Profr. Efraín Soto Apolinar.

Ecuaciones de la tangente y la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en uno de sus puntos utilizando la derivada. Recuerda que para calcular la ecuación de una recta bastan dos datos: su pendiente y un punto por el cual pase. Para calcular la pendiente de la recta vamos a utilizar la derivada evaluada en el punto de interés. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2

Ejemplo 1

en el punto P(2, 4). • Para calcular la ecuación de la recta necesitamos conocer la pendiente y un punto. • Ya conocemos el punto: P(2, 4), solamente falta la pendiente. • Vamos a calcular la derivada:

dy = 2x dx

• La pendiente de la recta es igual a la derivada evaluada en el punto x = 2: m = 2(2) = 4 • Ahora que conocemos la pendiente y el punto podemos calcular la ecuación de la recta. • Para eso utilizamos la forma punto-pendiente: y − y1

= y−4 = y = y =

m · ( x − x1 ) 4 · ( x − 2) 4x−8+4 4x−4

• Para graficar esta recta observa que cuando x = 1, y = 0, es decir, pasa por el punto Q(1, 0). • Evidentemente, también pasa por el punto P(2, 4). • Recuerda que la derivada de la función es la mejor aproximación lineal a la función en un punto. • En este caso, la recta y = 4 x − 4 es la mejor aproximación lineal a la función y = x2 en el punto P(2, 4). • La gráfica de la función y = x2 y la recta tangente en x = 2 muestra esto:

www.aprendematematicas.org.mx

1/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y 9 y = x2 x−4

8

y=4

7 6 5

P(2, 4)

4 3 2 1

−3

−2

x

−1

0

Calcula la recta tangente a la función: y=

Ejemplo 2

1

√

2

3

x

en el punto P(1, 1).

• Empezamos calculando la derivada de la función. • Para eso, expresamos la función como: y = x1/2 1 1 1 dy = x −1/2 = = √ dx 2 2 x1/2 2 x • Ahora evaluamos la derivada en el punto x = 1 para conocer la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto: y 0 (1) =

2

1 1 √ = 2 1

• Entonces la recta tangente pasa por el punto P(1, 1) y su pendiente es: m = 0.5.

www.aprendematematicas.org.mx

2/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Calculamos su ecuación usando la forma punto-pendiente: y − y1 y−1 2 ( y − 1) 2y−2 2y y • Ahora graficamos la función: y =

√

= m · ( x − x1 ) 1 = · ( x − 1) 2 = x−1 = x−1 = x−1+2 x+1 = 2

x y la recta tangente a esta curva en el punto P(1, 1):

y

x+ y=

4

1 2

3 y=

√

x

2 P(1, 1)

1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

• La recta y = ( x+1)/2 es la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función y = punto P(1, 1).

√

x en el

En matemáticas y en física algunas veces es de interés conocer, no solamente la recta tangente a una curva, sino la recta perpendicular a la misma. Para calcularla, utilizaremos la condición de perpendicularidad entre dos rectas: Condición de perpendicularidad: Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas `1 y `2 perpendiculares (`1 ⊥ `2 ), entonces, 1 m1 = − m2

Comentario

Entonces, para calcular la ecuación de la recta perpendicular a una curva nos ayudará conocer la recta tangente, porque la pendiente de ésta nos ayudará a calcular la pendiente de la recta normal (perpendicular). Recta normal La recta normal a una función y = f ( x ) en el punto P( x0 , f ( x0 )) es la línea recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la recta tangente a la función en P. Calcula la ecuación de la recta normal (perpendicular) a la función: y =

www.aprendematematicas.org.mx

√

x en el punto P(1, 1).

3/12

Definición 1 Ejemplo 3

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• En el ejemplo anterior hemos calculado la pendiente de la recta tangente a esta función en el punto P(1, 1): m = 1/2. • Por la condición de perpendicularidad,la pendiente de la recta normal a la función es igual al recíproco de signo cambiado de la pendiente de la recta tangente: m⊥ = −

1 1 =− = −2 m 1/2

• Ahora podemos calcular la ecuación de la recta perpendicular a la función y = por el punto P(1, 1).

√

x que pasa

• De nuevo, aplicamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: y − y1

= y−1 = y = y =

m ⊥ · ( x − x1 )

−2 · ( x − 1) −2 x + 2 + 1 −2 x + 3

• Ahora graficamos la función, la recta tangente y =

x+1 y la recta normal y = −2 x + 3: 2

y y=

x+

−2

y=

2

x+ 3

3

1

y=

√

x

2 P(1, 1)

1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Dado que la recta tangente en un punto de una función es la mejor aproximación lineal a la misma, podemos escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva de la siguiente forma: y − y1 = f 0 ( x1 ) · ( x − x1 ) porque f 0 ( x1 ) es la pendiente de la recta tangente a la función en x = x1 . A su vez, y1 = f ( x1 ), por lo que podemos escribir más concisamente: y − f ( x1 )

= y = y =

f 0 ( x1 ) · ( x − x1 ) f 0 ( x1 ) · ( x − x1 ) + f ( x1 ) f 0 ( x1 ) · x − f 0 ( x1 ) · x1 + f ( x1 )

como la ecuación de la recta tangente. www.aprendematematicas.org.mx

4/12

m⊥ representa la pendiente de la recta normal.

Profr. Efraín Soto Apolinar.

La pendiente de la recta normal es el recíproco de signo cambiado de la recta tangente. Esto nos sugiere escribir la ecuación de la recta normal como: y − f ( x1 )

= −

1 f 0 (x

1)

· ( x − x1 )

f 0 ( x1 ) · [y − f ( x1 )] 0

= − x + x1 = − x + x1 f 0 ( x1 ) · y = − x + x1 + f 0 ( x1 ) · f ( x1 ) − x + x1 + f 0 ( x1 ) · f ( x1 ) y = f 0 ( x1 ) − x + x1 + f ( x1 ) y = f 0 ( x1 )

f ( x1 ) · y − f 0 ( x1 ) · f ( x1 )

Entonces, como resumen tenemos las siguientes fórmulas: Ec. recta tangente a la función y = f ( x ) que pasa por el punto P( x1 , f ( x1 )): y = f 0 ( x1 ) · x − f 0 ( x1 ) · x1 + f ( x1 ) Comentario

Ec. recta normal a la función y = f ( x ) que pasa por el punto P( x1 , f ( x1 )): y=−

x x + 0 1 + f ( x1 ) f 0 ( x1 ) f ( x1 )

No es una buena idea utilizar las fórmulas para resolver los problemas, sino solamente para verificar los resultados. La ventaja de realizar todo el procedimiento para calcular la ecuación de la recta tangente a la función o de la recta normal, es que en otros problemas vas a necesitar utilizar el mismo procedimiento y esto te ayudará a entender mejor el proceso para la solución de este tipo de problemas. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la elipse: 9 x2 + 25 y2 = 225

Ejemplo 4

en el punto P(3, 12/5). • Observa que ahora no tenemos una función, sino la ecuación de una elipse. • Primero verificamos que el punto satisfaga la ecuación de la elipse: 9 · (3)2 + 25 · (12/5)2

= 225 81 + 144 = 225

3

• Ahora derivamos implícitamente la ecuación para conocer dy/dx: 18 x + 50 y

dy dx dy dx

= 0 = −

18 x 9x =− 50 y 25 y

www.aprendematematicas.org.mx

5/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Como nosotros conocemos el punto P(3, 12/5) vamos a sustituir sus coordenadas en la expresión para dy/dx y así conoceremos la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto: dy 9 (3) 27 9 m= =− =− =− dx 25 (2.4) 60 20 x =3,y=2.4

• La ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto P(3, 12/5) es: y − f ( x1 ) 12 y− 5

f 0 ( x ) · ( x − x1 ) 9 − · ( x − 3) 20 9 27 12 − ·x+ + 20 20 5 9 15 − ·x+ 20 4

= =

y

=

y

=

• Por otra parte, la pendiente de la normal a la función en P(3, 12/5) es: m⊥ = −

20 1 = m 9

• Y la ecuación de la normal es: y−

12 5

=

y

=

y

=

y

=

A

20 9 20 9 20 9 20 9

y= y 3

· ( x − 3) 12 5 20 12 ·x− + 3 5 64 ·x− 15

· ( x − 3) +

− 9 20 x + 15 4 P(3, 2.4)

2 B

1 F0

−4

−3

−2

−1

1

−1 −2 −3

y = 20 9 x − 64 15

−5

F 2

3

4

x 5

9 x2 + 25 y2 = 225

www.aprendematematicas.org.mx

6/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• La recta tangente a una elipse en el punto P forma los siguientes ángulos iguales: ∠ APF 0 y ∠ FPB, donde F y F 0 son sus focos.

Algunas veces es necesario conocer el ángulo con el que se cortan las gráficas de dos funciones. Ángulo de intersección El ángulo de intersección de las gráficas de las funciones y = f ( x ) y y = g( x ) es el ángulo que forman las rectas tangentes a cada una en el punto de intersección.

Definición 2

Calcula el ángulo de intersección de las graficas de las funciones: f ( x ) = x2 y g( x ) = 2 − x2 en el punto P(1, 1).

Ejemplo 5

• Primero debemos verificar que el punto P(1, 1) realmente satisface ambas funciones: f ( x ) = x2 ⇒ 1 = (1)2 3 x =1 g( x ) = 2 − x2 ⇒ 1 = 2 − (1)2 3 x =1

• Ahora calculamos la derivada de cada una de las funciones: f ( x ) = x2

⇒

f 0 (x) = 2 x

g( x ) = 2 − x2

⇒

g 0 ( x ) = −2 x

• La pendiente de cada una de las rectas tangentes a cada curva son: mf

=

f 0 (1) = 2 · (1) = 2

mg

=

g 0 (1) = −2 · (1) = −2

• Ahora podemos calcular el ángulo φ que forman las dos rectas tangentes recordando que: Ángulo entre dos rectas: Si φ es el ángulo entre las rectas `1 , `2 , con pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces: m2 − m1 tan φ = 1 + m1 · m2

Comentario

• Entonces,

−2 − 2 −4 4 = = 1 + (2)(−2) −3 3   4 • Y el ángulo formado es: φ = arctan = 53◦ 70 40.3700 . 3 tan φ =

Profesor: Muestre geométricamente los valores de la pendiente

• La gráfica muestra el resultado:

de cada tangente.

www.aprendematematicas.org.mx

7/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y y = x2

4

3

2 φ P(1, 1)

1

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1 y = 2 − x2

−2

Definición 3

Longitud de la tangente Sea y = f ( x ) una función derivable, y sea y = m x + b una recta tangente a la gráfica de la función en el punto P( x0 , f ( x0 )). La longitud de la tangente se define como la distancia desde P( x0 , f ( x0 )) hasta el punto donde la recta tangente corta al eje x. Es decir, si T es la longitud de la tangente, q T = ( x0 + b/m)2 + [ f ( x0 )]2

Definición 4

Longitud de la subtangente La longitud de la subtangente se define como la longitud de la proyección de la longitud de la tangente sobre el eje x. En este curso se denotará por Ts . La siguiente gráfica muestra geométricamente estos conceptos.

www.aprendematematicas.org.mx

8/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y

T

y = f (x) f ( x0 )

x0

Ts

x

Calcula la longitud de la tangente y de la subtangente de la función y = x2

Ejemplo 6

en el punto P(2, 4). • Ya calculamos la ecuación de la recta tangente a esta función en el punto P(2, 4): y = 4x−4 • Esta recta corta al eje x en el punto A(1, 0). • La longitud de la tangente es igual a la distancia entre los puntos A y P: q T = (2 − 1)2 + (4 − 0)2 √ √ = 1 + 16 = 17 • Por otra parte, la longitud de la subtangente es 1, porque corresponde al segmento sobre el eje x marcado en la siguiente gráfica:

www.aprendematematicas.org.mx

9/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y 9 y = x2 x−4

8

y=4

7 6 5

P(2, 4)

4 3

T

2 1

−3

−2

−1

x 0

1

Ts

2

3

Definición 5

Longitud de la normal Sea y = f ( x ) una función derivable, y sea y = m x + b una recta normal a la gráfica de la función en el punto P( x0 , f ( x0 )). La longitud de la normal N es igual a la longitud del segmento comprendido entre el punto de tangencia hasta el punto donde la normal corta al eje x.

Definición 6

Longitud de la subnormal La longitud de la subnormal se define como la longitud de la proyección de la longitud de la normal sobre el eje x. En este curso se denotará por Ns . Calcula las longitudes de la normal y subnormal a la elipse: 9 x2 + 25 y2 = 225

Ejemplo 7 en el punto P(3, 12/5)

• En la página 5 se calculó la ecuación de la recta normal a la elipse en el punto P(3, 2.4): y=

20 64 x− 9 15

www.aprendematematicas.org.mx

10/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Ahora necesitamos calcular el punto donde corta al eje x: 0

=

x

=

20 64 x− 9 15 64 9 48 · = = 1.92 15 20 25

• Entonces, la longitud de la normal es igual a la distancia entre los puntos P(3, 2.4) y A(1.92, 0): q √ N = (3 − 1.92)2 + (2.4 − 0)2 = 1.1664 + 5.76 ≈ 2.6318 • Por otra parte, la longiud de la subnormal es: 3 − 1.92 = 1.08 y 3 P(3, 2.4) 2

N

1 A

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

x Ns

3

4

5

−1 −2 −3

9 x2 + 25 y2 = 225

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 www.aprendematematicas.org.mx

11/12

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 01 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

www.aprendematematicas.org.mx

12/12