041 ) = 26’9858 m2

OTROS ENUNCIADOS: Como se ha visto, cambiando la forma del redil y la longitud de la cuerda se obtienen problemas de dificultad variable. Repite el problema con un redil pentagonal, hexagonal,...

ENUNCIADO 3: REDIL CIRCULAR

A) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda de 10 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra? La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es la limitada por los arcos PA y CA y el segmento CP. Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, CPA, menos el triangulo equilátero PAC. Los dos sectores PCA y CPA son iguales, 60º de un círculo de radio 10 m. Por tanto su área será : Sector PCA + Sector CPA = 2 ((1/6) p 102) = 100 p / 3 m2 Área triángulo PAC = (10 =3 / 2 ) 10 / 2 = 25 =3 m2 Solución : La mitad del área es : (100 p / 3) - 25 =3 m2

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OTRO MÉTODO : Para familiarizarse con el Cálculo Integral Los alumnos deben habituarse a elegir los ejes de coordenadas de la forma más adecuada para poder asociar a las figuras las ecuaciones más sencillas. Tomando el origen de coordenadas en el Poste (0,0), la frontera del redil tendrá como ecuación la de una circunferencia centrada en el punto (0,10) y de radio 10m.: x2 + (y – 10)2 = 102 y la que limita la región en la que la cabra puede pastar será una circunferencia de radio 10m. centrada en el origen : x2 + y2 = 102 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunferencias se obtienen las coordenadas del punto de corte A (5=3,5). La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 5=3 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias. El alumno deberá reconocer que si bien al arco de la circunferencia x2+y2 = 102 que queremos integrar le corresponde el signo + de la raíz (y = + =(100-x2)), al arco de la otra circunferencia le corresponde el signo - . (y = 10 - =(100-x2)). Por tanto el área buscada vendrá dada por la integral: 5=3

*[=100 - x2 - (10 - =100 - x2)] dx 0

Y haciendo el cambio habitual x = 10 sen t , e integrando en t entre los límites correspondientes 0 y p/3, se obtiene como en el caso anterior, que La mitad del área es : (100 p / 3) - 25 =3 m2 B) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda de 12 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra? El problema es el mismo que el anterior con la dificultad añadida de que el triángulo CPA no es equilátero, sino isósceles, por lo que el cálculo de los ángulos en P y C no es inmediato y hay que utilizar el Teorema del Coseno. La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es la limitada por los arcos PA, BA y el segmento BP. Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, BPA, menos el triangulo isósceles PAC. Para calcular el área de los dos sectores necesitamos saber los ángulos, en P y C, del triángulo PAC. Mediante el Tª del coseno, calculamos el ángulo en P. 102 = 102 + 122 - 2.10.12 cos P ˛ cos P = 3/5 ˛ P = 0’9273 rad. Como los ángulos en P y A son iguales, el ángulo en C valdrá : C = p - 2. 0’9273 = 1’2870 rad. Por tanto, Área del sector BPA: (122 / 2) 0’9273 = 66’77 m2 Área del sector PCA: (102 / 2) 1’2870 = 64’35 m2 Área triángulo PAC: PC.AP.sen P / 2 = 10.12.(4/5)/2 = 48 m2

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Solución: La mitad del área será : 66’77 + 64’35 – 48 = 83’12 m2

MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL: Análogamente a lo realizado en el Caso A), también se puede utilizar aquí el método del cálculo integral. Así como con el procedimiento anterior, este caso B) es más complicado que el A), con la aplicación del cálculo integral no hay ninguna diferencia a lo visto en A). Bastaría con resolver el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunferencias: x2 + (y – 10)2 = 102 y x2 + y2 = 122 para encontrar las coordenadas del punto de corte A (9’6, 7’2). La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 9’6 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias: 9’6

1/2 A = *[=144 - x2 - (10 - =100 - x2)] dx 0

Que resolviendo con los cambios x = 12 sen t y x = 10 sen t nos da el valor de 83’12. C) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio, mediante una cuerda. Si sólo puede pastar en la mitad de la superficie del campo, ¿Qué longitud (aproximada) tiene la cuerda? Igual que en los casos anteriores el área en la que puede pastar la cabra será : Área = Sector BPA + Sector PCA – Triángulo PCA Esa área ahora es conocida y vale 1/4 p 102. En vez de utilizar el valor 10 para el radio, usaremos a partir de ahora la letra r, y sólo al final, si es necesario, usaremos el dato concreto. Para calcular las áreas, tanto la de los sectores como la del triángulo, vamos a utilizar el ángulo en P : a. Mediante el Tª del coseno : r2 = r2 + x2 - 2rx cos a Por tanto

cos a = x / 2r

• Área sector BPA = x2 a/2 • Área sector PCA: Como el triángulo PCA es isósceles, el ángulo en C será: p - 2a. Por tanto el área del sector PCA : r2 (p - 2a) / 2. • Área triángulo PCA: (x r sen a) /2 = r2 sen a cos a. De forma que el área en la que la cabra puede pastar se puede expresar:

p r2 / 4 = x2 a /2 + r2 (p - 2a) / 2 - r2 sen a cos a. Y expresando x en función de a:

p / 4 = 2 a cos2 a + (p - 2a ) / 2 - sen a cos a.

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2 a cos2 a + p / 4 - a - sen a cos a = 0 Para resolver esta ecuación podemos utilizar alguno de los programas informáticos que nos proporcionan soluciones aproximadas. Un método rápido consiste en representar gráficamente la función y observar sus puntos de corte con el eje X. Por las condiciones del problema es claro que el valor de a buscado estará entre 0 y p/2 , o, afinando un poco más, entre p/4 y p/2. La gráfica siguiente está obtenida con DERIVE.

Mediante la Opción Traza, el propio programa nos ofrece las coordenadas de los diferentes puntos de la curva a medida que nos desplazamos sobre ella. Así obtenemos como solución aproximada de la ecuación, entre 0 y p/2 el valor a = 0’9548. Por tanto, la longitud aproximada de la cuerda será x = 2r cos a x = 2. 10 cos 0’9548 = 11’56 m Mediante el CÁLCULO INTEGRAL, de forma análoga a los casos A) y B) también puede resolverse, siendo completamente imprescindible el uso de un asistente matemático.

BIBLIOGRAFÍA: Antonio Frías Zorrilla. “Procedimientos de resolución en un problema no rutinario”. EPSILON 1994 nº 30. Ian D. McLachlan. “A.I.M.S. in the classroom”. MATHEMATICS TEACHER May 1994. Elisabeth Busser. “Buscar, jugar, encontrar”. MUNDO CIENTÍFICO Abril 1999.

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