IES EL PILES EL PROBLEMA DE LA TANGENTE El problema de definir la tangente a una curva y = f (x) en un punto P ( x0 , y 0 ) ha llevado al concepto de la derivada de una función en un punto P ( x0 , y 0 ) . Todos sabemos dibujar la tangente a una curva en un punto, ¿pero como definirla?. Una forma posible podría ser :”La recta que pasando por el punto y que sólo toca a la curva en dicho punto”, definición que no se satisface en el siguiente caso: P

x0

Una manera en que quedaría unívocamente determinada la recta tangente sería conociendo las coordenadas del punto P ( x0 , y 0 ) y la pendiente de la recta. ¿Cómo calcular dicha pendiente? Un ejemplo: ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto P(2,4) al gráfico de y = f (x ) = x 2 ?

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Un método consiste en dibujar la parábola y = f ( x ) = x 2 con cuidado y su recta tangente en (2,4). Aunque el método es razonable, su precisión es escasa, ya que un pequeño error en el ángulo que la tangente forma con el eje x puede causar un error grande al estimar la pendiente. 10 8 6 4 2 0 -2

-1

-2 0

1

2

3

4

-4 -6 -8 -10

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Escogeremos otro método más seguro. Para empezar, calculemos la pendiente de una recta secante que aproxime la recta tangente en P(2,4). Para ello tomamos un

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punto Q cerca del P sobre la curva y = f ( x ) = x 2 , por ejemplo Q 2´1,2´12 , y calculamos la pendiente de la recta que pasa por P y Q

f (2,1) − f (2) 2,12 − 2 0,41 Su pendiente es: m = = = = 4,1 que sería una 2,1 − 2 2,1 − 2 0,1 aproximación de la pendiente de la recta tangente. Podemos mejorar la estimación considerando el punto Q(2´01,2´012 ) es decir haciendo que el punto Q sea aún más próximo a P, entonces la estimación de la pendiente será mejor. Aún más, consideremos un punto típico Q. Es decir, consideremos la recta que pasa por P(2,4) y por Q(x, x 2 )cuándo Q es muy próximo a P o lo que es los mismo x es próximo a 2

Esta recta tiene de pendiente (x − 2 )(x + 2 ) = 4 resultado obtenido f ( x ) − f ( 2) x 2 − 22 m = lim = lim = lim x →2 x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2 usando las técnicas de límites. A m = lim x→2

por: f ´(2)

f ( x ) − f ( 2) se le llamará derivada de f en x=2 y se representará x−2

LA VELOCIDAD Intentemos resolver el problema de calcular la velocidad en un instante dado.

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IES EL PILES Una piedra cae s (t ) = 16t 2 cm en t segundos. ¿Cuál es la velocidad después de dos segundos? Cómo práctica, hagamos una estimación calculando la velocidad media de la piedra durante un breve período de tiempo, por ejemplo entre 2 y 2,01 segundos. Al comienzo de este lapso, la piedra ha caído ya 16 2 2 = 64 cm.- Y al final 16 2,012 = 64,6416 cm. Osea, que durante 0,01 segundos ha caido 0,6416 cm. Su

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16 2,012 − 16 2 2 = 64,16 cm por 2´01 − 2 segundo, que sería una estimación de la velocidad en el instante t=2 segundos. Consideremos el intervalo de tiempo [2,t] con t>2. La velocidad media en este intervalo de tiempo sería: s (t ) − s (2 ) 16 t 2 − 16 ⋅ 2 2 16(t − 2 )(t + 2 ) vm = = = = 16(t + 2 ) cm por segundo t −2 t−2 t−2

velocidad media en este período ha sido: v[2, 2´01] =

( )

Cuando t → 2 , la velocidad media sería la velocidad en el instante t=2: s (t ) − s (2 ) v(2 ) = lim = 16(2 + 2 ) = 64 cm por segundo t →2 t−2 LA DENSIDAD La densidad es una medidad local de la masa de un material. La densidad se define masa total como densidad = volumen total La densidad de un objetivo puede variar de un punto a otro. Por ejemplo, la tierra tiene mayor densidad cerca de su centro que cerca de su superficie. De hecho, la densidad media de la tierra es 5,5 gramos por centímetro cúbico, más de cinco veces la del agua Problema: La masa de los x centímetros de la izquierda en una barra no homogénea de 10 cm de longitud es de m(x)= x 2 gramos. ¿Cuál es la densidad ( en gramos por cm) del material en x=2? Solución: Para estimarla, examinemos la masa de material en el intervalo [2,2´1]

El material del intervalo [2,2´1] tiene una masa de m(2,1) − m(2 ) = 2,12 − 2 2 = 0,41 gramos. Así que su densidad media es:

m(2,1) − m(2 ) 2,12 − 2 2 0,41 d [2, 2´1] = = = = 4,1 gramos por cm 2,1 − 2 2,1 − 2 0,1 Si en lugar de realizar otra estimación, tomamos un intervalo genérico [2,x]

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IES EL PILES tendremos como densidad media en este 2 2 (x − 2)(x + 2) = x + 2 gramos por cm m( x ) − m(2 ) x − 2 d [2, x ] = = = x−2 x−2 x−2 Cuando x → 2 , esa densidad sería la correspondiente m( x ) − m(2 ) d (2) = lim = lim( x + 2 ) = 4 gramos por cm. x→2 x→2 x−2

intervalo:

a

x=2

:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Desde un punto de vista matemático, los problemas de hallar la pendiente de la recta tangente, la velocidad de la piedra en un instante dado y la densidad de la barra son un mismo problema. Cada uno de ellos conduce a un límite ( x → 2) del cociente de f (x ) − f (2 ) donde f representa en el problema de la tangente la ecuación de la curva, x−2 en el caso de la velocidad es el trayecto recorrido s(t) y en el caso de la densidad representa a m(x). Este proceso puede aplicarse a otras funciones y por tanto parece oportuno definir el concepto que subyace en estos problemas y que no es otro que el concepto de derivada de una función en un punto: La derivada de una función en el punto x0 : Sea f una función definida al menos en

un intervalo abierto que incluya a x0 . Si existe el lim

x → x0

f (x ) − f (x0 ) = f ´( x0 ) , se x − x0

llama la derivada de f en x0 y se denota por f ´( x 0 ) . Es imprescindible que f esté definida en un intervalo abierto que contenga a x0 para poder calcular su límite. Este concepto nos permite definir recta tangente, velocidad, y densidad: • Tangente a una curva. La recta tangente al gráfico de la función f en el punto P ( x0 , f ( x0 )) es la recta que pasa por P y que tiene una pendiente igual a la derivada de f en x0 . • Velocidad instantánea. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. • Densidad de un material. La densidad en x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x Pendiente, velocidad y densidad son solo diversas interpretaciones de la derivada.La derivada, en sí misma, es una noción puramente matemática, un límite especial formado a partir de una función f dada.

OTROS EJEMPLOS DE LA UTILIDAD DE LA DERIVADA La derivada mide la rapidez con que la función cambia de valor, por ello, siempre que se vaya a investigar el ritmo al que cierta magnitud cambia, la derivada entrará en juego con toda seguridad.

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BIOLOGÍA. Sea P(t) una función derivable que estima el tamaño de una población en el instante t. Entonces la derivada P´(t ) nos dice el ritmo de crecimiento de la población en el instante t. • FISIOLOGÍA. Sea Q(t) el caudal sanguíneo que fluye por una arteria, en centímetros cúbicos, durante los primeros t segundos de un experimento. En este caso, la derivada Q´(t) da, en centímetros cúbicos por segundo, la velocidad con que la sangre fluye en el instante t por esa arteria. • ECONOMÍA.Sea C(x) el coste, en euros, de producir figoríficos. (En realidad x es un entero, pero en teoría económica es conveniente suponer C(x) definida y derivable para todo x en un intervalo de números reales.). La derivada C´(x)se llama coste marginal , que viene a ser el coste de producción del (x+1)-ésimo frigorífico. El coste real de producción del (x+1)-ésimo frigorífico es el coste de producción de los x+1 primeros frigoríficos menos el de los x primeros. Es decir C (x + 1) − C ( x ) C ( x + 1) − C ( x ) = que es una aproximación de C (´x ) o que mirado al (x + 1) − x 1 revés, C (´x ) es una aproximación del coste del (x+1)-ésimo frigorífico. Análogamente, si B(x) es el beneficio obtenido por la venta de x frigoríficos, la derivada B´( x ) se llama beneficio marginal, que puede interpretarse como el beneficio extra obtenido al vender el (x+1)-iésimo frigorífico. • ENERGÍA. Sea Q(t) la cantidad total de petróleo en la tierra en el instante t, medida en barriles. La derivada Q´(t)dice como está cambiando Q(t). Si no se están formando nuevas reservas, entonces Q´(t) es negativo, aproximadamente –50 000 000 de barriles diarios. Las estimaciones de Q(t) en 1980 eran del orden 2.1012 barriles. Si Q´(t)se mantiene constante, todas las reservas conocidas se agotarían en un siglo, más o menos. Predicciones sobre el ritmo al que el petróleo (o cualquier otra fuente renovable de energía) se consumirá, dependen de estimaciones acerca de las derivadas.

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